Относительная скорость

Скорость объекта или наблюдателя в системе покоя другого объекта или наблюдателя

Относительное движение человека в поезде

Относительная скорость , обозначаемая (также или ), представляет собой вектор скорости объекта или наблюдателя B в системе покоя другого объекта или наблюдателя A. Относительная скорость представляет собой векторную норму относительной скорости. ${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid A}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{BA}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{B\operatorname {rel} A}}$ ${\displaystyle v_{B\mid A}=\|\mathbf {v} _{B\mid A}\|}$

Классическая механика

В одном измерении (нерелятивистском)

Начнем с относительного движения в классическом (или нерелятивистском , или ньютоновском приближении ), что все скорости намного меньше скорости света. Этот предел связан с преобразованием Галилея . На рисунке изображен человек на крыше поезда, на заднем крае. В 13:00 он начинает идти вперед со скоростью ходьбы 10 км/ч (километров в час). Поезд движется со скоростью 40 км/ч. На рисунке изображены человек и поезд в два разных момента времени: сначала, когда началось путешествие, а также через час, в 14:00. На рисунке показано, что человек находится в 50 км от начальной точки, пройдя (пешком и на поезде) один час. Это, по определению, составляет 50 км/ч, что предполагает, что предписание для расчета относительной скорости таким образом — сложить две скорости.

На схеме изображены часы и линейки, чтобы напомнить читателю, что хотя логика этого расчета кажется безупречной, она делает ложные предположения о том, как ведут себя часы и линейки. (См. Мысленный эксперимент «Поезд и платформа» .) Чтобы признать, что эта классическая модель относительного движения нарушает специальную теорию относительности , обобщим пример в уравнение:

${\displaystyle \underbrace {\mathbf {v} _{M\mid E}} _{\text{50 km/h}}=\underbrace {\mathbf {v} _{M\mid T}} _{\text{10 km/h}}+\underbrace {\mathbf {v} _{T\mid E}} _{\text{40 km/h}},}$

где:

${\displaystyle \mathbf {v} _{M\mid E}}$- скорость М а н относительно Земли ,

${\displaystyle \mathbf {v} _{M\mid T}}$- скорость М относительно Поезда ,

${\displaystyle \mathbf {v} _{T\mid E}}$— скорость поезда относительно Земли .

Полностью законные выражения для «скорости A относительно B» включают «скорость A относительно B» и «скорость A в системе координат, где B всегда находится в состоянии покоя». Нарушение специальной теории относительности происходит, поскольку это уравнение для относительной скорости ложно предсказывает, что разные наблюдатели будут измерять разные скорости при наблюдении за движением света. ^{[примечание 1]}

В двух измерениях (нерелятивистских)

Относительные скорости между двумя частицами в классической механике

На рисунке показаны два объекта A и B, движущиеся с постоянной скоростью. Уравнения движения следующие:

${\displaystyle \mathbf {r} _{A}=\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {v} _{A}t,}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{B}=\mathbf {r} _{Bi}+\mathbf {v} _{B}t,}$

где индекс i относится к начальному смещению (в момент времени t, равный нулю). Разница между двумя векторами смещения, , представляет местоположение B, как видно из A. ${\displaystyle \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}=\underbrace {\mathbf {r} _{Bi}-\mathbf {r} _{Ai}} _{\text{initial separation}}+\underbrace {(\mathbf {v} _{B}-\mathbf {v} _{A})t} _{\text{relative velocity}}.}$

Следовательно:

${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid A}=\mathbf {v} _{B}-\mathbf {v} _{A}.}$

После подстановки и имеем: ${\displaystyle \mathbf {v} _{A|C}=\mathbf {v} _{A}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{B|C}=\mathbf {v} _{B}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid A}=\mathbf {v} _{B\mid C}-\mathbf {v} _{A\mid C}\Rightarrow }$   ${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid C}=\mathbf {v} _{B\mid A}+\mathbf {v} _{A\mid C}.}$

Преобразование Галилея (нерелятивистское)

Чтобы построить теорию относительного движения, согласующуюся с теорией специальной теории относительности, мы должны принять другую конвенцию. Продолжая работать в (нерелятивистском) ньютоновском пределе , мы начинаем с преобразования Галилея в одном измерении: ^{[примечание 2]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle t'=t}$

где x' — это положение, видимое системой отсчета, движущейся со скоростью v, в «нештрихованной» (x) системе отсчета. ^{[примечание 3]} Взяв дифференциал первого из двух уравнений выше, мы имеем, , и то, что может показаться очевидным ^{[примечание 4],} утверждение, что , мы имеем: ${\displaystyle dx'=dx-v\,dt}$ ${\displaystyle dt'=dt}$

${\displaystyle {\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx}{dt}}-v}$

Чтобы восстановить предыдущие выражения для относительной скорости, предположим, что частица A следует по траектории, определяемой dx/dt в нештрихованной системе отсчета (и, следовательно, dx ′/ dt ′ в штрихованной системе отсчета). Таким образом , и , где и относятся к движению A , как его видит наблюдатель в нештрихованной и штрихованной системе отсчета соответственно. Напомним, что v — это движение неподвижного объекта в штрихованной системе отсчета, как его видит нештрихованная система отсчета. Таким образом, имеем , и: ${\displaystyle dx/dt=v_{A\mid O}}$ ${\displaystyle dx'/dt=v_{A\mid O'}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O'}$ ${\displaystyle v=v_{O'\mid O}}$

${\displaystyle v_{A\mid O'}=v_{A\mid O}-v_{O'\mid O}\Rightarrow v_{A\mid O}=v_{A\mid O'}+v_{O'\mid O},}$

где последняя форма имеет желаемую (легко усваиваемую) симметрию.

Специальная теория относительности

Как и в классической механике, в специальной теории относительности относительная скорость — это скорость объекта или наблюдателя B в системе покоя другого объекта или наблюдателя A. Однако, в отличие от случая классической механики, в специальной теории относительности, как правило, не так, что ${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }=-\mathbf {v} _{\mathrm {A|B} }}$

Это своеобразное отсутствие симметрии связано с прецессией Томаса и тем фактом, что два последовательных преобразования Лоренца вращают систему координат. Это вращение не влияет на величину вектора, и, следовательно, относительная скорость симметрична.

${\displaystyle \|\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }\|=\|\mathbf {v} _{\mathrm {A|B} }\|=v_{\mathrm {B|A} }=v_{\mathrm {A|B} }}$

Параллельные скорости

В случае, когда два объекта движутся в параллельных направлениях, релятивистская формула для относительной скорости по форме аналогична формуле сложения релятивистских скоростей.

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }}{1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}$

Относительная скорость определяется по формуле:

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\left|\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\right|}{1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}$

Перпендикулярные скорости

В случае, когда два объекта движутся в перпендикулярных направлениях, релятивистская относительная скорость определяется по формуле: ${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{\gamma _{\mathrm {A} }}}-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }}$

где

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}}$

Относительная скорость определяется по формуле

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\sqrt {c^{4}-\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}}{c}}}$

Общий случай

Общая формула для относительной скорости объекта или наблюдателя B в системе покоя другого объекта или наблюдателя A задается формулой: ^[1] ${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {1}{\gamma _{\mathrm {A} }\left(1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}\right)}}\left[\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }+\mathbf {v} _{\mathrm {A} }(\gamma _{\mathrm {A} }-1)\left({\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{v_{\mathrm {A} }^{2}}}-1\right)\right]}$

где

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}}$

Относительная скорость определяется по формуле

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\sqrt {1-{\frac {\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}{\left(c^{2}-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {B} }\right)^{2}}}}}\cdot c}$

Смотрите также

• эффект Доплера
• Неевклидова геометрия § Кинематическая геометрия
• Необычная скорость
• Правильное движение
• Диапазон скорости
• Радиальная скорость
• Быстрота
• Релятивистская скорость
• Космическая скорость (астрономия)

Примечания

1. Например, замените «Человека» на фотон, движущийся со скоростью света.
2. Этот результат верен, если все движение ограничено осью x, но его можно легко обобщить, заменив первое уравнение на ${\displaystyle \mathbf {r} \,'=\mathbf {r} -\mathbf {v} t}$
3. Легко запутаться в знаке минус перед v или в том, определена ли v в штрихованной или нештрихованной системе отсчета. Может быть, будет полезно визуализировать тот факт, что если x  =  vt , то x ′ = 0, что означает, что частица, которая следует по пути x  =  vt, находится в покое в штрихованной системе отсчета.
4. Имейте в виду, что из-за замедления времени dt  =  dt ′ справедливо только в приближении, когда скорость намного меньше скорости света.

Ссылки

1. Фок 1964 Теория пространства-времени и гравитации, получено с https://archive.org/details/TheTheoryOfSpaceTimeGravitation

Дальнейшее чтение

• Алонсо и Финн, Фундаментальная университетская физика ISBN  0-201-56518-8
• Гринвуд, Дональд Т., Принципы динамики.
• Гудман и Уорнер, Динамика.
• Бир и Джонстон, Статика и динамика.
• Словарь физики и математики Макгроу-Хилла.
• Риндлер, В., Основы теории относительности.
• ХУРМИ РС, Механика, Инженерная механика, Статика, Динамика

Внешние ссылки

• Относительное движение в HyperPhysics
• Апплет Java, иллюстрирующий относительную скорость, Эндрю Даффи
• Relatív mozgás (1)...(3) Относительное движение двух поездов (1)...(3). Видео на портале ФизКапу. (на венгерском языке)
• Sebességek összegzése Относительное спокойствие форели в ручье. Видео на портале ФизКапу. (на венгерском языке)