Медианта (математика)

Дробь, полученная путем сложения числителя и знаменателя двух дробей.

В математике — медиана двух дробей , обычно состоящих из четырёх положительных целых чисел.

${\displaystyle {\frac {a}{c}}\quad }$и определяется как ${\displaystyle \quad {\frac {b}{d}}\quad }$ ${\displaystyle \quad {\frac {a+b}{c+d}}.}$

То есть числитель и знаменатель медианы являются суммами числителей и знаменателей данных дробей соответственно. Иногда это называют суммой новичка , так как это распространенная ошибка на ранних этапах изучения сложения дробей .

Технически это бинарная операция над допустимыми дробями (знаменатель ненулевой), рассматриваемыми как упорядоченные пары соответствующих целых чисел, априори игнорируя перспективу рациональных чисел как классов эквивалентности дробей. Например, медиана дробей 1/1 и 1/2 равна 2/3. Однако, если дробь 1/1 заменить дробью 2/2, которая является эквивалентной дробью, обозначающей то же рациональное число 1, медиана дробей 2/2 и 1/2 равна 3/4. Для более сильной связи с рациональными числами может потребоваться, чтобы дроби были сведены к наименьшим членам , тем самым выбрав уникальных представителей из соответствующих классов эквивалентности.

Дерево Штерна–Броко обеспечивает перечисление всех положительных рациональных чисел через медианы в наименьших членах, полученных исключительно путем итеративного вычисления медианы в соответствии с простым алгоритмом.

Характеристики

• Неравенство медианы: Важным свойством (также объясняющим ее название) медианы является то, что она лежит строго между двумя дробями, медианой которых она является: Если и , то Это свойство следует из двух соотношений и ${\displaystyle a/c<b/d}$ ${\displaystyle c\cdot d>0}$ $${\displaystyle {\frac {a}{c}}<{\frac {a+b}{c+d}}<{\frac {b}{d}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {a+b}{c+d}}-{\frac {a}{c}}={{bc-ad} \over {c(c+d)}}={d \over {c+d}}\left({\frac {b}{d}}-{\frac {a}{c}}\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {b}{d}}-{\frac {a+b}{c+d}}={{bc-ad} \over {d(c+d)}}={c \over {c+d}}\left({\frac {b}{d}}-{\frac {a}{c}}\right).}$$
• Теоремы о слагаемом и делимом: Если и , то ^[1] ${\displaystyle a/c=b/d}$ ${\displaystyle c\neq 0,\ d\neq 0}$ $${\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}={\frac {a+b}{c+d}}}$$

• Состав: ^[1]

$${\displaystyle {\frac {a+c}{c}}={\frac {b+d}{d}}}$$

• Дивиденды: ^[1]

$${\displaystyle {\frac {a-c}{c}}={\frac {b-d}{d}}}$$

• Предположим, что пара дробей a / c и b / d удовлетворяет определительному соотношению . Тогда медиана обладает тем свойством, что она является простейшей дробью в интервале ( a / c , b / d ), в том смысле, что является дробью с наименьшим знаменателем. Точнее, если дробь с положительным знаменателем c' лежит (строго) между a / c и b / d , то ее числитель и знаменатель можно записать как и с двумя положительными действительными (фактически рациональными) числами . Чтобы понять, почему должно быть положительным, отметим, что и должно быть положительным. Определительное отношение тогда подразумевает, что оба должны быть целыми числами, решая систему линейных уравнений для . Следовательно, ${\displaystyle bc-ad=1}$ ${\displaystyle a'/c'}$ ${\displaystyle a'=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}$ ${\displaystyle c'=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ $${\displaystyle {\frac {\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}{\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}}-{\frac {a}{c}}=\lambda _{2}{{bc-ad} \over {c(\lambda _{1}c+\lambda _{2}d)}}}$$ $${\displaystyle {\frac {b}{d}}-{\frac {\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}{\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}}=\lambda _{1}{{bc-ad} \over {d(\lambda _{1}c+\lambda _{2}d)}}}$$ $${\displaystyle bc-ad=1\,}$$ ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2}}$ $${\displaystyle a'=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}$$ $${\displaystyle c'=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}$$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$ ${\displaystyle c'\geq c+d.}$
• Обратное также верно: предположим, что пара сокращённых дробей a / c  <  b / d обладает тем свойством, что сокращённая дробь с наименьшим знаменателем, лежащим в интервале ( a / c ,  b / d ), равна медиане двух дробей. Тогда имеет место детерминантное соотношение bc − ad = 1. Этот факт можно вывести, например, с помощью теоремы Пика , которая выражает площадь плоского треугольника, вершины которого имеют целые координаты, через число v _interior точек решётки (строго) внутри треугольника и число v _border точек решётки на границе треугольника. Рассмотрим треугольник с тремя вершинами v ₁ = (0, 0), v ₂ = ( a ,  c ), v ₃ = ( b ,  d ). Его площадь равна Точка внутри треугольника может быть параметризована как где Формула Пика теперь подразумевает, что должна быть точка решетки q = ( q ₁ , q ₂ ), лежащая внутри треугольника, отличная от трех вершин, если bc − ad > 1 (тогда площадь треугольника равна ). Соответствующая дробь q ₁ / q ₂ лежит (строго) между заданными (по предположению сокращенными) дробями и имеет знаменатель как ${\displaystyle \Delta (v_{1},v_{2},v_{3})}$ $${\displaystyle {\text{area}}(\Delta )={{bc-ad} \over 2}\,.}$$ ${\displaystyle p=(p_{1},p_{2})}$ $${\displaystyle p_{1}=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b,\;p_{2}=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d,}$$ $${\displaystyle \lambda _{1}\geq 0,\,\lambda _{2}\geq 0,\,\lambda _{1}+\lambda _{2}\leq 1.}$$ $${\displaystyle {\text{area}}(\Delta )=v_{\mathrm {interior} }+{v_{\mathrm {boundary} } \over 2}-1}$$ ${\displaystyle \geq 1}$ $${\displaystyle q_{2}=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d\leq \max(c,d)<c+d}$$ $${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}\leq 1.}$$
• Соответственно, если p / q и r / s являются сокращенными дробями на единичном интервале такими, что | ps  −  rq | = 1 (так что они являются соседними элементами строки последовательности Фарея ), то где ? — функция вопросительного знака Минковского . $${\displaystyle ?\left({\frac {p+r}{q+s}}\right)={\frac {1}{2}}\left(?\left({\frac {p}{q}}\right)+{}?\left({\frac {r}{s}}\right)\right)}$$
  Фактически, медианты часто встречаются при изучении непрерывных дробей и, в частности, дробей Фарея . n- я последовательность Фарея F _n определяется как (упорядоченная по величине) последовательность сокращенных дробей a / b (с взаимно простыми числами a , b ) такая, что b  ≤  n . Если две дроби a / c  <  b / d являются смежными (соседними) дробями в сегменте F _{n ,} то указанное выше детерминантное соотношение , как правило, справедливо, и, следовательно, медиана является простейшей дробью в интервале ( a / c ,  b / d ), в том смысле, что она является дробью с наименьшим знаменателем. Таким образом, медиана затем (первой) появится в ( c  +  d )-й последовательности Фарея и является «следующей» дробью, которая вставляется в любую последовательность Фарея между a / c и b / d . Это дает правило, как последовательности Фарея F _n последовательно строятся с увеличением n . ${\displaystyle bc-ad=1}$

Графическое определение медиан

Определение медианы двух рациональных чисел графически. Наклоны синего и красного отрезков — два рациональных числа; наклон зеленого отрезка — их медиана.

Положительное рациональное число — это число в форме , где — положительные натуральные числа ; т. е . Множество положительных рациональных чисел , таким образом, является декартовым произведением самого себя; т. е . . Точка с координатами представляет рациональное число , а наклон отрезка, соединяющего начало координат с этой точкой, равен . Поскольку не обязаны быть взаимно простыми , точка представляет одно и только одно рациональное число, но рациональное число представляется более чем одной точкой; например, все являются представлениями рационального числа . Это небольшая модификация формального определения рациональных чисел, ограничивающая их положительными значениями и меняющая порядок членов в упорядоченной паре так, что наклон отрезка становится равным рациональному числу. ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}=(\mathbb {N} ^{+})^{2}}$ ${\displaystyle (b,a)}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle (b,a)}$ ${\displaystyle (4,2),(60,30),(48,24)}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle (b,a)}$

Две точки , где — два представления (возможно, эквивалентных) рациональных чисел и . Отрезки прямых, соединяющие начало координат с и , образуют две смежные стороны параллелограмма. Вершина параллелограмма, противоположная началу координат, — это точка , которая является медианой и . ${\displaystyle (b,a)\neq (d,c)}$ ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle c/d}$ ${\displaystyle (b,a)}$ ${\displaystyle (d,c)}$ ${\displaystyle (b+d,a+c)}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle c/d}$

Площадь параллелограмма равна , что также является величиной векторного произведения векторов и . Из формального определения эквивалентности рациональных чисел следует , что площадь равна нулю, если и эквивалентны. В этом случае один сегмент совпадает с другим, поскольку их наклоны равны. Площадь параллелограмма, образованного двумя последовательными рациональными числами в дереве Штерна–Броко, всегда равна 1. ^[2] ${\displaystyle bc-ad}$ ${\displaystyle \langle b,a\rangle }$ ${\displaystyle \langle d,c\rangle }$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle c/d}$

Обобщение

Понятие медианы можно обобщить на n дробей, и обобщенное неравенство медианы выполняется, ^[3] факт, который, кажется, был впервые замечен Коши. Точнее, взвешенная медиана n дробей определяется как (с ). Можно показать, что лежит где-то между наименьшей и наибольшей дробью среди . ${\displaystyle m_{w}}$ ${\displaystyle a_{1}/b_{1},\ldots ,a_{n}/b_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {\sum _{i}w_{i}a_{i}}{\sum _{i}w_{i}b_{i}}}}$ ${\displaystyle w_{i}>0}$ ${\displaystyle m_{w}}$ ${\displaystyle a_{i}/b_{i}}$

Смотрите также

• Медиант
• последовательность Фэри
• Дерево Штерн–Броко

Ссылки

1. Milburn, RM (1880). Математические формулы: для использования кандидатами, готовящимися к экзаменам в армию, на государственную службу, в университет и другим экзаменам. Longmans, Green & Company. С. 18–19.
2. Остин, Дэвид. Деревья, зубы и время: математика создания часов, тематическая колонка AMS
3. Бенсимхун, Майкл (2013). "Заметка о срединном неравенстве" (PDF) . Получено 25.12.2023 .

Внешние ссылки

• Медиантные дроби в cut-the-knot
• MATHPAGES, Кевин Браун: Обобщенная медианта