Модульная решетка

В разделе математики, называемом теорией порядка , модулярная решетка — это решетка , которая удовлетворяет следующему самодвойственному условию :

Модульный закон: $a \leq b$ подразумевает $а \lor (Икс \land б) знак равно (а \lor Икс) \land б$

где $x, a, b$ — произвольные элементы в решетке, ≤ — частичный порядок , а ∨ и ∧ (называемые « соединение» и «встреча» соответственно) — операции решетки. Эта формулировка подчеркивает интерпретацию в терминах проекции на подрешетку $[a, b]$ - факт, известный как теорема об изоморфизме алмаза . ^[1] Альтернативное, но эквивалентное условие, сформулированное в виде уравнения (см. ниже), подчеркивает, что модулярные решетки образуют многообразие в смысле универсальной алгебры .

Модульные решетки естественным образом возникают в алгебре и во многих других областях математики. В этих сценариях модульность является абстракцией 2-й теоремы об изоморфизме . Например, подпространства векторного пространства (и, в более общем смысле, подмодули модуля над кольцом ) образуют модульную решетку.

В не обязательно модулярной решетке все еще могут существовать элементы $b$ , для которых модульный закон выполняется в связи с произвольными элементами $x$ и $a$ (при $a \leq b$ ). Такой элемент называется правомодулярным элементом . В более общем смысле модульный закон может выполняться для любого $a$ и фиксированной пары $(x, b)$ . Такая пара называется модулярной парой , и существуют различные обобщения модулярности, связанные с этим понятием и с полумодулярностью .

Модульные решетки иногда называют решетками Дедекинда в честь Ричарда Дедекинда , который обнаружил модульную идентичность в нескольких мотивирующих примерах.

Введение

Модульный закон можно рассматривать как ограниченный ассоциативный закон , который соединяет две операции решетки аналогично тому, как ассоциативный закон λ(μ x ) = (λμ) x для векторных пространств связывает умножение в поле и скалярное умножение.

Ограничение $a \leq b$ очевидно необходимо, поскольку оно следует из $a \lor (x \land b) = (a \lor x) \land b$ . Другими словами, ни одна решетка, содержащая более одного элемента, не удовлетворяет неограниченному следствию модулярного закона.

Легко видеть ^[2] , что $из a \lor b$ влечет $a \lor (x \land b) ⩽ (a \lor x) \land b$ в каждой решетке. Следовательно, модульный закон можно также сформулировать как

Модульный закон (вариант): $а \leq б$ подразумевает $(а \lor Икс) \land б \leq а \lor (Икс \land б)$ .

Модульный закон можно выразить в виде уравнения, которое требуется выполнять безоговорочно. Поскольку из $a \leq b$ следует $a = a \land b$ и поскольку $a \land b \leq b$ , замените $a$ на $a \land b$ в определяющем уравнении модульного закона, чтобы получить:

Модульная идентичность: $(а \land б) \lor (Икс \land б) знак равно ((а \land б) \lor Икс) \land б$ .

Это показывает, что, используя терминологию универсальной алгебры , модулярные решетки образуют подмногообразие многообразия решеток . Следовательно, все гомоморфные образы, подрешетки и прямые произведения модулярных решеток снова модулярны.

Примеры

Решетка подмодулей модуля над кольцом модулярна. В частном случае решетка подгрупп абелевой группы модулярна.

Решетка нормальных подгрупп группы модулярна. Но вообще решетка всех подгрупп группы немодулярна. Например, решетка подгрупп группы диэдра восьмого порядка не является модулярной.

Наименьшей немодульной решеткой является «пятиугольная» решетка N ₅ , состоящая из пяти элементов 0, 1, x , a , b таких, что 0 < x < b < 1, 0 < a < 1 и a не сравнимо с x. или к б . Для этой решетки

Икс ∨ ( а ∧ б ) знак равно Икс ∨ 0 знак равно Икс < б знак равно 1 ∧ б знак равно ( Икс ∨ а ) ∧ б

имеет место, что противоречит модульному закону. Каждая немодулярная решетка содержит копию N ₅ в качестве подрешетки. ^[3]

Характеристики

Любая дистрибутивная решетка модульна. ^[4]^[5]

Дилворт (1954) доказал, что в каждой конечной модулярной решетке количество элементов, не приводимых в объединение, равно количеству элементов, не приводимых в объединение. В более общем смысле, для каждого $k$ количество элементов решетки, которые покрывают ровно $k$ других элементов, равно числу, которые покрываются ровно $k$ другими элементами. ^[6]

Полезное свойство, показывающее, что решетка не является модулярной, заключается в следующем:

Решетка

G

является модулярной тогда и только тогда, когда для любых

a, b, c \in G

{\Big (}(c\leq a){\text{ и }}(a\wedge b=c\wedge b) {\text{ и }}(a\vee b=c\vee b) {\Big )}\Стрелка вправо (a=c)

Схема доказательства: пусть G модулярна и предпосылка импликации верна. Затем, используя поглощение и модульную идентичность:

c знак равно ( c ∧ б ) ∨ c знак равно ( а ∧ б ) ∨ c знак равно а ∧ ( б ∨ c ) знак равно а ∧ ( б ∨ а ) знак равно а

Для другого направления пусть импликация теоремы выполняется в G. Пусть a , b , c — любые элементы из G, такие что c ⩽ a . Пусть x = ( a ∧ b ) ∨ c , y = a ∧ ( b ∨ c ). Из модульного неравенства сразу следует, что x ≤ y . Если мы покажем, что x ∧ b = y ∧ b , x ∨ b = y ∨ b , то, используя предположение x = y, должно выполняться. Остальная часть доказательства — рутинные манипуляции с инфимами, супремами и неравенствами. ^{[ нужна цитата ]}

Теорема об изоморфизме алмаза

Для любых двух элементов a , b модулярной решетки можно рассматривать интервалы [ a ∧ b , b ] и [ a , a ∨ b ]. Они соединены сохраняющими порядок картами.

φ: [ а ∧ б , б ] → [ а , а ∨ б ] и

ψ: [ а , а ∨ б ] → [ а ∧ б , б ]

которые определяются формулами φ( x ) = x ∨ a и ψ( y ) = y ∧ b .

В модулярной решетке отображения φ и ψ, указанные стрелками, являются взаимно обратными изоморфизмами.
Несостоятельность теоремы об изоморфизме алмаза в немодулярной решетке.

Композиция ψφ представляет собой сохраняющее порядок отображение интервала [ a ∧ b , b ] в себя, которое также удовлетворяет неравенству ψ(φ( x )) = ( x ∨ a ) ∧ b ≥ x . Пример показывает, что это неравенство, вообще говоря, может быть строгим. Однако в модульной решетке равенство сохраняется. Поскольку двойственное к модулярной решетке снова модулярное, φψ также является единицей на [ a , a ∨ b ], и, следовательно, два отображения φ и ψ являются изоморфизмами между этими двумя интервалами. Этот результат иногда называют теоремой об изоморфизме алмаза для модулярных решеток. Решетка является модулярной тогда и только тогда, когда теорема об изоморфизме алмаза справедлива для каждой пары элементов.

Теорема об изоморфизме алмаза для модульных решеток аналогична второй теореме об изоморфизме в алгебре и является обобщением теоремы о решетке .

Модульные пары и связанные с ними понятия

В любой решетке модулярная пара — это пара ( a, b ) элементов такая, что для всех x , удовлетворяющих a ∧ b ≤ x ≤ b , имеем ( x ∨ a ) ∧ b = x , т. е. если одна половина ромба Для пары справедлива теорема об изоморфизме. ^[7] Элемент b решетки называется правомодулярным элементом, если ( a, b ) является модулярной парой для всех элементов a , а элемент a называется левомодулярным элементом , если ( a, b ) является модулярной парой. для всех элементов b . ^[8]

Решетка, обладающая свойством, что если ( a, b ) — модулярная пара, то ( b, a ) также является модулярной парой, называется M-симметричной решеткой . ^[9] Таким образом, в M-симметричной решетке каждый правомодулярный элемент также является левомодулярным, и наоборот. Поскольку решетка является модулярной тогда и только тогда, когда все пары элементов модулярны, очевидно, что каждая модулярная решетка M-симметрична. В описанной выше решетке N ₅ пара ( b, a ) является модулярной, а пара ( a, b ) — нет. Следовательно, N ₅ не является M-симметричным. Центрированная шестиугольная решетка S ₇ M-симметрична, но не модулярна. Так как N ₅ является подрешеткой в S ₇ , то M-симметричные решетки не образуют подмногообразия многообразия решеток.

М-симметрия не является самодвойственным понятием. Дуальная модулярная пара — это пара, модулярная в двойственной решетке, причем решетка называется дуально M-симметричной или M ^* -симметричной , если ее двойственная M-симметрична. Можно показать, что конечная решетка модулярна тогда и только тогда, когда она M-симметрична и M ^* -симметрична. Та же эквивалентность справедлива для бесконечных решеток, удовлетворяющих условию возрастающей цепи (или условию нисходящей цепи).

Несколько менее важных понятий также тесно связаны между собой. Решетка является перекрестно-симметричной, если для каждой модулярной пары ( a, b ) пара ( b, a ) дуально модулярна. Кросс-симметрия подразумевает М-симметрию, но не М ^* -симметрию. Следовательно, кросс-симметрия не эквивалентна двойной кросс-симметрии. Решетка с наименьшим элементом 0 называется ⊥-симметричной, если для каждой модулярной пары ( a, b ), удовлетворяющей условию a ∧ b = 0, пара ( b, a ) также является модулярной.

История

Определение модульности принадлежит Ричарду Дедекинду , который опубликовал большинство соответствующих статей после выхода на пенсию. В статье, опубликованной в 1894 году, ^он^изучал решетки, которые он назвал дуальными группами ( нем . Dualgruppen ) как часть своей «алгебры модулей », и заметил ^, что идеалы удовлетворяют тому, что мы сейчас называем модульным законом. Он также заметил, что для решеток в целом модульный закон эквивалентен двойственному ему закону.

В другой статье 1897 года Дедекинд исследовал решетку дивизоров с НОД и lcm в качестве операций, так что порядок решетки задается делимостью. ^[10] В отступлении он представил и изучил решетки формально в общем контексте. ^[10]^{: 10–18} Он заметил, что решетка подмодулей модуля удовлетворяет модулярному тождеству. Такие решетки он назвал двойственными группами модульного типа ( Dualgruppen vom Modultypus ). Он также доказал, что модульное тождество и двойственное ему эквивалентны. ^[10]^{: 13}

В той же статье Дедекинд исследовал также следующую более сильную форму ^[10]^{: 14} модулярного тождества, которая также является самодвойственной: ^[10]^{: 9}

( Икс ∧ б ) ∨ ( а ∧ б ) знак равно [ Икс ∨ а ] ∧ б .

Решетки, удовлетворяющие этому тождеству, он назвал дуальными группами идеального типа ( Dualgruppen vom Idealtypus ). ^[10]^{: 13} В современной литературе их чаще называют распределительными решетками . Он привел примеры решетки немодулярной и модулярной решетки неидеального типа. ^[10]^{: 14}

В статье, опубликованной Дедекиндом в 1900 году, решётки были центральной темой: он описал свободную модульную решетку, порожденную тремя элементами, решетку из 28 элементов (см. рисунок). ^[11]

Смотрите также

Модульный граф — класс графов, включающий диаграммы Хассе модульных решеток.
Решетка Янга – Фибоначчи , бесконечная модульная решетка, определенная на строках цифр 1 и 2.
Ортомодулярная решетка
Сверхразрешимая решетка
группа Ивасава

Примечания

^ «Почему модульные решетки важны?». Математический обмен стеками . Проверено 17 сентября 2018 г.
^ Для любой решетки верно следующее: $а \lor (Икс \land б) \leq (а \lor Икс) \land (а \lor б)$ . Кроме того, всякий раз, когда $a \leq b$ , тогда $a \lor b = b$ .
^ Блит, ТС (2005). «Модульные решетки». Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Университеттекст. Лондон: Спрингер. Теорема 4.4. дои : 10.1007/1-84628-127-X_4. ISBN 978-1-85233-905-0.
^ Блит, ТС (2005). «Модульные решетки». Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Университеттекст. Лондон: Спрингер. п. 65. дои : 10.1007/1-84628-127-X_4. ISBN 978-1-85233-905-0.
^ В дистрибутивной решетке справедливо следующее: . Более того, закон поглощения справедлив для любой решетки. Подстановка этого второго соединения в правую часть первого уравнения дает модульную идентичность. $(a\wedge b)\vee (x\wedge b)=((a\wedge b)\vee x)\wedge ((a\wedge b)\vee b)$ $(a\wedge b)\vee b=b$
^ Дилворт, Р.П. (1954), «Доказательство гипотезы о конечных модулярных решетках», Annals of Mathematics , Second Series, 60 (2): 359–364, doi : 10.2307/1969639, JSTOR 1969639, MR 0063348. Перепечатано в Богарте, Кеннете П.; Фриз, Ральф; Кунг, Джозеф PS, ред. (1990), «Доказательство гипотезы о конечных модульных решетках», Теоремы Дилворта: Избранные статьи Роберта П. Дилворта , Современные математики, Бостон: Биркхойзер, стр. 219–224, номер документа : 10.1007/978-1-4899- 3558-8_21, ISBN 978-1-4899-3560-1
^ Французский термин , обозначающий модульную пару, — «para modulaire» . Пара ( a, b ) во французском языке называется модульной парой , если оба ( a, b ) и ( b, a ) являются модулярными парами.
^ Модульный элемент по-разному определялся разными авторами как правомодулярный (Штерн (1999, стр. 74)), левый модульный (Орлик и Терао (1992, Определение 2.25)), как левый, так и правый модульный (или двойственный правый модульный). (Саган (1999), Шмидт (1994, стр. 43)), или удовлетворяющие условию модульного ранга (Стэнли (2007, определение 4.12)). Эти понятия эквивалентны в полумодулярной решетке, но не в общем случае.
^ Некоторые авторы, например Фофанова (2001), называют такие решетки полумодулярными решетками . Поскольку каждая M-симметричная решетка полумодулярна и обратное справедливо для решеток конечной длины, это может привести только к путанице для бесконечных решеток.
^ abcdefg Дедекинд, Ричард (1897), «Über Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Theiler» (PDF) , Festschrift der Herzogl. Technischen Hochschule Carolo-Wilhelmina bei Gelegenheit der 69. Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte в Брауншвейге , Фридрих Видег и Зон
^ Дедекинд, Ричард (1900), «Über die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe», Mathematische Annalen , 53 (3): 371–403, doi : 10.1007/BF01448979, S2CID 122529830

Внешние ссылки

«Модульная решетка». ПланетаМатематика .
Последовательность OEIS A006981 (Количество немаркированных модульных решеток с n элементами)
Бесплатный генератор модульных решеток. Веб-приложение с открытым исходным кодом на основе браузера, которое может генерировать и визуализировать некоторые бесплатные модульные решетки.