Группа «Кубик Рубика».

Математическая группа

Манипуляции с кубиком Рубика образуют группу «Кубик Рубика».

Группа «Кубик Рубика» — это группа , которая представляет структуру механической головоломки «Кубик Рубика» . Каждый элемент набора соответствует перемещению куба, которое является результатом любой последовательности поворотов граней куба. С помощью этого представления можно представить не только любое перемещение куба, но и любую позицию куба, путем детализации перемещений куба, необходимых для поворота решенного куба в это положение. Действительно, если решить позицию в качестве отправной точки, существует взаимно однозначное соответствие между каждой из допустимых позиций кубика Рубика и элементами . ^{[1] [2]} Групповая операция — это композиция ходов куба, соответствующая результату выполнения одного хода куба за другим. ${\displaystyle (G,\cdot )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cdot }$

Группа кубика Рубика создается путем маркировки каждой из 48 нецентральных граней целыми числами от 1 до 48. Каждую конфигурацию кубика можно представить как перестановку меток от 1 до 48, в зависимости от положения каждой грани. Используя это представление, решенный куб представляет собой тождественную перестановку, которая оставляет куб неизмененным, в то время как двенадцать перемещений куба, которые поворачивают слой куба на 90 градусов, представлены соответствующими перестановками. Группа кубика Рубика — это подгруппа симметричной группы , созданная шестью перестановками, соответствующими шести перемещениям кубика по часовой стрелке. При такой конструкции любая конфигурация куба, достижимая посредством последовательности перемещений куба, находится внутри группы. Его действие относится к композиции двух перестановок; внутри куба это относится к объединению двух последовательностей перемещений куба, выполняемых одна за другой. Группа кубика Рубика неабелева , поскольку композиция ходов кубика не коммутативна ; выполнение двух последовательностей перемещений куба в разном порядке может привести к другой конфигурации. ${\displaystyle S_{48}}$ ${\displaystyle \cdot }$

Куб движется

Кубик Рубика состоит из граней , каждая из которых имеет цветные квадраты, называемые гранями, всего граней. Решенный куб имеет все грани на каждой грани одного цвета. ${\displaystyle 3\times 3\times 3}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle 54}$

Перемещение куба вращает одну из граней либо или (метрика полуоборота). ^[3] Центральная грань вращается вокруг своей оси, но в остальном остается в том же положении. ^[1] ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 90^{\circ },180^{\circ },}$ ${\displaystyle -90^{\circ }}$

Ходы куба описываются с помощью нотации Сингмастера : ^[4]

Пустой ход . ^{[примечание 1]} Конкатенация такая же , как и . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle LLLL}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle RRR}$ ${\displaystyle R^{\prime }}$

Структура группы

Ниже используются обозначения, описанные в разделе «Как собрать кубик Рубика». Ориентация шести центральных граней фиксирована.

Мы можем идентифицировать каждое из шести поворотов граней как элементы симметричной группы на множестве нецентральных граней. Более конкретно, мы можем обозначить нецентральные грани числами от 1 до 48, а затем идентифицировать шесть вращений граней как элементы симметричной группы S ₄₈ в соответствии с тем, как каждое движение меняет местами различные грани. Группа кубика Рубика G определяется как подгруппа S ₄₈ , порожденная шестью поворотами граней . ${\displaystyle \{F,B,U,D,L,R\}}$

Мощность G определяется выражением _

$${\displaystyle |G|=43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!={\bigl (}{\bigl (}12!\cdot 8!{\bigr )}\div 2{\bigr )}\cdot {\bigl (}2^{12}\div 2{\bigr )}\cdot {\bigl (}3^{8}\div 3{\bigr )}=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11}$$

число Бога^[3][5]

Наибольший порядок элемента в G равен 1260. Например, один такой элемент порядка 1260 — это

${\displaystyle (RU^{2}D^{-1}BD^{-1})}$. ^[1]

G неабелева (то есть не все ходы куба коммутируют друг с другом), поскольку, например, это не то же самое, что . ^[2] Центр G состоит только из двух элементов : единицы (т.е. решенного состояния) и суперфлипа . ${\displaystyle FR}$ ${\displaystyle RF}$

Подгруппы

Мы рассматриваем две подгруппы G : во-первых, подгруппу C _o ориентаций куба , ходов, которые оставляют положение каждого блока фиксированным, но могут менять ориентацию блоков. Эта группа является нормальной подгруппой G . Его можно представить как обычное завершение некоторых ходов, которые переворачивают несколько ребер или скручивают несколько углов. Например, это нормальное завершение следующих двух ходов:

${\displaystyle BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2}BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2},\,\!}$(закручиваем два угла)

${\displaystyle RUDB^{2}U^{2}B^{\prime }UBUB^{2}D^{\prime }R^{\prime }U^{\prime },\,\!}$(перевернуть два края).

Во-вторых, мы берем подгруппу перестановок куба , ходы которых могут менять положения блоков, но оставлять ориентацию неизменной. Для этой подгруппы есть несколько вариантов, в зависимости от того, каким именно образом определяется «ориентация». ^{[примечание 2]} Одним из вариантов является следующая группа, заданная генераторами (последний генератор представляет собой 3 цикла на ребрах): ${\displaystyle C_{P}}$

${\displaystyle C_{p}=[U^{2},D^{2},F,B,L^{2},R^{2},R^{2}U^{\prime }FB^{\prime }R^{2}F^{\prime }BU^{\prime }R^{2}].\,\!}$

Поскольку C _o — нормальная подгруппа, а пересечение C _o и C _p — тождественно, а их произведение — это вся группа кубов, из этого следует, что группа кубов G является полупрямым произведением этих двух групп. То есть

${\displaystyle G=C_{o}\rtimes C_{p}.\,}$

Далее мы можем более подробно рассмотреть эти две группы. Структура Co _{_} _

${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}^{7}\times \mathbb {Z} _{2}^{11},\ }$

поскольку группа вращений каждого угла (соответственно края) куба равна (соответственно ), и в каждом случае все, кроме одного, могут вращаться свободно, но эти вращения определяют ориентацию последнего. Заметив, что существует 8 углов и 12 ребер и что все группы вращения абелевы, мы получаем приведенную выше структуру. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Перестановки куба C _p немного сложнее. Он имеет следующие две непересекающиеся нормальные подгруппы: группу четных перестановок на углах A ₈ и группу четных перестановок на ребрах A ₁₂ . В дополнение к этим двум подгруппам есть перестановка, которая меняет местами два угла и меняет местами два ребра. Оказывается, они генерируют все возможные перестановки, а это значит, что

${\displaystyle C_{p}=(A_{8}\times A_{12})\,\rtimes \mathbb {Z} _{2}.}$

Сложив все части вместе, мы получаем, что группа кубов изоморфна

${\displaystyle (\mathbb {Z} _{3}^{7}\times \mathbb {Z} _{2}^{11})\rtimes \,((A_{8}\times A_{12})\rtimes \mathbb {Z} _{2}).}$

Эту группу также можно охарактеризовать как субпрямой продукт.

${\displaystyle [(\mathbb {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}}}$,

в ^{обозначениях} Грисса ^{. _} _

Обобщения

Если принять во внимание симметрию центральных граней, группа симметрии является подгруппой

${\displaystyle [\mathbb {Z} _{4}^{6}\times (\mathbb {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}}.}$

(Эта незначительность поворотов центральных граней является неявным примером работы факторгруппы , защищающей читателя от полной группы автоморфизмов рассматриваемого объекта.)

Группа симметрии кубика Рубика, полученного при его разборке и сборке, несколько больше: а именно это прямое произведение

${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}^{6}\times (\mathbb {Z} _{3}\wr \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}\wr \mathrm {S} _{12}).}$

Первый фактор объясняется исключительно поворотами центральных частей, второй – исключительно симметрией углов, а третий – исключительно симметрией краев. Последние два фактора являются примерами обобщенных симметричных групп , которые сами являются примерами сплетений . (Коэффициент перестановки центральных граней отсутствует, поскольку практически на всех моделях кубика Рубика перестановка этих граней невозможна при ^{простой разборке} . ⁾

Простые группы , которые встречаются как частные в композиционном ряду стандартной группы куба (т. е. без учета вращения центральной части), равны , , (7 раз) и (12 раз). ${\displaystyle A_{8}}$ ${\displaystyle A_{12}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Классы сопряженности

Сообщается, что группа кубиков Рубика имеет 81 120 классов сопряженности . ^[6] Число было рассчитано путем подсчета количества четных и нечетных классов сопряженности в краевых и угловых группах отдельно, а затем их умножения, гарантируя, что общая четность всегда будет четной. Особое внимание необходимо уделить подсчету так называемых классов сопряженности , чувствительных к четности , элементы которых всегда различаются при сопряжении с любым четным элементом по сравнению с любым нечетным элементом. ^[7]

Смотрите также

• Коммутатор
• Класс сопряжения
• Козет
• Оптимальные решения для кубика Рубика
• Разрешимая группа
• Алгоритм Тистлетвейта

Примечания

1. Не путать с термином, используемым в расширенной нотации Singmaster , где он представляет собой четверть оборота слоя экватора (т. е. центрального слоя между и ) в том же направлении, что и . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$
2. Один из способов определения ориентации следующий, адаптированный из страниц 314–315 « Метамагических тем» Дугласа Хофштадтера . Определите два понятия: главный цвет блока и главный фасет позиции , где позиция означает расположение блока. Главной гранью позиции будет грань на передней или задней грани куба, если эта позиция имеет такую ​​грань; в противном случае это будет тот, что на левой или правой стороне. На F имеется девять главных граней, девять на B, две на L и две на R. Главный цвет блока определяется как цвет, который должен быть на главной грани блока, когда блок «возвращается домой» на свое правильное место. положение в решенном кубе. Перемещение куба сохраняет ориентацию, если при его применении к решенному кубу главный цвет каждого блока находится на главной грани его позиции. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Рекомендации

1. Джойнер, Дэвид (2002). Приключения в теории групп: кубик Рубика, машина Мерлина и другие математические игрушки . Издательство Университета Джонса Хопкинса. ISBN 0-8018-6947-1.
2. Дэвис, Том (2006). «Теория групп через кубик Рубика» (PDF) .
3. Рокицки, Томас; и другие. «Число Бога — 20».
4. Сингмастер, Дэвид (1981). Заметки о волшебном кубике Рубика . Книги о пингвинах. ISBN 0-907395-00-7.
5. Число Бога — 26 в четвертьоборотной метрике.
6. Гаррон, Лукас (8 марта 2010 г.). «Группа перестановок кубика Рубика» (PDF) . Семантический учёный . S2CID  18785794. Архивировано из оригинала (PDF) 22 февраля 2019 года . Проверено 1 августа 2020 г.
7. brac37 (20 октября 2009 г.). «Классы сопряженности куба». Домен форума Cube . Проверено 1 августа 2020 г.{{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)