Модель Гросса–Невё

Квантовая теория в 1+1 измерениях

Модель Гросса–Невё (GN) — это квантовая модель теории поля фермионов Дирака , взаимодействующих посредством четырёхфермионных взаимодействий в 1 пространственном и 1 временном измерении. Она была введена в 1974 году Дэвидом Гроссом и Андре Невё ^[1] как игрушечная модель для квантовой хромодинамики (КХД) , теории сильных взаимодействий. Она разделяет несколько особенностей КХД: теория ГН асимптотически свободна, поэтому при сильной связи сила взаимодействия ослабевает, а соответствующая функция связи взаимодействия отрицательна, теория имеет динамический механизм генерации массы с нарушением хиральной симметрии, и в пределе большого числа ароматов ( ) теория ГН ведёт себя как большой предел т'Хоофта в КХД. ^[2] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle N_{c}}$

Он состоит из N фермионов Дирака . Плотность лагранжиана равна ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2},\cdots ,\psi _{N}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}_{a}\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi ^{a}+{\frac {g^{2}}{2N}}\left[{\bar {\psi }}_{a}\psi ^{a}\right]^{2}}$.

Используется обозначение суммирования Эйнштейна , является двухкомпонентным спинорным объектом и является константой связи . Если масса не равна нулю, модель является массивной в классическом смысле, в противном случае она обладает хиральной симметрией . ${\displaystyle \psi ^{a}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle m}$

Эта модель имеет глобальную внутреннюю симметрию U(N) . Если взять N=1 (что допускает только одно квартикальное взаимодействие) и не пытаться аналитически продолжить размерность , модель сводится к массивной модели Тирринга (которая полностью интегрируема). ^[3]

Это 2-мерная версия 4-мерной модели Намбу–Йона-Лазинио (NJL), которая была введена 14 лет назад как модель динамического нарушения киральной симметрии (но без кваркового ограничения ), смоделированная на основе теории сверхпроводимости БКШ . 2-мерная версия имеет то преимущество, что взаимодействие 4-ферми перенормируемо, чего не происходит ни в каком большем числе измерений.

Особенности теории

Гросс и Невё изучили эту модель в большом пределе, расширив соответствующие параметры в 1/N-расширении . Демонстрируя, что эта и родственные модели асимптотически свободны, они обнаружили, что в сублидирующем порядке для малых фермионных масс конденсат бифермионов приобретает вакуумное ожидание (VEV), и в результате фундаментальные фермионы становятся массивными. Они обнаружили, что масса не аналитична по константе связи g. Вакуумное ожидание спонтанно нарушает хиральную симметрию теории. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\overline {\psi }}_{a}\psi ^{a}}$

Точнее, расширяя вакуум без вакуумного ожидаемого значения для билинейного конденсата, они нашли тахион. Для этого они решают уравнения ренормгруппы для пропагатора бифермионного поля, используя тот факт, что единственная перенормировка константы связи происходит из перенормировки волновой функции составного поля. Затем они вычислили, в ведущем порядке в расширении 1/N, но для всех порядков по константе связи, зависимость потенциальной энергии от конденсата, используя эффективные методы действия , представленные в предыдущем году Сидни Коулманом на Международной летней школе физики в Эриче . Они обнаружили, что этот потенциал минимизируется при ненулевом значении конденсата, что указывает на то, что это истинное значение конденсата. Расширяя теорию о новом вакууме, было обнаружено, что тахион больше не присутствует, и на самом деле, как и в теории сверхпроводимости БКШ, существует массовый разрыв .

Затем они выдвинули ряд общих аргументов о динамической генерации масс в квантовых теориях поля. Например, они продемонстрировали, что не все массы могут быть динамически сгенерированы в теориях, которые являются инфракрасно-устойчивыми, используя это для доказательства того, что, по крайней мере, в ведущем порядке по 1/N, 4-мерная теория не существует. Они также утверждали, что в асимптотически свободных теориях динамически сгенерированные массы никогда не зависят аналитически от констант связи . ${\displaystyle \phi ^{4}}$

Обобщения

Гросс и Невё рассмотрели несколько обобщений. Во-первых, они рассмотрели лагранжиан с одним дополнительным квартикальным взаимодействием

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}_{a}\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi ^{a}+{\frac {g^{2}}{2N}}(\left[{\bar {\psi }}_{a}\psi ^{a}\right]^{2}-\left[{\bar {\psi }}_{a}\gamma _{5}\psi ^{a}\right]^{2})}$

выбрано так, что дискретная киральная симметрия исходной модели усиливается до непрерывной киральной симметрии со значением U(1) . Нарушение киральной симметрии происходит, как и прежде, вызванное тем же самым ВЭВ. Однако, поскольку спонтанно нарушенная симметрия теперь непрерывна, в спектре появляется безмассовый бозон Голдстоуна . Хотя это не приводит к проблемам в ведущем порядке в разложении 1/N, безмассовые частицы в двумерных квантовых теориях поля неизбежно приводят к инфракрасным расходимостям , и поэтому теория, по-видимому, не существует. ${\displaystyle \psi \rightarrow \gamma _{5}\psi }$ ${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\theta \gamma _{5}}\psi }$

Затем были рассмотрены еще две модификации модифицированной теории, которые решают эту проблему. В одной модификации увеличивается число измерений. В результате безмассовое поле не приводит к расходимостям. В другой модификации калибруется хиральная симметрия. В результате бозон Голстоуна поглощается механизмом Хиггса , когда фотон становится массивным, и поэтому не приводит к каким-либо расходимостям.

Смотрите также

• Уравнение Дирака
• Нелинейное уравнение Дирака
• модель Тирринга
• Модель Намбу–Йона-Лазинио

Ссылки

1. Гросс, Дэвид Дж. и Невё, Андре (1974). «Нарушение динамической симметрии в асимптотически свободных теориях поля». Phys. Rev. D. 10 ( 10): 3235–3253. Bibcode : 1974PhRvD..10.3235G. doi : 10.1103/PhysRevD.10.3235.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
2. Pannullo, L.; Lenz, J.; Wagner, M.; Wellegehausen, B.; Wipf, A. (2020). «Неоднородные фазы в 1+1-мерной модели Gross--Neveu при конечном числе ароматов фермионов». Acta Physica Polonica B Proceedings Supplement . 13 (1): 127. arXiv : 1902.11066 . doi : 10.5506/aphyspolbsupp.13.127 . ISSN  1899-2358. S2CID  119425380.
3. Л. Фэй, С. Джомби, И. Р. Клебанов и Г. Тарнопольский (2016). «Юкавские CFT и возникающая суперсимметрия». arXiv : 1607.05316 [hep-th].{{cite arXiv}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )