Гильбертова модульная форма

Специальные модульные формы

В математике модулярная форма Гильберта — это обобщение модулярных форм на функции двух или более переменных. Это (комплексная) аналитическая функция на m -кратном произведении верхних полуплоскостей, удовлетворяющая функциональному уравнению определенного типа . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Определение

Пусть F — вполне вещественное числовое поле степени m над рациональным полем. Пусть – действительные вложения F . Через них у нас есть карта ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{m}}$

${\displaystyle GL_{2}(F)\to GL_{2}(\mathbb {R} )^{m}.}$

Пусть – кольцо целых чисел F . Группа называется полной гильбертовой модулярной группой . Для каждого элемента существует групповое действие, определяемое ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ ${\displaystyle GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$ ${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{m})\in {\mathcal {H}}^{m}}$ ${\displaystyle GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$ ${\displaystyle \gamma \cdot z=(\sigma _{1}(\gamma )z_{1},\ldots ,\sigma _{m}(\gamma )z_{m})}$

Для

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in GL_{2}(\mathbb {R} ),}$

определять:

${\displaystyle j(g,z)=\det(g)^{-1/2}(cz+d)}$

Гильбертова модулярная форма веса — это аналитическая функция на такой, что для любого ${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{m})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ ${\displaystyle \gamma \in GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$

${\displaystyle f(\gamma z)=\prod _{i=1}^{m}j(\sigma _{i}(\gamma ),z_{i})^{k_{i}}f(z).}$

В отличие от случая модульной формы, для точек возврата не требуется никаких дополнительных условий из-за принципа Кехера . ^{[ сомнительно – обсудить ]}

История

Эти модульные формы для действительных квадратичных полей были впервые рассмотрены в 1901 году в книге «Habilitationsssschrift Геттингенского университета » Отто Блюменталя . Там он упоминает, что Дэвид Гильберт первоначально рассматривал их в работе 1893–1894 годов, которая так и осталась неопубликованной. Работа Блюменталя была опубликована в 1903 году. По этой причине модульные формы Гильберта теперь часто называют модульными формами Гильберта-Блюменталя .

Теория оставалась бездействующей в течение нескольких десятилетий; Эрих Хекке обращался к нему в своих ранних работах, но большой интерес к гильбертовым модулярным формам ожидался с развитием теории комплексных многообразий .

Смотрите также

• Модульная форма Siegel
• Гильбертова модульная поверхность

Рекомендации

• Ян Х. Брюнье: Модульные формы Гильберта и их приложения.
• Пол Б. Гарретт: Голоморфные модульные формы Гильберта . Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Пасифик Гроув, Калифорния, 1990. ISBN  0-534-10344-8
• Эберхард Фрайтаг : Модульные формы Гильберта . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-50586-5