Метод наивысших средних значений

Методы наивысших средних значений , делителей или деления и округления ^[1] представляют собой семейство алгоритмов распределения , которые направлены на справедливое разделение законодательного органа между несколькими группами, такими как политические партии или штаты . ^[1]^[2] В более общем плане методы делителей могут использоваться для округления долей общей суммы, например, процентных пунктов (которые должны в сумме составлять 100). ^[2]

Методы направлены на то, чтобы относиться к избирателям одинаково, гарантируя, что законодатели представляют равное число избирателей , гарантируя, что каждая партия имеет одинаковое соотношение мест к голосам (или делитель ). ^[3]^{: 30} Такие методы делят количество голосов на количество голосов на место, затем округляют общую сумму, чтобы получить окончательное распределение. При этом метод приблизительно сохраняет пропорциональное представительство , так что партия, например, с вдвое большим количеством голосов, чем другая, должна выиграть вдвое больше мест. ^[3]^{: 30}

Методы делителей обычно предпочитаются теоретиками общественного выбора методам наибольшего остатка , поскольку они дают более пропорциональные результаты по большинству показателей и менее подвержены парадоксам распределения . ^[4]^[5]^[6]^[7] В частности, методы делителей удовлетворяют монотонности соотношения голосов и участию , то есть голосование за партию никогда не может привести к потере ею мест, в отличие от методов наибольшего остатка ; кроме того, они не чувствительны к эффектам спойлера . ^[5]

История

Методы деления были впервые изобретены Томасом Джефферсоном для соответствия требованию Конституции Соединенных Штатов о том, что штаты должны иметь не более одного представителя на 30 000 человек. Его решение состояло в том, чтобы разделить население каждого штата на 30 000 перед округлением в меньшую сторону. ^[6]^{: 20}

Распределение голосов стало бы главной темой дебатов в Конгрессе, особенно после обнаружения патологий во многих поверхностно обоснованных правилах округления. ^[6]^{: 20} Похожие дебаты появились бы в Европе после принятия пропорционального представительства , как правило, в результате попыток крупных партий ввести пороги и другие барьеры для входа для мелких партий. ^[8] Такие распределения часто имеют существенные последствия, как в случае перераспределения 1870 года , когда Конгресс использовал специальное распределение в пользу республиканских штатов. ^[9] Если бы общее количество голосов выборщиков каждого штата было точно равно его праву , или если бы Конгресс использовал метод Сент-Лаге или метод наибольших остатков (как это было с 1840 года), выборы 1876 года прошли бы в пользу Тилдена вместо Хейса . ^[9]^[10]^[6]^{: 3, 37}

Определения

Два названия этих методов — наивысшие средние и делители — отражают два разных способа мышления о них и два их независимых изобретения. Однако обе процедуры эквивалентны и дают один и тот же ответ. ^[11]

Методы делителей основаны на правилах округления , определенных с использованием последовательности указателей $post(k)$ , где $k \leq post(k) \leq k +1$ . Каждый указатель отмечает границу между натуральными числами, причем числа округляются вниз тогда и только тогда, когда они меньше указателя. ^[12]

Процедура деления

Процедура делителя распределяет места путем поиска делителя или избирательной квоты . Этот делитель можно рассматривать как количество голосов, необходимое партии для получения одного дополнительного места в законодательном органе, идеальную численность населения избирательного округа или количество избирателей, представленных каждым законодателем. ^[13]

Если бы каждый законодатель представлял равное количество избирателей, количество мест для каждого штата можно было бы найти, разделив население на делитель. ^[13] Однако распределение мест должно быть целыми числами, поэтому, чтобы найти распределение для данного штата, мы должны округлить (используя последовательность указателей) после деления. Таким образом, распределение каждой партии определяется как: ^[13]

${\text{seats}}=\operatorname {round} \left({\frac {\text{votes}}{\text{divisor}}}\right)$

Обычно делитель изначально устанавливается равным квоте Хэра . Однако эта процедура может назначить слишком много или слишком мало мест. В этом случае пропорции для каждого штата не будут суммироваться с общим размером законодательного органа. Допустимый делитель может быть найден методом проб и ошибок . ^[14]

Процедура наивысшего среднего

С алгоритмом самых высоких средних значений каждая партия начинает с 0 мест. Затем, на каждой итерации, мы выделяем место партии с самым высоким средним голосов, т.е. партии с наибольшим количеством голосов на место . Этот метод продолжается до тех пор, пока все места не будут распределены. ^[13]

Однако неясно, лучше ли смотреть на среднее число голосов перед назначением места, каким будет среднее число после назначения места, или нам следует пойти на компромисс с коррекцией непрерывности . Каждый из этих подходов дает немного разные распределения. ^[13] В общем, мы можем определить средние значения, используя последовательность указателей:

${\text{average}}:={\frac {\text{votes}}{\operatorname {post} ({\text{seats}})}}$

При процедуре самых высоких средних каждая партия начинает с 0 мест. Затем, на каждой итерации, мы выделяем место партии с самым высоким средним голосов, т.е. партии с наибольшим количеством голосов на место . Этот метод продолжается до тех пор, пока все места не будут распределены. ^[13]

Конкретные методы

Хотя все методы делителей используют одну и ту же общую процедуру, они различаются выбором последовательности указателей и, следовательно, правила округления. Обратите внимание, что для методов, где первый указатель равен нулю, каждая партия, имеющая хотя бы один голос, получит место до того, как любая партия получит второе место; на практике это обычно означает, что каждая партия должна получить хотя бы одно место, если только она не дисквалифицирована некоторым избирательным порогом . ^[15]

Метод Д'Хондта (Джефферсона)

Томас Джефферсон предложил первый метод делителей в 1792 году; ^[13] позже он был независимо разработан бельгийским политологом Виктором д'Ондтом в 1878 году. Он назначает представителя в список, который будет наиболее недопредставленным в конце раунда. ^[13] Он остается наиболее распространенным методом пропорционального представительства по сей день. ^[13]

Метод д'Ондта использует последовательность , т. е. (1, 2, 3, ...), ^[16] что означает, что он всегда округляет распределение партии в меньшую сторону. ^[13] $\operatorname {post} (k)=k+1$

Распределение никогда не опускается ниже нижней границы идеальной структуры , и оно минимизирует наихудший случай перепредставленности в законодательном органе. ^[13] Однако метод д'Ондта плохо работает, если судить по большинству показателей пропорциональности. ^[17] Правило обычно дает крупным партиям чрезмерное количество мест, причем их доля мест обычно превышает идеальную долю, округленную в большую сторону. ^[6]^{: 81}

Эта патология привела к широко распространенным насмешкам над методом д'Ондта, когда стало ясно, что он «округлит» распределение мест в Нью-Йорке с 40,5 до 42, а сенатор Мэлон Дикерсон заявил, что дополнительное место должно исходить от « духов ушедших представителей ». ^[6]^{: 34}

Метод Адамса

Метод Адамса был придуман Джоном Куинси Адамсом после того, как он заметил, что метод д'Ондта выделяет слишком мало мест более мелким штатам. ^[18] Его можно описать как обратный метод д'Ондта; он присуждает место партии, которая имеет наибольшее количество голосов на место, прежде чем добавляется новое место. Функция делителя — $post(k) = k$ , что эквивалентно постоянному округлению в большую сторону. ^[17]

Распределение Адамса никогда не превышает верхнюю границу идеальной структуры и минимизирует наихудший случай недопредставленности. ^[13] Однако нарушения нижней квоты мест являются обычным явлением. ^[19] Как и метод д'Ондта, метод Адамса плохо работает в соответствии с большинством показателей пропорциональности. ^[17]

Метод Адамса был предложен как часть Кембриджского компромисса по распределению мест в Европейском парламенте между государствами-членами с целью соблюдения регрессивной пропорциональности . ^[20]

Метод Сент-Лаге (Вебстера)

Метод Вебстера или Сент-Лаге, впервые описанный в 1832 году американским государственным деятелем и сенатором Дэниелом Вебстером , а затем независимо изобретенный в 1910 году французским математиком Андре Сент-Лаге , использует последовательность столбов $post(k) = k +.5$ (т.е. 0.5, 1.5, 2.5); это соответствует стандартному правилу округления . Эквивалентно, нечетные целые числа (1, 3, 5…) могут быть использованы для вычисления средних значений. ^[13]^[21]

Метод Сент-Лаге производит более пропорциональные распределения, чем метод д'Ондта, почти по всем показателям искажения. ^[22] Таким образом, политологи и математики обычно предпочитают его методу д'Ондта, по крайней мере в ситуациях, когда манипуляция затруднена или маловероятна (как в больших парламентах). ^[23] Он также примечателен тем, что минимизирует предвзятость мест , даже когда имеешь дело с партиями, которые выигрывают очень небольшое количество мест. ^[24] Метод Сент-Лаге теоретически может нарушать правило идеальной доли , хотя это случается крайне редко даже для умеренно больших парламентов; он никогда не нарушал квоту ни в одном распределении в Конгрессе Соединенных Штатов . ^[23]

В небольших округах без порога партии могут манипулировать Сент-Лагуэ, разделяясь на множество списков, каждый из которых выигрывает полное место с меньшим количеством голосов, чем квота Харе . Это часто решается путем изменения первого делителя на немного большее значение (часто значение 0,7 или 1), что создает неявный порог . ^[25]

Метод Хантингтона–Хилла

В методе Хантингтона–Хилла последовательность указателей — это $post(k) = \sqrt k (k +1)$ , геометрическое среднее соседних чисел. Концептуально этот метод округляет до целого числа, которое имеет наименьшую относительную (процентную) разницу . Например, разница между 2,47 и 3 составляет около 19%, тогда как разница с 2 составляет около 21%, поэтому 2,47 округляется в большую сторону. Этот метод используется для распределения мест в Палате представителей США между штатами, ^[13] но никогда не использовался ни на каких законодательных выборах в других местах.

Метод Хантингтона-Хилла, как правило, дает очень похожие результаты с методом Сент-Лаге; когда они впервые использовались для распределения мест в Конгрессе , эти два метода отличались только тем, выделяли ли они одно место Мичигану или Арканзасу . ^[6]^{: 58}

Сравнение свойств

Распределение мест по нулевому принципу

Методы Хантингтона-Хилла, Дина и Адамса имеют значение 0 для первого столба, что дает среднее значение ∞. Таким образом, без порога все партии, получившие хотя бы один голос, также получат хотя бы одно место. ^[13] Это свойство может быть желательным (как при распределении мест по штатам ) или нежелательным (как при распределении мест по партийным спискам на выборах), в этом случае первый делитель может быть скорректирован для создания естественного порога. ^[26]

Предвзятость

Существует множество метрик смещения мест . Хотя метод Сент-Лаге иногда описывается как «уникально» несмещенный, ^[23] это свойство уникальности опирается на техническое определение смещения как ожидаемой разницы между числом мест штата и его идеальной долей. Другими словами, метод называется несмещенным, если число мест, которое получает штат, в среднем по многим выборам равно его идеальной доле. ^[23]

Согласно этому определению, метод Сент-Лаге является наименее предвзятым методом распределения, ^[24] в то время как Хантингтон-Хилл демонстрирует умеренную предвзятость в сторону более мелких партий. ^[23] Однако другие исследователи отметили, что несколько иные определения предвзятости, как правило, основанные на процентных ошибках , приводят к противоположному результату (метод Хантингтон-Хилла является несмещенным, в то время как метод Сент-Лаге слегка предвзят в сторону крупных партий). ^[24]^[27]

На практике разница между этими определениями невелика, когда речь идет о партиях или штатах с более чем одним местом. ^[24] Таким образом, оба метода — Хантингтон-Хилл и Сент-Лаге — можно считать беспристрастными или малопредвзятыми (в отличие от методов д'Ондта или Адамса). ^[24]^[27] В докладе 1929 года Конгрессу Национальной академии наук рекомендовался метод Хантингтон-Хилла, ^[28] в то время как Верховный суд постановил, что выбор является вопросом мнения. ^[27]

Сравнение и примеры

Пример: д'Ондт

Следующий пример показывает, как метод d'Hondt может существенно отличаться от менее предвзятых методов, таких как Sainte-Laguë. На этих выборах крупнейшая партия получает 46% голосов, но занимает 52,5% мест, что достаточно, чтобы выиграть большинство напрямую против коалиции всех остальных партий (которые вместе достигают 54% голосов). Более того, это происходит с нарушением квоты: крупнейшая партия имеет право только на 9,7 мест, но она все равно выигрывает 11. Самый большой избирательный округ почти в два раза больше самого маленького округа. Метод Sainte-Laguë не демонстрирует ни одного из этих свойств, с максимальной ошибкой 22,6%.

Пример: Адамс

Следующий пример демонстрирует случай, когда метод Адамса не обеспечивает большинства партии, набравшей 55% голосов, что снова является нарушением ее квоты.

Пример: Все системы

Ниже показан отработанный пример для всех систем голосования. Обратите внимание, как методы Хантингтона-Хилла и Адамса дают каждой партии одно место, прежде чем назначать больше, в отличие от Сент-Лаге или д'Ондта.

Характеристики

Монотонность

Методы делителей обычно предпочитаются математиками методам наибольшего остатка ^[29] , потому что они менее подвержены парадоксам распределения . ^[30] В частности, методы делителей удовлетворяют монотонности населения , т.е. голосование за партию никогда не может привести к потере ею мест. ^[30] Такие парадоксы населения возникают при увеличении избирательной квоты , что может привести к неравномерной реакции остатков различных штатов. ^[6]^{: Tbl.A7.2} Методы делителей также удовлетворяют монотонности ресурсов или палат , которая гласит, что увеличение числа мест в законодательном органе не должно приводить к потере штатом места. ^[30]^[6]^{: Cor.4.3.1}

Мин-Макс неравенство

Каждый метод делителя может быть определен с использованием неравенства min-max. Если скобки обозначают индексацию массива, распределение допустимо тогда и только тогда, когда: ^[13]^{: 78–81}

$макс .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠голоса[партия]/пост(места[партия])⁠ ≤ мин ⁠голоса[партия]/пост(места[партия]+1)⁠$

Другими словами, невозможно снизить наивысший средний показатель голосов, переназначив место от одной партии к другой. Каждое число в этом диапазоне является возможным делителем. Если неравенство строгое, решение уникально; в противном случае на этапе окончательного распределения голосов будет ровно поровну. ^[13]^{: 83}

Методические семейства

Описанные выше методы делителей можно обобщить в семейства.

Обобщенное среднее

В общем случае можно построить метод распределения из любой обобщенной средней функции, определив указательную функцию как $post(k) = avg(k, k +1)$ . ^[13]

Стационарная семья

Метод делителей называется стационарным ^[31]^{: 68,} если для некоторого действительного числа его указатели имеют вид . Методы Адамса, Сент-Лаге и д'Ондта являются стационарными, тогда как Дина и Хантингтона-Хилла — нет. Стационарный метод соответствует округлению чисел в большую сторону, если они превышают взвешенное арифметическое среднее k $и$ k $+1$ $.$ [ ^13] Меньшие значения $r$ более благоприятны для меньших партий. ^[24] $r\in [0,1]$ $d(k)=k+r$

Датские выборы распределяют выравнивающие места на уровне провинции с использованием избирательных округов с членами. Это делит количество голосов, полученных партией в многомандатном избирательном округе, на 0,33, 1,33, 2,33, 3,33 и т. д. Последовательность столбов задается как $post(k) = k + 1 ⁄ 3$ ; это направлено на распределение мест ближе к равному, а не точно пропорционально. ^[32]

Власть означает семью

Семейство методов степенного среднего делителей включает методы Адамса, Хантингтона-Хилла, Сент-Лаге, Дина и д'Ондта (либо напрямую, либо в виде пределов). Для заданной константы $p$ метод степенного среднего имеет указательную функцию $post(k) = p \sqrt k p + (k +1) p$ . Метод Хантингтона-Хилла соответствует пределу, когда $p$ стремится к 0, в то время как Адамс и д'Ондт представляют пределы, когда $p$ стремится к отрицательной или положительной бесконечности. ^[13]

Семейство также включает менее распространенный метод Дина для $p =-1$ , который соответствует гармоническому среднему . Метод Дина эквивалентен округлению до ближайшего среднего значения — в каждом штате число мест округляется таким образом, чтобы минимизировать разницу между средним размером округа и идеальным размером округа. Например: ^[33]^{: 29}

В 1830 году репрезентативное население Массачусетса составляло 610 408 человек: если бы он получил 12 мест, средний размер его избирательного округа составил бы 50 867 человек; если бы он получил 13, то был бы 46 954. Таким образом, если бы делитель был 47 700, как предлагал Полк, Массачусетс должен был бы получить 13 мест, потому что 46 954 ближе к 47 700, чем 50 867.

Округление до среднего значения голосов с наименьшей относительной ошибкой снова дает метод Хантингтона-Хилла, потому что $| log(x ⁄ y) | = | log(y ⁄ x) |$ , т. е. относительные различия обратимы. Этот факт был центральным для использования Эдвардом В. Хантингтоном относительных (вместо абсолютных) ошибок при измерении искажения и для его поддержки метода Хантингтона-Хилла: ^[34] Хантингтон утверждал, что выбор метода распределения не должен зависеть от того, как перестраивается уравнение для равного представительства, и только относительные ошибки (т. е. метод Хантингтона-Хилла) удовлетворяют этому свойству. ^[33]^{: 53}

Семья Столярских

Аналогично, среднее Столярского может быть использовано для определения семейства методов делителей, которые минимизируют обобщенный индекс энтропии искажения. ^[35] Это семейство включает логарифмическое среднее , геометрическое среднее , тождественное среднее и арифметическое среднее . Среднее Столярского может быть обосновано как минимизирующее эти метрики искажения, которые имеют большое значение в изучении теории информации . ^[36]

Модификации

Пороги

Во многих странах существуют избирательные пороги для представительства, где партии должны набрать определенную долю голосов, чтобы быть представленными; партии, набравшие меньше голосов, чем требуется для представительства, исключаются. ^[25] Другие страны изменяют первый делитель, чтобы ввести естественный порог ; при использовании метода Сент-Лаге первый делитель часто устанавливается равным 0,7 или 1,0 (последний называется модификацией полного места ). ^[25]

Пункт о сохранении большинства

Пункт о сохранении большинства гарантирует, что любая партия, получившая большинство голосов, получит не менее половины мест в законодательном органе. ^[25] Без такого пункта партия, набравшая чуть больше половины голосов, может получить чуть меньше половины мест (если использовать метод, отличный от метода Д'Ондта). ^[25] Обычно это достигается путем добавления мест в законодательный орган до тех пор, пока не будет найдено распределение, которое сохранит большинство для парламента. ^[25]

Метод делителя с ограничением квоты

Метод делителя с ограничением квот — это метод распределения, при котором мы начинаем с назначения каждому штату его нижней квоты мест. Затем мы добавляем места одно за другим в штат с самым высоким средним числом голосов на место, пока добавление дополнительного места не приводит к превышению штатом его верхней квоты. ^[37] Однако методы делителя с ограничением квот нарушают критерий участия (также называемый монотонностью населения ) — партия может потерять место в результате получения большего количества голосов. ^[38]^{: Tbl.A7.2}

Ссылки

^ ab Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ред.), «Методы деления деления: разделение и округление», Пропорциональное представление: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 71–93, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_4, ISBN 978-3-319-64707-4, получено 2021-09-01
^ ab Pukelsheim, Friedrich (2017), «От действительных чисел к целым: функции округления, правила округления», Пропорциональное представление: методы распределения и их применение , Springer International Publishing, стр. 71–93, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_4, ISBN 978-3-319-64707-4, получено 2021-09-01
^ ab Balinski, Michel L.; Young, H. Peyton (1982). Справедливое представительство: встреча с идеалом «Один человек, один голос» . New Haven: Yale University Press. ISBN 0-300-02724-9.
^ Рикка, Федерика; Скоццари, Андреа; Серафини, Паола (2017). «Путеводитель по математике распределения мест и политического районирования». В Эндрисс, Улле (ред.). Тенденции в вычислительном социальном выборе. Lulu.com. стр. 49–68. ISBN 978-1-326-91209-3.
^ ab Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ред.), «Обеспечение системной согласованности: согласованность и парадоксы», Пропорциональное представление: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 159–183, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_9, ISBN 978-3-319-64707-4, получено 2024-05-10
^ abcdefghi Балински, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (1982). Справедливое представительство: встреча с идеалом «Один человек, один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9.
^ Данчишин, Владимир (01.01.2017). «Парадокс неявки в словацкой пропорциональной системе партийных списков». Human Affairs . 27 (1): 15–21. doi :10.1515/humaff-2017-0002. ISSN 1337-401X.
^ Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (ред.), «Разоблачение методов: выборы в Европейский парламент 2014 года», Пропорциональное представительство: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 1–40, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_1, ISBN 978-3-319-64707-4, получено 2024-07-03
^ ab Argersinger, Peter H., ред. (2012), ""Несправедливость и неравенство": политика распределения, 1870–1888", Представительство и неравенство в Америке конца девятнадцатого века: политика распределения , Кембридж: Cambridge University Press, стр. 8–41, doi : 10.1017/cbo9781139149402.002, ISBN 978-1-139-14940-2, получено 2024-08-04 , Распределение не только определяло полномочия различных штатов в Конгрессе, но и, поскольку оно также распределяло выборщиков, напрямую влияло на выборы президента. Действительно, своеобразное распределение 1872 года, принятое в нарушение действующего закона, предписывающего метод распределения мест, было напрямую ответственно за избрание в 1876 году Резерфорда Б. Хейса с меньшинством голосов избирателей. Если бы был использован предыдущий метод, даже Избирательная комиссия не смогла бы разместить Хейса в Белом доме.
^ Колфилд, Майкл Дж. (2012). «Что если? Как методы распределения выбирают наших президентов». Учитель математики . 106 (3): 178–183. doi :10.5951/mathteacher.106.3.0178. ISSN 0025-5769. JSTOR 10.5951/mathteacher.106.3.0178.
^ Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (ред.), «Методы деления деления: разделение и округление», Пропорциональное представление: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 71–93, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_4, ISBN 978-3-319-64707-4, получено 2021-09-01
^ Пукельсхайм, Фридрих (2017), «От действительных чисел к целым: функции округления, правила округления», Пропорциональное представление: методы распределения и их применение , Springer International Publishing, стр. 71–93, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_4, ISBN 978-3-319-64707-4, получено 2021-09-01
^ abcdefghijklmnopqrst Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (ред.), «Методы деления деления: разделение и округление», Пропорциональное представление: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 71–93, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_4, ISBN 978-3-319-64707-4, получено 2021-09-01
^ Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (ред.), «Нацеливание на размер дома: распределение несоответствий», Пропорциональное представительство: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 107–125, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_6, ISBN 978-3-319-64707-4, получено 2024-05-10
^ Пукельсхайм, Фридрих (2017), «От действительных чисел к целым: функции округления, правила округления», Пропорциональное представление: методы распределения и их применение , Springer International Publishing, стр. 71–93, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_4, ISBN 978-3-319-64707-4, получено 2021-09-01
^ Галлахер, Майкл (1991). "Пропорциональность, диспропорциональность и избирательные системы" (PDF) . Электоральные исследования . 10 (1): 33–51. doi :10.1016/0261-3794(91)90004-C. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-04.
^ abc Галлахер, Майкл (1992). «Сравнение избирательных систем пропорционального представительства: квоты, пороги, парадоксы и большинство» (PDF) . British Journal of Political Science . 22 (4): 469–496. doi :10.1017/S0007123400006499. ISSN 0007-1234. S2CID 153414497.
^ "Распределение представителей в Конгрессе США - Метод распределения Адамса | Математическая ассоциация Америки". www.maa.org . Получено 11 ноября 2020 г.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ Ичимори, Тецуо (2010). «Новые методы распределения и их свойство квот». JSIAM Letters . 2 : 33–36. doi : 10.14495/jsiaml.2.33 . ISSN 1883-0617.
^ Распределение мест в Европейском парламенте между государствами-членами ЕС (PDF) (Отчет). Европейский парламент. 2011.
^ Сент-Лаге, Андре. «Пропорциональное изображение и метод моей карре». Научные анналы высшей нормальной школы. Том. 27. 1910.
^ Пенниси, Алин (март 1998 г.). «Индексы диспропорциональности и надежность методов пропорционального распределения». Электоральные исследования . 17 (1): 3–19. doi :10.1016/S0261-3794(97)00052-8.
^ abcde Балински, ML; Янг, HP (январь 1980). "Метод распределения Вебстера". Труды Национальной академии наук . 77 (1): 1–4. Bibcode :1980PNAS...77....1B. doi : 10.1073/pnas.77.1.1 . ISSN 0027-8424. PMC 348194 . PMID 16592744.
^ abcdef Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (ред.), «Оказание поддержки одним за счет других: смещения мест», Пропорциональное представительство: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 127–147, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_7, ISBN 978-3-319-64707-4, получено 2024-05-10
^ abcdef Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (ред.), «Особенности отслеживания: пороги голосования и положения большинства», Пропорциональное представительство: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 207–223, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_11, ISBN 978-3-319-64707-4, получено 2024-05-10
^ Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (ред.), «Усечение диапазонов мест: ограничения минимума-максимума», Пропорциональное представительство: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 225–245, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_12, ISBN 978-3-319-64707-4, получено 2024-05-10
^ abc Эрнст, Лоуренс Р. (1994). «Методы распределения для Палаты представителей и судебные разбирательства». Management Science . 40 (10): 1207–1227. doi :10.1287/mnsc.40.10.1207. ISSN 0025-1909. JSTOR 2661618.
^ Хантингтон, Эдвард В. (1929). «Отчет Национальной академии наук о перераспределении». Science . 69 (1792): 471–473. doi :10.1126/science.69.1792.471. ISSN 0036-8075. JSTOR 1653304. PMID 17750282.
^ Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (ред.), «Квоты методов распределения: разделение и ранжирование», Пропорциональное представительство: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 95–105, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_5, ISBN 978-3-319-64707-4, получено 2024-05-10
^ abc Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ред.), «Обеспечение системной согласованности: согласованность и парадоксы», Пропорциональное представление: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 159–183, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_9, ISBN 978-3-319-64707-4, получено 2024-05-10
^ Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (ред.), «От действительных чисел к целым: функции округления и правила округления», Пропорциональное представление: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 59–70, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_3, ISBN 978-3-319-64707-4, получено 2021-09-01
^ "Парламентская избирательная система в Дании". Архивировано из оригинала 28-08-2016.
^ ab Balinski, Michel L.; Young, H. Peyton (1982). Справедливое представительство: встреча с идеалом «Один человек, один голос» . New Haven: Yale University Press. ISBN 0-300-02724-9.
^ Лауэрс, Люк; Ван Пуенбрук, Том (2008). «Минимально непропорциональное представление: обобщенная энтропия и методы распределения среднего Столярского». Электронный журнал SSRN . doi : 10.2139/ssrn.1304628. ISSN 1556-5068. S2CID 124797897.
^ Вада, Дзюнъитиро (2012-05-01). «Метод распределения делителей, основанный на функции общественного благосостояния Колма–Аткинсона и обобщенной энтропии». Математические социальные науки . 63 (3): 243–247. doi :10.1016/j.mathsocsci.2012.02.002. ISSN 0165-4896.
^ Агню, Роберт А. (апрель 2008 г.). «Оптимальное распределение в Конгрессе». The American Mathematical Monthly . 115 (4): 297–303. doi :10.1080/00029890.2008.11920530. ISSN 0002-9890. S2CID 14596741.
^ Балински, ML; Янг, HP (1975-08-01). «Метод квотирования распределения». The American Mathematical Monthly . 82 (7): 701–730. doi :10.1080/00029890.1975.11993911. ISSN 0002-9890.
^ Балински, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (1982). Справедливое представительство: встреча с идеалом «Один человек, один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9.