Модульная форма

Аналитическая функция на верхней полуплоскости с определенным поведением относительно модулярной группы

В математике модулярная форма — это (комплексная) аналитическая функция на верхней полуплоскости , которая удовлетворяет: ${\displaystyle \,{\mathcal {H}}\,}$

• своего рода функциональное уравнение относительно группового действия модулярной группы ,
• и состояние роста.

Теория модулярных форм, таким образом, относится к комплексному анализу . Главное значение теории заключается в ее связях с теорией чисел . Модульные формы появляются и в других областях, таких как алгебраическая топология , упаковка сфер и теория струн .

Теория модулярных форм является частным случаем более общей теории автоморфных форм , которые являются функциями, определенными на группах Ли , которые хорошо преобразуются относительно действия некоторых дискретных подгрупп , обобщая пример модулярной группы . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Термин «модульная форма» как систематическое описание обычно приписывают Эриху Гекке .

Каждая модульная форма прикреплена к представлению Галуа . ^[1]

Определение

В общем случае ^[2] для заданной подгруппы конечного индекса , называемой арифметической группой , модулярная форма уровня и веса является голоморфной функцией из верхней полуплоскости, такой, что выполняются два условия: ${\displaystyle \Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$

• Условие автоморфности: Для любого имеет место равенство ^{[примечание 1]} ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ ${\displaystyle f(\gamma (z))=(cz+d)^{k}f(z)}$
• Условие роста: Для любого функция ограничена при ${\displaystyle \gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (cz+d)^{-k}f(\gamma (z))}$ ${\displaystyle {\text{im}}(z)\to \infty }$

где и функция отождествляется с матрицей Отождествление таких функций с такими матрицами приводит к тому, что композиция таких функций соответствует умножению матриц. Кроме того, она называется формой параболы , если она удовлетворяет следующему условию роста: ${\textstyle \gamma (z)=(az+b)/(cz+d)}$ ${\textstyle \gamma }$ ${\textstyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ).\,}$

• Условие каспидальности: Для любой функции как ${\displaystyle \gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (cz+d)^{-k}f(\gamma (z))\to 0}$ ${\displaystyle {\text{im}}(z)\to \infty }$

Как части линейного пучка

Модульные формы также могут быть интерпретированы как разделы определенного линейного пучка на модульных многообразиях . Для модульной формы уровня и веса можно определить как элемент ${\displaystyle \Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f\in H^{0}(X_{\Gamma },\omega ^{\otimes k})=M_{k}(\Gamma )}$

где — каноническое линейное расслоение на модулярной кривой ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle X_{\Gamma }=\Gamma \backslash ({\mathcal {H}}\cup \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {Q} ))}$

Размеры этих пространств модулярных форм можно вычислить с помощью теоремы Римана–Роха . ^[3] Классические модулярные формы для являются сечениями линейного расслоения на стеке модулей эллиптических кривых . ${\displaystyle \Gamma ={\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$

Модульная функция

Модулярная функция — это функция, которая инвариантна относительно модулярной группы, но без условия, что f  ( z ) голоморфна в верхней полуплоскости (среди других требований). Вместо этого модулярные функции мероморфны : они голоморфны на дополнении множества изолированных точек, которые являются полюсами функции.

Модульные формы для SL(2, Z)

Стандартное определение

Модульная форма веса k для модульной группы

${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|a,b,c,d\in \mathbf {Z} ,\ ad-bc=1\right\}}$

— комплекснозначная функция f на верхней полуплоскости H = { z ∈ C , Im ( z ) > 0}, удовлетворяющая следующим трем условиям:   

1.  f  —голоморфная функция на H.
2. Для любого z ∈ H и любой матрицы из SL(2, Z ) , как указано выше, имеем:

   ${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$

3.  f  должна быть ограничена при z → i ∞ .

Замечания:

• Вес k обычно представляет собой положительное целое число.
• При нечетном k только нулевая функция может удовлетворять второму условию.
• Третье условие также формулируется так: f является «голоморфным в точке возврата», терминология, которая поясняется ниже. Явно, условие означает, что существуют некоторые такие, что , то есть ограничено выше некоторой горизонтальной линии.   ${\displaystyle M,D>0}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)>M\implies |f(z)|<D}$ ${\displaystyle f}$
• Второе условие для

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

читает

${\displaystyle f\left(-{\frac {1}{z}}\right)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z)}$

соответственно. Поскольку S и T порождают модулярную группу SL(2, Z ) , второе условие выше эквивалентно этим двум уравнениям.

• Поскольку f  ( z + 1) =   f  ( z ) , модулярные формы являются периодическими функциями с периодом 1 и, таким образом, имеют ряд Фурье . 

Определение в терминах решеток или эллиптических кривых

Модулярную форму можно эквивалентно определить как функцию F из множества решеток в C в множество комплексных чисел , удовлетворяющую определенным условиям:

1. Если рассмотреть решетку Λ = Z α + Z z , порожденную константой α и переменной z , то F (Λ) является аналитической функцией z .
2. Если α — ненулевое комплексное число, а α Λ — решетка, полученная путем умножения каждого элемента Λ на α , то F ( α Λ) = α ^{− k} F (Λ), где k — константа (обычно положительное целое число), называемая весом формы.
3. Абсолютное значение F (Λ) остается ограниченным сверху до тех пор , пока абсолютное значение наименьшего ненулевого элемента в Λ отделено от 0.

Ключевая идея доказательства эквивалентности двух определений состоит в том, что такая функция F определяется, в силу второго условия, своими значениями на решетках вида Z + Z τ , где τ ∈ H .

Примеры

Серия И. Эйзенштейна

Простейшими примерами с этой точки зрения являются ряды Эйзенштейна . Для каждого четного целого числа k > 2 мы определяем G _k (Λ) как сумму λ ^{− k} по всем ненулевым векторам λ из Λ :

${\displaystyle G_{k}(\Lambda )=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-k}.}$

Тогда G _k является модулярной формой веса k . Для Λ = Z + Z τ имеем

${\displaystyle G_{k}(\Lambda )=G_{k}(\tau )=\sum _{(0,0)\neq (m,n)\in \mathbf {Z} ^{2}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}},}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{k}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&=\tau ^{k}G_{k}(\tau ),\\G_{k}(\tau +1)&=G_{k}(\tau ).\end{aligned}}}$

Для сходимости необходимо условие k > 2 ; при нечетных k происходит сокращение между λ ^{− k} и (− λ ) ^{− k} , так что такие ряды тождественно равны нулю.

II. Тета-функции четных унимодулярных решеток

Четная унимодулярная решетка L в Rn — это решетка, порожденная n векторами, образующими столбцы матрицы определителя 1 и удовлетворяющими условию, что квадрат длины каждого вектора в ^L является четным целым числом. Так называемая тета-функция

${\displaystyle \vartheta _{L}(z)=\sum _{\lambda \in L}e^{\pi i\Vert \lambda \Vert ^{2}z}}$

сходится, когда Im(z) > 0, и как следствие формулы суммирования Пуассона можно показать, что она является модулярной формой веса n /2 . Не так-то просто построить четные унимодулярные решетки, но вот один способ: пусть n — целое число, делящееся на 8, и рассмотрим все векторы v в R ⁿ такие, что 2 v имеет целые координаты, либо все четные, либо все нечетные, и такие, что сумма координат v является четным целым числом. Мы называем эту решетку L _n . Когда n = 8 , это решетка, порожденная корнями в корневой системе, называемой E 8 . Поскольку существует только одна модулярная форма веса 8 с точностью до скалярного умножения,

${\displaystyle \vartheta _{L_{8}\times L_{8}}(z)=\vartheta _{L_{16}}(z),}$

даже несмотря на то, что решетки L ₈ × L ₈ и L ₁₆ не подобны. Джон Милнор заметил, что 16-мерные торы, полученные делением R ¹⁶ на эти две решетки, являются, следовательно, примерами компактных римановых многообразий , которые изоспектральны , но не изометричны (см. Услышать форму барабана .)

III. Модульный дискриминант

Функция Дедекинда эта определяется как

${\displaystyle \eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\qquad q=e^{2\pi iz}.}$

где q — квадрат нома . Тогда модульный дискриминант Δ( z ) = (2π) ¹² η ( z ) ²⁴ является модулярной формой веса 12. Наличие 24 связано с тем, что решетка Лича имеет 24 измерения. Знаменитая гипотеза Рамануджана утверждала, что когда Δ( z ) разлагается в степенной ряд по q, коэффициент при q ^p для любого простого числа p имеет абсолютное значение ≤ 2 p ^11/2 . Это было подтверждено работами Эйхлера , Шимуры , Куги , Ихары и Пьера Делиня в результате доказательства Делинем гипотез Вейля , которые, как было показано, подразумевают гипотезу Рамануджана.

Второй и третий примеры дают некоторый намек на связь между модулярными формами и классическими вопросами теории чисел, такими как представление целых чисел квадратичными формами и функцией распределения . Решающая концептуальная связь между модулярными формами и теорией чисел обеспечивается теорией операторов Гекке , которая также дает связь между теорией модулярных форм и теорией представлений .

Модульные функции

Когда вес k равен нулю, можно показать с помощью теоремы Лиувилля , что единственными модулярными формами являются постоянные функции. Однако ослабление требования голоморфности f приводит к понятию модулярных функций . Функция f  : H → C называется модулярной, если она удовлетворяет следующим свойствам:

• f мероморфна в открытой верхней полуплоскости H
• Для каждой целочисленной матрицы в модулярной группе Γ , . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)}$
• Второе условие подразумевает, что f является периодической, и, следовательно, имеет ряд Фурье . Третье условие заключается в том, что этот ряд имеет вид

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}e^{2i\pi nz}.}$

Его часто записывают в терминах (квадрата нома ) , например: ${\displaystyle q=\exp(2\pi iz)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}q^{n}.}$

Это также называется q -разложением функции f ( принцип q-разложения ). Коэффициенты известны как коэффициенты Фурье функции f , а число m называется порядком полюса функции f в точке i∞. Это условие называется «мероморфным в точке возврата», что означает, что только конечное число отрицательных коэффициентов n не равны нулю, поэтому q -разложение ограничено снизу, что гарантирует его мероморфность при q  = 0.  ^{[примечание 2]} ${\displaystyle a_{n}}$

Иногда используется более слабое определение модулярных функций — при альтернативном определении достаточно, чтобы f была мероморфна в открытой верхней полуплоскости и чтобы f была инвариантна относительно подгруппы модулярной группы конечного индекса. ^[4] В данной статье это не соблюдается.

Другой способ сформулировать определение модулярных функций — использовать эллиптические кривые : каждая решетка Λ определяет эллиптическую кривую C /Λ над C ; две решетки определяют изоморфные эллиптические кривые тогда и только тогда, когда одна получается из другой путем умножения на некоторое ненулевое комплексное число α . Таким образом, модулярную функцию можно также рассматривать как мероморфную функцию на множестве классов изоморфизма эллиптических кривых. Например, j-инвариант j ( z ) эллиптической кривой, рассматриваемый как функция на множестве всех эллиптических кривых, является модулярной функцией. Более концептуально модулярные функции можно рассматривать как функции на пространстве модулей классов изоморфизма комплексных эллиптических кривых.

Модулярная форма f, которая обращается в нуль при q = 0 (эквивалентно, a ₀ = 0 , также перефразированная как z = i ∞ ), называется формой каспа ( Spitzenform на немецком языке ). Наименьшее n такое, что a _n ≠ 0, является порядком нуля f при i ∞ .

Модульная единица — это модульная функция, полюса и нули которой ограничены точками возврата. ^[5]

Модульные формы для более общих групп

Функциональное уравнение, т. е. поведение f по отношению к , можно смягчить, потребовав его только для матриц в меньших группах. ${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

Поверхность РиманаГ\ЧАС∗

Пусть G — подгруппа SL(2, Z ) , имеющая конечный индекс . Такая группа G действует на H так же, как SL(2, Z ) . Можно показать, что фактор-топологическое пространство G \ H является хаусдорфовым пространством . Обычно оно не компактно, но может быть компактифицировано путем добавления конечного числа точек, называемых каспами . Это точки на границе H , т. е. в Q ∪ {∞}, ^{[примечание 3]} такие, что существует параболический элемент G (матрица со следом ±2), фиксирующий точку. Это дает компактное топологическое пространство G \ H ^∗ . Более того, его можно наделить структурой римановой поверхности , что позволяет говорить о голо- и мероморфных функциях.

Важными примерами являются: для любого положительного целого числа N одна из подгрупп конгруэнтности

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{0}(N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}\\\Gamma (N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv b\equiv 0,a\equiv d\equiv 1{\pmod {N}}\right\}.\end{aligned}}}$

Для G = Γ ₀ ( N ) или Γ( N ) пространства G \ H и G \ H ^∗ обозначаются Y ₀ ( N ) и X ₀ ( N ) и Y ( N ), X ( N ) соответственно.

Геометрию G \ H ^∗ можно понять, изучая фундаментальные области для G , т. е. подмножества D ⊂ H такие, что D пересекает каждую орбиту действия G на H ровно один раз и такие, что замыкание D пересекает все орбиты. Например, можно вычислить род G \ H ^{∗ . [6]}

Определение

Модулярная форма для G веса k — это функция на H, удовлетворяющая указанному выше функциональному уравнению для всех матриц в G , которая голоморфна на H и во всех каспах G. Опять же, модулярные формы, которые обращаются в нуль во всех каспах, называются касповыми формами для G. C - векторные пространства модулярных и касповых форм веса k обозначаются M _k ( G ) и S _k ( G ) соответственно. Аналогично, мероморфная функция на G \ H ^∗ называется модулярной функцией для G . В случае G = Γ ₀ ( N ) они также называются модулярными/касповыми формами и функциями уровня N . Для G = Γ(1) = SL(2, Z ) это возвращает вышеупомянутые определения.

Последствия

Теория римановых поверхностей может быть применена к G \ H ^∗ для получения дополнительной информации о модулярных формах и функциях. Например, пространства M _k ( G ) и S _k ( G ) являются конечномерными, и их размерности могут быть вычислены благодаря теореме Римана–Роха в терминах геометрии действия G на H . ^[7] Например,

${\displaystyle \dim _{\mathbf {C} }M_{k}\left({\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )\right)={\begin{cases}\left\lfloor k/12\right\rfloor &k\equiv 2{\pmod {12}}\\\left\lfloor k/12\right\rfloor +1&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

где обозначает функцию пола и является четной. ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ ${\displaystyle k}$

Модулярные функции составляют поле функций римановой поверхности и, следовательно, образуют поле степени трансцендентности один (над C ). Если модулярная функция f не тождественно равна 0, то можно показать, что число нулей f равно числу полюсов f в замыкании фундаментальной области R _Γ . Можно показать, что поле модулярных функций уровня N ( N ≥ 1) порождается функциями j ( z ) и j ( Nz ). ^[8]

Линейные пучки

Ситуацию можно с пользой сравнить с той, которая возникает при поиске функций на проективном пространстве P( V ): в этой ситуации в идеале хотелось бы иметь функции F на векторном пространстве V , которые являются полиномами относительно координат v  ≠ 0 в V и удовлетворяют уравнению F ( cv ) =  F ( v ) для всех ненулевых c . К сожалению, единственными такими функциями являются константы. Если мы допустим знаменатели (рациональные функции вместо полиномов), мы можем позволить F быть отношением двух однородных полиномов одинаковой степени. В качестве альтернативы мы можем придерживаться полиномов и ослабить зависимость от c , положив F ( cv ) =  c ^k F ( v ). Тогда решениями будут однородные полиномы степени k . С одной стороны, они образуют конечномерное векторное пространство для каждого  k , а с другой, если мы позволим k изменяться, мы можем найти числители и знаменатели для построения всех рациональных функций, которые на самом деле являются функциями на базовом проективном пространстве P( V ).

Можно спросить, поскольку однородные многочлены на самом деле не являются функциями на P( V ), что они собой представляют с геометрической точки зрения? Алгебро -геометрический ответ заключается в том, что они являются сечениями пучка (в этом случае можно было бы также сказать линейного расслоения ). Ситуация с модулярными формами в точности аналогична.

Модульные формы также можно с пользой рассматривать с этой геометрической точки зрения, как сечения линейных расслоений на пространстве модулей эллиптических кривых.

Кольца модульных форм

Для подгруппы Γ группы SL(2, Z ) кольцо модулярных форм является градуированным кольцом, порожденным модулярными формами группы Γ . Другими словами, если M _k (Γ) является векторным пространством модулярных форм веса k , то кольцо модулярных форм группы Γ является градуированным кольцом . ${\displaystyle M(\Gamma )=\bigoplus _{k>0}M_{k}(\Gamma )}$

Кольца модулярных форм конгруэнц-подгрупп SL(2, Z ) конечно порождены благодаря результату Пьера Делиня и Майкла Рапопорта . Такие кольца модулярных форм генерируются с весом не более 6, а соотношения генерируются с весом не более 12, когда конгруэнц-подгруппа имеет ненулевые нечетные модулярные формы веса, а соответствующие границы равны 5 и 10, когда нет ненулевых нечетных модулярных форм веса.

В более общем случае существуют формулы для оценок весов образующих кольца модулярных форм и его соотношений для произвольных фуксовых групп .

Типы

Новые формы

Новые формы являются подпространством модулярных форм ^[9] фиксированного уровня , которое не может быть построено из модулярных форм более низких уровней, разделяющих . Другие формы называются старыми формами . Эти старые формы могут быть построены с использованием следующих наблюдений: если , то давая обратное включение модулярных форм . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\mid N}$ ${\displaystyle \Gamma _{1}(N)\subseteq \Gamma _{1}(M)}$ ${\displaystyle M_{k}(\Gamma _{1}(M))\subseteq M_{k}(\Gamma _{1}(N))}$

Формы бугорков

Форма каспа — это модулярная форма с нулевым постоянным коэффициентом в ряду Фурье. Она называется формой каспа, потому что форма исчезает во всех точках каспа.

Обобщения

Помимо этого классического, существует ряд других применений термина «модулярная функция»; например, в теории мер Хаара это функция Δ( g ), определяемая действием сопряжения.

Формы Мааса являются вещественно-аналитическими собственными функциями Лапласа , но не обязательно должны быть голоморфными . Голоморфные части некоторых слабых волновых форм Мааса оказываются по сути фиктивными тета-функциями Рамануджана. Можно рассматривать группы, которые не являются подгруппами SL(2, Z ) .

Модулярные формы Гильберта — это функции от n переменных, каждая из которых является комплексным числом в верхней полуплоскости, удовлетворяющие модулярному соотношению для матриц 2×2 с элементами в поле полностью действительных чисел .

Модулярные формы Зигеля связаны с большими симплектическими группами таким же образом, каким классические модулярные формы связаны с SL(2, R ) ; другими словами, они связаны с абелевыми многообразиями в том же смысле, в каком классические модулярные формы (которые иногда называют эллиптическими модулярными формами, чтобы подчеркнуть этот момент) связаны с эллиптическими кривыми.

Формы Якоби являются смесью модулярных форм и эллиптических функций. Примеры таких функций весьма классичны — тета-функции Якоби и коэффициенты Фурье модулярных форм Зигеля рода два — но сравнительно недавним наблюдением стало то, что формы Якоби имеют арифметическую теорию, очень похожую на обычную теорию модулярных форм.

Автоморфные формы расширяют понятие модулярных форм на общие группы Ли .

Модульные интегралы веса k являются мероморфными функциями на верхней полуплоскости умеренного роста на бесконечности, которые не являются модулярными веса k по рациональной функции.

Автоморфные факторы — это функции формы , которые используются для обобщения отношения модулярности, определяющего модулярные формы, так что ${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}}$

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).}$

Функция называется nebentypus модулярной формы. Такие функции, как функция Дедекинда эта , модулярная форма веса 1/2, могут быть охвачены теорией, допуская автоморфные множители. ${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)}$

История

Теория модульных форм развивалась в четыре периода:

• В связи с теорией эллиптических функций в начале девятнадцатого века
• Феликс Кляйн и другие в конце девятнадцатого века, когда стала понятна концепция автоморфной формы (для одной переменной)
• Эрих Хекке , около 1925 г.
• В 1960-х годах, когда потребности теории чисел и формулировка теоремы о модулярности в частности сделали очевидным, что модулярные формы играют глубокую роль.

Танияма и Шимура определили соответствие 1 к 1 между определенными модульными формами и эллиптическими кривыми. Роберт Ленглендс развил эту идею при построении своей обширной программы Ленглендса , которая стала одной из самых далеко идущих и последовательных исследовательских программ в математике.

В 1994 году Эндрю Уайлс использовал модулярные формы для доказательства Великой теоремы Ферма . В 2001 году было доказано, что все эллиптические кривые являются модулярными над рациональными числами. В 2013 году было доказано, что эллиптические кривые являются модулярными над действительными квадратичными полями . В 2023 году было доказано, что эллиптические кривые являются модулярными над примерно половиной мнимых квадратичных полей, включая поля, образованные путем объединения рациональных чисел с квадратным корнем из целых чисел вплоть до −5. ^[1]

Смотрите также

• Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма

Примечания

1. Некоторые авторы используют другие соглашения, допуская дополнительную константу, зависящую только от , см., например, «DLMF: §23.15 Определения ‣ Модульные функции ‣ Глава 23 Эллиптические и модульные функции Вейерштрасса». dlmf.nist.gov . Получено 07.07.2023 . ${\displaystyle \gamma }$
2. Мероморфная функция может иметь только конечное число членов с отрицательным показателем в своем ряде Лорана, его q-разложении. Она может иметь максимум полюс при q  = 0, а не существенную особенность, как exp(1/ q ).
3. Здесь матрица отправляет ∞ в a / c . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

Цитаты

1. Van Wyk, Gerhard (июль 2023 г.). «Эллиптические кривые раскрывают свои секреты в новой системе счисления». Quanta .
2. Лан, Кай-Вэнь. "Когомологии автоморфных расслоений" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 1 августа 2020 г.
3. Милн. «Модулярные функции и модулярные формы». стр. 51.
4. Чандрасекхаран, К. (1985). Эллиптические функции . Springer-Verlag. ISBN 3-540-15295-4.стр. 15
5. Куберт, Дэниел С .; Ланг, Серж (1981), Модульные единицы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математической науки], том. 244, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , с. 24, ISBN 978-0-387-90517-4, MR  0648603, Zbl  0492.12002
6. Ганнинг, Роберт С. (1962), Лекции по модулярным формам , Annals of Mathematics Studies, т. 48, Princeton University Press, стр. 13
7. Шимура, Горо (1971), Введение в арифметическую теорию автоморфных функций , Публикации Математического общества Японии, т. 11, Токио: Iwanami Shoten, Теорема 2.33, Предложение 2.26
8. Милн, Джеймс (2010), Модульные функции и модульные формы (PDF) , стр. 88, Теорема 6.1.
9. Мокану, Андреа. "Теория Аткина-Ленера Γ 1 ( N ) {\displaystyle \Gamma _{1}(N)} -модулярных форм" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 31 июля 2020 г.

Ссылки

• Апостол, Том М. (1990), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-97127-0
• Даймонд, Фред; Шурман, Джерри Майкл (2005), Первый курс по модульным формам , Graduate Texts in Mathematics, т. 228, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0387232294 Подводит нас к обзору доказательства теоремы о модульности .
• Гелбарт, Стивен С. (1975), Автоморфные формы на группах Аделя , Annals of Mathematics Studies, т. 83, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , MR  0379375. Дает введение в модульные формы с точки зрения теории представлений .
• Хекке, Эрих (1970), Mathematische Werke , Геттинген: Ванденхук и Рупрехт
• Ранкин, Роберт А. (1977), Модульные формы и функции , Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 0-521-21212-X
• Рибет, К.; Штейн, В., Лекции по модулярным формам и операторам Гекке
• Серр, Жан-Пьер (1973), Курс арифметики , Graduate Texts in Mathematics, т. 7, Нью-Йорк: Springer-VerlagГлава VII содержит элементарное введение в теорию модулярных форм .
• Скоруппа, НП; Загер, Д. (1988), «Формы Якоби и определенное пространство модульных форм», Inventiones Mathematicae , 94 , Springer : 113, Bibcode : 1988InMat..94..113S, doi : 10.1007/BF01394347
• Узрите модулярные формы, «пятую фундаментальную операцию» математики