Метрика Кэли–Клейна

Метрическое расстояние между двумя точками внутри абсолюта равно логарифму двойного отношения, образованного этими двумя точками и двумя пересечениями их линии с абсолютом.

В математике метрика Кэли–Клейна — это метрика на дополнении фиксированной квадрики в проективном пространстве , которая определяется с помощью перекрестного отношения . Конструкция возникла из эссе Артура Кэли «О теории расстояния» ^[1] , где он называет квадрику абсолютом . Конструкция была более подробно разработана Феликсом Клейном в статьях 1871 и 1873 годов, а также в последующих книгах и статьях. ^{[2] [3] [4] [5] [6] [ 7] [ 8] [9]} Метрики Кэли–Клейна являются объединяющей идеей в геометрии, поскольку этот метод используется для предоставления метрик в гиперболической геометрии , эллиптической геометрии и евклидовой геометрии . Область неевклидовой геометрии во многом покоится на фундаменте, предоставляемом метриками Кэли–Клейна.

Фонды

Алгебра бросков Карла фон Штаудта (1847) — это подход к геометрии, который не зависит от метрики . Идея заключалась в том, чтобы использовать отношение проективных гармонических сопряжений и перекрестных отношений в качестве фундаментального для меры на прямой. ^[10] Другим важным открытием была формула Лагерра Эдмона Лагерра (1853), который показал, что евклидов угол между двумя прямыми может быть выражен как логарифм перекрестного отношения. ^[11] В конце концов, Кэли (1859) сформулировал соотношения для выражения расстояния в терминах проективной метрики и связал их с общими квадриками или кониками, выступающими в качестве абсолюта геометрии. ^{[12] [13]} Клейн (1871, 1873) удалил последние остатки метрических концепций из работы фон Штаудта и объединил ее с теорией Кэли, чтобы основать новую метрику Кэли на логарифме и двойном отношении как числе, полученном геометрическим расположением четырех точек. ^[14] Эта процедура необходима, чтобы избежать кругового определения расстояния, если двойное отношение является просто двойным отношением ранее определенных расстояний. ^[15] В частности, он показал, что неевклидовы геометрии могут быть основаны на метрике Кэли–Клейна. ^[16]

Геометрия Кэли–Клейна — это изучение группы движений , которые оставляют метрику Кэли–Клейна инвариантной . Она зависит от выбора квадрики или коники, которая становится абсолютом пространства. Эта группа получается как коллинеации , для которых абсолют устойчив . Действительно, перекрестное отношение инвариантно относительно любой коллинеации, а устойчивый абсолют позволяет провести метрическое сравнение, которое будет равенством. Например, единичная окружность является абсолютом модели диска Пуанкаре и модели Бельтрами–Клейна в гиперболической геометрии . Аналогично, действительная прямая является абсолютом модели полуплоскости Пуанкаре .

Масштаб геометрии Кэли-Клейна был обобщен Хорстом и Рольфом Струве в 2004 году: ^[17]

В реальной проективной прямой существует три абсолюта, в реальной проективной плоскости — семь, а в реальном проективном пространстве — 18. Все классические неевклидовы проективные пространства, такие как гиперболические, эллиптические, галилеевские и минковские, а также их двойственные, могут быть определены таким образом.

Диаграммы Кэли-Клейна- Вороного являются аффинными диаграммами с линейными гиперплоскостными биссектрисами. ^[18]

Двойное отношение и расстояние

Метрика Кэли–Клейна впервые проиллюстрирована на вещественной проективной прямой P( R ) и проективных координатах . Обычно проективная геометрия не ассоциируется с метрической геометрией, но устройство с гомографией и натуральным логарифмом устанавливает связь. Начнем с двух точек p и q на P( R ). В каноническом вложении они равны [ p :1] и [ q :1]. Гомографическое отображение

${\displaystyle [z:1]{\begin{pmatrix}-1&1\\p&-q\end{pmatrix}}=[p-z:z-q]}$

переводит p в ноль, а q в бесконечность. Более того, средняя точка ( p + q )/2 переходит в [1:1]. Натуральный логарифм переводит изображение интервала [ p , q ] в вещественную прямую, причем логарифм изображения средней точки равен 0.

Для расстояния между двумя точками в интервале метрика Кэли–Клейна использует логарифм отношения точек. Поскольку отношение сохраняется, когда числитель и знаменатель одинаково перепропорционированы, логарифм таких отношений сохраняется. Эта гибкость отношений позволяет перемещать нулевую точку для расстояния: Чтобы переместить ее в a , примените указанную выше гомографию, скажем, получив w . Затем сформируйте эту гомографию:

${\displaystyle [z:1]{\begin{pmatrix}1&0\\0&w\end{pmatrix}}}$что преобразует [ w ,1] в [1:1].

Композиция первой и второй гомографии переводит a в 1, тем самым нормализуя произвольное a в интервале. Составленные гомографии называются кросс-гомографией p , q и a . Часто кросс-отношение вводится как функция четырех значений. Здесь три определяют гомографию, а четвертое является аргументом гомографии . Расстояние этой четвертой точки от 0 является логарифмом оцененной гомографии.

В проективном пространстве, содержащем P( R ), предположим, что задана коника K с p и q на K . Гомография на большем пространстве может иметь K как инвариантное множество , поскольку она переставляет точки пространства. Такая гомография индуцирует единицу на P( R ), и поскольку p и q остаются на K , перекрестное отношение остается инвариантным. Более высокие гомографии обеспечивают движения области, ограниченной K , с движением, сохраняющим расстояние, изометрию .

Дисковые приложения

Предположим, что для абсолюта выбрана единичная окружность. Она может быть в P ² ( R ) как

${\displaystyle \{[x:y:z]:x^{2}+y^{2}=z^{2}\}}$что соответствует ${\displaystyle (x/z)^{2}+(y/z)^{2}=1.}$

С другой стороны, единичная окружность в обычной комплексной плоскости

${\displaystyle \{z:|z|^{2}=zz^{*}=1\}}$использует арифметику комплексных чисел

и находится в комплексной проективной прямой P( C ), что отличается от действительной проективной плоскости P ² ( R ). Понятие расстояния для P( R ), введенное в предыдущем разделе, доступно, поскольку P( R ) включено как в P ² ( R ), так и в P( C ). Допустим, a и b являются внутренними по отношению к окружности в P ² ( R ). Тогда они лежат на прямой, которая пересекает окружность в точках p и q . Расстояние от a до b является логарифмом значения гомографии, созданной выше p , q и a , применительно к b . В этом случае геодезические в круге являются отрезками прямых.

С другой стороны, геодезические являются дугами обобщенных окружностей в круге комплексной плоскости. Этот класс кривых переставляется преобразованиями Мёбиуса , источником движений этого круга, которые оставляют единичный круг как инвариантное множество . При заданных a и b в этом круге существует единственная обобщенная окружность, которая встречается с единичным кругом под прямым углом, скажем, пересекая его в точках p и q . Опять же, для расстояния от a до b сначала строится гомография для p, q и a , затем оценивается в b и, наконец, используется логарифм. Две модели гиперболической плоскости, полученные таким образом, — это модель Кэли–Клейна и модель диска Пуанкаре .

Специальная теория относительности

В своих лекциях по истории математики 1919/20 гг., опубликованных посмертно в 1926 г., Клейн писал: ^[19]

Случай в четырехмерном мире (если оставаться в трех измерениях и использовать однородные координаты ) в последнее время приобрел особое значение благодаря теории относительности в физике. ${\textstyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}$ ${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dt^{2}=0}$

То есть абсолюты или в гиперболической геометрии (как обсуждалось выше) соответствуют интервалам или в пространстве-времени , и его преобразование, оставляющее абсолют инвариантным, может быть связано с преобразованиями Лоренца . Аналогично уравнения единичной окружности или единичной сферы в гиперболической геометрии соответствуют физическим скоростям или в теории относительности, которые ограничены скоростью света c , так что для любой физической скорости v отношение v / c ограничено внутренней частью единичной сферы, а поверхность сферы образует абсолют Кэли для геометрии. ${\textstyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0}$ ${\textstyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}$ ${\textstyle x^{2}+y^{2}-t^{2}=0}$ ${\textstyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}$ ${\textstyle {\bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}=1}$ ${\textstyle {\bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dz}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}=1}$ 

Дополнительные подробности о связи между метрикой Кэли–Клейна для гиперболического пространства и пространством Минковского специальной теории относительности были указаны Клейном в 1910 году ^[20] , а также в издании его лекций по неевклидовой геометрии 1928 года ^{[21] .}

Аффинная CK-геометрия

В 2008 году Хорст Мартини и Маргарита Спирова обобщили первую теорему Клиффорда об окружности и другие теоремы евклидовой геометрии, используя аффинную геометрию , связанную с абсолютом Кэли:

Если абсолют содержит прямую, то получаем подсемейство аффинных геометрий Кэли–Клейна . Если абсолют состоит из прямой f и точки F на f , то имеем изотропную геометрию . Изотропная окружность — это коника, касающаяся f в точке F. ^[22]

Используйте однородные координаты ( x,y,z ). Линия f на бесконечности имеет координату z = 0. Если F = (0,1,0), то парабола с диаметром, параллельным оси y, является изотропной окружностью.

Пусть P = (1,0,0) и Q = (0,1,0) будут на абсолюте, так что f будет таким же, как и выше. Прямоугольная гипербола в плоскости ( x,y ) считается проходящей через P и Q на линии в бесконечности. Эти кривые являются псевдоевклидовыми окружностями.

Обработка Мартини и Спировой использует дуальные числа для изотропной геометрии и расщепленные комплексные числа для псевдоевклидовой геометрии. Эти обобщенные комплексные числа ассоциируются со своими геометриями так же, как обычные комплексные числа ассоциируются с евклидовой геометрией.

История

Кейли

Недавно в ходе беседы возник вопрос о том, может ли диссертация из 2 строк заслуживать и получать стипендию. ... Проективное определение длины Кэли является наглядным примером, если мы можем интерпретировать «2 строки» с разумной свободой. ... У Кэли важность этой идеи очевидна с первого взгляда.

Литтлвуд (1986, стр. 39–40)

Артур Кэли (1859) определил «абсолют», на котором он основал свою проективную метрику, как общее уравнение поверхности второй степени в терминах однородных координат : ^[1]

Расстояние между двумя точками тогда определяется как

В двух измерениях

с расстоянием

из которых он обсудил частный случай с расстоянием ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$

$${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {xx'+yy'+zz'}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt {x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}}}}}$$

Он также сослался на случай (единичной сферы). ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$

Кляйн

Феликс Клейн (1871) переформулировал выражения Кэли следующим образом: он записал абсолют (который он назвал фундаментальным коническим сечением) в терминах однородных координат: ^[23]

и, образовав абсолюты и для двух элементов, он определил метрическое расстояние между ними в терминах перекрестного отношения: ${\displaystyle \Omega _{xx}}$ ${\displaystyle \Omega _{yy}}$

$${\displaystyle c\log {\frac {\Omega _{xy}+{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}{\Omega _{xy}-{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}}=2ic\cdot \arccos {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}}$$

На плоскости сохраняются те же соотношения для метрических расстояний, за исключением того, что и теперь связаны с тремя координатами каждая. В качестве фундаментального конического сечения он рассмотрел особый случай , который относится к гиперболической геометрии, когда действителен, и к эллиптической геометрии, когда мним. ^[24] Преобразования, оставляющие инвариантной эту форму, представляют движения в соответствующем неевклидовом пространстве. В качестве альтернативы он использовал уравнение окружности в форме , которое относится к гиперболической геометрии, когда является положительным (модель Бельтрами–Клейна) или к эллиптической геометрии, когда является отрицательным. ^[25] В пространстве он рассмотрел фундаментальные поверхности второй степени, согласно которым мнимые относятся к эллиптической геометрии, действительные и прямолинейные соответствуют однополостному гиперболоиду без связи ни с одной из трех основных геометрий, в то время как действительные и непрямолинейные относятся к гиперболическому пространству. ${\displaystyle \Omega _{xx}}$ ${\displaystyle \Omega _{yy}}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle \Omega _{xx}=z_{1}z_{2}-z_{3}^{2}=0}$ ${\displaystyle \Omega _{xx}=x^{2}+y^{2}-4c^{2}=0}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

В своей статье 1873 года он указал на связь между метрикой Кэли и группами преобразований. ^[26] В частности, квадратные уравнения с действительными коэффициентами, соответствующие поверхностям второй степени, могут быть преобразованы в сумму квадратов, у которых разность между числом положительных и отрицательных знаков остается одинаковой (сейчас это называется законом инерции Сильвестра ). Если знак всех квадратов одинаков, поверхность является мнимой с положительной кривизной. Если один знак отличается от других, поверхность становится эллипсоидом или двуполостным гиперболоидом с отрицательной кривизной.

В первом томе своих лекций по неевклидовой геометрии в зимнем семестре 1889/90 г. (опубликованном в 1892/1893 г.) он рассмотрел неевклидову плоскость, используя следующие выражения для абсолюта: ^[27] и обсудил их инвариантность относительно коллинеаций и преобразований Мёбиуса, представляющих движения в неевклидовых пространствах. $${\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\rightarrow {\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+4k^{2}t^{2}=0&{\text{(elliptic)}}\\x^{2}+y^{2}-4k^{2}t^{2}=0&{\text{(hyperbolic)}}\end{matrix}}}$$

Во втором томе, содержащем лекции летнего семестра 1890 года (также опубликованном в 1892/1893 годах), Клейн рассмотрел неевклидово пространство с метрикой Кэли ^[28] и продолжил показывать, что варианты этой кватернарной квадратичной формы могут быть приведены к одной из следующих пяти форм с помощью действительных линейных преобразований ^[29] $${\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta =1}^{4}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}&{\text{(zero part)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(oval)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(ring)}}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}+z_{4}^{2}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}\end{aligned}}}$$

Эта форма использовалась Клейном как абсолют Кэли эллиптической геометрии ^[30] , тогда как с гиперболической геометрией он связывал в качестве альтернативы уравнение единичной сферы ^[31] . В конце концов он обсудил их инвариантность относительно коллинеаций и преобразований Мёбиуса, представляющих движения в неевклидовых пространствах. ${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}=0}$ ${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0}$

Роберт Фрике и Клейн суммировали все это во введении к первому тому лекций по автоморфным функциям в 1897 году, в котором они использовали как абсолют в плоской геометрии, а также для гиперболического пространства. ^[32] Лекции Клейна по неевклидовой геометрии были посмертно переизданы в виде одного тома и значительно отредактированы Вальтером Роземанном в 1928 году. ^[9] Исторический анализ работы Клейна по неевклидовой геометрии был дан А'Кампо и Пападопулосом (2014). ^[16] ${\displaystyle e\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)-z_{3}^{2}=0}$ ${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$ ${\displaystyle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1}$

Смотрите также

• метрика Гильберта

Цитаты

1. Cayley (1859), стр. 82, §§209–229
2. Клейн (1871)
3. Клейн (1873)
4. Клейн (1893a)
5. Клейн (1893б)
6. Фрике и Кляйн (1897)
7. Кляйн (1910)
8. Кляйн (1926)
9. Klein (1928)
10. Кляйн (1928), стр. 163
11. Кляйн (1928), стр. 138
12. Кляйн (1928), стр. 303
13. Пирпонт (1930), стр. 67 и далее.
14. Кляйн (1928), стр. 163, 304
15. Рассел (1898), стр. 32
16. A'Campo & Papadopoulos (2014)
17. Струве и Струве (2004), с. 157
18. Нильсен (2016)
19. Кляйн (1926), стр. 138
20. Кляйн (1910)
21. Кляйн (1928), глава XI, §5
22. Мартини и Спирова (2008)
23. Клейн (1871), стр. 587
24. Клейн (1871), стр. 601
25. Клейн (1871), стр. 618
26. Клейн (1873), §7
27. Клейн (1893a), стр. 64, 94, 109, 138
28. Клейн (1893б), стр. 61
29. Клейн (1893б), стр. 64
30. Клейн (1893b), стр. 76 и далее, 108 и далее.
31. Клейн (1893b), стр. 82 и далее, 142 и далее
32. Фрике и Кляйн (1897), стр. 1–60, Введение.

Ссылки

Исторический

• фон Штаудт, К. (1847). Геометрия дер Лаге. Нюрнберг: Нюрнберг Ф. Корн.
• Лагер, Э. (1853). «Примечание к теории фойе». Новые анналы математики . 12 : 57–66.
• Кейли, А. (1859). «Шестой мемуар о квантике». Философские труды Лондонского королевского общества . 149 : 61–90. doi : 10.1098/rstl.1859.0004 .
• Кляйн, Ф. (1871). «Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometry». Математические Аннален . 4 (4): 573–625. дои : 10.1007/BF02100583. S2CID  119465069.
• Кляйн, Ф. (1873). «Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometry». Математические Аннален . 6 (2): 112–145. дои : 10.1007/BF01443189. S2CID  123810749.
• Кляйн, Ф. (1893a). Шиллинг, о. (ред.). Nicht-Euklidische Geometry I, Vorlesung gehalten während des Wintersemesters 1889–90. Геттинген.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)(второй тираж, первый тираж в 1892 году)
• Кляйн, Ф. (1893b). Шиллинг, о. (ред.). Nicht-Euklidische Geometrie II, Vorlesung gehalten während des Sommersemesters 1890. Геттинген.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)(второй тираж, первый тираж в 1892 году)

Вторичные источники

• Киллинг, В. (1885). Die nicht-euklidischen Raumformen. Лейпциг: Тойбнер.
• Фрике, Р.; Кляйн, Ф. (1897). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen – Erster Band: Die gruppentheoretischen Grundlagen. Лейпциг: Тойбнер.
• Рассел, Бертран (1898), Эссе об основах геометриипереиздано в 1956 году издательством Dover Publications, Inc.
• Альфред Норт Уайтхед (1898) Универсальная алгебра, книга VI Глава 1: Теория расстояния, стр. 347–370, особенно раздел 199 Теория расстояния Кэли.
• Хаусдорф, Ф. (1899). «Аналитическая работа по нихтеуклидиской геометрии». Лейпцигерская математика-физ. Берихте . 51 : 161–214. hdl :2027/hvd.32044092889328.
• Дункан Соммервилл (1910/11) «Метрики Кэли–Клейна в n -мерном пространстве», Труды Эдинбургского математического общества 28:25–41.
• Кляйн, Феликс (1921). «Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe»  . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 19 : 533–552. дои : 10.1007/978-3-642-51960-4_31. ISBN 978-3-642-51898-0.Перепечатано в книге Кляйн, Феликс (1921). Gesammelte mathematische Abhandlungen . Том. 1. С. 533–552. дои : 10.1007/978-3-642-51960-4_31.Перевод на английский язык Дэвида Делфенича: О геометрических основах группы Лоренца
• Веблен, О.; Янг, Дж. В. (1918). Проективная геометрия. Бостон: Ginn.
• Либманн, Х. (1923). Никтеуклидская геометрия. Берлин и Лейпциг: Берлин В. де Грюйтер.
• Кляйн, Ф. (1926). Курант Р.; Нойгебауэр, О. (ред.). Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik в 19 лет. Берлин: Шпрингер.; Английский перевод: Развитие математики в 19 веке М. Акермана, Math Sci Press
• Кляйн, Ф. (1928). Розманн, В. (ред.). Vorlesungen über nicht-Euklidische Geometry. Берлин: Шпрингер.
• Пирпонт, Дж. (1930). «Неевклидова геометрия, ретроспектива» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 36 (2): 66–76. doi :10.1090/S0002-9904-1930-04885-5.
• Литтлвуд, Дж. Э. (1986) [1953], Сборник Литтлвуда, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-33058-9, МР  0872858
• Харви Липкин (1985) Метрическая геометрия из Технологического института Джорджии
• Струве, Хорст; Струве, Рольф (2004), «Проективные пространства с метриками Кэли–Клейна», Журнал геометрии , 81 (1): 155–167, doi :10.1007/s00022-004-1679-5, ISSN  0047-2468, MR  2134074, S2CID  121783102
• Мартини, Хорст; Спирова, Маргарита (2008). «Геометрия окружности в аффинных плоскостях Кэли–Клейна». Periodica Mathematica Hungarica . 57 (2): 197–206. doi :10.1007/s10998-008-8197-5. S2CID  31045705.
• Струве, Хорст; Струве, Рольф (2010), «Неевклидовы геометрии: подход Кэли–Клейна», Журнал геометрии , 89 (1): 151–170, doi :10.1007/s00022-010-0053-z, ISSN  0047-2468, MR  2739193, S2CID  123015988
• A'Campo, N.; Papadopoulos, A. (2014). «О так называемой неевклидовой геометрии Клейна». В Ji, L.; Papadopoulos, A. (ред.). Sophus Lie и Felix Klein: The Erlangen Program and Its Impact in Mathematics and Physics . стр. 91–136. arXiv : 1406.7309 . doi :10.4171/148-1/5. ISBN 978-3-03719-148-4. S2CID  6389531.
• Нильсен, Франк; Музеллек, Борис; Нок, Ричард (2016), «Классификация со смесями криволинейных метрик Махаланобиса», Международная конференция IEEE по обработке изображений (ICIP) 2016 г. , стр. 241–245, doi :10.1109/ICIP.2016.7532355, ISBN 978-1-4673-9961-6, S2CID  7481968

Дальнейшее чтение

• Дрослер, Ян (1979), «Основы многомерного метрического шкалирования в геометриях Кэли–Клейна», Британский журнал математической и статистической психологии , 32 (2): 185–211