Метод Минимакс Кондорсе

Система голосования с ранжированием победителей

В системах голосования метод Minimax Condorcet — это метод голосования с ранжированием по выбору одного победителя , который всегда выбирает победителя большинства (по Кондорсе) . ^[1] Minimax сравнивает всех кандидатов друг с другом в круговом турнире , затем ранжирует кандидатов по их худшему результату выборов (результату, при котором они получили бы наименьшее количество голосов). Кандидат с наибольшим (максимальным) числом голосов в их худшем (минимальном) сопоставлении объявляется победителем.

Описание метода

Метод Минимакс Кондорсе выбирает кандидата, для которого наибольший парный балл за другого кандидата против него или нее является наименьшим таким баллом среди всех кандидатов.

Аналогия с футболом

Представьте себе, что политики соревнуются, как футбольные команды в круговом турнире , где каждая команда играет против каждой другой команды один раз. В каждом матче счет кандидата равен числу избирателей, которые поддерживают его, а не его оппонента.

Minimax находит худшую игру каждой команды (или кандидата) – ту, где они получили наименьшее количество очков (голосов). Турнирный счет каждой команды равен количеству очков, полученных в худшей игре. Первое место в турнире занимает команда с лучшим турнирным счетом.

Формальное определение

Формально, пусть обозначает парный счет для против . Тогда кандидат, выбранный по минимаксу (он же победитель), определяется как: ${\displaystyle \operatorname {score} (X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W=\arg \min _{X}\left(\max _{Y}\operatorname {score} (Y,X)\right)}$

Варианты парной оценки

Когда разрешено ранжировать кандидатов одинаково или не ранжировать всех кандидатов, возможны три интерпретации правила. Когда избиратели должны ранжировать всех кандидатов, все три варианта эквивалентны.

Пусть — число избирателей, поставивших X выше Y. Варианты определяют оценку кандидата X против Y следующим образом: ${\displaystyle d(X,Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {score} (X,Y)}$

1. Число избирателей, поставивших X выше Y , но только когда этот счет превышает число избирателей, поставивших Y выше X. Если нет, то счет X против Y равен нулю. Этот вариант иногда называют выигрышными голосами , он наиболее часто используется и предпочитаем теоретиками общественного выбора .
   • ${\displaystyle \operatorname {score} (X,Y):={\begin{cases}d(X,Y),&d(X,Y)>d(Y,X)\\0,&{\text{else}}\end{cases}}}$
2. Число избирателей, поставивших X выше Y, минус число избирателей, поставивших Y выше X. Этот вариант называется margins и используется реже.
   • ${\displaystyle \operatorname {score} (X,Y):=d(X,Y)-d(Y,X)}$
3. Число избирателей, ранжирующих X выше Y , независимо от того, больше ли избирателей ранжируют X выше Y или наоборот. Этот вариант называется парной оппозицией и также редко используется.
   • ${\displaystyle \operatorname {score} (X,Y):=d(X,Y)}$

При использовании одного из первых двух вариантов метод можно переформулировать так: «Не принимать во внимание поражение слабейшей пары до тех пор, пока один из кандидатов не останется непобежденным». «Непобежденный» кандидат имеет максимальный счет против него, который равен нулю или отрицателен.

Удовлетворенные и неудовлетворительные критерии

Минимакс с использованием выигрышных голосов или отрывов удовлетворяет критерию Кондорсе и критерию большинства , но не критерию Смита , критерию взаимного большинства или критерию проигравшего Кондорсе . При использовании выигрышных голосов минимакс также удовлетворяет критерию большинства .

Минимакс не обеспечивает независимости нерелевантных альтернатив , независимости клонов , локальной независимости нерелевантных альтернатив и независимости альтернатив, доминируемых Смитом . ^{[ необходима ссылка ]}

В варианте парной оппозиции (иногда называемом MMPO) минимакс удовлетворяет только критерию силы большинства Кондорсе ; кандидат с относительным большинством над всеми остальными не может быть избран. MMPO — это система «позднее без вреда» , а также удовлетворяет критерию искреннего фаворита .

Николаус Тидеман модифицировал минимакс, чтобы отбрасывать только те ребра, которые создают циклы Кондорсе , что позволяет его методу удовлетворять многим из вышеперечисленных свойств. Метод Шульце аналогичным образом сводится к минимаксу, когда есть только три кандидата.

Примеры

Пример с победителем Кондорсе

• в
• т
• е

Предположим, что Теннесси проводит выборы по месту расположения своей столицы . Население сосредоточено вокруг четырех крупных городов. Все избиратели хотят, чтобы столица была как можно ближе к ним. Возможны следующие варианты:

• Мемфис , крупнейший город, но далеко от других (42% избирателей)
• Нэшвилл , недалеко от центра штата (26% избирателей)
• Чаттануга , немного восточнее (15% избирателей)
• Ноксвилл , далеко на северо-востоке (17% избирателей)

Предпочтения избирателей каждого региона таковы:

Результаты парных оценок будут представлены в следующей таблице:

• [X] обозначает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке столбца, кандидату, указанному в заголовке строки.
• [Y] указывает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке строки, кандидату, указанному в заголовке столбца.

Результат: во всех трех альтернативах Нэшвилл имеет наименьшее значение и становится победителем.

Пример с победителем Кондорсе, который не был избран победителем (для парной оппозиции)

Предположим, что есть три кандидата A, B и C и избиратели со следующими предпочтениями:

Результаты будут представлены в следующей таблице:

• [X] обозначает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке столбца, кандидату, указанному в заголовке строки.
• [Y] указывает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке строки, кандидату, указанному в заголовке столбца.

Результат : С выигрышными альтернативами голосов и разницы победитель Кондорсе A объявляется победителем Минимакса. Однако, используя альтернативу парной оппозиции, победителем объявляется C , поскольку меньше избирателей решительно выступают против него в его худшем парном счете против A, чем против A в его худшем парном счете против B.

Пример без победителя Кондорсе

Предположим, что есть четыре кандидата A, B, C и D. Избирателям разрешено не рассматривать некоторых кандидатов (обозначенных в таблице как «н/п»), так что их бюллетени не учитываются при попарном подсчете баллов этих кандидатов.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

• [X] обозначает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке столбца, кандидату, указанному в заголовке строки.
• [Y] указывает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке строки, кандидату, указанному в заголовке столбца.

Результат : Каждая из трех альтернатив дает еще одного победителя:

• альтернатива с выигрышными голосами выбирает вариант А в качестве победителя, поскольку он имеет наименьшее значение в 35 голосов для победителя в его самом крупном поражении;
• альтернатива маржинального выбора выбирает B в качестве победителя, так как у него наименьшая разница голосов в его самом большом поражении;
• а парная оппозиция выбирает проигравшего по Кондорсе D в качестве победителя, так как у него наименьшее количество голосов самого большого оппонента по всем парным оценкам.

Смотрите также

• Минимакс – основная статья минимакса
• Голосование с несколькими победителями – содержит информацию о некоторых вариантах Minimax Condorcet с несколькими победителями.

Ссылки

1. "[EM] имя розы". lists.electorama.com . Получено 2024-02-12 .

• Левин, Джонатан и Барри Нейлбафф. 1995. «Введение в схемы подсчета голосов». Журнал экономических перспектив, 9(1): 3–26.

Внешние ссылки

• Описание методов голосования по рейтинговым бюллетеням: Симпсон Роба ЛеГранда
• Библиотека PHP класса Condorcet , поддерживающая несколько методов Кондорсе, включая три варианта метода Minimax.
• Electowiki: минмакс