Метод конечных элементов

Численный метод решения физических и инженерных задач

Визуализация деформации автомобиля при асимметричном столкновении с использованием конечно-элементного анализа

Метод конечных элементов ( МКЭ ) является популярным методом численного решения дифференциальных уравнений, возникающих в инженерном и математическом моделировании . Типичные проблемные области интереса включают традиционные области структурного анализа , теплопередачи , течения жидкости , массопереноса и электромагнитного потенциала .

МКЭ — это общий численный метод решения уравнений в частных производных с двумя или тремя пространственными переменными (т. е. некоторых краевых задач ). Чтобы решить задачу, МКЭ подразделяет большую систему на более мелкие, более простые части, называемые конечными элементами . Это достигается с помощью определенной дискретизации пространства в пространственных измерениях, которая реализуется путем построения сетки объекта : числовой области для решения, которая имеет конечное число точек. Формулировка краевой задачи методом конечных элементов в конечном итоге приводит к системе алгебраических уравнений . Метод аппроксимирует неизвестную функцию по области. ^[1] Простые уравнения, которые моделируют эти конечные элементы, затем собираются в более крупную систему уравнений, которая моделирует всю задачу. Затем МКЭ аппроксимирует решение путем минимизации связанной функции ошибки с помощью вариационного исчисления .

Изучение или анализ явления с помощью МКЭ часто называют анализом методом конечных элементов ( КЭ ).

Основные понятия

Разделение целой области на более простые части имеет ряд преимуществ: ^[2]

• Точное представление сложной геометрии
• Включение разнородных свойств материалов
• Простое представление общего решения
• Улавливание локальных эффектов.

Типичная работа метода включает в себя:

1. разделение области задачи на совокупность подобластей, где каждая подобласть представлена ​​набором элементарных уравнений исходной задачи
2. систематическое объединение всех наборов уравнений элементов в глобальную систему уравнений для окончательного расчета.

Глобальная система уравнений имеет известные методы решения и может быть рассчитана на основе начальных значений исходной задачи для получения численного ответа.

На первом этапе выше уравнения элементов являются простыми уравнениями, которые локально аппроксимируют исходные сложные уравнения, которые необходимо изучить, где исходные уравнения часто являются уравнениями в частных производных (PDE). Чтобы объяснить аппроксимацию в этом процессе, метод конечных элементов обычно вводится как частный случай метода Галеркина . Процесс, на математическом языке, заключается в построении интеграла внутреннего произведения остаточной и весовой функций и установке интеграла в ноль. Проще говоря, это процедура, которая минимизирует ошибку аппроксимации путем подгонки пробных функций к PDE. Остаточная ошибка вызвана пробными функциями, а весовые функции являются функциями полиномиальной аппроксимации, которые проецируют остаток. Процесс исключает все пространственные производные из PDE, таким образом аппроксимируя PDE локально с помощью

• набор алгебраических уравнений для задач стационарного состояния ,
• набор обыкновенных дифференциальных уравнений для переходных задач.

Эти системы уравнений являются уравнениями элементов. Они линейны, если лежащее в их основе уравнение в частных производных линейно, и наоборот. Системы алгебраических уравнений, возникающие в задачах стационарного состояния, решаются с использованием методов численной линейной алгебры . Напротив, системы обыкновенных дифференциальных уравнений , возникающие в задачах переходного состояния, решаются путем численного интегрирования с использованием стандартных методов, таких как метод Эйлера или метод Рунге-Кутты .

На шаге (2) выше глобальная система уравнений генерируется из уравнений элементов путем преобразования координат из локальных узлов поддоменов в глобальные узлы домена. Это пространственное преобразование включает соответствующие корректировки ориентации , применяемые по отношению к опорной системе координат . Процесс часто выполняется программным обеспечением FEM с использованием данных координат , сгенерированных из поддоменов.

Практическое применение FEM известно как конечно-элементный анализ (FEA). FEA, применяемый в инженерии , является вычислительным инструментом для выполнения инженерного анализа . Он включает в себя использование методов генерации сетки для разделения сложной задачи на малые элементы, а также использование программного обеспечения, закодированного с помощью алгоритма FEM. При применении FEA сложная проблема обычно представляет собой физическую систему с базовой физикой, такой как уравнение Эйлера-Бернулли для балки , уравнение теплопроводности или уравнения Навье-Стокса, выраженные либо в уравнениях с частными производными, либо в интегральных уравнениях , в то время как разделенные малые элементы сложной задачи представляют различные области в физической системе.

FEA может использоваться для анализа проблем в сложных доменах (например, автомобили и нефтепроводы), когда домен изменяется (как во время твердотельной реакции с движущейся границей), когда желаемая точность варьируется по всему домену или когда решение не имеет гладкости. Моделирование FEA предоставляет ценный ресурс, поскольку оно устраняет множественные случаи создания и тестирования сложных прототипов для различных ситуаций с высокой точностью. ^{[ необходима цитата ]} Например, при моделировании лобового столкновения можно повысить точность прогнозирования в «важных» областях, таких как передняя часть автомобиля, и снизить ее в его задней части (тем самым снижая стоимость моделирования). Другим примером может служить численное прогнозирование погоды , где важнее иметь точные прогнозы относительно развивающихся высоконелинейных явлений (таких как тропические циклоны в атмосфере или водовороты в океане), а не относительно спокойных областей.

Ясное, подробное и практическое представление этого подхода можно найти в учебнике «Метод конечных элементов для инженеров» . ^[3]

История

Хотя трудно назвать дату изобретения метода конечных элементов, метод возник из необходимости решения сложных задач упругости и структурного анализа в гражданском и авиационном машиностроении . ^[4] Его развитие можно проследить до работ Александра Хренникова ^[5] и Ричарда Куранта ^[6] в начале 1940-х годов. Другим пионером был Иоаннис Аргирис . В СССР введение практического применения метода обычно связывают с именем Леонарда Оганесяна. ^[7] Он также был независимо переоткрыт в Китае Фэн Каном в конце 1950-х и начале 1960-х годов на основе расчетов конструкций плотин, где он был назван методом конечных разностей, основанным на принципе вариации . Хотя подходы, используемые этими пионерами, различны, они имеют одну общую существенную характеристику: сеточную дискретизацию непрерывной области в набор дискретных подобластей, обычно называемых элементами.

Работа Хренникоффа дискретизирует область, используя решеточную аналогию, в то время как подход Куранта делит область на конечные треугольные подобласти для решения эллиптических уравнений в частных производных второго порядка , которые возникают из задачи кручения цилиндра . Вклад Куранта был эволюционным, опираясь на большой объем более ранних результатов для уравнений в частных производных , разработанных лордом Рэлеем , Вальтером Ритцем и Борисом Галеркиным .

Метод конечных элементов получил свой настоящий импульс в 1960-х и 1970-х годах благодаря разработкам JH Argyris с коллегами из Университета Штутгарта , RW Clough с коллегами из Калифорнийского университета в Беркли , OC Zienkiewicz с коллегами Ernest Hinton , Bruce Irons ^[8] и другими из Университета Суонси , Philippe G. Ciarlet из Университета Париж-6 и Richard Gallagher с коллегами из Корнельского университета . Дальнейший импульс был дан в эти годы доступными программами конечных элементов с открытым исходным кодом. NASA спонсировало оригинальную версию NASTRAN . Калифорнийский университет в Беркли сделал программы конечных элементов SAP IV ^[9] и позже OpenSees широко доступными. В Норвегии судоклассификационное общество Det Norske Veritas (теперь DNV GL ) разработало Sesam в 1969 году для использования при анализе судов. ^[10] Строгая математическая основа метода конечных элементов была предоставлена ​​в 1973 году в публикации Гилберта Стрэнга и Джорджа Фикса . ^[11] С тех пор метод был обобщен для численного моделирования физических систем в самых разных инженерных дисциплинах, например, электромагнетизме , теплопередаче и гидродинамике . ^{[12] [13]}

Техническое обсуждение

Структура методов конечных элементов

Метод конечных элементов характеризуется вариационной формулировкой , стратегией дискретизации, одним или несколькими алгоритмами решения и процедурами постобработки.

Примерами вариационной формулировки являются метод Галеркина , разрывный метод Галеркина, смешанные методы и т. д.

Под стратегией дискретизации понимается четко определенный набор процедур, которые охватывают (a) создание сеток конечных элементов, (b) определение базисной функции на опорных элементах (также называемых функциями формы) и (c) отображение опорных элементов на элементы сетки. Примерами стратегий дискретизации являются h-версия, p-версия , hp-версия , x-FEM , изогеометрический анализ и т. д. Каждая стратегия дискретизации имеет определенные преимущества и недостатки. Разумным критерием при выборе стратегии дискретизации является реализация почти оптимальной производительности для самого широкого набора математических моделей в определенном классе моделей.

Различные численные алгоритмы решения можно разделить на две большие категории: прямые и итеративные решатели. Эти алгоритмы разработаны для использования разреженности матриц, которые зависят от вариационной формулировки и выбора стратегии дискретизации.

Процедуры постобработки предназначены для извлечения интересующих данных из конечно-элементного решения. Для удовлетворения требований проверки решения постпроцессоры должны обеспечивать апостериорную оценку погрешности в терминах интересующих величин. Когда погрешности аппроксимации больше, чем то, что считается приемлемым, то дискретизация должна быть изменена либо автоматизированным адаптивным процессом, либо действием аналитика. Некоторые очень эффективные постпроцессоры обеспечивают реализацию суперсходимости .

Иллюстративные задачи P1 и P2

Следующие две задачи демонстрируют метод конечных элементов.

P1 — одномерная задача , где задано, — неизвестная функция от , а — вторая производная от по . $${\displaystyle {\text{ P1 }}:{\begin{cases}u''(x)=f(x){\text{ in }}(0,1),\\u(0)=u(1)=0,\end{cases}}}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u''}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$

P2 — двумерная задача ( задача Дирихле ) $${\displaystyle {\text{P2 }}:{\begin{cases}u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)=f(x,y)&{\text{ in }}\Omega ,\\u=0&{\text{ on }}\partial \Omega ,\end{cases}}}$$

где — связная открытая область на плоскости, граница которой хороша (например, гладкое многообразие или многоугольник ), а и обозначают вторые производные по и соответственно. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle u_{xx}}$ ${\displaystyle u_{yy}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Задача P1 может быть решена напрямую путем вычисления первообразных . Однако этот метод решения краевой задачи (BVP) работает только при наличии одного пространственного измерения. Он не обобщается на многомерные задачи или задачи типа . По этой причине мы разработаем метод конечных элементов для P1 и опишем его обобщение для P2. ${\displaystyle u+V''=f}$

Наше объяснение будет проходить в два этапа, которые отражают два основных шага, которые необходимо предпринять для решения краевой задачи (КБЗ) с использованием МКЭ.

• На первом этапе перефразируется исходный BVP в его слабой форме. Обычно для этого этапа требуется мало вычислений или вообще никаких. Преобразование выполняется вручную на бумаге.
• Вторым шагом является дискретизация, где слабая форма дискретизируется в конечномерном пространстве.

После этого второго шага у нас есть конкретные формулы для большой, но конечномерной линейной задачи, решение которой приблизительно решит исходную BVP. Эта конечномерная задача затем реализуется на компьютере .

Слабая формулировка

Первым шагом является преобразование P1 и P2 в их эквивалентные слабые формулы .

Слабая форма P1

Если решает P1, то для любой гладкой функции , удовлетворяющей граничным условиям смещения, т.е. при и , имеем ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=1}$

Наоборот, если удовлетворяет (1) для каждой гладкой функции , то можно показать, что это решит P1. Доказательство проще для дважды непрерывно дифференцируемой ( теорема о среднем значении ), но может быть доказано и в распределительном смысле. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u(0)=u(1)=0}$ ${\displaystyle v(x)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

Мы определяем новый оператор или отображение , используя интегрирование по частям в правой части (1): ${\displaystyle \phi (u,v)}$

где мы использовали предположение, что . ${\displaystyle v(0)=v(1)=0}$

Слабая форма P2

Если мы интегрируем по частям, используя форму тождеств Грина , мы видим, что если решает P2, то мы можем определить для любого с помощью ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \phi (u,v)}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle \int _{\Omega }fv\,ds=-\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,ds\equiv -\phi (u,v),}$$

где обозначает градиент , а обозначает скалярное произведение в двумерной плоскости. Еще раз можно превратить в скалярное произведение на подходящем пространстве однократно дифференцируемых функций , которые равны нулю на . Мы также предположили, что (см. пространства Соболева ). Существование и единственность решения также могут быть показаны. ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \,\!\phi }$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle v\in H_{0}^{1}(\Omega )}$

Схема доказательства существования и единственности решения

Мы можем свободно думать о том, что являются абсолютно непрерывными функциями от , которые находятся в и (см. пространства Соболева ). Такие функции (слабо) один раз дифференцируемы, и оказывается, что симметричное билинейное отображение затем определяет скалярное произведение , которое превращается в гильбертово пространство (подробное доказательство нетривиально). С другой стороны, левая часть также является скалярным произведением, на этот раз в пространстве Lp . Применение теоремы о представлении Рисса для гильбертовых пространств показывает, что существует единственное решение (2) и, следовательно, P1. Это решение априори является только членом , но, используя эллиптическую регулярность, будет гладким, если является. ${\displaystyle H_{0}^{1}(0,1)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \!\,\phi }$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(0,1)}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)v(x)dx}$ ${\displaystyle L^{2}(0,1)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(0,1)}$ ${\displaystyle f}$

Дискретизация

Функция с нулевыми значениями на концах (синяя) и кусочно-линейная аппроксимация (красная) ${\displaystyle H_{0}^{1},}$

P1 и P2 готовы к дискретизации, что приводит к общей подзадаче (3). Основная идея заключается в замене бесконечномерной линейной задачи:

Найдите такое, что ${\displaystyle u\in H_{0}^{1}}$

${\displaystyle \forall v\in H_{0}^{1},\;-\phi (u,v)=\int fv}$

с конечномерной версией:

где — конечномерное подпространство . Существует множество возможных вариантов (один из вариантов приводит к спектральному методу ). Однако мы принимаем в качестве пространства кусочно-полиномиальных функций для метода конечных элементов. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Для задачи P1

Берем интервал , выбираем значения с и определяем по: ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}<x_{n+1}=1}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V=\{v:[0,1]\to \mathbb {R} \;:v{\text{ is continuous, }}v|_{[x_{k},x_{k+1}]}{\text{ is linear for }}k=0,\dots ,n{\text{, and }}v(0)=v(1)=0\}}$$

где мы определяем и . Заметим, что функции в не дифференцируемы согласно элементарному определению исчисления. Действительно, если то производная обычно не определена ни при каком , . Однако производная существует при каждом другом значении , и можно использовать эту производную для интегрирования по частям . ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle x_{n+1}=1}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle x=x_{k}}$ ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle x}$

Кусочно-линейная функция в двух измерениях

Для задачи P2

Нам нужно быть набором функций . На рисунке справа мы проиллюстрировали триангуляцию 15-сторонней многоугольной области на плоскости (внизу) и кусочно-линейную функцию (вверху, в цвете) этого многоугольника, которая линейна на каждом треугольнике триангуляции; пространство будет состоять из функций, которые линейны на каждом треугольнике выбранной триангуляции. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle V}$

Можно надеяться, что по мере того, как базовая треугольная сетка становится все тоньше и тоньше, решение дискретной задачи (3) в некотором смысле будет сходиться к решению исходной краевой задачи P2. Чтобы измерить эту тонкость сетки, триангуляция индексируется действительным параметром, который считается очень малым. Этот параметр будет связан с наибольшим или средним размером треугольника в триангуляции. По мере того, как мы совершенствуем триангуляцию, пространство кусочно-линейных функций также должно изменяться с . По этой причине в литературе часто читают вместо . Поскольку мы не проводим такой анализ, мы не будем использовать это обозначение. ${\displaystyle h>0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle V_{h}}$ ${\displaystyle V}$

Выбор основы

Интерполяция функции Бесселя

Для завершения дискретизации необходимо выбрать базис . В одномерном случае для каждой контрольной точки выберем кусочно-линейную функцию в , значение которой равно при и нулю при каждом , т.е. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{j},\;j\neq k}$ $${\displaystyle v_{k}(x)={\begin{cases}{x-x_{k-1} \over x_{k}\,-x_{k-1}}&{\text{ if }}x\in [x_{k-1},x_{k}],\\{x_{k+1}\,-x \over x_{k+1}\,-x_{k}}&{\text{ if }}x\in [x_{k},x_{k+1}],\\0&{\text{ otherwise}},\end{cases}}}$$

для ; этот базис представляет собой сдвинутую и масштабированную функцию палатки . Для двумерного случая мы снова выбираем одну базисную функцию на вершину триангуляции плоской области . Функция является уникальной функцией , значение которой равно и нулю при каждом . ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{j},\;j\neq k}$

В зависимости от автора, слово «элемент» в «методе конечных элементов» относится к треугольникам домена, кусочно-линейной базисной функции или к обоим. Так, например, автор, интересующийся криволинейными доменами, может заменить треугольники криволинейными примитивами и, таким образом, может описать элементы как криволинейные. С другой стороны, некоторые авторы заменяют «кусочно-линейный» на «кусочно-квадратичный» или даже «кусочно-полиномиальный». Тогда автор может сказать «элемент более высокого порядка» вместо «полином более высокой степени». Метод конечных элементов не ограничивается треугольниками (тетраэдрами в 3-мерном пространстве или симплексами более высокого порядка в многомерных пространствах). Тем не менее, его можно определить на четырехугольных подобластях (гексаэдрах, призмах или пирамидах в 3-мерном пространстве и т. д.). Формы более высокого порядка (криволинейные элементы) можно определить с помощью полиномиальных и даже неполиномиальных форм (например, эллипса или круга).

Примерами методов, использующих кусочно-полиномиальные базисные функции более высокой степени, являются hp-FEM и спектральный FEM .

Более продвинутые реализации (адаптивные методы конечных элементов) используют метод оценки качества результатов (основанный на теории оценки ошибок) и изменяют сетку во время решения, стремясь достичь приближенного решения в пределах некоторых границ от точного решения задачи континуума. Адаптивность сетки может использовать различные методы; наиболее популярными являются:

• перемещение узлов (r-адаптивность)
• очищающие (и неочищенные) элементы (h-адаптивность)
• изменение порядка базовых функций (p-адаптивность)
• комбинации вышеперечисленного ( hp-адаптивность ).

Малая поддержка базиса

Решение двумерной задачи в круге с центром в начале координат и радиусом 1, с нулевыми граничными условиями. (а) Триангуляция. ${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}=-4}$

(б) Разреженная матрица L дискретизированной линейной системы

(c) Вычисленное решение, ${\displaystyle u(x,y)=1-x^{2}-y^{2}}$

Главное преимущество такого выбора базиса заключается в том, что внутренние произведения и будут равны нулю почти для всех . (Матрица, содержащаяся в месте, известна как матрица Грама .) В одномерном случае носителем является интервал . Следовательно, подынтегральные функции и тождественно равны нулю всякий раз , когда . $${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle =\int _{0}^{1}v_{j}v_{k}\,dx}$$ $${\displaystyle \phi (v_{j},v_{k})=\int _{0}^{1}v_{j}'v_{k}'\,dx}$$ ${\displaystyle j,k}$ ${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle }$ ${\displaystyle (j,k)}$ ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle [x_{k-1},x_{k+1}]}$ ${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle }$ ${\displaystyle \phi (v_{j},v_{k})}$ ${\displaystyle |j-k|>1}$

Аналогично, в плоском случае, если и не имеют общего ребра триангуляции, то интегралы и оба равны нулю. ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ $${\displaystyle \int _{\Omega }v_{j}v_{k}\,ds}$$ $${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla v_{j}\cdot \nabla v_{k}\,ds}$$

Матричная форма задачи

Если мы запишем и тогда задача (3), приняв за , становится ${\displaystyle u(x)=\sum _{k=1}^{n}u_{k}v_{k}(x)}$ ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}v_{k}(x)}$ ${\displaystyle v(x)=v_{j}(x)}$ ${\displaystyle j=1,\dots ,n}$

Если мы обозначим через и векторы-столбцы и , а если мы допустим, что и будут матрицами, элементы которых равны и , то мы можем перефразировать (4) как ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{n})^{t}}$ ${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{n})^{t}}$ $${\displaystyle L=(L_{ij})}$$ $${\displaystyle M=(M_{ij})}$$ $${\displaystyle L_{ij}=\phi (v_{i},v_{j})}$$ $${\displaystyle M_{ij}=\int v_{i}v_{j}dx}$$

Не обязательно предполагать . Для общей функции задача (3) при становится на самом деле проще, поскольку не используется матрица, ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}v_{k}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle v(x)=v_{j}(x)}$ ${\displaystyle j=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle M}$

где и для . ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},\dots ,b_{n})^{t}}$ ${\displaystyle b_{j}=\int fv_{j}dx}$ ${\displaystyle j=1,\dots ,n}$

Как мы уже обсуждали ранее, большинство элементов и равны нулю, поскольку базисные функции имеют малую поддержку. Поэтому теперь нам нужно решить линейную систему относительно неизвестного, где большинство элементов матрицы , которую нам нужно инвертировать, равны нулю. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle L}$

Такие матрицы известны как разреженные матрицы , и существуют эффективные решатели для таких проблем (гораздо более эффективные, чем фактическое обращение матрицы). Кроме того, симметрична и положительно определена, поэтому предпочтительнее использовать такой метод, как метод сопряженных градиентов . Для задач, которые не слишком велики, разреженные LU-разложения и разложения Холецкого по-прежнему работают хорошо. Например, оператор обратной косой черты MATLAB (который использует разреженные LU, разреженные Холецкого и другие методы факторизации) может быть достаточным для сеток с сотней тысяч вершин. ${\displaystyle L}$

Матрицу обычно называют матрицей жесткости , а матрицу называют матрицей масс . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$

Общая форма метода конечных элементов

В целом метод конечных элементов характеризуется следующим процессом.

• Выбирается сетка для . В предыдущем случае сетка состояла из треугольников, но можно также использовать квадраты или криволинейные многоугольники. ${\displaystyle \Omega }$
• Затем выбираются базисные функции. В нашем обсуждении мы использовали кусочно-линейные базисные функции, но обычно используют кусочно-полиномиальные базисные функции.

Отдельно рассматривается гладкость базисных функций. Для эллиптических краевых задач второго порядка достаточно кусочно-полиномиальной базисной функции, которая просто непрерывна (т.е. производные разрывны). Для дифференциальных уравнений в частных производных более высокого порядка необходимо использовать более гладкие базисные функции. Например, для задачи четвертого порядка, такой как , можно использовать кусочно-квадратичные базисные функции, которые являются . ${\displaystyle u_{xxxx}+u_{yyyy}=f}$ ${\displaystyle C^{1}}$

Другое соображение — это отношение конечномерного пространства к его бесконечномерному аналогу в примерах выше . Метод конформных элементов — это метод, в котором пространство является подпространством пространства элементов для непрерывной задачи. Пример выше — такой метод. Если это условие не выполняется, мы получаем метод неконформных элементов, примером которого является пространство кусочно-линейных функций над сеткой, которые непрерывны в каждой средней точке ребра. Поскольку эти функции, как правило, разрывны вдоль ребер, это конечномерное пространство не является подпространством исходного . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}}$

Обычно имеется алгоритм для подразделения заданной сетки. Если основным методом повышения точности является подразделение сетки, имеется h -метод ( h обычно является диаметром наибольшего элемента в сетке.) Таким образом, если показать, что ошибка с сеткой ограничена сверху , для некоторых и , то имеется метод порядка p . При определенных гипотезах (например, если область выпуклая), кусочно-полиномиальный метод порядка будет иметь ошибку порядка . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle Ch^{p}}$ ${\displaystyle C<\infty }$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p=d+1}$

Если вместо уменьшения h увеличить степень полиномов, используемых в базисной функции, то получится p -метод. Если объединить эти два типа уточнения, то получится hp -метод ( hp-FEM ). В hp-FEM степени полиномов могут меняться от элемента к элементу. Методы высокого порядка с большим равномерным p называются спектральными методами конечных элементов ( SFEM ). Их не следует путать со спектральными методами .

Для векторных уравнений в частных производных базисные функции могут принимать значения в . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Различные типы методов конечных элементов

АЭМ

Метод прикладных элементов (AEM) сочетает в себе особенности FEM и метода дискретных элементов (DEM).

А-ФЭМ

Ян и Луи представили метод расширенного конечного элемента, целью которого было моделирование слабых и сильных разрывов без необходимости использования дополнительных степеней свободы, как утверждает PuM.

CutFEM

Метод конечных элементов Cut был разработан в 2014 году. ^[14] Подход заключается в том, чтобы «сделать дискретизацию максимально независимой от геометрического описания и минимизировать сложность генерации сетки, сохраняя при этом точность и надежность стандартного метода конечных элементов». ^[15]

Обобщенный метод конечных элементов

Обобщенный метод конечных элементов (GFEM) использует локальные пространства, состоящие из функций, не обязательно полиномов, которые отражают имеющуюся информацию о неизвестном решении и, таким образом, обеспечивают хорошее локальное приближение. Затем используется разбиение единицы , чтобы «связать» эти пространства вместе для формирования аппроксимирующего подпространства. Эффективность GFEM была показана при применении к проблемам с областями, имеющими сложные границы, проблемам с микромасштабами и проблемам с пограничными слоями. ^[16]

Смешанный метод конечных элементов

Смешанный метод конечных элементов — это тип метода конечных элементов, в котором дополнительные независимые переменные вводятся в качестве узловых переменных в процессе дискретизации задачи уравнения в частных производных.

Переменная – полином

hp -FEM адаптивно объединяет элементы с переменным размером h и полиномиальной степенью p для достижения исключительно быстрых, экспоненциальных скоростей сходимости. ^[17]

hpk-FEM

hpk-FEM адаптивно объединяет элементы с переменным размером h , полиномиальной степенью локальных приближений p и глобальной дифференцируемостью локальных приближений ( k -1) для достижения наилучших скоростей сходимости.

XFEM

Расширенный метод конечных элементов (XFEM) — это численный метод, основанный на обобщенном методе конечных элементов (GFEM) и методе разбиения единицы (PUM). Он расширяет классический метод конечных элементов, обогащая пространство решений для решений дифференциальных уравнений с разрывными функциями. Расширенные методы конечных элементов обогащают пространство аппроксимации для естественного воспроизведения сложной особенности, связанной с интересующей проблемой: разрыв, сингулярность, пограничный слой и т. д. Было показано, что для некоторых задач такое встраивание особенности задачи в пространство аппроксимации может значительно улучшить скорость сходимости и точность. Более того, обработка задач с разрывами с помощью XFEM устраняет необходимость в сетке и повторном построении сетки поверхностей разрывов, тем самым уменьшая вычислительные затраты и ошибки проецирования, связанные с обычными методами конечных элементов, за счет ограничения разрывов краями сетки.

Несколько исследовательских кодексов реализуют эту методику в разной степени:

1. ПолучитьFEM++
2. xfem++
3. openxfem++

XFEM также был реализован в таких кодах, как Altair Radios, ASTER, Morfeo и Abaqus. Он все чаще принимается другим коммерческим программным обеспечением для конечных элементов, с несколькими плагинами и фактическими реализациями ядра (ANSYS, SAMCEF, OOFELIE и т. д.).

Метод масштабированных граничных конечных элементов (SBFEM)

Введение метода масштабированных граничных конечных элементов (SBFEM) было сделано Сонгом и Вольфом (1997). ^[18] SBFEM стал одним из самых прибыльных вкладов в область численного анализа проблем механики разрушения. Это полуаналитический метод без фундаментальных решений, объединяющий преимущества формулировок и процедур конечных элементов и дискретизации граничных элементов. Однако, в отличие от метода граничных элементов, не требуется никакого фундаментального дифференциального решения.

S-ФЭМ

S-FEM (Smoothed Finite Element Methods) — это особый класс алгоритмов численного моделирования для моделирования физических явлений. Он был разработан путем объединения методов без сеток с методом конечных элементов.

Метод спектрального элемента

Методы спектральных элементов сочетают геометрическую гибкость конечных элементов и высокую точность спектральных методов. Спектральные методы являются приближенным решением слабых частных уравнений на основе интерполянтов Лагранжа высокого порядка и используются только с определенными квадратурными правилами. ^[19]

Методы без сетки

Прерывистые методы Галеркина

Предельный анализ методом конечных элементов

Метод растянутой сетки

Итерация Лубиньяка

Итерация Лубиньяка — итерационный метод в методах конечных элементов.

Метод конечных элементов пластичности кристаллов (CPFEM)

Метод конечных элементов пластичности кристаллов (CPFEM) — это усовершенствованный численный инструмент, разработанный Францем Ротерсом. Металлы можно рассматривать как кристаллические агрегаты, которые ведут себя анизотропно при деформации, такой как аномальное напряжение и локализация деформации. CPFEM, основанный на скольжении (скорости деформации сдвига), может вычислять дислокацию, ориентацию кристаллов и другую информацию о текстуре для учета анизотропии кристаллов во время процедуры. Он применялся в численном исследовании деформации материалов, шероховатости поверхности, трещин и т. д.

Метод виртуальных элементов (VEM)

Метод виртуальных элементов (VEM), представленный Бейраном да Вейгой и др. (2013) ^[20] как расширение методов миметических конечных разностей (MFD), является обобщением стандартного метода конечных элементов для произвольных геометрий элементов. Это позволяет допускать общие многоугольники (или многогранники в 3D), которые имеют крайне неправильную и невыпуклую форму. Название виртуальный происходит от того факта, что знание базиса локальной функции формы не требуется и, по сути, никогда явно не вычисляется.

Связь с методом дискретизации градиента

Некоторые типы методов конечных элементов (конформные, неконформные, смешанные методы конечных элементов) являются частными случаями метода градиентной дискретизации (GDM). Поэтому свойства сходимости GDM, установленные для ряда задач (линейные и нелинейные эллиптические задачи, линейные, нелинейные и вырожденные параболические задачи), сохраняются и для этих конкретных МКЭ.

Сравнение с методом конечных разностей

Метод конечных разностей (FDM) является альтернативным способом аппроксимации решений PDE. Различия между FEM и FDM следующие:

• Наиболее привлекательной особенностью FEM является его способность обрабатывать сложные геометрии (и границы) с относительной легкостью. В то время как FDM в своей базовой форме ограничен обработкой прямоугольных форм и их простых изменений, обработка геометрий в FEM теоретически проста. ^{[2] [21]}
• FDM обычно не используется для нерегулярных геометрий САПР, но чаще всего для прямоугольных или блочных моделей. ^[22]
• FEM обычно обеспечивает более гибкую адаптивность сетки, чем FDM. ^[21]
• Наиболее привлекательной особенностью метода конечных разностей является простота его реализации. ^[21]
• Можно считать FDM частным случаем подхода FEM несколькими способами. Например, FEM первого порядка идентичен FDM для уравнения Пуассона , если задача дискретизируется регулярной прямоугольной сеткой, где каждый прямоугольник разделен на два треугольника.
• Существуют причины считать математическую основу аппроксимации методом конечных элементов более надежной, например, потому что качество аппроксимации между точками сетки в FDM низкое.
• Качество аппроксимации FEM часто выше, чем в соответствующем подходе FDM, но это сильно зависит от решаемой задачи, и можно привести несколько примеров, опровергающих это.

Как правило, FEM является методом выбора во всех типах анализа в строительной механике (т. е. решение для деформации и напряжений в твердых телах или динамики конструкций). Напротив, вычислительная гидродинамика (CFD) имеет тенденцию использовать FDM или другие методы, такие как метод конечных объемов (FVM). Задачи CFD обычно требуют дискретизации задачи на большое количество ячеек/точек сетки (миллионы и более). Поэтому стоимость решения благоприятствует более простой аппроксимации более низкого порядка в каждой ячейке. Это особенно верно для задач «внешнего потока», таких как поток воздуха вокруг автомобиля, самолета или моделирование погоды.

Методы конечных элементов и быстрого преобразования Фурье (БПФ)

Другим методом, используемым для аппроксимации решений уравнения с частными производными, является быстрое преобразование Фурье (БПФ), где решение аппроксимируется рядом Фурье, вычисленным с использованием БПФ. Для аппроксимации механического отклика материалов под напряжением БПФ часто намного быстрее, ^[23] но МКЭ может быть точнее. ^[24] Одним из примеров соответствующих преимуществ двух методов является моделирование прокатки листа алюминия (металл ГЦК) и волочения проволоки из вольфрама (металл ОЦК). Это моделирование не имело сложного алгоритма обновления формы для метода БПФ. В обоих случаях метод БПФ был более чем в 10 раз быстрее МКЭ, но при моделировании волочения проволоки, где были большие деформации в зернах , метод МКЭ был намного точнее. При моделировании прокатки листа результаты двух методов были схожи. ^[24] БПФ имеет большее преимущество в скорости в случаях, когда граничные условия заданы в деформации материалов , и теряет часть своей эффективности в случаях, когда для применения граничных условий используется напряжение , поскольку требуется больше итераций метода. ^[25]

Методы FE и FFT также можно объединить в метод на основе вокселей (2) для моделирования деформации в материалах, где метод FE используется для макромасштабного напряжения и деформации, а метод FFT используется на микромасштабе для обработки эффектов микромасштаба на механическую реакцию. ^[26] В отличие от FEM, сходство методов FFT с методами обработки изображений означает, что фактическое изображение микроструктуры с микроскопа может быть введено в решатель для получения более точной реакции напряжения. Использование реального изображения с FFT позволяет избежать сетки микроструктуры, которая потребовалась бы при использовании моделирования микроструктуры FEM и может быть сложной. Поскольку приближения Фурье по своей сути периодические, FFT можно использовать только в случаях периодической микроструктуры, но это распространено в реальных материалах. ^[26] FFT также можно объединить с методами FEM, используя компоненты Фурье в качестве вариационной основы для аппроксимации полей внутри элемента, что может использовать скорость решателей на основе FFT. ^[27]

Приложение

3D-модель переноса загрязнений - поле концентрации на уровне земли

3D-модель переноса загрязнений - поле концентрации на перпендикулярной поверхности

Различные специализации под эгидой дисциплины машиностроения (например, авиационная, биомеханическая и автомобильная промышленность) обычно используют интегрированный FEM при проектировании и разработке своих продуктов. Несколько современных пакетов FEM включают в себя определенные компоненты, такие как тепловые, электромагнитные, жидкостные и структурные рабочие среды. В структурном моделировании FEM чрезвычайно помогает в создании визуализаций жесткости и прочности и минимизации веса, материалов и затрат. ^[28]

FEM позволяет детально визуализировать места изгиба или скручивания конструкций, указывая распределение напряжений и смещений. Программное обеспечение FEM предоставляет широкий спектр возможностей моделирования для управления сложностью моделирования и системного анализа. Аналогично, требуемый уровень точности и связанные с ним требования к вычислительному времени могут управляться одновременно для решения большинства инженерных задач. FEM позволяет строить, уточнять и оптимизировать целые конструкции до их изготовления. Сетка является неотъемлемой частью модели и должна тщательно контролироваться для получения наилучших результатов. Как правило, чем больше число элементов в сетке, тем точнее решение дискретизированной задачи. Однако существует значение, при котором результаты сходятся, и дальнейшее уточнение сетки не увеличивает точность. ^[29]

Конечно-элементная модель коленного сустава человека ^[30]

Этот мощный инструмент проектирования значительно улучшил как стандарт инженерных проектов, так и методологию процесса проектирования во многих промышленных приложениях. ^[31] Внедрение FEM существенно сократило время, необходимое для вывода продукции от концепции до производственной линии. ^[31] Тестирование и разработка были ускорены в первую очередь за счет улучшения начальных прототипов с использованием FEM. ^[32] Подводя итог, можно сказать, что преимущества FEM включают повышенную точность, улучшенное проектирование и лучшее понимание критических параметров проектирования, виртуальное прототипирование, меньшее количество аппаратных прототипов, более быстрый и менее затратный цикл проектирования, повышенную производительность и увеличенный доход. ^[31]

В 1990-х годах метод конечных элементов был предложен для использования в стохастическом моделировании для численного решения вероятностных моделей ^[33] , а позднее — для оценки надежности. ^[34]

Смотрите также

• Метод прикладного элемента
• Метод граничных элементов
• Лемма Сеа
• Компьютерный эксперимент
• Метод прямой жесткости
• Оптимизация макета разрыва
• Метод дискретных элементов
• Метод конечных разностей
• Машина конечных элементов
• Метод конечных элементов в строительной механике
• Метод конечного объема
• Метод конечных объемов для нестационарного течения
• Метод бесконечных элементов
• Интервальный конечный элемент
• Изогеометрический анализ
• Методы решеточного Больцмана
• Список пакетов программного обеспечения для конечно-элементного анализа
• Методы без сетки
• Подвижный клеточный автомат
• Оптимизация многопрофильного дизайна
• Мультифизика
• Патч-тест
• Метод Рэлея–Ритца
• Картографирование пространства
• СТРЕНД7
• Тесселяция (компьютерная графика)
• Ослабленная слабая форма

Ссылки

1. Дэрил Л. Логан (2011). Первый курс по методу конечных элементов . Cengage Learning. ISBN 9780495668275.
2. Reddy, JN (2006). Введение в метод конечных элементов (третье изд.). McGraw-Hill. ISBN 9780071267618.
3. Хюбнер, Кеннет Х. (2001). Метод конечных элементов для инженеров . Wiley. ISBN 978-0-471-37078-9.
4. Лю, Винг Кам; Ли, Шаофань; Парк, Гарольд С. (2022). «Восемьдесят лет метода конечных элементов: рождение, эволюция и будущее». Архив вычислительных методов в машиностроении . 29 (6): 4431–4453. arXiv : 2107.04960 . doi : 10.1007/s11831-022-09740-9 . ISSN  1134-3060. S2CID  235794921.
5. Хренникофф, Александр (1941). «Решение задач упругости каркасным методом». Журнал прикладной механики . 8 (4): 169–175. Bibcode : 1941JAM.....8A.169H. doi : 10.1115/1.4009129.
6. Курант, Р. (1943). «Вариационные методы решения задач равновесия и колебаний». Бюллетень Американского математического общества . 49 : 1–23. doi : 10.1090/s0002-9904-1943-07818-4 .
7. "СПб ЭМИ РАН". emi.nw.ru . Архивировано из оригинала 30 сентября 2015 . Получено 17 марта 2018 .
8. Хинтон, Эрнест; Айронс, Брюс (июль 1968). «Сглаживание экспериментальных данных методом наименьших квадратов с использованием конечных элементов». Штамм . 4 (3): 24–27. doi :10.1111/j.1475-1305.1968.tb01368.x.
9. "SAP-IV Software and Manuals". NISEE e-Library, The Earthquake Engineering Online Archive. Архивировано из оригинала 2013-03-09 . Получено 2013-01-24 .
10. Гард Полсен; Хокон с Андерсеном; Джон Петтер Коллетт; Ивер Танген Стенсруд (2014). Building Trust, История DNV 1864-2014 . Лисакер, Норвегия: Динамо Форлаг А/С. стр. 121, 436. ISBN. 978-82-8071-256-1.
11. Стрэнг, Гилберт ; Фикс, Джордж (1973). Анализ метода конечных элементов . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-032946-2.
12. Olek C Zienkiewicz; Robert L Taylor; JZ Zhu (31 августа 2013 г.). Метод конечных элементов: его основы и основы. Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-08-095135-5.
13. Bathe, KJ (2006). Методы конечных элементов . Кембридж, Массачусетс: Клаус-Юрген Бате. ISBN 978-0979004902.
14. celledoni (2023-02-27). "CutFEM: Дискретизация уравнений в частных производных и геометрии". ECMI . Получено 2023-10-13 .
15. Burman, Erik; Claus, Susanne; Hansbo, Peter; Larson, Mats G.; Massing, André (2015-11-16). "CutFEM: Дискретизация геометрии и уравнений с частными производными". International Journal for Numerical Methods in Engineering . 104 (7): 472–501. Bibcode : 2015IJNME.104..472B. doi : 10.1002/nme.4823 . ISSN  0029-5981.
16. Бабушка, Иво ; Банерджи, Удай; Осборн, Джон Э. (июнь 2004 г.). «Обобщенные методы конечных элементов: основные идеи, результаты и перспективы». Международный журнал вычислительных методов . 1 (1): 67–103. doi :10.1142/S0219876204000083.
17. П. Солин, К. Сегет, И. Долезел: Методы конечных элементов высшего порядка, Chapman & Hall/CRC Press, 2003
18. Song, Chongmin; Wolf, John P. (5 августа 1997 г.). «Метод масштабированных граничных конечных элементов – он же метод консистентных бесконечно малых конечных элементов – для эластодинамики». Компьютерные методы в прикладной механике и машиностроении . 147 (3–4): 329–355. Bibcode : 1997CMAME.147..329S. doi : 10.1016/S0045-7825(97)00021-2.
19. "Методы спектральных элементов". Государственная ключевая лаборатория научных и инженерных вычислений . Архивировано из оригинала 2017-08-10 . Получено 2017-07-28 .
20. Бейран да Вейга, Л.; Брецци, Ф.; Кангиани, А.; Манзини, Г.; Марини, Л. Д.; Руссо, А. (2013). «Основные принципы методов виртуальных элементов». Математические модели и методы в прикладных науках . 23 (1): 199–214. doi :10.1142/S0218202512500492.
21. Topper, Jürgen (январь 2005 г.). «Оценивание опционов с использованием конечных элементов». Wilmott . 2005 (1): 84–90. doi :10.1002/wilm.42820050119 (неактивен 2024-04-07). ISSN  1540-6962.{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of April 2024 (link)
22. "В чем разница между FEM, FDM и FVM?". Machine Design . 2016-04-18. Архивировано из оригинала 2017-07-28 . Получено 2017-07-28 .
23. Ma, X; Parvathaneni, K; Lomov, S; Vasiukov, D; Shakoor, M; Park, C (декабрь 2019 г.). «Количественное сравнение быстрого преобразования Фурье и метода конечных элементов для микромеханического моделирования композита». Конференция FiBreMoD .
24. Prakash, A; Lebensohn, RA (2009-09-01). "Моделирование микромеханического поведения поликристаллов: конечные элементы против быстрых преобразований Фурье". Моделирование и имитация в материаловедении и машиностроении . 17 (6): 064010. Bibcode :2009MSMSE..17f4010P. doi :10.1088/0965-0393/17/6/064010. ISSN  0965-0393.
25. Cruzado, A; Segurado, J; Hartl, DJ; Benzerga, AA (2021-06-01). "Метод вариационного быстрого преобразования Фурье для фазово-превращающихся материалов". Моделирование и имитация в материаловедении и машиностроении . 29 (4): 045001. Bibcode : 2021MSMSE..29d5001C. doi : 10.1088/1361-651X/abe4c7. ISSN  0965-0393.
26. Gierden, Christian; Kochmann, Julian; Waimann, Johanna; Svendsen, Bob; Reese, Stefanie (2022-10-01). "Обзор двухмасштабных методов на основе FE-FFT для вычислительного моделирования эволюции микроструктуры и поведения макроскопических материалов". Архив вычислительных методов в машиностроении . 29 (6): 4115–4135. doi : 10.1007/s11831-022-09735-6 . ISSN  1886-1784.
27. Zeman, J.; de Geus, TWJ; Vondřejc, J.; Peerlings, RHJ; Geers, MGD (2017-09-07). "Конечно-элементная перспектива нелинейного микромеханического моделирования на основе БПФ: КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ ПЕРСПЕКТИВА НЕЛИНЕЙНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ БПФ". Международный журнал численных методов в машиностроении . 111 (10): 903–926. arXiv : 1601.05970 . doi :10.1002/nme.5481.
28. Кирицис, Д.; Эммануилидис, Ч.; Корониос, А.; Мэтью, Дж. (2009). «Управление инженерными активами». Труды 4-го Всемирного конгресса по управлению инженерными активами (WCEAM) : 591–592.
29. "Анализ методом конечных элементов: как создать отличную модель". Coventive Composites . 2019-03-18 . Получено 2019-04-05 .^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
30. Нагиби Бейдохти, Хамид; Янссен, Деннис; Хошгофтар, Мехди; Шпренгерс, Андре; Пердахчиоглу, Эмин Семих; Бугаард, Тон Ван ден; Вердоншот, Нико (2016). "Сравнение динамических неявных и явных конечно-элементных симуляций нативного коленного сустава" (PDF) . Медицинская инженерия и физика . 38 (10): 1123–1130. doi :10.1016/j.medengphy.2016.06.001. PMID  27349493. Архивировано (PDF) из оригинала 2018-07-19 . Получено 2019-09-19 .
31. Гастингс, Дж. К., Джадс, М. А., Брауэр, Дж. Р., Точность и экономичность конечно-элементного магнитного анализа , 33-я ежегодная национальная конференция по реле, апрель 1985 г.
32. McLaren-Mercedes (2006). "McLaren Mercedes: Feature - Stress to impress". Архивировано из оригинала 2006-10-30 . Получено 2006-10-03 .
33. Пэн Лун; Ван Цзиньлян; Чжу Цидин (19 мая 1995 г.). «Методы с высокой точностью для вычисления вероятности конечных элементов». Журнал вычислительной и прикладной математики . 59 (2): 181–189. doi :10.1016/0377-0427(94)00027-X.
34. Haldar, Achintya; Mahadevan, Sankaran (2000). Оценка надежности с использованием стохастического конечно-элементного анализа . John Wiley & Sons. ISBN 978-0471369615.

Дальнейшее чтение

• Г. Аллер и А. Крейг: Численный анализ и оптимизация: Введение в математическое моделирование и численное моделирование .
• К. Дж. Бате: Численные методы в анализе конечных элементов , Prentice-Hall (1976).
• Томас Дж. Р. Хьюз: Метод конечных элементов: линейный статический и динамический анализ конечных элементов, Prentice-Hall (1987).
• Дж. Часкалович: Методы конечных элементов в инженерных науках , Springer Verlag, (2008).
• Эндре Шюли : Методы конечных элементов для уравнений в частных производных.
• О. К. Зенкевич, Р. Л. Тейлор, Дж. З. Чжу: Метод конечных элементов: его основы и принципы , Butterworth-Heinemann (2005).
• Н. Оттосен, Х. Петерссон: Введение в метод конечных элементов, Prentice-Hall (1992).
• Сюзанна К. Бреннер, Л. Риджуэй Скотт: Математическая теория методов конечных элементов , Springer-Verlag New York, ISBN 978-0-387-75933-3 (2008).
• Zohdi, TI (2018) Учебник по конечным элементам для начинающих — расширенная версия, включающая образцы тестов и проектов. Второе издание https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-70428-9
• Лешек Ф. Демкович: Математическая теория конечных элементов , SIAM, ISBN 978-1-61197-772-1 (2024).