Последовательная мера риска

В области актуарной науки и финансовой экономики существует ряд способов определения риска; для прояснения концепции теоретики описали ряд свойств, которыми может обладать или не обладать мера риска . Когерентная мера риска — это функция, которая удовлетворяет свойствам монотонности , субаддитивности , однородности и трансляционной инвариантности .

Характеристики

Рассмотрим случайный результат, рассматриваемый как элемент линейного пространства измеримых функций, определенных на соответствующем вероятностном пространстве. Функционал → называется когерентной мерой риска, если он удовлетворяет следующим свойствам: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \varrho :{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Нормализованный

${\displaystyle \varrho (0)=0}$

То есть риск при отсутствии активов равен нулю.

Монотонность

${\displaystyle \mathrm {If} \;Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}}\;\mathrm {and} \;Z_{1}\leq Z_{2}\;\mathrm {a.s.} ,\;\mathrm {then} \;\varrho (Z_{1})\geq \varrho (Z_{2})}$

То есть, если портфель всегда имеет лучшие значения, чем портфель почти при всех сценариях, то риск должен быть меньше риска . ^[2] Например, если это опцион колл в деньгах (или иным образом) на акцию, и это также опцион колл в деньгах с более низкой ценой исполнения. В управлении финансовыми рисками монотонность подразумевает, что портфель с большей будущей доходностью имеет меньший риск. ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$

Субаддитивность

${\displaystyle \mathrm {If} \;Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}},\;\mathrm {then} \;\varrho (Z_{1}+Z_{2})\leq \varrho (Z_{1})+\varrho (Z_{2})}$

Действительно, риск двух портфелей вместе не может быть хуже, чем сложение двух рисков по отдельности: это принцип диверсификации . В управлении финансовыми рисками субаддитивность подразумевает, что диверсификация выгодна. Принцип субаддитивности иногда также рассматривается как проблематичный. ^{[3] [4]}

Положительная однородность

${\displaystyle \mathrm {If} \;\alpha \geq 0\;\mathrm {and} \;Z\in {\mathcal {L}},\;\mathrm {then} \;\varrho (\alpha Z)=\alpha \varrho (Z)}$

Грубо говоря, если вы удваиваете свой портфель, то вы удваиваете свой риск. В управлении финансовыми рисками положительная однородность подразумевает, что риск позиции пропорционален ее размеру.

Инвариантность перевода

Если это детерминированный портфель с гарантированной доходностью , то ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Z\in {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \varrho (Z+A)=\varrho (Z)-a}$

Портфель просто добавляет наличные к вашему портфелю . В частности, если тогда . В управлении финансовыми рисками инвариантность трансляции подразумевает, что добавление определенного количества капитала снижает риск на ту же сумму. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle a=\varrho (Z)}$ ${\displaystyle \varrho (Z+A)=0}$

Выпуклые меры риска

Понятие когерентности впоследствии было ослаблено. Действительно, понятия субаддитивности и положительной однородности могут быть заменены понятием выпуклости : ^[5]

Выпуклость

${\displaystyle {\text{If }}Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}}{\text{ and }}\lambda \in [0,1]{\text{ then }}\varrho (\lambda Z_{1}+(1-\lambda )Z_{2})\leq \lambda \varrho (Z_{1})+(1-\lambda )\varrho (Z_{2})}$

Примеры измерения риска

Риск стоимости

Хорошо известно, что стоимость под риском не является последовательной мерой риска, поскольку она не учитывает свойство субаддитивности. Непосредственным следствием этого является то, что стоимость под риском может препятствовать диверсификации. ^{[1] Однако} стоимость под риском является последовательной при предположении об эллиптически распределенных убытках (например, нормально распределенных ), когда стоимость портфеля является линейной функцией цен активов. Однако в этом случае стоимость под риском становится эквивалентной подходу средней дисперсии, где риск портфеля измеряется дисперсией доходности портфеля.

Функция преобразования Вана (функция искажения) для значения риска равна . Невогнутость доказывает несогласованность этой меры риска. ${\displaystyle g(x)=\mathbf {1} _{x\geq 1-\alpha }}$ ${\displaystyle g}$

Иллюстрация

В качестве простого примера, демонстрирующего несогласованность стоимости под риском, рассмотрим VaR портфеля с вероятностью 95% на следующий год, состоящего из двух бескупонных облигаций с возможностью дефолта, срок погашения которых наступает через 1 год, номинированных в нашей валюте-расчете.

Предположим следующее:

• Текущая доходность двух облигаций составляет 0%.
• Две облигации принадлежат разным эмитентам.
• Вероятность дефолта по каждой облигации в течение следующего года составляет 4%.
• Событие дефолта по одной из облигаций не зависит от другой
• В случае дефолта облигации имеют ставку возврата 30%

При этих условиях 95% VaR для удержания любой из облигаций равен 0, поскольку вероятность дефолта составляет менее 5%. Однако, если бы мы держали портфель, состоящий из 50% каждой облигации по стоимости, то 95% VaR составил бы 35% (= 0,5*0,7 + 0,5*0), поскольку вероятность дефолта хотя бы одной из облигаций составляет 7,84% (= 1 - 0,96*0,96), что превышает 5%. Это нарушает свойство субаддитивности, показывающее, что VaR не является последовательной мерой риска.

Среднее значение риска

Среднее значение риска (иногда называемое ожидаемым дефицитом или условным значением риска или ) является последовательной мерой риска, хотя оно выводится из значения риска, которое таковым не является. Область может быть расширена для более общих сердец Орлица из более типичных пространств Lp . ^[6] ${\displaystyle AVaR}$

Энтропийная ценность под угрозой

Энтропийное значение риска является последовательной мерой риска. ^[7]

Значение хвоста под риском

Значение риска хвоста (или условное ожидание хвоста) является последовательной мерой риска только в том случае, если базовое распределение является непрерывным .

Функция преобразования Вана (функция искажения) для хвостового значения риска равна . Вогнутость доказывает согласованность этой меры риска в случае непрерывного распределения. ${\displaystyle g(x)=\min({\frac {x}{\alpha }},1)}$ ${\displaystyle g}$

Мера риска пропорциональной опасности (PH)

Мера риска PH (или мера пропорционального риска опасности) преобразует показатели опасности с использованием коэффициента . ${\displaystyle \scriptstyle \left(\lambda (t)={\frac {f(t)}{{\bar {F}}(t)}}\right)}$ ${\displaystyle \xi }$

Функция преобразования Вана (функция искажения) для меры риска PH равна . Вогнутость , если доказывает согласованность этой меры риска. ${\displaystyle g_{\alpha }(x)=x^{\xi }}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \scriptstyle \xi <{\frac {1}{2}}}$

Пример функции преобразования Вана или функции искажения

g-Энтропийные меры риска

g-энтропийные меры риска представляют собой класс информационно-теоретических когерентных мер риска, которые включают некоторые важные случаи, такие как CVaR и EVaR. ^[7]

Мера риска Вана

Мера риска Вана определяется следующей функцией преобразования Вана (функцией искажения) . Согласованность этой меры риска является следствием вогнутости . ${\displaystyle g_{\alpha }(x)=\Phi \left[\Phi ^{-1}(x)-\Phi ^{-1}(\alpha )\right]}$ ${\displaystyle g}$

Мера энтропийного риска

Энтропийная мера риска — это выпуклая мера риска, которая не является когерентной. Она связана с экспоненциальной полезностью .

Суперхеджирование цены

Цена суперхеджирования является последовательной мерой риска.

Установленное значение

В ситуации с портфелями со стоимостью, такими, что риск может быть измерен в активах, набор портфелей является правильным способом описания риска. Меры риска со стоимостью набора полезны для рынков с транзакционными издержками . ^[8] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle n\leq d}$

Характеристики

Когерентная мера риска со множеством значений представляет собой функцию , где и где — постоянный конус платежеспособности , а — множество портфелей базовых активов. должна обладать следующими свойствами: ^[9] ${\displaystyle R:L_{d}^{p}\rightarrow \mathbb {F} _{M}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{M}=\{D\subseteq M:D=cl(D+K_{M})\}}$ ${\displaystyle K_{M}=K\cap M}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle R}$

Нормализованный

${\displaystyle K_{M}\subseteq R(0)\;\mathrm {and} \;R(0)\cap -\mathrm {int} K_{M}=\emptyset }$

Переводной на М

${\displaystyle \forall X\in L_{d}^{p},\forall u\in M:R(X+u1)=R(X)-u}$

Монотонный

${\displaystyle \forall X_{2}-X_{1}\in L_{d}^{p}(K)\Rightarrow R(X_{2})\supseteq R(X_{1})}$

Сублинейный

Общая структура преобразования Вана

Преобразование Ванга кумулятивной функции распределения

Преобразование Ванга кумулятивной функции распределения представляет собой возрастающую функцию, где и . ^[10] Эта функция называется функцией искажения или функцией преобразования Ванга. ${\displaystyle g\colon [0,1]\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle g(0)=0}$ ${\displaystyle g(1)=1}$

Двойственная функция искажения равна . ^{[11] [12]} Если задано вероятностное пространство , то для любой случайной величины и любой функции искажения мы можем определить новую вероятностную меру так, что для любого следует, что ^[11] ${\displaystyle {\tilde {g}}(x)=1-g(1-x)}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (A)=g(\mathbb {P} (X\in A)).}$

Принцип актуарной премии

Для любой возрастающей вогнутой функции преобразования Вана мы могли бы определить соответствующий принцип премии: ^[10] ${\displaystyle \varrho (X)=\int _{0}^{+\infty }g\left({\bar {F}}_{X}(x)\right)dx}$

Последовательная мера риска

Когерентная мера риска может быть определена преобразованием Вана кумулятивной функции распределения тогда и только тогда, когда она вогнута. ^[10] ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

Выпуклая мера риска с заданным значением

Если вместо сублинейного свойства R является выпуклым, то R является выпуклой мерой риска с множеством значений.

Двойное представительство

Нижняя полунепрерывная выпуклая мера риска может быть представлена ​​как ${\displaystyle \varrho }$

${\displaystyle \varrho (X)=\sup _{Q\in {\mathcal {M}}(P)}\{E^{Q}[-X]-\alpha (Q)\}}$

такой, что является штрафной функцией и является набором вероятностных мер, абсолютно непрерывных относительно P ( вероятностная мера «реального мира» ), т.е. Двойственная характеристика связана с пространствами , сердцами Орлица и их двойственными пространствами. ^[6] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(P)=\{Q\ll P\}}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Нижняя полунепрерывная мера риска является последовательной тогда и только тогда, когда ее можно представить как

${\displaystyle \varrho (X)=\sup _{Q\in {\mathcal {Q}}}E^{Q}[-X]}$

такой что . ^[13] ${\displaystyle {\mathcal {Q}}\subseteq {\mathcal {M}}(P)}$

Смотрите также

• Метрика риска — абстрактная концепция, которую количественно определяет мера риска.
• RiskMetrics — модель управления рисками
• Спектральная мера риска — подмножество последовательных мер риска
• Мера риска искажения
• Условная стоимость под риском
• Энтропийная ценность под угрозой
• Финансовый риск

Ссылки

1. Artzner, P.; Delbaen, F.; Eber, JM; Heath, D. (1999). "Согласованные меры риска". Mathematical Finance . 9 (3): 203. doi :10.1111/1467-9965.00068. S2CID  6770585.
2. Уилмотт, П. (2006). «Количественные финансы». 1 (2-е изд.). Wiley: 342. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
3. Dhaene, J.; Laeven, RJ; Vanduffel, S.; Darkiewicz, G.; Goovaerts, MJ (2008). «Может ли последовательная мера риска быть слишком субаддитивной?». Журнал риска и страхования . 75 (2): 365–386. doi :10.1111/j.1539-6975.2008.00264.x. S2CID  10055021.
4. Рау-Бредов, Х. (2019). «Больше не всегда безопаснее: критический анализ предположения о субаддитивности для когерентных мер риска». Риски . 7 (3): 91. doi : 10.3390/risks7030091 . hdl : 10419/257929 .
5. Фёлльмер, Х.; Шид, А. (2002). «Выпуклые меры риска и торговых ограничений». Финансы и стохастика . 6 (4): 429–447. doi :10.1007/s007800200072. hdl : 10419/62741 . S2CID  1729029.
6. Patrick Cheridito; Tianhui Li (2008). «Двойная характеристика свойств мер риска на сердцах Орлича». Математика и финансовая экономика . 2 : 2–29. doi :10.1007/s11579-008-0013-7. S2CID  121880657.
7. Ahmadi-Javid, Amir (2012). «Энтропическая стоимость под риском: новая последовательная мера риска». Журнал теории оптимизации и приложений . 155 (3): 1105–1123. doi :10.1007/s10957-011-9968-2. S2CID  46150553.
8. Жуини, Элиес; Меддеб, Монсеф; Тузи, Низар (2004). «Векторно-значные когерентные меры риска». Финансы и стохастика . 8 (4): 531–552. CiteSeerX 10.1.1.721.6338 . doi :10.1007/s00780-004-0127-6. 
9. Хамель, AH; Хейде, F. (2010). «Двойственность для многозначных мер риска». Журнал SIAM по финансовой математике . 1 (1): 66–95. CiteSeerX 10.1.1.514.8477 . doi :10.1137/080743494. 
10. Wang, Shaun (1996). «Расчет премии путем преобразования плотности премии слоя». ASTIN Bulletin . 26 (1): 71–92. doi : 10.2143/ast.26.1.563234 .
11. Balbás, A.; Garrido, J.; Mayoral, S. (2008). "Свойства мер риска искажения". Методология и вычисления в прикладной теории вероятностей . 11 (3): 385. doi :10.1007/s11009-008-9089-z. hdl : 10016/14071 . S2CID  53327887.
12. Джулия Л. Вирч; Мэри Р. Харди. «Измерения риска искажения: когерентность и стохастическое доминирование» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 5 июля 2016 г. . Получено 10 марта 2012 г. .
13. Фёлльмер, Ганс; Шид, Александр (2004). Стохастические финансы: введение в дискретное время (2-е изд.). Вальтер де Грютер. ISBN 978-3-11-018346-7.