Идеальный набор

Подмножество, которое замкнуто и не имеет изолированных точек

В общей топологии подмножество топологического пространства является совершенным, если оно замкнуто и не имеет изолированных точек . Эквивалентно: множество является совершенным, если , где обозначает множество всех предельных точек , также известное как производное множество . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=S'}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

В совершенном множестве каждая точка может быть аппроксимирована произвольно хорошо другими точками из множества: для любой точки из и любой окрестности точки существует другая точка из , которая лежит внутри этой окрестности. Более того, любая точка пространства, которая может быть аппроксимирована таким образом точками из , принадлежит . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Обратите внимание, что термин «совершенное пространство» также используется, несовместимо, для обозначения других свойств топологического пространства, таких как быть пространством G δ . В качестве другого возможного источника путаницы также отметим, что иметь свойство совершенного множества — это не то же самое, что быть совершенным множеством.

Примеры

Примерами совершенных подмножеств действительной прямой являются пустое множество , все замкнутые интервалы , сама действительная прямая и множество Кантора . Последнее примечательно тем, что оно полностью несвязно . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Является ли множество совершенным или нет (и является ли оно замкнутым или нет), зависит от окружающего его пространства. Например, множество является совершенным как подмножество пространства, но не является совершенным как подмножество пространства , поскольку оно не может быть замкнутым в последнем. ${\displaystyle S=[0,1]\cap \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Связь с другими топологическими свойствами

Каждое топологическое пространство может быть записано уникальным образом как непересекающееся объединение совершенного множества и рассеянного множества . ^{[1] [2]}

Кантор доказал, что каждое замкнутое подмножество действительной прямой может быть единственным образом записано как непересекающееся объединение совершенного множества и счетного множества . Это также верно в более общем случае для всех замкнутых подмножеств польских пространств , в этом случае теорема известна как теорема Кантора–Бендиксона .

Кантор также показал, что каждое непустое совершенное подмножество действительной прямой имеет мощность , мощность континуума . Эти результаты распространяются в дескриптивной теории множеств следующим образом: ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

• Если X — полное метрическое пространство без изолированных точек, то пространство Кантора 2 ^ω может быть непрерывно вложено в X. Таким образом, мощность X не менее . Если X — сепарабельное полное метрическое пространство без изолированных точек, мощность X равна в точности . ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$
• Если X — локально компактное хаусдорфово пространство без изолированных точек, то существует инъективная функция (не обязательно непрерывная) из пространства Кантора в X , и поэтому X имеет мощность не менее . ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

Смотрите также

• Плотный сам по себе
• Свойство конечного пересечения
• Топология подпространства

Примечания

1. Энгелькинг, задача 1.7.10, с. 59
2. «Единственность разложения на совершенное множество и рассеянное множество - Mathematics Stack Exchange».

Ссылки

• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Берлин: Хелдерманн Верлаг. ISBN 3-88538-006-4.
• Кехрис, А.С. (1995), Классическая описательная теория множеств , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3540943749
• Леви, А. (1979), Базовая теория множеств , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Pearl, Elliott, ред. (2007), Открытые проблемы топологии. II , Elsevier , ISBN 978-0-444-52208-5, г-н  2367385