Магнитный векторный потенциал

Интеграл магнитного поля

В классическом электромагнетизме магнитный векторный потенциал (часто называемый A ) — это векторная величина, определяемая так, что ее ротор равен магнитному полю : . Вместе с электрическим потенциалом φ магнитный векторный потенциал может использоваться для задания электрического поля E. Поэтому многие уравнения электромагнетизма можно записать либо в терминах полей E и B , либо, что эквивалентно, в терминах потенциалов φ и A. В более продвинутых теориях, таких как квантовая механика , большинство уравнений используют потенциалы, а не поля. ${\textstyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$

Магнитный векторный потенциал был впервые введен Францем Эрнстом Нейманом и Вильгельмом Эдуардом Вебером в 1845 и 1846 годах соответственно. Уильям Томсон также ввел векторный потенциал в 1847 году вместе с формулой, связывающей его с магнитным полем. ^{[1] [2]}

Условные обозначения единиц

В данной статье используется система СИ.

В системе СИ единицами измерения А являются В · с · м ⁻¹ и они совпадают с единицами измерения импульса на единицу заряда или силы на единицу тока .

Магнитный векторный потенциал

Магнитный векторный потенциал, , является векторным полем , а электрический потенциал , , является скалярным полем, таким что: ^[3] где — магнитное поле , а — электрическое поле . В магнитостатике , где нет переменного во времени тока или распределения заряда , требуется только первое уравнение. (В контексте электродинамики термины векторный потенциал и скалярный потенциал используются для магнитного векторного потенциала и электрического потенциала соответственно. В математике векторный потенциал и скалярный потенциал можно обобщить на более высокие размерности.) ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \ ,\quad \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}$$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

Если электрические и магнитные поля определяются, как указано выше, из потенциалов, они автоматически удовлетворяют двум уравнениям Максвелла : закону Гаусса для магнетизма и закону Фарадея . Например, если является непрерывным и хорошо определено всюду, то это гарантированно не приведет к магнитным монополям . (В математической теории магнитных монополей допускается быть либо неопределенным, либо многозначным в некоторых местах; см. подробности в разделе магнитный монополь ). ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Начнем с приведенных выше определений и вспомним, что дивергенция ротора равна нулю, а ротор градиента — это нулевой вектор: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} &=\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=0\ ,\\\nabla \times \mathbf {E} &=\nabla \times \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}~.\end{aligned}}}$$

Альтернативно, существование и гарантируется этими двумя законами с использованием теоремы Гельмгольца . Например, поскольку магнитное поле является бездивергентным (закон Гаусса для магнетизма; т.е. ), всегда существует , удовлетворяющий приведенному выше определению. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Векторный потенциал используется при изучении лагранжиана в классической механике и в квантовой механике (см. уравнение Шредингера для заряженных частиц , уравнение Дирака , эффект Ааронова–Бома ). ${\displaystyle \mathbf {A} }$

В минимальной связи называется потенциальным импульсом и является частью канонического импульса . ${\displaystyle q\mathbf {A} }$

Линейный интеграл по замкнутому контуру равен магнитному потоку , , через поверхность , которую он охватывает: ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Phi _{\mathbf {B} }}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {A} \,\cdot \ d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {A} \ \cdot \ d\mathbf {S} =\Phi _{\mathbf {B} }~.}$$

Поэтому единицы также эквивалентны веберу на метр . Приведенное выше уравнение полезно при квантовании потока сверхпроводящих контуров . ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Хотя магнитное поле, , является псевдовектором (также называемым аксиальным вектором ), векторный потенциал, , является полярным вектором . ^[4] Это означает, что если бы правило правой руки для векторных произведений было заменено правилом левой руки, но без изменения каких-либо других уравнений или определений, то знаки поменялись бы, но A не изменилось бы. Это пример общей теоремы: ротор полярного вектора является псевдовектором, и наоборот. ^[4] ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Выбор калибра

Приведенное выше определение не определяет магнитный векторный потенциал однозначно, поскольку по определению мы можем произвольно добавлять компоненты без завихрений к магнитному потенциалу, не изменяя наблюдаемое магнитное поле. Таким образом, существует степень свободы, доступная при выборе . Это условие известно как калибровочная инвариантность . ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Два распространенных варианта калибра:

• Датчик Лоренца : $${\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$$
• Калибровка Кулона : $${\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} =0}$$

калибр Лоренца

В других калибрах формулы для и отличаются; например, см. калибровку Кулона для другой возможности. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \phi }$

Временная область

Используя приведенное выше определение потенциалов и применяя его к двум другим уравнениям Максвелла (тем, которые не удовлетворяются автоматически), получаем сложное дифференциальное уравнение, которое можно упростить с помощью калибровки Лоренца , где выбрано для удовлетворения: ^[3] ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$$

Используя калибровку Лоренца, уравнения электромагнитных волн можно записать компактно в терминах потенциалов, ^[3]

• Волновое уравнение скалярного потенциала $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\ \partial t^{2}}}&=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\[2.734ex]\end{aligned}}}$$
• Волновое уравнение векторного потенциала $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\ \partial t^{2}}}&=-\mu _{0}\ \mathbf {J} \end{aligned}}}$$

Решения уравнений Максвелла в калибровке Лоренца (см. Фейнман ^[3] и Джексон ^[5] ) с граничным условием, что оба потенциала стремятся к нулю достаточно быстро по мере приближения к бесконечности, называются запаздывающими потенциалами , которые представляют собой магнитный векторный потенциал и электрический скалярный потенциал, обусловленные текущим распределением плотности тока , плотности заряда и объема , внутри которого и отличны от нуля по крайней мере иногда и в некоторых местах): ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$

• Решения $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \!\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',t'\right)}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '\\\phi \!\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\Omega }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ',t'\right)}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$

где поля в векторе положения и времени вычисляются из источников в удаленном положении в более раннее время Местоположение является точкой источника в распределении заряда или тока (также переменной интегрирования, в пределах объема ). Более раннее время называется запаздывающим временем и вычисляется как ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle t'.}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle t'}$ $${\displaystyle R={\bigl \|}\mathbf {r} -\mathbf {r} '{\bigr \|}~.}$$ $${\displaystyle t'=t-{\frac {\ R\ }{c}}~.}$$

Заметки о временной области

• Условие калибровки Лоренца выполняется:

$${\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0~.}$$

• Положение , точки, в которой находятся значения для и , входит в уравнение только как часть скалярного расстояния от до Направление от до не входит в уравнение. Единственное, что имеет значение в исходной точке, — это то, насколько далеко она находится. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \mathbf {r} .}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$
• Интегральное выражение использует запаздывающее время , Это отражает тот факт, что изменения в источниках распространяются со скоростью света. Следовательно, плотности заряда и тока, влияющие на электрический и магнитный потенциал в и , из удаленного местоположения также должны быть в некоторое предшествующее время ${\displaystyle t'.}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle t'.}$
• Уравнение для является векторным уравнением. В декартовых координатах уравнение распадается на три скалярных уравнения: ^[6] В этой форме очевидно, что компонент в заданном направлении зависит только от компонентов , которые имеют то же направление. Если ток передается по прямому проводу, указывает в том же направлении, что и провод. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{x}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '\ ,\qquad A_{y}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{y}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '\ ,\qquad A_{z}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{z}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '~.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Частотная область

Предыдущие уравнения временной области могут быть выражены в частотной области. ^{[7] : 139}

• Калибр Лоренца или ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {j\omega }{c^{2}}}\phi =0\qquad }$ ${\displaystyle \qquad \phi ={\frac {j\omega }{k^{2}}}\nabla \cdot \mathbf {A} }$
• Решения ${\displaystyle \mathbf {A} \!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',\omega \right)}{R}}\ e^{-jkR}d^{3}\mathbf {r} '\qquad \phi \!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\Omega }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ',\omega \right)}{R}}\ e^{-jkR}d^{3}\mathbf {r} '}$
• Волновые уравнения ${\displaystyle \nabla ^{2}\phi +k^{2}\phi =-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\qquad \nabla ^{2}\mathbf {A} +k^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\ \mathbf {J} .}$
• Уравнения электромагнитного поля ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \ \qquad \mathbf {E} =-\nabla \phi -j\omega \mathbf {A} =-j\omega \mathbf {A} -j{\frac {\omega }{k^{2}}}\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )}$

где

${\displaystyle \phi }$и являются скалярными фазорами . ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {E} ,}$и являются векторными фазорами . ${\displaystyle \mathbf {J} }$

${\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}}$

Заметки в частотной области

Есть несколько примечательных вещей, касающихся расчета таким способом: ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \phi }$

• Условие калибровки Лоренца выполняется: Это означает, что электрический потенциал в частотной области, , может быть полностью вычислен из распределения плотности тока, . ${\displaystyle \textstyle \phi =-{\frac {c^{2}}{j\omega }}\nabla \cdot \mathbf {A} .}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$
• Положение точки, в которой находятся значения для и , входит в уравнение только как часть скалярного расстояния от до Направление от до не входит в уравнение. Единственное, что имеет значение в исходной точке, — это то, насколько далеко она находится. ${\displaystyle \mathbf {r} ,}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \ \mathbf {r} .}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$
• Подынтегральное выражение использует фазовый сдвиг , который играет роль , эквивалентную замедленному времени . Это отражает тот факт, что изменения в источниках распространяются со скоростью света; задержка распространения во временной области эквивалентна фазовому сдвигу в частотной области. ${\displaystyle e^{-jkR}}$
• Уравнение для является векторным уравнением. В декартовых координатах уравнение распадается на три скалярных уравнения: ^[6] В этой форме очевидно, что компонент в заданном направлении зависит только от компонентов , которые имеют то же направление. Если ток передается по прямому проводу, указывает в том же направлении, что и провод. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{x}\!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} _{x}\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}{R}}\ e^{-jkR}\ d^{3}\mathbf {r} ',\qquad \mathbf {A} _{y}\!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} _{y}\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}{R}}\ e^{-jkR}\ d^{3}\mathbf {r} ',\qquad \mathbf {A} _{z}\!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} _{z}\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}{R}}\ e^{-jkR}\ d^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \ \mathbf {J} \ }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Изображение поля А

Представление кулоновского калибровочного магнитного векторного потенциала , плотности магнитного потока и поля плотности тока вокруг тороидального индуктора круглого поперечного сечения . Более толстые линии указывают на силовые линии с более высокой средней интенсивностью. Круги в поперечном сечении сердечника представляют поле, выходящее из изображения, знаки плюс представляют поле, входящее в изображение. предполагалось. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \ \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}$

См. Фейнман ^[8] для описания поля вокруг длинного тонкого соленоида . ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Так как предполагаются квазистатические условия, т.е. $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\ \mathbf {J} }$$

${\displaystyle {\frac {\ \partial \mathbf {E} \ }{\partial t}}\to 0\ }$и , ${\displaystyle \ \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$

линии и контуры соотносятся так же, как линии и контуры соотносятся с Таким образом, изображение поля вокруг петли потока (которое было бы создано в тороидальном индукторе ) качественно такое же, как поле вокруг петли тока. ${\displaystyle \ \mathbf {A} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {B} \ }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \ \mathbf {J} .}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Рисунок справа — это художественное изображение поля . Более толстые линии обозначают пути с более высокой средней интенсивностью (более короткие пути имеют более высокую интенсивность, поэтому интеграл пути тот же). Линии нарисованы, чтобы (эстетически) передать общий вид поля . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Рисунок подразумевает , что , верно при любом из следующих предположений: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}$

• предполагается калибровка Кулона
• предполагается калибровка Лоренца и нет распределения заряда, ${\displaystyle \rho =0}$
• предполагается калибровка Лоренца и нулевая частота
• предполагается калибровка Лоренца и ненулевая частота, но все еще предполагается достаточно низкой, чтобы пренебречь членом ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$

Электромагнитный четырехпотенциальный

В контексте специальной теории относительности естественно объединить магнитный векторный потенциал вместе со скалярным электрическим потенциалом в электромагнитный потенциал , также называемый четырехпотенциалом .

Одной из причин для этого является то, что четырех-потенциал является математическим четырех-вектором . Таким образом, используя стандартные правила преобразования четырех-векторов, если электрический и магнитный потенциалы известны в одной инерциальной системе отсчета, их можно просто вычислить в любой другой инерциальной системе отсчета.

Другая, связанная мотивация заключается в том, что содержание классического электромагнетизма может быть записано в краткой и удобной форме с использованием электромагнитного четырехпотенциала, особенно при использовании калибровки Лоренца . В частности, в абстрактной индексной нотации набор уравнений Максвелла (в калибровке Лоренца) может быть записан (в гауссовых единицах ) следующим образом: где — даламбертиан , а — четырехток . Первое уравнение — это условие калибровки Лоренца , тогда как второе содержит уравнения Максвелла. Четырехпотенциал также играет очень важную роль в квантовой электродинамике . $${\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\nu }A_{\nu }&=0\\\Box ^{2}A_{\nu }&={\frac {4\pi }{\ c\ }}\ J_{\nu }\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \ \Box ^{2}\ }$ ${\displaystyle \ J\ }$

Заряженная частица в поле

В поле с электрическим потенциалом и магнитным потенциалом лагранжиан ( ) и гамильтониан ( ) частицы с массой и зарядом равны ${\displaystyle \ \phi \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {L}}\ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {H}}\ }$ ${\displaystyle \ m\ }$ ${\displaystyle \ q\ }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&={\frac {1}{2}}m\ \mathbf {v} ^{2}+q\ \mathbf {v} \cdot \mathbf {A} -q\ \phi \ ,\\{\mathcal {H}}&={\frac {1}{2m}}\left(q\ \mathbf {A} -\mathbf {p} \right)^{2}+q\ \phi ~.\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Магнитный скалярный потенциал
• Эффект Ааронова-Бома
• Глюонное поле

Примечания

1. Нойман, Франц Эрнст (1 января 1846 г.). «Allgemeine Gesetze der induzirten elektrischen Ströme (Общие законы индуцированных электрических токов)». Аннален дер Физик . 143 (11): 31–34. дои : 10.1002/andp.18461430103.
2. Yang, ChenNing (2014). «Концептуальные истоки уравнений Максвелла и калибровочной теории». Physics Today . 67 (11): 45–51. Bibcode : 2014PhT....67k..45Y. doi : 10.1063/PT.3.2585.
3. Фейнман (1964), стр. 15
4. Фицпатрик, Ричард. «Тензоры и псевдотензоры» (конспекты лекций). Остин, Техас: Техасский университет .
5. Джексон (1999), стр. 246
6. Kraus (1984), стр. 189
7. Баланис, Константин А. (2005), Теория антенн (третье изд.), John Wiley, ISBN 047166782X
8. Фейнман (1964), стр. 11, гл. 15

Ссылки

• Даффин, У. Дж. (1990). Электричество и магнетизм, четвертое издание . McGraw-Hill.
• Фейнман, Ричард П.; Лейтон, Роберт Б.; Сэндс, Мэтью (1964). Лекции Фейнмана по физике, том 2. Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-02117-X.
• Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-30932-X.
• Краус, Джон Д. (1984). Электромагнетизм (3-е изд.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-035423-5.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Магнитный векторный потенциал на Wikimedia Commons