мера Хаусдорфа

Фрактальное измерение

В математике мера Хаусдорфа является обобщением традиционных понятий площади и объема на нецелые измерения, в частности фракталы и их размерности Хаусдорфа . Это тип внешней меры , названный в честь Феликса Хаусдорфа , который присваивает число в [0,∞] каждому множеству в или, в более общем смысле, в любом метрическом пространстве . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Нульмерная мера Хаусдорфа — это число точек в наборе (если набор конечен) или ∞, если набор бесконечен. Аналогично, одномерная мера Хаусдорфа простой кривой в равна длине кривой, а двумерная мера Хаусдорфа измеримого по Лебегу подмножества пропорциональна площади набора. Таким образом, понятие меры Хаусдорфа обобщает меру Лебега и ее понятия подсчета, длины и площади. Оно также обобщает объем. Фактически, существуют d -мерные меры Хаусдорфа для любого d  ≥ 0, которое не обязательно является целым числом. Эти меры являются фундаментальными в геометрической теории меры . Они естественным образом появляются в гармоническом анализе или теории потенциала . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Определение

Пусть будет метрическим пространством . Для любого подмножества пусть обозначает его диаметр, то есть ${\displaystyle (X,\rho )}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle \operatorname {diam} U}$

${\displaystyle \operatorname {diam} U:=\sup\{\rho (x,y):x,y\in U\},\quad \operatorname {diam} \emptyset :=0.}$

Пусть будет любым подмножеством и действительным числом. Определим ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\},}$

где инфимум берется по всем счетным покрытиям множеств, удовлетворяющих . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U_{i}\subset X}$ ${\displaystyle \operatorname {diam} U_{i}<\delta }$

Обратите внимание, что является монотонно невозрастающим по , поскольку чем больше , тем больше наборов множеств разрешено, делая инфимум не больше. Таким образом, существует, но может быть бесконечным. Пусть ${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)}$

${\displaystyle H^{d}(S):=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S).}$

Видно, что является внешней мерой (точнее, это метрическая внешняя мера ). По теореме Каратеодори о расширении ее ограничение на σ-поле множеств, измеримых по Каратеодори, является мерой. Она называется -мерной мерой Хаусдорфа для . Благодаря свойству метрической внешней меры все борелевские подмножества измеримы . ${\displaystyle H^{d}(S)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{d}}$

В приведенном выше определении множества в покрытии произвольны. Однако мы можем потребовать, чтобы покрывающие множества были открытыми или закрытыми, или в нормированных пространствах даже выпуклыми, что даст те же числа, следовательно, ту же меру. При ограничении покрывающих множеств шарами могут измениться меры, но не изменится размерность измеряемых множеств. ${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Свойства мер Хаусдорфа

Обратите внимание, что если d — положительное целое число, то d -мерная мера Хаусдорфа является масштабированием обычной d -мерной меры Лебега , которая нормализована так, что мера Лебега единичного куба [0,1] ^d равна 1. Фактически, для любого борелевского множества E , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \lambda _{d}}$

${\displaystyle \lambda _{d}(E)=2^{-d}\alpha _{d}H^{d}(E),}$

где α _d — объем единичного d -шара ; его можно выразить с помощью гамма-функции Эйлера

${\displaystyle \alpha _{d}={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)^{d}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}+1\right)}}={\frac {\pi ^{d/2}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}+1\right)}}.}$

Это

${\displaystyle \lambda _{d}(E)=\beta _{d}H^{d}(E)}$,

где - объем единичного диаметра d -шара. ${\displaystyle \beta _{d}}$

Замечание . Некоторые авторы принимают определение меры Хаусдорфа, несколько отличающееся от выбранного здесь, разница состоит в том, что определенное выше значение умножается на множитель , так что d -мерная мера Хаусдорфа в точности совпадает с мерой Лебега в случае евклидова пространства. ${\displaystyle H^{d}(E)}$ ${\displaystyle \beta _{d}=2^{-d}\alpha _{d}}$

Связь с размерностью Хаусдорфа

Оказывается, что может иметь конечное, ненулевое значение для максимум одного . То есть, мера Хаусдорфа равна нулю для любого значения выше определенного измерения и бесконечности ниже определенного измерения, аналогично идее о том, что площадь линии равна нулю, а длина двумерной фигуры в некотором смысле бесконечна. Это приводит к одному из нескольких возможных эквивалентных определений размерности Хаусдорфа: ${\displaystyle H^{d}(S)}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \dim _{\mathrm {Haus} }(S)=\inf\{d\geq 0:H^{d}(S)=0\}=\sup\{d\geq 0:H^{d}(S)=\infty \},}$

где мы берем и . ${\displaystyle \inf \emptyset =+\infty }$ ${\displaystyle \sup \emptyset =0}$

Обратите внимание, что не гарантируется, что мера Хаусдорфа должна быть конечной и ненулевой для некоторого d , и, действительно, мера в измерении Хаусдорфа может по-прежнему быть нулевой; в этом случае измерение Хаусдорфа по-прежнему действует как точка перехода между мерами нуля и бесконечности.

Обобщения

В геометрической теории меры и смежных областях содержание Минковского часто используется для измерения размера подмножества метрического мерного пространства. Для подходящих областей в евклидовом пространстве два понятия размера совпадают с точностью до общих нормировок в зависимости от соглашений. Точнее, подмножество из называется -спрямляемым , если оно является образом ограниченного множества в при функции Липшица . Если , то -мерное содержание Минковского замкнутого -спрямляемого подмножества из равно -мерной мере Хаусдорфа, умноженной на -мерную меру (Федерер 1969, Теорема 3.2.29). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 2^{-m}\alpha _{m}}$ ${\displaystyle m}$

В фрактальной геометрии некоторые фракталы с размерностью Хаусдорфа имеют нулевую или бесконечномерную меру Хаусдорфа. Например, почти наверняка изображение плоского броуновского движения имеет размерность Хаусдорфа 2, а его двумерная мера Хаусдорфа равна нулю. Чтобы «измерить» «размер» таких множеств, можно рассмотреть следующую вариацию понятия меры Хаусдорфа: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

В определении мера заменяется на , где - любая монотонно возрастающая функция множества, удовлетворяющая ${\displaystyle (\operatorname {diam} U_{i})^{d}}$ ${\displaystyle \phi (U_{i}),}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (\emptyset )=0.}$

Это мера Хаусдорфа с калибровочной функцией или -мера Хаусдорфа. -мерный набор может удовлетворять , но с соответствующим Примеры калибровочных функций включают ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \phi ,}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H^{d}(S)=0,}$ ${\displaystyle H^{\phi }(S)\in (0,\infty )}$ ${\displaystyle \phi .}$

${\displaystyle \phi (t)=t^{2}\log \log {\frac {1}{t}}\quad {\text{or}}\quad \phi (t)=t^{2}\log {\frac {1}{t}}\log \log \log {\frac {1}{t}}.}$

Первое дает почти наверняка положительную и конечную меру броуновского пути в , а второе — в . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle n=2}$

Смотрите также

• Размерность Хаусдорфа
• Геометрическая теория меры
• Теория меры
• Внешняя мера

Ссылки

• Эванс, Лоуренс К.; Гариепи, Рональд Ф. (1992), Теория меры и тонкие свойства функций , CRC Press.
• Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры , Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4.
• Хаусдорф, Феликс (1918), «Dimension und äusseres Mass» (PDF) , Mathematische Annalen , 79 (1–2): 157–179, doi : 10.1007/BF01457179, S2CID  122001234.
• Морган, Фрэнк (1988), Геометрическая теория меры , Academic Press.
• Роджерс, Калифорния (1998), Меры Хаусдорфа , Кембриджская математическая библиотека (3-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-62491-6
• Шпильрайн, Э. (1937), «La Dimension et la Mesure» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 28 : 81–89, doi : 10.4064/fm-28-1-81-89.

Внешние ссылки

• Размерность Хаусдорфа в Encyclopedia of Mathematics
• Мера Хаусдорфа в Encyclopedia of Mathematics