сорт альбанезе

Обобщение якобиева многообразия

В математике многообразие Альбанезе , названное в честь Джакомо Альбанезе , является обобщением многообразия Якоби кривой. ${\displaystyle A(V)}$

Точное утверждение

Многообразие Альбанезе — это абелево многообразие, порожденное многообразием, переводящим заданную точку в тождество . Другими словами, существует морфизм из многообразия в его многообразие Альбанезе , такой что любой морфизм из в абелево многообразие (переводящий заданную точку в тождество) однозначно пропускается через . Для комплексных многообразий Андре Бланшар (1956) определил многообразие Альбанезе аналогичным образом, как морфизм из в тор такой, что любой морфизм в тор однозначно пропускается через это отображение. (В этом случае это аналитическое многообразие; оно не обязательно должно быть алгебраическим.) ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$

Характеристики

Для компактных кэлеровых многообразий размерность многообразия Альбанезе равна числу Ходжа , размерности пространства дифференциалов первого рода на , которое для поверхностей называется нерегулярностью поверхности . В терминах дифференциальных форм любая голоморфная 1-форма на является обратным протягиванием инвариантной относительно трансляции 1-формы на многообразии Альбанезе, происходящей из голоморфного кокасательного пространства в его единичном элементе. Так же, как и в случае кривой, выбором базовой точки на (из которой следует «интегрировать»), морфизм Альбанезе ${\displaystyle h^{1,0}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V\to \operatorname {Alb} (V)}$

определено, вдоль которого 1-формы тянутся назад. Этот морфизм уникален с точностью до переноса на многообразии Альбанезе. Для многообразий над полями положительной характеристики размерность многообразия Альбанезе может быть меньше чисел Ходжа и (которые не обязательно должны быть равны). Чтобы увидеть первое, обратите внимание, что многообразие Альбанезе является двойственным многообразию Пикара , касательное пространство которого в единице задается как Это результат Дзюнъити Игусы в библиографии. ${\displaystyle h^{1,0}}$ ${\displaystyle h^{0,1}}$ ${\displaystyle H^{1}(X,O_{X}).}$ ${\displaystyle \dim \operatorname {Alb} (X)\leq h^{1,0}}$

Теорема Ройтмана

Если основное поле k алгебраически замкнуто , можно показать, что отображение Альбанезе разлагается на групповой гомоморфизм (также называемый отображением Альбанезе ) ${\displaystyle V\to \operatorname {Alb} (V)}$

${\displaystyle CH_{0}(V)\to \operatorname {Alb} (V)(k)}$

из группы Чжоу 0-мерных циклов на V в группу рациональных точек , которая является абелевой группой, поскольку — абелево многообразие. ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$

Теорема Ройтмана , введенная А.А. Ройтманом (1980), утверждает, что для l, простого с char( k ), отображение Альбанезе индуцирует изоморфизм на l -крученых подгруппах. ^{[1] [2]} Ограничение на простоту порядка кручения относительно характеристики базового поля было снято Милном ^[3] вскоре после этого: подгруппа кручения и подгруппа кручения k -значных точек многообразия Альбанезе X совпадают. ${\displaystyle \operatorname {CH} _{0}(X)}$

Заменив группу Чжоу алгебраическими сингулярными гомологиями Суслина–Воеводского после введения мотивных когомологий, теорема Ройтмана была получена и переформулирована в мотивном контексте. Например, аналогичный результат справедлив для несингулярных квазипроективных многообразий. ^[4] Дальнейшие версии теоремы Ройтмана доступны для нормальных схем. ^[5] На самом деле, наиболее общие формулировки теоремы Ройтмана (т. е. гомологические, когомологические и Бореля–Мура ) включают мотивный комплекс Альбанезе и были доказаны Лукой Барбьери-Виале и Бруно Каном (см. ссылки III.13). ${\displaystyle \operatorname {LAlb} (V)}$

Связь с сортом Пикард

Многообразие Альбанезе двойственно многообразию Пикара ( связной компоненте нуля схемы Пикара, классифицирующей обратимые пучки на V ):

${\displaystyle \operatorname {Alb} V=(\operatorname {Pic} _{0}V)^{\vee }.}$

Для алгебраических кривых теорема Абеля–Якоби подразумевает, что многообразия Альбанезе и Пикара изоморфны.

Смотрите также

• Промежуточный якобиан
• Албанская схема
• Мотивический альбанский

Примечания и ссылки

1. Rojtman, AA (1980). «Крутение группы 0-циклов по модулю рациональной эквивалентности». Annals of Mathematics . Вторая серия. 111 (3): 553–569. doi :10.2307/1971109. ISSN  0003-486X. JSTOR  1971109. MR  0577137.
2. Блох, Спенсер (1979). «Крутящиеся алгебраические циклы и теорема Ройтмана». Compositio Mathematica . 39 (1). MR  0539002.
3. Милн, Дж. С. (1982). «Нулевые циклы на алгебраических многообразиях в ненулевой характеристике: теорема Ройтмана». Compositio Mathematica . 47 (3): 271–287.
4. Шпис, Майкл; Самуэли, Тамаш (2003). «Об отображении Альбанезе для гладких квазипроективных многообразий». Математические Аннален . 325 : 1–17. arXiv : math/0009017 . дои : 10.1007/s00208-002-0359-8. S2CID  14014858.
5. Geisser, Thomas (2015). «Теорема Ройтмана для нормальных схем». Mathematical Research Letters . 22 (4): 1129–1144. arXiv : 1402.1831 . doi : 10.4310/MRL.2015.v22.n4.a8. S2CID  59423465.

• Барбьери-Виале, Лука; Кан, Бруно (2016), О производной категории 1-мотивов , Astérisque, т. 381, SMF, arXiv : 1009.1900 , ISBN 978-2-85629-818-3, ISSN  0303-1179, MR  3545132
• Бланшар, Андре (1956), «Sur les variétés Analytiques complexes», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 73 (2): 157–202, doi : 10.24033/asens.1045 , ISSN  0012-9593, MR  0087184
• Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джо (1994). Принципы алгебраической геометрии . Библиотека Wiley Classics. Wiley Interscience. стр. 331, 552. ISBN 978-0-471-05059-9.
• Игуса, Дзюнъити (1955). «Фундаментальное неравенство в теории многообразий Пикара». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 41 (5): 317–20. Bibcode :1955PNAS...41..317I. doi : 10.1073/pnas.41.5.317 . PMC  528086 . PMID  16589672.
• Паршин, Алексей Н. (2001) [1994], "Albanese_variety", Энциклопедия математики , EMS Press