Модель Солоу – Свона

Модель долгосрочного экономического роста

Модель Солоу-Свона или модель экзогенного роста представляет собой экономическую модель долгосрочного экономического роста . Он пытается объяснить долгосрочный экономический рост, рассматривая накопление капитала , рост рабочей силы или населения , а также рост производительности , в значительной степени обусловленный технологическим прогрессом . По своей сути это совокупная производственная функция , которую часто называют типом Кобба-Дугласа , что позволяет модели «вступить в контакт с микроэкономикой ». ^{[1] : 26} Модель была независимо разработана Робертом Солоу и Тревором Своном в 1956 году, ^{[2] [3] [примечание 1]} и заменила кейнсианскую модель Харрода-Домара .

С математической точки зрения модель Солоу – Свона представляет собой нелинейную систему , состоящую из одного обыкновенного дифференциального уравнения , которое моделирует эволюцию запаса капитала на душу населения . Благодаря своим особенно привлекательным математическим характеристикам, Солоу-Свон оказался удобной отправной точкой для различных расширений. Например, в 1965 году Дэвид Касс и Тьяллинг Купманс объединили анализ потребительской оптимизации Фрэнка Рэмси , ^[4] тем самым эндогенизируя ^[5] норму сбережений , чтобы создать то, что теперь известно как модель Рэмси-Касс-Купманс .

Фон

Модель Солоу-Свона была расширением модели Харрода-Домара 1946 года, в которой было снято ограничительное предположение о том, что только капитал способствует экономическому росту (при условии, что существует достаточно рабочей силы для использования всего капитала). Важный вклад в эту модель внесла работа Солоу и Свона в 1956 году, которые независимо друг от друга разработали относительно простые модели роста. ^{[2] [3]} Модель Солоу с некоторым успехом соответствовала имеющимся данным об экономическом росте США . ^[6] В 1987 году Солоу был удостоен Нобелевской премии по экономике за свою работу. Сегодня экономисты используют учет источников роста Солоу для оценки отдельного воздействия на экономический рост технологических изменений, капитала и рабочей силы. ^[7]

Модель Солоу также является одной из наиболее широко используемых моделей в экономике для объяснения экономического роста. ^[8] По сути, он утверждает, что результаты «общей факторной производительности (СФП) могут привести к безграничному повышению уровня жизни в стране». ^[8]

Расширение модели Харрода – Домара.

Солоу расширил модель Харрода-Домара, добавив труд как фактор производства и коэффициенты капиталоемкости, которые не фиксированы, как в модели Харрода-Домара. Эти уточнения позволяют отличить повышение капиталоемкости от технологического прогресса. Солоу рассматривает производственную функцию с фиксированными пропорциями как «решающее допущение» для результатов нестабильности в модели Харрода-Домара. Его собственная работа расширяет эту тему, исследуя последствия альтернативных спецификаций, а именно модели Кобба-Дугласа и более общей постоянной эластичности замещения (CES) . ^[2] Хотя эта история стала канонической и знаменитой ^[9] в истории экономики, представленной во многих учебниках по экономике, ^[10] недавняя переоценка работы Харрода поставила ее под сомнение. Одна из основных критических замечаний заключается в том, что первоначальная статья Харрода ^[11] не касалась главным образом экономического роста и не использовала явным образом производственную функцию с фиксированными пропорциями. ^{[10] [12]}

Долгосрочные последствия

Стандартная модель Солоу предсказывает, что в долгосрочной перспективе экономики придут к устойчивому состоянию равновесия и что постоянный рост достижим только посредством технологического прогресса. Оба изменения в сбережениях и росте населения вызывают только эффекты уровня в долгосрочном периоде (т.е. в абсолютном значении реального дохода на душу населения). Интересным следствием модели Солоу является то, что бедные страны должны расти быстрее и в конечном итоге догнать более богатые страны. Эту конвергенцию можно объяснить следующим: ^[13]

• Задержки в распространении знаний. Различия в реальных доходах могут сократиться по мере того, как бедные страны будут получать более качественные технологии и информацию;
• Эффективное распределение международных потоков капитала, поскольку норма прибыли на капитал должна быть выше в более бедных странах. На практике это наблюдается редко и известно как парадокс Лукаса ;
• Математическое значение модели (при условии, что бедные страны еще не достигли устойчивого состояния).

Баумол попытался проверить это эмпирически и обнаружил очень сильную корреляцию между ростом производства страны в течение длительного периода времени (с 1870 по 1979 год) и ее первоначальным богатством. ^[14] Его выводы позже были оспорены Делонгом , который утверждал, что как неслучайность стран, включенных в выборку, так и вероятность значительных ошибок измерения оценок реального дохода на душу населения в 1870 году исказили выводы Баумоля. Делонг заключает, что доказательств в поддержку теории конвергенции мало.

Предположения

Ключевое предположение модели роста Солоу-Свона заключается в том, что в закрытой экономике капитал подвержен убывающей отдаче .

• При фиксированном запасе труда влияние на выпуск последней накопленной единицы капитала всегда будет меньше, чем предыдущее.
• Если для простоты предположить, что технологический прогресс или рост рабочей силы отсутствуют, убывающая отдача означает, что в какой-то момент количества нового произведенного капитала будет достаточно, чтобы компенсировать количество существующего капитала, потерянного из-за амортизации. ^[1] На данный момент, из-за предположений об отсутствии технологического прогресса или роста рабочей силы, мы видим, что экономика перестает расти.
• Если предположить, что ненулевые темпы роста рабочей силы несколько усложняют ситуацию, но основная логика по-прежнему применима ^[2] – в краткосрочной перспективе темпы роста замедляются по мере того, как начинает действовать уменьшающаяся отдача, и экономика приближается к постоянному «стационарному состоянию». темпы роста (то есть отсутствие экономического роста на душу населения).
• Включение ненулевого технологического прогресса очень похоже на предположение о ненулевом росте рабочей силы с точки зрения «эффективного труда»: новое устойчивое состояние достигается при постоянной производительности на рабочий час, необходимой для единицы продукции . Однако в этом случае выпуск продукции на душу населения растет со скоростью технологического прогресса в «стационарном состоянии» ^[3] (т.е. со скоростью роста производительности ).

Изменения в эффектах производительности

В модели Солоу-Свона необъяснимое изменение роста выпуска после учета эффекта накопления капитала называется остатком Солоу . Этот остаток измеряет экзогенное увеличение общей факторной производительности (СФП) в течение определенного периода времени. Увеличение СФП часто полностью объясняется технологическим прогрессом, но оно также включает в себя любое постоянное повышение эффективности, с которой факторы производства комбинируются с течением времени. Подразумевается, что рост СФП включает в себя любые постоянные улучшения производительности, возникающие в результате совершенствования методов управления в частном или государственном секторах экономики. Парадоксально, но хотя рост СФП в модели является экзогенным, его невозможно наблюдать, поэтому его можно оценить только в сочетании с одновременной оценкой влияния накопления капитала на экономический рост в течение определенного периода времени.

Модель можно переформулировать несколько иначе, используя разные предположения о производительности или разные показатели измерения:

• Средняя производительность труда ( ALP ) — это экономический выпуск на один человеко-час.
• Многофакторная производительность ( МФП ) — это объем выпуска, разделенный на средневзвешенное значение капитальных и трудовых затрат. Используемые веса обычно основаны на совокупных долях затрат, которые получает каждый из факторов. Это соотношение часто называют следующим: 33% рентабельности капитала и 67% рентабельности труда (в западных странах).

В растущей экономике капитал накапливается быстрее, чем рождаются люди, поэтому знаменатель в функции роста при расчете MFP растет быстрее, чем при расчете ALP. Следовательно, рост MFP почти всегда ниже, чем рост ALP. (Поэтому измерение в терминах ALP увеличивает видимый эффект увеличения капитала .) MFP измеряется по « остатку Солоу », а не по ALP.

Математика модели

Действие хрестоматийной модели Солоу – Свона происходит в мире непрерывного времени , в котором нет правительства и международной торговли. Один товар (выпуск) производится с использованием двух факторов производства , труда ( ) и капитала ( ) в совокупной производственной функции , которая удовлетворяет условиям Инада , которые подразумевают, что эластичность замещения должна быть асимптотически равна единице. ^{[15] [16]} ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle Y(t)=K(t)^{\alpha }(A(t)L(t))^{1-\alpha }\,}$

где обозначает время, представляет собой эластичность выпуска по отношению к капиталу и представляет собой общий объем производства. относится к технологиям, увеличивающим труд, или « знаниям », таким образом, представляет собой эффективный труд. Все факторы производства задействованы полностью, заданы начальные значения , , и . Численность рабочих, т. е. рабочей силы, а также уровень техники растут экзогенно темпами и соответственно: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ ${\displaystyle Y(t)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AL}$ ${\displaystyle A(0)}$ ${\displaystyle K(0)}$ ${\displaystyle L(0)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle L(t)=L(0)e^{nt}}$

${\displaystyle A(t)=A(0)e^{gt}}$

Следовательно , число эффективных единиц труда растёт темпами . Между тем, запас капитала со временем обесценивается с постоянной скоростью . Однако потребляется лишь часть продукции ( с ) , оставляя сэкономленную долю для инвестиций . Эта динамика выражается через следующее дифференциальное уравнение : ${\displaystyle A(t)L(t)}$ ${\displaystyle (n+g)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle cY(t)}$ ${\displaystyle 0<c<1}$ ${\displaystyle s=1-c}$

${\displaystyle {\dot {K}}(t)=s\cdot Y(t)-\delta \cdot K(t)\,}$

где – сокращение от , производная по времени. Производная по времени означает, что это изменение основного капитала — продукция, которая не потребляется и не используется для замены изношенных старых капитальных товаров, представляет собой чистые инвестиции. ${\displaystyle {\dot {K}}}$ ${\displaystyle {\frac {dK(t)}{dt}}}$

Поскольку производственная функция имеет постоянную отдачу от масштаба , ее можно записать как выпуск на эффективную единицу труда , что является мерой создания богатства: ^{[примечание 2]} ${\displaystyle Y(K,AL)}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y(t)={\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}=k(t)^{\alpha }}$

Основной интерес модели представляет динамика капиталоемкости , запаса капитала на единицу эффективной рабочей силы. Его поведение во времени описывается ключевым уравнением модели Солоу – Свона: ^{[примечание 3]} ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\dot {k}}(t)=sk(t)^{\alpha }-(n+g+\delta )k(t)}$

Первый член , представляет собой фактические инвестиции на единицу эффективного труда: доля продукции на единицу эффективного труда , которая сберегается и инвестируется. Второй термин, , представляет собой «инвестиции безубыточности»: сумму инвестиций, которую необходимо вложить, чтобы предотвратить падение. ^{[17] : 16} Уравнение подразумевает, что оно сходится к установившемуся значению , определяемому как , при котором не происходит ни увеличения, ни уменьшения капиталоемкости: ${\displaystyle sk(t)^{\alpha }=sy(t)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle (n+g+\delta )k(t)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k(t)}$ ${\displaystyle k^{*}}$ ${\displaystyle sk(t)^{\alpha }=(n+g+\delta )k(t)}$

${\displaystyle k^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{1/(1-\alpha )}\,}$

при котором запас капитала и эффективная рабочая сила растут темпами . Аналогичным образом можно рассчитать устойчивое состояние созданного богатства , которое соответствует : ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle AL}$ ${\displaystyle (n+g)}$ ${\displaystyle y^{*}}$ ${\displaystyle k^{*}}$

${\displaystyle y^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{\alpha /(1-\alpha )}\,}$

В предположении постоянной доходности объем производства также растет такими же темпами. По сути, модель Солоу-Свона предсказывает, что экономика будет стремиться к равновесию сбалансированного роста , независимо от его отправной точки. В этой ситуации рост выработки на одного работающего определяется исключительно темпами технического прогресса . ^{[17] : 18} ${\displaystyle Y}$

Поскольку по определению , в состоянии равновесия имеем ${\displaystyle {\frac {K(t)}{Y(t)}}=k(t)^{1-\alpha }}$ ${\displaystyle k^{*}}$

${\displaystyle {\frac {K(t)}{Y(t)}}={\frac {s}{n+g+\delta }}}$

Следовательно, в равновесии соотношение капитала к выпуску зависит только от норм сбережений, роста и амортизации. Это версия золотого правила нормы сбережений, предложенная моделью Солоу-Свона .

Поскольку в любой момент времени предельный продукт капитала в модели Солоу-Свона обратно пропорционален соотношению капитала/труда. ${\displaystyle {\alpha }<1}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle K(t)}$

${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }}{(K/L)^{1-\alpha }}}}$

Если производительность одинакова во всех странах, то страны с меньшим капиталом на одного работника имеют более высокий предельный продукт, что обеспечит более высокую отдачу от капиталовложений. Как следствие, модель предсказывает, что в мире открытой рыночной экономики и глобального финансового капитала инвестиции будут перетекать из богатых стран в бедные страны до тех пор, пока капитал/работник и доход/работник не сравняются между странами. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle Y/L}$

Поскольку предельный продукт физического капитала в бедных странах не выше, чем в богатых странах, ^[18] это означает, что производительность труда в бедных странах ниже. Базовая модель Солоу не может объяснить, почему производительность в этих странах ниже. Лукас предположил, что более низкий уровень человеческого капитала в бедных странах может объяснить более низкую производительность. ^[19]

Потому что предельный продукт капитала равен норме прибыли. ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {K{\frac {\partial Y}{\partial K}}}{Y}}={\frac {rK}{Y}}\,}$

итак, это доля дохода, присваиваемая капиталом. Таким образом, модель Солоу-Свона с самого начала предполагает, что соотношение дохода на труд и капитал является постоянным. ${\displaystyle \alpha }$

Версия модели Мэнкива – Ромера – Вейля

Добавление человеческого капитала

В 1992 году Н. Грегори Мэнкью , Дэвид Ромер и Дэвид Н. Вейл выдвинули теорию версии модели Солоу-Свона, дополненной включением роли человеческого капитала , которая может объяснить неспособность международных инвестиций поступать в бедные страны. ^[20] В этой модели объем производства и предельный продукт капитала (K) ниже в бедных странах, поскольку в них меньше человеческого капитала, чем в богатых странах.

Подобно модели Солоу–Свона из учебника, производственная функция имеет тип Кобба–Дугласа:

${\displaystyle Y(t)=K(t)^{\alpha }H(t)^{\beta }(A(t)L(t))^{1-\alpha -\beta },}$

где находится запас человеческого капитала, который обесценивается с той же скоростью, что и физический капитал. Для простоты они предполагают одну и ту же функцию накопления для обоих типов капитала. Как и в случае Солоу-Свона, часть результата сохраняется в каждом периоде, но в этом случае разделяется и инвестируется частично в физический и частично в человеческий капитал, так что . Следовательно, в этой модели есть два фундаментальных динамических уравнения: ${\displaystyle H(t)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle sY(t)}$ ${\displaystyle s=s_{K}+s_{H}}$

${\displaystyle {\dot {k}}=s_{K}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )k}$

${\displaystyle {\dot {h}}=s_{H}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )h}$

Сбалансированный (или устойчивый) равновесный путь роста определяется , что означает и . Решение для установившегося уровня и урожайности: ${\displaystyle {\dot {k}}={\dot {h}}=0}$ ${\displaystyle s_{K}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )k=0}$ ${\displaystyle s_{H}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )h=0}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle k^{*}=\left({\frac {s_{K}^{1-\beta }s_{H}^{\beta }}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}}$

${\displaystyle h^{*}=\left({\frac {s_{K}^{\alpha }s_{H}^{1-\alpha }}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}}$

В установившемся состоянии . ${\displaystyle y^{*}=(k^{*})^{\alpha }(h^{*})^{\beta }}$

Эконометрические оценки

Кленоу и Родригес-Клэр поставили под сомнение достоверность расширенной модели, поскольку оценки Мэнкью, Ромера и Вейля, по- видимому, не согласовывались с общепринятыми оценками влияния увеличения образования на заработную плату рабочих. Хотя расчетная модель объясняет 78% различий в доходах между странами, оценки подразумевают, что внешнее воздействие человеческого капитала на национальный доход превышает его прямое влияние на заработную плату работников. ^[21] ${\displaystyle {\beta }}$ ${\displaystyle {\beta }}$

Учет внешних эффектов

Теодор Бретон предложил идею, которая совместила большой эффект человеческого капитала от обучения в модели Мэнкью, Ромера и Вейля с меньшим влиянием обучения на зарплаты рабочих. Он продемонстрировал, что математические свойства модели включают значительные внешние эффекты между факторами производства, поскольку человеческий капитал и физический капитал являются мультипликативными факторами производства. ^[22] Внешнее влияние человеческого капитала на производительность физического капитала проявляется в предельном продукте физического капитала:

${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }(H/L)^{\beta }}{(K/L)^{1-\alpha }}}}$

Он показал, что большие оценки влияния человеческого капитала в межстрановых оценках модели согласуются с меньшим эффектом, обычно обнаруживаемым на заработной плате работников, когда учитывается внешнее воздействие человеческого капитала на физический капитал и рабочую силу. Это понимание значительно усиливает аргументы в пользу версии Мэнкью, Ромера и Вейля модели Солоу – Свона. Большинство анализов, критикующих эту модель, не учитывают финансовые внешние эффекты обоих типов капитала, присущие этой модели. ^[22]

Общая факторная производительность

Экзогенная скорость роста TFP ( общая факторная производительность ) в модели Солоу-Свона является остатком после учета накопления капитала. Модель Мэнкью, Ромера и Вейля дает более низкую оценку СФП (остатка), чем базовая модель Солоу-Свона, поскольку добавление человеческого капитала к модели позволяет накоплением капитала объяснить большую часть различий в доходах между странами. В базовой модели остаток СФП включает влияние человеческого капитала, поскольку человеческий капитал не включен в качестве фактора производства.

Условная сходимость

Модель Солоу-Свона, дополненная человеческим капиталом, предсказывает, что уровни доходов бедных стран будут иметь тенденцию догонять или приближаться к уровням доходов богатых стран, если бедные страны имеют одинаковые нормы сбережений как для физического капитала, так и для человеческого капитала в виде доли. выпуска, процесс, известный как условная конвергенция. Однако нормы сбережений сильно различаются в разных странах. В частности, поскольку существуют значительные финансовые ограничения для инвестиций в образование, нормы сбережений человеческого капитала, вероятно, будут варьироваться в зависимости от культурных и идеологических особенностей в каждой стране. ^[23]

С 1950-х годов соотношение объемов производства и числа рабочих в богатых и бедных странах, как правило, не сближалось, но те бедные страны, которые значительно увеличили норму своих сбережений, испытали конвергенцию доходов, предсказанную моделью Солоу-Свона. Например, соотношение объемов производства и числа рабочих в Японии , стране, которая когда-то была относительно бедной, приблизилось к уровню богатых стран. В Японии наблюдались высокие темпы роста после того, как она увеличила норму сбережений в 1950-х и 1960-х годах, а также наблюдалось замедление роста производства на душу населения с тех пор, как норма сбережений стабилизировалась примерно в 1970 году, как и предсказывалось моделью.

Уровни доходов на душу населения в южных штатах США имеют тенденцию приближаться к уровням в северных штатах. Наблюдаемая сходимость в этих состояниях также согласуется с концепцией условной сходимости . Происходит ли абсолютная конвергенция между странами или регионами, зависит от того, имеют ли они схожие характеристики, такие как:

• Политика образования
• Институциональные механизмы
• Свободные внутренние рынки и торговая политика с другими странами. ^[24]

Дополнительные доказательства условной конвергенции получены из многомерных межстрановых регрессий. ^[25]

Эконометрический анализ Сингапура и других « восточноазиатских тигров » привел к удивительному результату: хотя объем производства на одного работника растет, почти ни один из их быстрого роста не был обусловлен ростом производительности на душу населения (у них низкий « остаток Солоу ») . ). ^[7]

Смотрите также

• Экономический рост
• Теория эндогенного роста

Примечания

1. Идея использования производственной функции Кобба – Дугласа в основе модели роста восходит к Тинбергену Дж. (1942). «Zur Theorie der langfristigen Wirtschaftsentwicklung». Архив Weltwirtschaftliches . 55 : 511–549. JSTOR  40430851. См. Бремс, Ганс (1986). «Неоклассический рост: Тинберген и Солоу». Новаторская экономическая теория, 1630–1980 гг . Балтимор: Издательство Университета Джонса Хопкинса. стр. 362–368. ISBN 978-0-8018-2667-2.
2. Пошаговый расчет: ${\displaystyle y(t)={\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}={\frac {K(t)^{\alpha }(A(t)L(t))^{1-\alpha }}{A(t)L(t)}}={\frac {K(t)^{\alpha }}{(A(t)L(t))^{\alpha }}}=k(t)^{\alpha }}$
3. Пошаговый расчет: . Поскольку , и , являются и соответственно, уравнение упрощается до . Как уже упоминалось выше, . ${\displaystyle {\dot {k}}(t)={\frac {{\dot {K}}(t)}{A(t)L(t)}}-{\frac {K(t)}{[A(t)L(t)]^{2}}}[A(t){\dot {L}}(t)+L(t){\dot {A}}(t)]={\frac {{\dot {K}}(t)}{A(t)L(t)}}-{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}{\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}-{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}{\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}}$ ${\displaystyle {\dot {K}}(t)=sY(t)-\delta K(t)\,}$ ${\displaystyle {\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}}$ ${\displaystyle {\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\dot {k}}(t)=s{\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}-\delta {\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}-n{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}-g{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}=sy(t)-\delta k(t)-nk(t)-gk(t)}$ ${\displaystyle y(t)=k(t)^{\alpha }}$

Рекомендации

1. Аджемоглу, Дарон (2009). «Модель роста Солоу». Введение в современный экономический рост . Принстон: Издательство Принстонского университета. стр. 26–76. ISBN 978-0-691-13292-1.
2. Солоу, Роберт М. (февраль 1956 г.). «Вклад в теорию экономического роста». Ежеквартальный экономический журнал . 70 (1): 65–94. дои : 10.2307/1884513. hdl : 10338.dmlcz/143862 . JSTOR  1884513.PDF.
3. Swan, Тревор В. (ноябрь 1956 г.). «Экономический рост и накопление капитала». Экономический рекорд . 32 (2): 334–361. doi :10.1111/j.1475-4932.1956.tb00434.x.
4. Касс Д. (1965): «Оптимальный рост в агрегированной модели накопления капитала, Обзор экономических исследований, 32 (3): 233-240, jstor.
5. Касс эндогенизирует норму сбережений, явно моделируя решение потребителя потреблять и сберегать. Это делается путем добавления задачи оптимизации домашнего хозяйства к модели Солоу. см. также Гири Р. (без даты, до 2022 г.): Лекция 3 – Модель роста с эндогенными сбережениями: модель Рэмси-Касса-Купмана. Автономный технологический институт Мексики (ITAM)
6. Солоу, Роберт М. (1957). «Технические изменения и совокупная производственная функция». Обзор экономики и статистики . 39 (3): 312–320. дои : 10.2307/1926047. JSTOR  1926047.PDF.
7. Хейнс, Джоэл Д.; Шариф, Наваз М. (2006). «Система управления сложностью компонентов технологий для глобальной конкуренции». Обзор конкурентоспособности . 16 (2): 106–121. дои : 10.1108/cr.2006.16.2.106.
8. Эрик Фрей (2017). «Модель Солоу и уровень жизни». Бакалавриат по математическому моделированию: один + два . 7 (2 (статья 5)): Аннотация. дои : 10.5038/2326-3652.7.2.4879 . ISSN  2326-3652. OCLC  7046600490. Архивировано из оригинала 22 сентября 2017 года.
9. Блюм, Лоуренс Э.; Сарджент, Томас Дж. (01 марта 2015 г.). «Харрод 1939». Экономический журнал . 125 (583): 350–377. дои : 10.1111/ecoj.12224 . ISSN  1468-0297.
10. Бесоми, Даниэле (2001). «Динамика Харрода и теория роста: история ошибочной атрибуции». Кембриджский экономический журнал . 25 (1): 79–96. дои : 10.1093/cje/25.1.79. JSTOR  23599721.
11. Харрод, РФ (1939). «Очерк динамической теории». Экономический журнал . 49 (193): 14–33. дои : 10.2307/2225181. JSTOR  2225181.
12. Халсмайер, Верена; Гувер, Кевин Д. (3 июля 2016 г.). «Харрод Солоу: Преобразование макроэкономической динамики в модель долгосрочного роста». Европейский журнал истории экономической мысли . 23 (4): 561–596. дои : 10.1080/09672567.2014.1001763. ISSN  0967-2567. S2CID  153351897.
13. Ромер, Дэвид (2006). Продвинутая макроэкономика . МакГроу-Хилл. стр. 31–35. ISBN 9780072877304.
14. Баумол, Уильям Дж. (1986). «Рост производительности, конвергенция и благосостояние: что показывают долгосрочные данные». Американский экономический обзор . 76 (5): 1072–1085. JSTOR  1816469.
15. Барелли, Пауло; Пессоа, Самуэль де Абреу (2003). «Условия Инада предполагают, что производственная функция должна быть асимптотически Кобба – Дугласа» (PDF) . Письма по экономике . 81 (3): 361–363. дои : 10.1016/S0165-1765(03)00218-0. hdl : 10438/1012 .
16. Литина, Анастасия; Паливос, Теодор (2008). «Означают ли условия Инады, что производственная функция должна быть асимптотически Кобба – Дугласа? Комментарий». Письма по экономике . 99 (3): 498–499. doi :10.1016/j.econlet.2007.09.035.
17. Ромер, Дэвид (2011). «Модель роста Солоу». Продвинутая макроэкономика (Четвертое изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 6–48. ISBN 978-0-07-351137-5.
18. Казелли, Ф.; Фейрер, Дж. (2007). «Предельный продукт капитала». Ежеквартальный экономический журнал . 122 (2): 535–68. CiteSeerX 10.1.1.706.3505 . дои : 10.1162/qjec.122.2.535. S2CID  9329404. 
19. Лукас, Роберт (1990). «Почему капитал не перетекает из богатых стран в бедные?». Американский экономический обзор . 80 (2): 92–96.
20. Мэнкью, Н. Грегори; Ромер, Дэвид; Вейл, Дэвид Н. (май 1992 г.). «Вклад в эмпирику экономического роста». Ежеквартальный экономический журнал . 107 (2): 407–437. CiteSeerX 10.1.1.335.6159 . дои : 10.2307/2118477. JSTOR  2118477. S2CID  1369978. 
21. Кленов, Питер Дж.; Родригес-Клэр, Андрес (январь 1997 г.). «Неоклассическое возрождение в экономике роста: не зашло ли оно слишком далеко?». В Бернанке, Бен С.; Ротемберг, Хулио (ред.). Ежегодник NBER Macro Economics Annual 1997, Том 12. Национальное бюро экономических исследований. стр. 73–114. ISBN 978-0-262-02435-8.
22. Бретон, TR (2013). «Были ли Мэнкью, Ромер и Вейл правы? Согласование микро- и макроэффекта обучения на доход» (PDF) . Макроэкономическая динамика . 17 (5): 1023–1054. дои : 10.1017/S1365100511000824. hdl : 10784/578 . S2CID  154355849.
23. Бретон, TR (2013). «Роль образования в экономическом росте: теория, история и текущие результаты». Образовательные исследования . 55 (2): 121–138. дои : 10.1080/00131881.2013.801241. S2CID  154380029.
24. Барро, Роберт Дж .; Сала-и-Мартин, Ксавье (2004). «Модели роста с экзогенными нормами сбережений». Экономический рост (второе изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 37–51. ISBN 978-0-262-02553-9.
25. Барро, Роберт Дж .; Сала-и-Мартин, Ксавье (2004). «Модели роста с экзогенными нормами сбережений». Экономический рост (второе изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 461–509. ISBN 978-0-262-02553-9.

дальнейшее чтение

• Аженор, Пьер-Ришар (2004). «Рост и технологический прогресс: модель Солоу – Свон». Экономика адаптации и роста (второе изд.). Кембридж: Издательство Гарвардского университета. стр. 439–462. ISBN 978-0-674-01578-4.
• Барро, Роберт Дж .; Сала-и-Мартин, Ксавье (2004). «Модели роста с экзогенными нормами сбережений». Экономический рост (второе изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 23–84. ISBN 978-0-262-02553-9.
• Бурмейстер, Эдвин; Добелл, А. Родни (1970). «Односекторные модели роста». Математические теории экономического роста . Нью-Йорк: Макмиллан. стр. 20–64.
• Дорнбуш, Рюдигер ; Фишер, Стэнли ; Старц, Ричард (2004). «Теория роста: неоклассическая модель». Макроэкономика (Девятое изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл Ирвин. стр. 61–75. ISBN 978-0-07-282340-0.
• Фермер, Роджер Э.А. (1999). «Неоклассическая теория роста». Макроэкономика (Второе изд.). Цинциннати: Юго-Запад. стр. 333–355. ISBN 978-0-324-12058-5.
• Фергюсон, Брайан С.; Лим, GC (1998). Введение в динамические экономические модели. Манчестер: Издательство Манчестерского университета. стр. 42–48. ISBN 978-0-7190-4996-5.
• Гандольфо, Джанкарло (1996). «Неоклассическая модель роста». Экономическая динамика (Третье изд.). Берлин: Шпрингер. стр. 175–189. ISBN 978-3-540-60988-9.
• Халсмайер, Верена (2014). «От исследовательского моделирования к технической экспертизе: модель роста Солоу как многоцелевая конструкция». История политической экономии . 46 (Приложение 1, Массачусетский технологический институт и трансформация американской экономики ): 229–251. дои : 10.1215/00182702-2716181 . Проверено 29 ноября 2017 г.
• Интрилигатор, Майкл Д. (1971). Математическая оптимизация и экономическая теория. Энглвуд Клиффс: Прентис-Холл. стр. 398–416. ISBN 978-0-13-561753-3.
• ван Рейкегем Вилли (1963): Структура некоторых моделей макроэкономического роста: сравнение. Архив Weltwirtschaftliches, том 91, стр. 84–100.

Внешние ссылки

• Видео о модели Солоу — более 20 видеороликов, демонстрирующих вывод выводов модели роста Солоу.
• Видеообъяснение Университета маргинальной революции
• Java-апплет, где вы можете поэкспериментировать с параметрами и узнать о модели Солоу.
• Модель роста Солоу, Фиона Маклахлан, Демонстрационный проект Wolfram .
• Пошаговое объяснение того, как понять модель Солоу.
• Курс профессора Хосе-Виктора Риоса-Рулла в Университете Миннесоты