В 7-мерной геометрии многогранник 3 21 является однородным 7-мерным многогранником , построенным в рамках симметрии группы E 7. Он был открыт Торолдом Госсетом и опубликован в его статье 1900 года. Он назвал его 7-мерной полуправильной фигурой . [1]
Его символ Коксетера — 3 21 , описывающий его бифуркационную диаграмму Коксетера-Дынкина с одним кольцом на конце одной из последовательностей из 3 узлов.
Выпрямленный 3 21 строится по точкам в средних ребрах 3 21. Двуспрямленный 3 21 строится по точкам в центрах треугольных граней 3 21. Триспрямленный 3 21 строится по точкам в тетраэдрических центрах 3 21 и совпадает с выпрямленным 1 32 .
Эти многогранники являются частью семейства из 127 (2 7 -1) выпуклых однородных многогранников в 7-мерном пространстве , состоящих из однородных граней и вершинных фигур 6-многогранников , определяемых всеми перестановками колец в этой диаграмме Коксетера-Дынкина :
.
В 7-мерной геометрии многогранник 3 21 является однородным многогранником . Он имеет 56 вершин и 702 грани: 126 3 11 и 576 6-симплексов .
Для визуализации этот 7-мерный многогранник часто отображается в специальном наклонном ортографическом направлении проекции, которое вписывает его 56 вершин в 18-угольный правильный многоугольник (называемый многоугольником Петри ). Его 756 ребер нарисованы между 3 кольцами по 18 вершин и 2 вершинами в центре. Определенные высшие элементы (грани, ячейки и т. д.) также могут быть извлечены и нарисованы на этой проекции.
1- скелет многогранника 3 21 представляет собой граф Госсета .
Этот многогранник, наряду с 7-симплексом , может замостить 7-мерное пространство, представленное 3 31 и диаграммой Коксетера-Дынкина:
.
56 вершин можно проще всего представить в 8-мерном пространстве, получив 28 перестановок координат и их противоположностей:
Его конструкция основана на группе E7 . Коксетер назвал его 3 21 по его бифурцирующей диаграмме Коксетера-Дынкина с одним кольцом на конце последовательности из 3 узлов.
Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Коксетера-Дынкина ,
.
Удаление узла на короткой ветви оставляет 6-симплекс ,.
Удаление узла на конце ветви длиной 2 оставляет 6-ортоплекс в его измененной форме: 3 11 ,.
Каждая симплексная грань касается 6-ортоплексной грани, в то время как чередующиеся грани ортоплекса касаются либо симплекса, либо другого ортоплекса.
Вершинная фигура определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Это дает 2 21 многогранник,.
Рассматривая матрицу конфигурации , количество элементов можно получить путем удаления зеркал и отношений порядков групп Кокстера . [4]
3 21 является пятым в размерной серии полуправильных многогранников . Каждый прогрессивный однородный многогранник строится из вершинной фигуры предыдущего многогранника. Торольд Госсет определил эту серию в 1900 году как содержащую все грани правильного многогранника , содержащую все симплексы и ортоплексы .
Он находится в размерной серии однородных многогранников и сот, выраженной Коксетером как серия 3 k1 . (Вырожденный 4-мерный случай существует как 3-сферная мозаика, тетраэдральный осоэдр .)
Его конструкция основана на группе E7 . Коксетер назвал его 3 21 по его бифурцирующей диаграмме Коксетера-Дынкина с одним узлом на конце последовательности из 3 узлов.
Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Коксетера-Дынкина ,.
Удаление узла на короткой ветви оставляет 6-симплекс ,.
Удаление узла на конце ветви длиной 2 оставляет выпрямленный 6-ортоплекс в его измененной форме: t 1 3 11 ,.
Удаление узла на конце ветви длиной 3 оставляет 2 21 ,.
Вершинная фигура определяется путем удаления окольцованного узла и окольцования соседнего узла. Это делает призму 5-демикуб ,
.
Его конструкция основана на группе E7 . Коксетер назвал его 3 21 по его бифурцирующей диаграмме Коксетера-Дынкина с одним узлом на конце последовательности из 3 узлов.
Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Коксетера-Дынкина ,.
Удаление узла на короткой ветви оставляет биректифицированный 6-симплекс ,.
Удаление узла на конце ветви длиной 2 оставляет биректифицированный 6-ортоплекс в его измененной форме: t 2 (3 11 ) ,.
Удаление узла на конце ветви длиной 3 оставляет выпрямленный многогранник 2 21 в его альтернативной форме: t 1 (2 21 ) ,.
Вершинная фигура определяется путем удаления окольцованного узла и окольцования соседнего узла. Это дает выпрямленную 5-клеточную -треугольную дуопризму,
.