Матрица Кабиббо – Кобаяши – Маскавы

Унитарная матрица, содержащая информацию о слабом взаимодействии

В Стандартной модели физики элементарных частиц матрица Кабиббо -Кобаяши-Маскавы , матрица CKM , матрица смешивания кварков или матрица KM представляет собой унитарную матрицу , которая содержит информацию о силе слабого взаимодействия , изменяющего аромат . Технически это определяет несовпадение квантовых состояний кварков , когда они распространяются свободно и когда участвуют в слабых взаимодействиях . Это важно для понимания нарушения CP . Эта матрица была введена для трёх поколений кварков Макото Кобаяши и Тошихиде Маскава , добавив одно поколение к матрице, ранее введенной Николой Кабиббо . Эта матрица также является расширением механизма GIM , который включает только два из трёх нынешних семейств кварков.

Матрица

Предшественник – матрица Кабиббо.

Угол Кабиббо представляет собой вращение векторного пространства собственных состояний, образованного собственными состояниями массы, в векторное пространство слабых собственных состояний, образованное слабыми собственными состояниями θ _c = 13,02°. ${\displaystyle |d\rangle ,\,|s\rangle }$ ${\displaystyle |d'\rangle \,,~|\,s'\rangle ~.}$

В 1963 году Никола Кабиббо ввёл угол Кабиббо ( θc ) _, чтобы сохранить универсальность слабого взаимодействия . ^[1] Кабиббо был вдохновлен предыдущей работой Мюррея Гелл-Манна и Мориса Леви ^[2] об эффективно вращающихся нестранных и странных векторных и осевых слабых токах, на которые он ссылается. ^[3]

В свете современных представлений (кварки еще не были предложены) угол Кабиббо связан с относительной вероятностью распада нижних и странных кварков на верхние кварки ( | V _ud | ²   и | V _us | ²  соответственно). На жаргоне физики элементарных частиц объект, который соединяется с верхним кварком посредством слабого взаимодействия заряженного тока, представляет собой суперпозицию кварков нижнего типа, обозначенную здесь d' . ^[4] Математически это:

${\displaystyle d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,}$

или используя угол Кабиббо:

${\displaystyle d'=\cos \theta _{\mathrm {c} }\;d~~+~~\sin \theta _{\mathrm {c} }\;s~.}$

Используя принятые в настоящее время значения для | В _уд | и | В _нас | (см. ниже), угол Кабиббо можно рассчитать с помощью

${\displaystyle \tan \theta _{\mathrm {c} }={\frac {\,|V_{\mathrm {us} }|\,}{|V_{\mathrm {ud} }|}}={\frac {0.22534}{0.97427}}\quad \Rightarrow \quad \theta _{\mathrm {c} }=~13.02^{\circ }~.}$

Когда в 1974 году был открыт очарованный кварк, было замечено, что нижний и странный кварки могут распадаться либо на верхний, либо на очаровательный кварк, что привело к двум системам уравнений:

${\displaystyle d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,}$

${\displaystyle s'=V_{\mathrm {cd} }\;d~~+~~V_{\mathrm {cs} }\;s~;}$

или используя угол Кабиббо:

${\displaystyle d'=~~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\;d~~+~~\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\;s~,}$

${\displaystyle s'=-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\;d~~+~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\;s~.}$

Это также можно записать в матричной записи как:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }\\V_{cd}&V_{cs}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,}$

или используя угол Кабиббо

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}&\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\\-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}&\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,}$

где различные | В _ij | ² представляют вероятность того, что кварк аромата j распадется на кварк аромата i . Эта матрица вращения 2×2  называется «матрицей Кабиббо» и впоследствии была расширена до матрицы CKM 3×3.

Наглядное изображение режимов распада шести кварков с увеличением массы слева направо.

Матрица СКМ

Диаграмма, изображающая пути распада из-за заряженного слабого взаимодействия и некоторые указания на их вероятность. Интенсивность линий задается параметрами CKM.

В 1973 году, заметив, что CP-нарушение не может быть объяснено в модели четырех кварков, Кобаяши и Маскава обобщили матрицу Кабиббо в матрицу Кабиббо-Кобаяши-Маскавы (или матрицу CKM), чтобы отслеживать слабые распады трех поколений кварки: ^[5]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\\b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }&V_{\mathrm {ub} }\\V_{\mathrm {cd} }&V_{\mathrm {cs} }&V_{\mathrm {cb} }\\V_{\mathrm {td} }&V_{\mathrm {ts} }&V_{\mathrm {tb} }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\\b\end{bmatrix}}~.}$

Слева — партнеры дублета слабого взаимодействия кварков нижнего типа, а справа — матрица CKM вместе с вектором собственных массовых состояний кварков нижнего типа. Матрица CKM описывает вероятность перехода от одного кварка аромата j к кварку другого аромата i . Эти переходы пропорциональны | В _ij | ² .

По состоянию на 2023 год лучшим определением отдельных величин элементов матрицы СКМ было: ^[6]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}|V_{ud}|&|V_{us}|&|V_{ub}|\\|V_{cd}|&|V_{cs}|&|V_{cb}|\\|V_{td}|&|V_{ts}|&|V_{tb}|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.97373\pm 0.00031&0.2243\pm 0.0008&0.00382\pm 0.00020\\0.221\pm 0.004&0.975\pm 0.006&0.0408\pm 0.0014\\0.0086\pm 0.0002&0.0415\pm 0.0009&1.014\pm 0.029\end{bmatrix}}.}$

Используя эти значения, можно проверить унитарность матрицы CKM. В частности, мы находим, что элементы матрицы первой строки дают: ${\displaystyle |V_{\mathrm {ud} }|^{2}+|V_{\mathrm {us} }|^{2}+|V_{\mathrm {ub} }|^{2}=0.9985\pm 0.0007~;}$

Отличие от теоретического значения 1 представляет собой напряжение в 2,2  стандартных отклонения . Неунитарность была бы признаком того, что физика выходит за рамки Стандартной модели.

Выбор использования кварков нижнего типа в определении является соглашением и не представляет собой физически предпочтительную асимметрию между кварками верхнего и нижнего типов. Другие соглашения в равной степени действительны: собственные состояния масс u , c и t кварков up-типа могут эквивалентно определять матрицу в терминах их партнеров по слабому взаимодействию u' , c' и t' . Поскольку матрица CKM унитарна, ее обратная идентична ее сопряженной транспонированной матрице , которую используют альтернативные варианты; он выглядит как та же матрица, но в несколько измененной форме.

Общая конструкция корпуса

Для обобщения матрицы подсчитайте количество физически важных параметров в этой матрице V , которые появляются в экспериментах. Если существует N поколений кварков (2 N ароматов ), то

• Унитарная матрица размера N  ×  N (то есть матрица V такая, что V ^† V = I , где V ^† — сопряженное транспонирование V , а I — единичная матрица) требует указания N ^{2 действительных параметров.}
• 2 N  − 1 из этих параметров не являются физически значимыми, поскольку в каждое поле кварков (как массовых, так и слабых собственных состояний) может быть поглощена одна фаза, но матрица не зависит от общей фазы. Следовательно, общее количество свободных переменных, не зависящих от выбора фаз базисных векторов, равно N ²  − (2 N  − 1) = ( N  − 1) ² .
  • Из них ⁠1/2⁠ N ( N  − 1) — углы вращения, называемые углами смешивания кварков .
  • Остальные ⁠1/2⁠ ( N  − 1)( N  − 2) — сложные фазы, вызывающие нарушение CP .

Н= 2

Для случая N  = 2 существует только один параметр — угол смешивания двух поколений кварков. Исторически это была первая версия матрицы CKM, когда были известны только два поколения. Его называют углом Кабиббо в честь его изобретателя Николы Кабиббо .

Н= 3

Для случая Стандартной модели ( N  = 3) существует три угла смешивания и одна комплексная фаза, нарушающая CP. ^[7]

Наблюдения и прогнозы

Идея Кабиббо возникла из необходимости объяснить два наблюдаемых явления:

1. переходы u ↔ d , e ↔ ν _e и µ ↔ ν µ _имели близкие амплитуды.
2. переходы с изменением странности ΔS = 1 имели амплитуды, равные ⁠  1 /4⁠ из тех, у кого ΔS = 0 .

Решение Кабиббо состояло в постулировании слабой универсальности (см. ниже) для решения первой проблемы, а также в постулировании угла смешивания _θc , теперь называемого углом Кабиббо , между d- и s- кварками для решения второй проблемы.

Для двух поколений кварков не может быть фаз, нарушающих СР, как показали расчеты предыдущего раздела. Поскольку CP-нарушения уже наблюдались в 1964 году при распаде нейтральных каонов , появившаяся вскоре после этого Стандартная модель ясно указывала на существование третьего поколения кварков, как указали Кобаяши и Маскава в 1973 году. Открытие нижнего кварка в Фермилабе ( группой Леона Ледермана ) в 1976 году немедленно начал поиск топ-кварка , недостающего кварка третьего поколения.

Однако обратите внимание, что конкретные значения, которые принимают углы, не являются предсказанием стандартной модели: это свободные параметры . В настоящее время не существует общепринятой теории, объясняющей, почему углы должны иметь именно те значения, которые измеряются в экспериментах.

Слабая универсальность

Ограничения унитарности СКМ-матрицы на диагональные члены можно записать в виде

${\displaystyle \sum _{k}|V_{jk}|^{2}=\sum _{k}|V_{kj}|^{2}=1}$

отдельно для каждого поколения j . Это означает, что сумма всех связей любого из кварков верхнего типа со всеми кварками нижнего типа одинакова для всех поколений. Это соотношение называется слабой универсальностью и впервые было указано Никола Кабиббо в 1967 году. Теоретически оно является следствием того факта, что все дублеты SU(2) с одинаковой силой связаны с векторными бозонами слабых взаимодействий. Он подвергался постоянным экспериментальным испытаниям.

Треугольники унитарности

Остальные ограничения унитарности СКМ-матрицы можно записать в виде

${\displaystyle \sum _{k}V_{ik}V_{jk}^{*}=0~.}$

Для любых фиксированных и разных i и j это ограничение на три комплексных числа, по одному на каждое k , которое говорит, что эти числа образуют стороны треугольника в комплексной плоскости . Существует шесть вариантов i и j (три независимых), а значит, шесть таких треугольников, каждый из которых называется унитарным треугольником . Их форма может быть самой разной, но все они имеют одинаковую площадь, что может быть связано с фазой нарушения CP . Область исчезает для определенных параметров Стандартной модели, для которых не было бы нарушения CP . Ориентация треугольников зависит от фаз кварковых полей.

Популярной величиной, равной вдвое площади унитарного треугольника, является инвариант Ярлскога (введенный Сесилией Ярлског в 1985 году):

${\displaystyle J=c_{12}c_{13}^{2}c_{23}s_{12}s_{13}s_{23}\sin \delta \approx 3\cdot 10^{-5}~.}$

Для греческих индексов, обозначающих верхние кварки, и латинских — нижних кварков, 4-тензор дважды антисимметричен: ${\displaystyle \;(\alpha ,\beta ;i,j)\equiv \operatorname {Im} (V_{\alpha i}V_{\beta j}V_{\alpha j}^{*}V_{\beta i}^{*})\;}$

${\displaystyle (\beta ,\alpha ;i,j)=-(\alpha ,\beta ;i,j)=(\alpha ,\beta ;j,i)~.}$

С точностью до антисимметрии он имеет только 9 = 3 × 3 неисчезающих компонента, которые, что примечательно, из унитарности V можно показать, что все они одинаковы по величине , то есть

${\displaystyle (\alpha ,\beta ;i,j)=J~{\begin{bmatrix}\;~~0&\;~~1&-1\\-1&\;~~0&\;~~1\\\;~~1&-1&\;~~0\end{bmatrix}}_{\alpha \beta }\otimes {\begin{bmatrix}\;~~0&\;~~1&-1\\-1&\;~~0&\;~~1\\\;~~1&-1&\;~~0\end{bmatrix}}_{ij}\;,}$

так что

${\displaystyle J=(u,c;s,b)=(u,c;d,s)=(u,c;b,d)=(c,t;s,b)=(c,t;d,s)=(c,t;b,d)=(t,u;s,b)=(t,u;b,d)=(t,u;d,s)~.}$

Поскольку три стороны треугольников, как и три угла, открыты для прямого эксперимента, класс тестов Стандартной модели заключается в проверке замыкания треугольника. Это цель современной серии экспериментов, проводимых в японской лаборатории BELLE и американской эксперименте BaBar , а также в LHCb в ЦЕРНе, Швейцария.

Параметризация

Для полного определения матрицы CKM необходимы четыре независимых параметра. Было предложено множество параметризаций, и ниже показаны три наиболее распространенных из них.

Параметры КМ

В исходной параметризации Кобаяши и Маскавы использовались три угла ( θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ ) и фазовый угол, нарушающий CP ( δ ). ^[5] θ ₁ — угол Кабиббо. Для краткости косинусы и синусы углов θk обозначаются ck и _sk , для k = 1, _{2 ,} 3 соответственно.        

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{1}&-s_{1}c_{3}&-s_{1}s_{3}\\s_{1}c_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}c_{2}s_{3}+s_{2}c_{3}e^{i\delta }\\s_{1}s_{2}&c_{1}s_{2}c_{3}+c_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{2}c_{3}e^{i\delta }\end{bmatrix}}.}$

«Стандартные» параметры

«Стандартная» параметризация матрицы CKM использует три угла Эйлера ( θ ₁₂ , θ ₂₃ , θ ₁₃ ) и одну фазу, нарушающую CP ( δ ₁₃ ). ^[8] θ ₁₂ — угол Кабиббо. Связи между поколениями кварков j и k исчезают, если θ _jk = 0 . Косинусы и синусы углов обозначаются c _jk и s _jk соответственно.    

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{13}&0&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\0&1&0\\-s_{13}e^{i\delta _{13}}&0&c_{13}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Значения стандартных параметров на 2008 год были следующими: ^[9]

θ ₁₂ =13,04° ± 0,05° , θ ₁₃ =0,201° ± 0,011° , θ ₂₃ =2,38° ± 0,06°

и

δ ₁₃ =1,20 ± 0,08  радиан =68,8° ± 4,5° .

Параметры Вольфенштейна

Третья параметризация матрицы CKM была введена Линкольном Вольфенштейном с четырьмя параметрами λ , A , ρ и η , которые все «исчезли бы» (были бы равны нулю), если бы не было связи. ^[10] Четыре параметра Wolfenstein обладают свойством, что все они имеют порядок 1 и относятся к «стандартной» параметризации:

Хотя параметризация Вольфенштейна матрицы CKM может быть настолько точной, насколько это необходимо, если перейти к высокому порядку, она в основном используется для создания удобных приближений к стандартной параметризации. Аппроксимация порядка λ ³ с точностью лучше 0,3% выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&\lambda &A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )\\-\lambda &1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&A\lambda ^{2}\\A\lambda ^{3}(1-\rho -i\eta )&-A\lambda ^{2}&1\end{bmatrix}}+O(\lambda ^{4})~.}$

Скорости нарушения CP соответствуют параметрам ρ и η .

Используя значения предыдущего раздела для матрицы CKM, по состоянию на 2008 год лучшим определением значений параметра Вольфенштейна является: ^[11]

λ =0,2257+0,0009
−0,0010,     А =0,814+0,021
−0,022, ρ =0,135+0,031
−0,016, и   η =0,349+0,015
−0,017.

Нобелевская премия

В 2008 году Кобаяши и Маскава разделили половину Нобелевской премии по физике «за открытие происхождения нарушенной симметрии, предсказывающей существование по крайней мере трёх семейств кварков в природе». ^[12] Сообщалось, что некоторые физики питали горькие чувства по поводу того факта, что Нобелевский комитет не наградил работу Кабиббо , чьи предыдущие работы были тесно связаны с работами Кобаяши и Маскавы. ^[13] На вопрос о реакции на приз Кабиббо предпочел воздержаться от комментариев. ^[14]

Смотрите также

• Формулировка Стандартной модели и нарушения CP
• Квантовая хромодинамика , аромат и сильная CP-проблема
• Угол Вайнберга , аналогичный угол для Z и смешивания фотонов.
• Матрица Понтекорво–Маки–Накагавы–Сакаты , эквивалентная матрица смешивания нейтрино.
• Формула Койде

Рекомендации

1. Кабиббо, Н. (1963). «Унитарная симметрия и лептонные распады». Письма о физических отзывах . 10 (12): 531–533. Бибкод : 1963PhRvL..10..531C. дои : 10.1103/PhysRevLett.10.531 .
2. Гелл-Манн, М .; Леви, М. (1960). «Осевой векторный ток при бета-распаде». Иль Нуово Чименто . 16 (4): 705–726. Бибкод : 1960NCim...16..705G. дои : 10.1007/BF02859738. S2CID  122945049.
3. Майани, Л. (2009). «Sul premio Nobel per la fisica 2008» [О Нобелевской премии по физике за 2008 год] (PDF) . Иль Нуово Саггиаторе . 25 (1–2): 78. Архивировано из оригинала (PDF) 22 июля 2011 года . Проверено 30 ноября 2010 г.
4. Хьюз, И.С. (1991). «Глава 11.1 – Смешивание кабиббо». Элементарные частицы (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета . стр. 242–243. ISBN 978-0-521-40402-0.
5. Кобаяши, М.; Маскава, Т. (1973). «CP-нарушение в перенормируемой теории слабого взаимодействия». Успехи теоретической физики . 49 (2): 652–657. Бибкод : 1973PThPh..49..652K. дои : 10.1143/PTP.49.652 . hdl : 2433/66179 .
6. RL Workman et al. (Группа данных о частицах) (август 2022 г.). «Обзор физики элементарных частиц (и обновление 2023 года)». Успехи теоретической и экспериментальной физики . 2022 (8): 083C01. дои : 10.1093/ptep/ptac097 . hdl : 20.500.11850/571164 . Проверено 12 сентября 2023 г.
7. Баэз, JC (4 апреля 2011 г.). «Нейтрино и загадочная матрица Понтекорво-Маки-Накагавы-Саката» . Проверено 13 февраля 2016 г. Фактически матрица Понтекорво–Маки–Накагавы–Сакаты действительно влияет на поведение всех лептонов, а не только нейтрино. Кроме того, аналогичный трюк работает и для кварков – но тогда матрица U называется матрицей Кабиббо–Кобаяши–Маскавы.
8. Чау, LL; Кеунг, В.-Ю. (1984). «Комментарии к параметризации матрицы Кобаяши-Маскавы». Письма о физических отзывах . 53 (19): 1802–1805. Бибкод : 1984PhRvL..53.1802C. doi : 10.1103/PhysRevLett.53.1802.
9. Значения, полученные на основе значений параметров Wolfenstein в Обзоре физики элементарных частиц 2008 года .
10. Вольфенштейн, Л. (1983). «Параметризация матрицы Кобаяши-Маскавы». Письма о физических отзывах . 51 (21): 1945–1947. Бибкод : 1983PhRvL..51.1945W. doi :10.1103/PhysRevLett.51.1945.
11. Амслер, К.; Дозер, М.; Антонелли, М.; Аснер, DM; Бабу, Канзас; Баер, Х.; и другие. (Группа данных о частицах) (2008). «Матрица смешивания кварков CKM» (PDF) . Буквы по физике Б. Обзор физики элементарных частиц. 667 (1): 1–1340. Бибкод : 2008PhLB..667....1A. doi :10.1016/j.physletb.2008.07.018. hdl : 1854/LU-685594 . S2CID  227119789.
12. «Нобелевская премия по физике 2008 г.» (пресс-релиз). Нобелевский фонд . 7 октября 2008 года . Проверено 24 ноября 2009 г.
13. Джеймисон, В. (7 октября 2008 г.). «Нобелевская премия по физике пренебрегает ключевым исследователем» . Новый учёный . Проверено 24 ноября 2009 г.
14. "Нобель, l'amarezza dei fisici Italiani" . Corriere della Sera (на итальянском языке). 7 октября 2008 года . Проверено 24 ноября 2009 г.

Дальнейшее чтение и внешние ссылки

• Диджей Гриффитс (2008). Введение в элементарные частицы (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-3-527-40601-2.

• Б. Повх; и другие. (1995). Частицы и ядра: введение в физические концепции . Спрингер . ISBN 978-3-540-20168-7.

• II Биги, А.И. Санда (2000). Нарушение КП . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-44349-4.

• «Группа данных о частицах: матрица смешивания кварков CKM» (PDF) .
• «Группа данных о частицах: нарушение CP при распаде мезонов» (PDF) .
• «Эксперимент Бабара».в SLAC , Калифорния, и «эксперимент BELLE».в КЕК , Япония.