Задача максимизации полезности

Проблема распределения денег потребителями с целью получения наибольшей выгоды для себя

Максимизация полезности была впервые разработана философами-утилитаристами Джереми Бентамом и Джоном Стюартом Миллем . В микроэкономике проблема максимизации полезности — это проблема, с которой сталкиваются потребители : «Как мне потратить свои деньги , чтобы максимизировать свою полезность ?» Это тип проблемы оптимального решения . Она заключается в выборе того, сколько каждого доступного товара или услуги потреблять, принимая во внимание ограничение на общие расходы (доход), цены товаров и их предпочтения .

Максимизация полезности является важной концепцией в теории потребления, поскольку она показывает, как потребители решают распределить свой доход. Поскольку потребители моделируются как рациональные , они стремятся извлечь для себя максимальную выгоду. Однако из-за ограниченной рациональности и других предубеждений потребители иногда выбирают наборы, которые не обязательно максимизируют их полезность. Набор максимизации полезности потребителя также не установлен и может меняться со временем в зависимости от его индивидуальных предпочтений в отношении товаров, изменения цен и увеличения или уменьшения дохода.

Базовая настройка

Для максимизации полезности существует четыре основных шага процесса получения потребительского спроса и нахождения набора товаров, максимизирующего полезность для потребителя с учетом цен, дохода и предпочтений.

1) Проверьте, выполняется ли закон Вальраса 2) «Удар за доллар» 3) бюджетное ограничение 4) Проверьте на отрицательность

1) Закон Вальраса

Закон Вальраса гласит, что если предпочтения потребителя полны, монотонны и транзитивны, то оптимальный спрос будет лежать на бюджетной линии . ^[1]

Предпочтения потребителя

Для того чтобы существовало представление о полезности, предпочтения потребителя должны быть полными и транзитивными (необходимые условия). ^[2]

Полный

Полнота предпочтений указывает на то, что все наборы в потребительском наборе могут быть сравнены потребителем. Например, если у потребителя есть 3 набора A, B и C, то;

A B, A C, B A, B C, C B, C A, A A, B B, C C. Таким образом, потребитель имеет полные предпочтения, поскольку он может сравнить каждый набор. ${\displaystyle \succcurlyeq }$ ${\displaystyle \succcurlyeq }$ ${\displaystyle \succcurlyeq }$ ${\displaystyle \succcurlyeq }$ ${\displaystyle \succcurlyeq }$ ${\displaystyle \succcurlyeq }$ ${\displaystyle \succcurlyeq }$ ${\displaystyle \succcurlyeq }$ ${\displaystyle \succcurlyeq }$

Переходный

Транзитивность утверждает, что предпочтения индивидуумов одинаковы во всех наборах.

поэтому, если потребитель слабо предпочитает A перед B (A B) и B C, это означает, что A C (A слабо предпочитается C) ${\displaystyle \succcurlyeq }$ ${\displaystyle \succcurlyeq }$ ${\displaystyle \succcurlyeq }$

Монотонный

Для того чтобы отношение предпочтения было монотонным , увеличение количества обоих товаров должно строго улучшать положение потребителя (увеличивать его полезность), а увеличение количества одного товара при неизменном количестве другого не должно ухудшать положение потребителя (та же полезность).

Предпочтение является монотонным тогда и только тогда, когда: ${\displaystyle \succcurlyeq }$

1) ${\displaystyle (x+\epsilon ,y)\succcurlyeq (x,y)}$

2) ${\displaystyle (x,y+\epsilon )\succcurlyeq (x,y)}$

3) ${\displaystyle (x+\epsilon ,y+\epsilon )\succ (x,y)}$

где > 0 ${\displaystyle \epsilon }$

2) «Удар за деньги»

Bang for buck — это концепция в максимизации полезности, которая относится к желанию потребителя получить наилучшую ценность за свои деньги. Если закон Вальраса выполнен, оптимальное решение потребителя лежит в точке, где пересекаются бюджетная линия и оптимальная кривая безразличия, это называется условием касания. ^[3] Чтобы найти эту точку, дифференцируем функцию полезности по x и y, чтобы найти предельные полезности, затем делим на соответствующие цены товаров.

${\displaystyle MU_{x}/p_{x}=MU_{y}/p_{y}}$

Эту задачу можно решить, найдя оптимальное количество товара x или товара y.

3) Ограничение бюджета

Базовая установка бюджетного ограничения потребителя такова: ${\displaystyle p_{x}x+p_{y}y\leq I}$

Ввиду соблюдения закона Вальраса: ${\displaystyle p_{x}x+p_{y}y=I}$

Затем в это условие подставляется условие касания для решения задачи об оптимальном количестве другого товара.

4) Проверка на негативность

Рисунок 1: Здесь показано, где находится набор товаров, максимизирующий полезность, когда спрос на один товар отрицательный.

Необходимо проверить отрицательность, поскольку задача максимизации полезности может дать ответ, где оптимальный спрос на товар отрицателен, что в действительности невозможно, поскольку это выходит за пределы области. Если спрос на один товар отрицателен, оптимальный потребительский набор будет таким, где потребляется 0 этого товара, а весь доход тратится на другой товар (угловое решение). На рисунке 1 показан пример, когда спрос на товар x отрицателен.

Техническое представление

Предположим, что существует набор потребительских товаров потребителя или перечень всех возможных наборов товаров потребления, которые можно было бы выбрать при наличии бюджетного ограничения.

Множество потребления = (набор положительных действительных чисел, потребитель не может отдать предпочтение отрицательному количеству товаров). ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}\ .}$

${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{+}^{n}\ .}$

Предположим также, что вектор цен ( p ) n товаров положителен,

Рисунок 2: Здесь показаны оптимальные количества товаров x и y, которые максимизируют полезность с учетом бюджетных ограничений.

${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{+}^{n}\ ,}$

и что доход потребителя равен ; тогда набор всех доступных пакетов, бюджетный набор равен, ${\displaystyle I}$

${\displaystyle B(p,I)=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}|\mathbb {\Sigma } _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\leq I\}\ ,}$

Потребитель хотел бы приобрести наиболее доступный по цене пакет товаров.

Предполагается, что потребитель имеет порядковую функцию полезности , называемую u . Это вещественная функция с областью определения, являющейся множеством всех товарных наборов, или

${\displaystyle u:\mathbb {R} _{+}^{n}\rightarrow \mathbb {R} _{+}\ .}$

Тогда оптимальным выбором потребителя является набор, максимизирующий полезность всех наборов в бюджетном наборе, если тогда оптимальная функция спроса потребителя имеет вид: ${\displaystyle x(p,I)}$ ${\displaystyle x\in B(p,I)}$

${\displaystyle x(p,I)=\{x\in B(p,I)|U(x)\geq U(y)\forall y\in B(p,I)\}}$

Нахождение — это задача максимизации полезности . ${\displaystyle x(p,I)}$

Если u непрерывна и нет бесплатных товаров, то существует, ^[4] но не обязательно уникальна. Если предпочтения потребителя полны, транзитивны и строго выпуклы, то спрос потребителя содержит уникальную максимизирующую функцию для всех значений параметров цены и богатства. Если это выполняется, то называется маршалловской функцией спроса . В противном случае является многозначной и называется маршалловским соответствием спроса . ${\displaystyle x(p,I)}$ ${\displaystyle x(p,I)}$ ${\displaystyle x(p,I)}$

Максимизация полезности идеальных дополнений

U = мин {x, y}

Рисунок 3: Здесь показана задача максимизации полезности с минимальной функцией полезности.

Для минимальной функции с товарами, которые являются идеальными дополнениями , те же шаги не могут быть предприняты для нахождения набора, максимизирующего полезность, поскольку это недифференцируемая функция. Поэтому необходимо использовать интуицию. Потребитель максимизирует свою полезность в точке перегиба на самой высокой кривой безразличия, которая пересекает бюджетную линию, где x = y. ^[3] Это интуиция, поскольку потребитель рационален, нет смысла, чтобы потребитель потреблял больше одного товара и не потреблял другого товара, поскольку его полезность берется по минимуму из двух (они не получают от этого никакой выгоды в полезности и тратили бы свой доход впустую). См. рисунок 3.

Максимизация полезности идеальных заменителей

У = х + у

Для функции полезности с идеальными заменителями набор, максимизирующий полезность, может быть найден путем дифференциации или просто путем проверки. Предположим, потребитель считает, что прослушивание австралийских рок-групп AC/DC и Tame Impala является идеальными заменителями. Это означает, что он с удовольствием проведет весь день, слушая только AC/DC, или только Tame Impala, или три четверти AC/DC и одну четверть Tame Impala, или любую комбинацию этих двух групп в любом количестве. Таким образом, оптимальный выбор потребителя определяется исключительно относительными ценами на прослушивание двух артистов. Если посещение концерта Tame Impala дешевле, чем посещение концерта AC/DC, потребитель выбирает посещение концерта Tame Impala, и наоборот. Если цены на два концерта одинаковы, потребитель совершенно безразличен и может подбросить монетку, чтобы принять решение. Чтобы увидеть это математически, дифференцируем функцию полезности, чтобы обнаружить, что MRS постоянна — это технический смысл совершенных заменителей. В результате этого решение проблемы ограниченной максимизации потребителя (в общем случае) не будет внутренним решением, и поэтому необходимо проверить уровень полезности в граничных случаях (потратить весь бюджет на товар x, потратить весь бюджет на товар y), чтобы увидеть, какое из них является решением. Особый случай — когда (постоянная) MRS равна отношению цен (например, оба товара имеют одинаковую цену и одинаковые коэффициенты в функции полезности). В этом случае любая комбинация двух товаров является решением проблемы потребителя.

Реакция на изменение цен

Для данного уровня реального богатства для потребителей имеют значение только относительные цены, а не абсолютные цены. Если бы потребители реагировали на изменения номинальных цен и номинального богатства, даже если относительные цены и реальное богатство оставались неизменными, это был бы эффект, называемый денежной иллюзией . Математические условия первого порядка для максимума потребительской проблемы гарантируют, что спрос на каждый товар является однородным степени нуль совместно по номинальным ценам и номинальному богатству, поэтому денежной иллюзии нет.

Когда цены на товары меняются, оптимальное потребление этих товаров будет зависеть от эффектов замещения и дохода. Эффект замещения гласит, что если спрос на оба товара однороден, то когда цена одного товара снижается (при постоянной цене другого товара), потребитель будет потреблять больше этого товара и меньше другого, поскольку он становится относительно дешевле. То же самое происходит, если цена одного товара увеличивается, потребители будут покупать меньше этого товара и больше другого. ^[5]

Эффект дохода возникает, когда изменение цен на товары вызывает изменение дохода. Если цена одного товара растет, то доход уменьшается (потребление того же набора обходится дороже, чем раньше), то же самое происходит, если цена товара падает, доход увеличивается (потребление того же набора обходится дешевле, поэтому они могут потреблять больше желаемой ими комбинации товаров). ^[5]

Реакция на изменение доходов

Рисунок 5: Здесь показано, как меняется оптимальный набор потребителя при увеличении его дохода.

Если доход потребителей увеличивается, их бюджетная линия смещается наружу, и теперь у них больше дохода, который они могут потратить на товар x, товар y или на оба товара в зависимости от их предпочтений по каждому товару. Если бы оба товара x и y были нормальными товарами , то потребление обоих товаров увеличилось бы, а оптимальный набор переместился бы из точки A в точку C (см. рисунок 5). Если бы либо x, либо y были товарами низшего качества , то спрос на них уменьшался бы по мере роста дохода (оптимальный набор находился бы в точке B или C). ^[6]

Ограниченная рациональность

для получения дополнительной информации см.: Ограниченная рациональность

На практике потребитель не всегда может выбрать оптимальный набор. Например, это может потребовать слишком много размышлений или слишком много времени. Ограниченная рациональность — это теория, объясняющая такое поведение. Примерами альтернатив максимизации полезности из-за ограниченной рациональности являются: satisficing , exception by aspects и ментальная учетная эвристика.

• Эвристика удовлетворения заключается в том, что потребитель определяет уровень своих желаний и ищет до тех пор, пока не найдет вариант, который ему удовлетворяет. Он посчитает этот вариант достаточно хорошим и прекратит поиски. ^[7]
• Исключение по аспектам заключается в определении уровня для каждого аспекта продукта, который им нужен, и исключении всех других вариантов, которые не соответствуют этому требованию, например, цена менее 100 долларов, цвет и т. д., пока не останется только один продукт, который, как предполагается, и выберет потребитель. ^[8]
• Эвристика ментального учета : в этой стратегии видно, что люди часто присваивают своим деньгам субъективную ценность в зависимости от своих предпочтений в отношении разных вещей. Человек разрабатывает ментальные счета для разных расходов, распределяет свой бюджет в рамках этих счетов, а затем пытается максимизировать свою полезность в рамках каждого счета. ^[9]

Связанные концепции

Связь между функцией полезности и маршалловским спросом в задаче максимизации полезности отражает связь между функцией расходов и хиксовским спросом в задаче минимизации расходов . В задаче минимизации расходов уровень полезности задан, а также цены на товары, роль потребителя заключается в том, чтобы найти минимальный уровень расходов, требуемый для достижения этого уровня полезности.

Правило утилитарного общественного выбора — это правило, которое гласит, что общество должно выбирать альтернативу, которая максимизирует сумму полезностей. В то время как максимизация полезности осуществляется отдельными людьми, максимизация суммы полезности осуществляется обществом.

Смотрите также

• Максимизация благосостояния
• Максимизация прибыли
• Моделирование выбора
• Проблема минимизации расходов
• Оптимальное решение
• Эффект замещения
• Функция полезности
• Закон спроса
• Предельная полезность

Ссылки

1. Левин, Джонатан (2004). Теория потребителей . Стэнфордский университет. С. 4–6.
2. Сальседо, Бруно (2017). Представления полезности . Корнелльский университет. С. 18–19.
3. Board, Simon (2009). Задача максимизации полезности . Экономический факультет Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе. С. 10–17.
4. Выбор, предпочтение и полезность . Издательство Принстонского университета. ndp 14.{{cite book}}: CS1 maint: year (link)
5. Максимизация полезности и спрос . Библиотека Университета Миннесоты. 2011. стр. глава 7.2.
6. Университет Райса (nd). «Как изменения в доходах и ценах влияют на выбор потребления». Press books . Получено 22 апреля 2021 г.
7. Уилер, Грегори (2018). ограниченная рациональность . Стэнфордская энциклопедия философии.
8. "Модель исключения по аспектам". Университет Монаша . 2018. Получено 20 апреля 2021 г.
9. «Почему мы думаем об одних покупках меньше, чем о других?». Лаборатория принятия решений . 2021. Получено 20 апреля 2021 г.

Внешние ссылки

• Анатомия функций полезности типа Кобба-Дугласа в 3D
• Правила максимизации полезности за счет обучения на просвет
• Пример максимизации полезности
• Определение максимизации полезности по экономическим данным
• Применение функции полезности от Investopedia
• Определение взаимозаменяемых товаров по Investopedia