Магнитный векторный потенциал

Интеграл магнитного поля

В классическом электромагнетизме магнитный векторный потенциал (часто называемый А ) — это векторная величина, определенная так, что ее ротор равен магнитному полю : . Вместе с электрическим потенциалом φ магнитный векторный потенциал также можно использовать для задания электрического поля E. Поэтому многие уравнения электромагнетизма можно записать либо через поля E и B , либо , что то же самое, через потенциалы φ и A. В более продвинутых теориях, таких как квантовая механика , большинство уравнений используют потенциалы, а не поля. ${\textstyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$

Магнитный векторный потенциал был впервые введен Францем Эрнстом Нейманом и Вильгельмом Эдуардом Вебером в 1845 и 1846 годах соответственно. Уильям Томсон также представил векторный потенциал в 1847 году вместе с формулой, связывающей его с магнитным полем. ^{[1] [2]}

Магнитный векторный потенциал

Магнитный векторный потенциал A представляет собой векторное поле , определяемое наряду с электрическим потенциалом φ ( скалярным полем ) уравнениями: ^[3]

$${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,,\quad \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,}$$

Bмагнитное полеEэлектрическое полемагнитостатикераспределения зарядаэлектродинамикивекторный потенциалскалярный потенциалобозначения магнитного векторного потенциалаэлектрического потенциалавекторный потенциалскалярный потенциал

Если электрические и магнитные поля определяются, как указано выше, на основе потенциалов, они автоматически удовлетворяют двум уравнениям Максвелла : закону Гаусса для магнетизма и закону Фарадея . Например, если A непрерывен и всюду четко определен, то он гарантированно не приведет к появлению магнитных монополей . (В математической теории магнитных монополей A в некоторых местах может быть либо неопределенным, либо многозначным; подробности см. в разделе «Магнитный монополь» ).

Начнем с приведенных выше определений и вспомним, что дивергенция ротора равна нулю, а ротор градиента — это нулевой вектор:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} &=\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=\nabla \times \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.\end{aligned}}}$$

Альтернативно, существование A и φ гарантируется этими двумя законами с использованием теоремы Гельмгольца . Например, поскольку магнитное поле не имеет дивергенций (закон Гаусса для магнетизма; т. е. ∇ ⋅ B = 0 ), всегда существует A , удовлетворяющий приведенному выше определению.

Векторный потенциал А используется при изучении лагранжиана в классической механике и в квантовой механике (см. уравнение Шрёдингера для заряженных частиц , уравнение Дирака , эффект Ааронова–Бома ).

В системе СИ единицами измерения А являются В · с · м ^-1 , и они такие же, как у импульса на единицу заряда или силы на единицу тока . В минимальной связи q A называется потенциальным импульсом и является частью канонического импульса .

Линейный интеграл от A по замкнутому контуру Γ равен магнитному потоку Φ _B через поверхность S , которую он окружает:

$${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {A} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {A} \,\cdot \,d\mathbf {S} =\Phi _{\mathbf {B} }.}$$

Следовательно, единицы измерения А также эквивалентны Веберу на метр . Вышеприведенное уравнение полезно при квантовании потока сверхпроводящих контуров .

Хотя магнитное поле B является псевдовектором (также называемым аксиальным вектором ), векторный потенциал A является полярным вектором . ^[4] Это означает, что если бы правило правой руки для векторных произведений было заменено правилом левой руки, но без изменения каких-либо других уравнений или определений, то B поменял бы знаки, но A не изменился бы. Это пример общей теоремы: ротор полярного вектора является псевдовектором, и наоборот. ^[4]

Выбор калибра

Приведенное выше определение не определяет магнитный векторный потенциал однозначно, поскольку по определению мы можем произвольно добавлять к магнитному потенциалу компоненты без ротора , не изменяя наблюдаемое магнитное поле. Таким образом, при выборе A имеется определенная степень свободы . Это условие известно как калибровочная инвариантность .

Уравнения Максвелла в терминах векторного потенциала

Использование приведенного выше определения потенциалов и применение его к двум другим уравнениям Максвелла (тех, которые не удовлетворяются автоматически) приводит к сложному дифференциальному уравнению, которое можно упростить с помощью калибровки Лоренца, где A выбирается так, чтобы оно удовлетворяло: ^[3]

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$$

Используя калибровку Лоренца, уравнения Максвелла можно компактно записать в терминах магнитного векторного потенциала A и электрического скалярного потенциала φ : ^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}&=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\[2.734ex]\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}&=-\mu _{0}\mathbf {J} \end{aligned}}}$$

В других калибрах уравнения другие. Ниже показаны другие обозначения для записи тех же уравнений (с использованием четырехвекторов ).

Расчет потенциалов по распределениям источников

Решения уравнений Максвелла в калибровке Лоренца (см. Фейнман ^[3] и Джексон ^[5] ) с граничным условием, что оба потенциала достаточно быстро обращаются к нулю при приближении к бесконечности, называются запаздывающими потенциалами , которые представляют собой магнитный векторный потенциал A ( r , t ) и электрический скалярный потенциал φ ( r , t ) из-за распределения тока плотности тока J ( r ′, t ′ ) , плотности заряда ρ ( r ′, t ′) и объема Ω, в пределах которого ρ и J отличны от нуля, по крайней мере, иногда и в некоторых местах):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',t'\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\\\phi \left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\Omega }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ',t'\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$

векторе положения rtrtrtзапаздывающим временем

$${\displaystyle t'=t-{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}{c}}.}$$

Есть несколько примечательных особенностей A и φ , рассчитанных таким образом:

• Калибровочное условие Лоренца : выполнено. ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$
• Положение r , точка, в которой находятся значения φ и A , входит в уравнение только как часть скалярного расстояния от r ′ до r . Направление от r ′ до r в уравнение не входит. Единственное, что имеет значение в отношении точки источника, — это то, насколько далеко она находится.
• Подынтегральная функция использует запаздывающее время t ′ . Это просто отражает тот факт, что изменения в источниках распространяются со скоростью света. Следовательно, плотности заряда и тока, влияющие на электрический и магнитный потенциал в точках r и t из удаленного места r ′, также должны быть в какой-то предшествующий момент времени t ′.
• Уравнение для A является векторным уравнением. В декартовых координатах уравнение распадается на три скалярных уравнения: ^[6]
  $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {J_{x}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\\[1ex]A_{y}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {J_{y}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\\[1ex]A_{z}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {J_{z}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$
  В этой форме легко увидеть, что компонента A в данном направлении зависит только от компонентов J , находящихся в том же направлении. Если ток течет по длинному прямому проводу, точка А указывает в том же направлении, что и провод.

В других калибровках формула для A и φ другая; например, другую возможность см. в разделе «Кулоновская калибровка» .

Изображение А-поля

Представление кулоновского калибровочного магнитного векторного потенциала A , плотности магнитного потока B и плотности тока J полей вокруг тороидального индуктора круглого сечения . Более толстые линии обозначают линии поля более высокой средней интенсивности. Кружочки в поперечном сечении ядра обозначают B -поле, выходящее из изображения, знаки плюс обозначают B -поле, входящее в изображение. Предполагалось ∇ ⋅ A = 0 .

См. Фейнман ^[7] для изображения поля A вокруг длинного тонкого соленоида .

С

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }$$

$${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}\to 0\,\quad \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} \,,}$$

ABBJ.ABтороидальном индуктореB

Рисунок справа — изображение поля А художником . Более толстые линии обозначают пути с более высокой средней интенсивностью (более короткие пути имеют более высокую интенсивность, поэтому интеграл по пути тот же). Линии нарисованы для (эстетического) придания общего вида А -полю.

На рисунке молчаливо предполагается, что ∇ ⋅ A = 0 , что верно при одном из следующих предположений:

• предполагается кулоновская калибровка
• предполагается калибровка Лоренца и распределение заряда отсутствует, ρ = 0
• предполагается калибровка Лоренца и нулевая частота
• предполагается калибровка Лоренца и ненулевая, но достаточно низкая частота, которой можно пренебречь . ${\textstyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$

Электромагнитный четырехпотенциальный

В контексте специальной теории относительности естественно объединить магнитный векторный потенциал вместе со (скалярным) электрическим потенциалом в электромагнитный потенциал , также называемый четырехпотенциалом .

Одной из причин этого является то, что четырехпотенциал является математическим четырехвектором . Таким образом, используя стандартные правила четырехвекторного преобразования, если известны электрический и магнитный потенциалы в одной инерциальной системе отсчета, их можно просто вычислить в любой другой инерциальной системе отсчета.

Другая связанная с этим мотивация заключается в том, что содержание классического электромагнетизма можно записать в краткой и удобной форме с использованием четырехэлектромагнитного потенциала, особенно когда используется калибровка Лоренца . В частности, в абстрактной индексной записи набор уравнений Максвелла (в калибровке Лоренца) может быть записан (в гауссовских единицах ) следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\mu }A_{\mu }&=0\\\Box A_{\mu }&={\frac {4\pi }{c}}J_{\mu }\end{aligned}}}$$

даламберианJчетырёхтоккалибровочное условие Лоренцаквантовой электродинамике

Смотрите также

• Магнитный скалярный потенциал
• Эффект Ааронова – Бома
• Глюонное поле

Примечания

1. Нойман, Франц Эрнст (1 января 1846 г.). «Allgemeine Gesetze Der Inducirten Elektrischen Ströme (Общие законы индуцированных электрических токов)». Аннален дер Физик . 143 (11): 31–34. дои : 10.1002/andp.18461430103.
2. Ян, ЧэньНин (2014). «Концептуальные истоки уравнений Максвелла и калибровочной теории». Физика сегодня . 67 (11): 45–51. Бибкод : 2014PhT....67k..45Y. дои : 10.1063/PT.3.2585.
3. Фейнман (1964, стр. 15)
4. Тензоры и псевдотензоры, конспекты лекций Ричарда Фицпатрика
5. Джексон (1999, стр. 246)
6. Краус (1984, стр. 189)
7. Фейнман (1964, стр. 11, глава 15)

Рекомендации

• Даффин, WJ (1990). Электричество и магнетизм, четвертое издание . МакГроу-Хилл.
• Фейнман, Ричард П; Лейтон, Роберт Б.; Сэндс, Мэтью (1964). Лекции Фейнмана по физике, том 2. Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-02117-Х.
• Джексон, Джон Дэвид (1999), Классическая электродинамика (3-е изд.), John Wiley & Sons , ISBN 0-471-30932-Х
• Краус, Джон Д. (1984), Электромагнетизм (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-035423-5

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с потенциалом магнитного вектора, на Викискладе?