Скудный набор

«Малое» подмножество топологического пространства.

В математической области общей топологии скудное множество ( также называемое скудным множеством или множеством первой категории ) — это подмножество топологического пространства , которое мало или незначительно в точном смысле, подробно описанном ниже. Множество, не являющееся скудным, называется нетощим или относится ко второй категории . Ниже приведены определения других связанных терминов.

Скудные подмножества фиксированного пространства образуют σ-идеал подмножеств; то есть любое подмножество скудного множества является скудным, а объединение счетного числа скудных множеств является скудным.

Тощие множества играют важную роль в формулировке понятия пространства Бэра и теоремы Бэра о категориях , которая используется при доказательстве ряда фундаментальных результатов функционального анализа .

Определения

Всюду будет топологическое пространство . ${\displaystyle X}$

В определении скудного множества используется понятие нигде не плотного подмножества , то есть подмножества, замыкание которого имеет пустую внутреннюю часть . Подробности смотрите в соответствующей статье. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Подмножество называется ${\displaystyle X}$скудный ${\displaystyle X,}$ вскудное подмножество ${\displaystyle X,}$илипервой категории , ${\displaystyle X}$если это счетное объединениенигде не плотныхподмножеств.^[1]В противном случае подмножество называется ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$не скудный внескучное подмножество ${\displaystyle X,}$иливторая категория в ${\displaystyle X.}$^[1] Квалификатор «in» может быть опущен, если окружающее пространство фиксировано и понимается из контекста. ${\displaystyle X}$

Топологическое пространство называетсяскудное (соответственно,nonmeagre ), если оно является скудным (соответственно нетощим) подмножеством самого себя.

Подмножество называется​ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$заходите ${\displaystyle X,}$ или​остаток в, ${\displaystyle X,}$если егодополнение скудно в. (Такое использование префикса «со» согласуется с его использованием в других терминах, таких как «коконечный».) Подмножество является объединеннымтогда и только тогда, когда оно равно счетномупересечениюмножеств, каждое из которых внутренне плотно в ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Замечания по терминологии

Не следует путать понятия «незначительное» и «среднее». Если пространство скудно, каждое подмножество одновременно скудно и скудно, и нескудных множеств не существует. Если пространство нетощее, то ни одно множество не является одновременно скудным и соеаженным, каждое сведенное множество нетощее, и могут существовать нетощие множества, которые не являются суженными, т. е. с нетощим дополнением. См. раздел «Примеры» ниже. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В качестве дополнительной терминологии: если подмножеству топологического пространства задана топология подпространства , индуцированная из , можно говорить о том, что оно является скудным пространством, а именно скудным подмножеством самого себя (если рассматривать его как самостоятельное топологическое пространство). ). В этом случае его также можно назвать скудным подпространством , что означает скудное пространство при заданной топологии подпространства. Важно отметить, что это не то же самое, что быть скудным во всем пространстве . (См. взаимосвязь между ними в разделах «Свойства» и «Примеры» ниже.) Точно так же нетощее подпространство будет набором, который неточен сам по себе, что не то же самое, что быть нетощим во всем пространстве. Однако имейте в виду, что в контексте топологических векторных пространств некоторые авторы могут использовать фразу «тощее/немалое подпространство» для обозначения векторного подпространства, которое представляет собой скудное/немалое множество относительно всего пространства. ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Термины первая категория и вторая категория были оригинальными, использованными Рене Бэром в его диссертации 1899 года. ^[3] Скудная терминология была введена Бурбаки в 1948 году. ^{[4] [5]}

Примеры

Пустое множество всегда является замкнутым, нигде не плотным (и, следовательно, скудным) подмножеством любого топологического пространства.

В нетощем пространстве множество скудно. Набор небогатый и вполне достойный. ${\displaystyle X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle [2,3]\cap \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [0,1]}$

В нетощем пространстве множество нетощее. Но оно не является полным, поскольку его дополнение также не скудно. ${\displaystyle X=[0,2]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (1,2]}$

Счетное пространство T 1 без изолированной точки является тощим. Поэтому оно также скудно в любом пространстве, которое содержит его в качестве подпространства. Например, является одновременно скудным подпространством (то есть скудным само по себе с топологией подпространства, индуцированной из ) и скудным подмножеством ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Канторово множество нигде не плотно и, следовательно, скудно. Но оно нетощее само по себе, так как представляет собой полное метрическое пространство . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Набор нигде не плотен в , но скуден в . Оно само по себе нетощее (поскольку как подпространство содержит изолированную точку). ${\displaystyle ([0,1]\cap \mathbb {Q} )\cup \{2\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Линия тощая на плоскости. Но это нетощее подпространство, т. е. она нетощая сама по себе. ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Множество представляет собой скудное подмножество , хотя его скудное подмножество является нетощим подпространством ( то есть не является скудным топологическим пространством). ^[6] Счетное хаусдорфово пространство без изолированных точек является тощим, тогда как любое топологическое пространство, содержащее изолированную точку, нетощее. ^[6] Поскольку рациональные числа счетны, они скудны как подмножество действительных чисел и как пространство, то есть они не образуют пространство Бэра . ${\displaystyle S=(\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )\cup (\mathbb {R} \times \{0\})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Любое топологическое пространство, содержащее изолированную точку , является нетощим ^[6] (поскольку никакое множество, содержащее изолированную точку, не может быть нигде плотным). В частности, всякое непустое дискретное пространство нетощее.

Существует подмножество действительных чисел , которое разбивает каждое непустое открытое множество на два нескучных множества. То есть для каждого непустого открытого множества множества и оба нетощие. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\cap H}$ ${\displaystyle U\setminus H}$

В пространстве непрерывных вещественных функций на с топологией равномерной сходимости множество непрерывных вещественных функций на , имеющих производную в некоторой точке, скудно. ^{[7] [8]} Поскольку это полное метрическое пространство, оно нетощее. Таким образом, дополнение к , состоящее из непрерывных вещественных и нигде не дифференцируемых функций на, является сходящим и нетощим. В частности, это множество не пусто. Это один из способов показать существование непрерывных, нигде не дифференцируемых функций. ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [0,1],}$

На бесконечномерном банахе существует разрывный линейный функционал , ядро ​​которого нетощее. ^[9] Кроме того, согласно аксиоме Мартина , на каждом сепарабельном банаховом пространстве существует разрывный линейный функционал, ядро ​​которого тощее (это утверждение опровергает гипотезу Виланского–Кли ^[10] ). ^[9]

Характеристики и достаточные условия

Каждое непустое пространство Бэра нетощее. В частности, по теореме Бэра о категории всякое непустое полное метрическое пространство и всякое непустое локально компактное хаусдорфово пространство неменее.

Каждое непустое пространство Бэра нетосто, но существуют нетощие пространства, которые не являются пространствами Бэра. ^[6] Поскольку полные (псевдо) метрические пространства , а также хаусдорфовы локально компактные пространства являются пространствами Бэра , они также являются немерными пространствами. ^[6]

Любое подмножество скудного множества является скудным множеством, как и объединение счетного числа скудных множеств. ^[11] Если — гомеоморфизм , то подмножество скудно тогда и только тогда, когда оно скудно. ^[11] ${\displaystyle h:X\to X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle h(S)}$

Каждое нигде не плотное подмножество является скудным множеством. ^[11] Следовательно, любое замкнутое подмножество, внутренность которого в пуста, относится к первой категории (т. е. является скудным подмножеством в ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

The Теорема о банаховой категории ^[12]утверждает, что в любом пространствеобъединение любого семейства открытых множеств первой категории имеет первую категорию. ${\displaystyle X,}$

Все подмножества и все счетные объединения тощих множеств тощие. Таким образом, скудные подмножества фиксированного пространства образуют σ-идеал подмножеств, подходящее понятие пренебрежимо малого множества . Двойственным образом все надмножества и все счетные пересечения сходящихся множеств являются соединёнными. Каждое надмножество нетощего множества является нетощим.

Предположим, где топология подпространства индуцирована из . Множество может быть скудным в, но не скудным в. Однако справедливы следующие результаты: ^[5] ${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

• Если скудно, то скудно ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Если открыто, то скудно тогда и только тогда, когда скудно ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Если плотно по , то скудно тогда и только тогда, когда скудно по ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

И соответственно для нескучных множеств:

• Если нетощее, то нетощее по ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y.}$
• Если открыт в, то неторен в том и только в том случае, если неторен в ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Если плотно по , то нетонено по тогда и только тогда, когда неточно по ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

В частности, каждое подмножество того, что скудно само по себе, является скудным. Каждое подмножество того, что не скудно само по себе , не скудно само по себе. А для открытого множества или плотного множества быть скудным в себе эквивалентно скудности самой по себе, и то же самое касается свойства нескудности. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Топологическое пространство нетощее тогда и только тогда, когда каждое счетное пересечение плотных открытых множеств в нем непусто. ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Характеристики

Неточное локально выпуклое топологическое векторное пространство — это бочкообразное пространство . ^[6]

Каждое нигде не плотное подмножество скудно. Следовательно, любое замкнутое подмножество с пустой внутренностью является тощим. Таким образом, замкнутое подмножество второй категории в должно иметь непустую внутреннюю часть в ^[14] (потому что в противном случае оно было бы нигде не плотным и, следовательно, принадлежало бы первой категории). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Если принадлежит второй категории в и если являются подмножествами таких, что хотя бы одно относится ко второй категории в ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots }$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle X.}$

Скудные подмножества и мера Лебега

Нигде не существует плотных подмножеств (которые, таким образом, являются скудными подмножествами), которые имеют положительную меру Лебега . ^[6]

Скудное множество не обязательно должно иметь нулевую меру Лебега и даже может иметь полную меру. Например, в интервале жирные канторовы множества , как и множество Смита–Вольтерры–Кантора , нигде не замкнуты и могут быть построены с мерой, сколь угодно близкой к. Объединение счетного числа таких множеств с приближением меры дает скудное подмножество с мерой ^[15] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 1.}$

Двойственным образом могут существовать немежные множества с нулевой мерой. Дополнение любого скудного множества меры в (например, из предыдущего абзаца) имеет меру и является совокупным и, следовательно, нетощим, поскольку является пространством Бэра. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Вот еще один пример неразмерного множества с мерой : где – последовательность, пересчитывающая рациональные числа. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(r_{n}-\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+m},r_{n}+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+m}\right)}$$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$

Связь с иерархией Бореля

Подобно тому, как нигде плотное подмножество не обязательно должно быть замкнутым, а всегда содержится в замкнутом нигде плотном подмножестве (т. е. его замыкании), скудное множество не обязательно должно быть множеством ( счетное объединение замкнутых множеств), но всегда содержится в множество, созданное из ниоткуда плотными множествами (путем замыкания каждого множества). ${\displaystyle F_{\sigma }}$ ${\displaystyle F_{\sigma }}$

Двойственным образом, подобно тому, как дополнение к нигде не плотному множеству не обязательно должно быть открытым, но имеет плотную внутреннюю часть (содержит плотное открытое множество), сходящееся множество не обязательно должно быть множеством ( счетное пересечение открытых множеств), но содержит плотное множество. образованы из плотных открытых множеств. ${\displaystyle G_{\delta }}$ ${\displaystyle G_{\delta }}$

Игра Банаха–Мазура

Скудные множества имеют полезную альтернативную характеристику в терминах игры Банаха–Мазура . Пусть - топологическое пространство, - семейство его подмножеств, имеющих непустую внутреннюю часть, такое, что каждое непустое открытое множество имеет подмножество, принадлежащее и быть любым подмножеством Тогда существует игра Банаха-Мазура . В игре Банаха-Мазура два игрока и поочередно выбирать последовательно меньшие элементы для создания последовательности. Игрок выигрывает, если пересечение этой последовательности содержит точку в ; в противном случае игрок выигрывает. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle MZ(X,Y,{\mathcal {W}}).}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle W_{1}\supseteq W_{2}\supseteq W_{3}\supseteq \cdots .}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Q}$

Теорема  .  Для любого соответствия вышеуказанным критериям игрок имеет выигрышную стратегию тогда и только тогда, когда она скудна. ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle X}$

Двойственность Эрдеша – Серпинского

Многие аргументы о скудных множествах также применимы к нулевым наборам , то есть наборам меры Лебега 0. Теорема двойственности Эрдеша – Серпинского утверждает, что, если гипотеза континуума верна, существует инволюция от вещественных чисел к действительным числам, где образ нулевого множества действительных чисел равен скудный набор, и наоборот. ^[16] Фактически, изображение множества вещественных чисел под картой является нулевым тогда и только тогда, когда исходное множество было скудным, и наоборот. ^[17]

Смотрите также

• Бочковое пространство  - тип топологического векторного пространства.
• Родовое имущество  - владение имуществом для типичных примеров, аналогов остаточного имущества.
• Незначительный набор  - Математический набор, считающийся незначительным для аналогов скудного набора.
• Свойство Бэра  – Отличие открытого множества от скудного.

Примечания

1. Narici & Beckenstein 2011, с. 389.
2. Шефер, Гельмут Х. (1966). «Топологические векторные пространства». Макмиллан.
3. Бэр, Рене (1899). «Сюр-ле-функции переменных». Аннали ди Мат. Pura ed Appl . 3: 1–123., стр. 65
4. Окстоби, Дж. (1961). «Декартовы произведения пространств Бэра» (PDF) . Фундамента Математика . 49 (2): 157–166. дои : 10.4064/fm-49-2-157-166.«По Бурбаки [...] топологическое пространство называется пространством Бэра, если…»
5. Бурбаки 1989, с. 192.
6. Narici & Beckenstein 2011, стр. 371–423.
7. Банах, С. (1931). «Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen». Студия Матем. 3 (1): 174–179. дои : 10.4064/см-3-1-174-179 .
8. Уиллард 2004, Теорема 25.5.
9. https://mathoverflow.net/questions/3188/are-proper-linear-subspaces-of-banach-spaces-always-meager
10. https://www.ams.org/journals/bull/1966-72-04/S0002-9904-1966-11547-1/S0002-9904-1966-11547-1.pdf .
11. Рудин 1991, с. 43.
12. Окстоби 1980, с. 62.
13. Уиллард 2004, Теорема 25.2.
14. Рудин 1991, стр. 42–43.
15. «Есть ли набор нулевых мер, который не является скудным?». MathOverflow .
16. Кинтанилья, М. (2022). «Действительные числа во внутренних моделях теории множеств». arXiv : 2206.10754 .(стр. 25)
17. С. Сайто, Теорема двойственности Эрдеша-Серпинского, примечания. По состоянию на 18 января 2023 г.

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Том. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. ОСЛК  246032063.
• Окстоби, Джон К. (1980). «Теорема Банаховой категории». Мера и категория (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 62–65. ISBN 0-387-90508-1.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. ОСЛК  115240.