Расстояние

Расстояние — это численное или иногда качественное измерение того, насколько далеко друг от друга находятся объекты, точки, люди или идеи. В физике или повседневном использовании расстояние может относиться к физической длине или оценке, основанной на других критериях (например, «два округа дальше»). Этот термин также часто используется метафорически ^[1] для обозначения измерения величины разницы между двумя похожими объектами (например, статистическое расстояние между распределениями вероятностей или расстояние редактирования между строками текста ) или степени разделения (например, расстояние между людьми в социальной сети ). Большинство таких понятий расстояния, как физических, так и метафорических, формализованы в математике с использованием понятия метрического пространства .

В социальных науках расстояние может относиться к качественному измерению разделения, такому как социальная дистанция или психологическая дистанция .

Расстояния в физике и геометрии

Расстояние между физическими локациями может определяться по-разному в разных контекстах.

Расстояние по прямой или Евклидово

Расстояние между двумя точками в физическом пространстве — это длина прямой линии между ними, которая является кратчайшим возможным путем. Это обычное значение расстояния в классической физике , включая ньютоновскую механику .

Расстояние по прямой математически формализуется как евклидово расстояние в двух- и трехмерном пространстве . В евклидовой геометрии расстояние между двумя точками $A$ и $B$ часто обозначается . В координатной геометрии евклидово расстояние вычисляется с помощью теоремы Пифагора . Расстояние между точками $($ $x$ $1$ $,$ $y$ $1$ $)$ и $($ $x$ $2$ $,$ $y$ $2$ $)$ на плоскости определяется по формуле: ^[2]^[3] Аналогично, если заданы точки ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) в трехмерном пространстве, расстояние между ними равно: ^{[2] Эта идея обобщается на}евклидовы пространства более высоких размерностей . $|AB|$ $d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2} +(y_{2}-y_{1})^{2}}}.$ $d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2} -x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.$

Измерение

Существует множество способов измерения расстояний по прямой. Например, это можно сделать напрямую с помощью линейки или косвенно с помощью радара (для больших расстояний) или интерферометрии (для очень малых расстояний). Космическая лестница расстояний — это набор способов измерения очень больших расстояний.

Расстояние кратчайшего пути на криволинейной поверхности

Расстояние по прямой между двумя точками на поверхности Земли не очень полезно для большинства целей, поскольку мы не можем проложить туннель прямо через мантию Земли . Вместо этого обычно измеряют кратчайший путь вдоль поверхности Земли , по прямой . Это математически аппроксимируется расстоянием по большой окружности на сфере.

В более общем смысле, кратчайший путь между двумя точками вдоль изогнутой поверхности называется геодезической . Длина дуги геодезической линии дает способ измерения расстояния с точки зрения муравья или другого нелетающего существа, живущего на этой поверхности.

Эффекты теории относительности

В теории относительности , из-за таких явлений, как сокращение длины и относительность одновременности , расстояния между объектами зависят от выбора инерциальной системы отсчета . В галактических и более крупных масштабах измерение расстояния также зависит от расширения Вселенной . На практике в космологии для количественной оценки таких расстояний используется ряд мер расстояния .

Другие пространственные расстояния

Необычные определения расстояния могут быть полезны для моделирования определенных физических ситуаций, но также используются в теоретической математике:

На практике часто интересуются расстоянием между двумя точками по дорогам, а не по прямой. В плане сетки расстояние между углами улиц задается манхэттенским расстоянием : числом кварталов с востока на запад и с севера на юг, которые нужно преодолеть, чтобы попасть между этими двумя точками.
Расстояние на шахматной доске, формализованное как расстояние Чебышева , — это минимальное количество ходов, которое должен сделать король на шахматной доске , чтобы переместиться между двумя клетками.

Метафорические расстояния

Многие абстрактные понятия расстояния, используемые в математике, науке и технике, представляют собой степень различия или разделения между схожими объектами. На этой странице приведены несколько примеров.

Статистические расстояния

В статистике и информационной геометрии статистические расстояния измеряют степень различия между двумя распределениями вероятностей . Существует много видов статистических расстояний, обычно формализуемых как расхождения ; они позволяют понимать набор распределений вероятностей как геометрический объект, называемый статистическим многообразием . Самым элементарным является квадрат евклидова расстояния , который минимизируется методом наименьших квадратов ; это самое базовое расхождение Брегмана . Самым важным в теории информации является относительная энтропия ( расхождение Кульбака–Лейблера ), которая позволяет аналогично изучать оценку максимального правдоподобия геометрически; это пример как f -расхождения, так и расхождения Брегмана (и фактически единственный пример, который является обоими). Статистические многообразия, соответствующие расхождениям Брегмана, являются плоскими многообразиями в соответствующей геометрии, что позволяет использовать аналог теоремы Пифагора (которая справедлива для квадрата евклидова расстояния) для линейных обратных задач в выводе с помощью теории оптимизации .

Другие важные статистические расстояния включают расстояние Махаланобиса и энергетическое расстояние .

Изменить расстояния

В информатике расстояние редактирования или строковая метрика между двумя строками измеряет, насколько они различаются. Например, слова «dog» и «dot», которые отличаются всего одной буквой, ближе, чем «dog» и «cat», которые не имеют общих букв. Эта идея используется в программах проверки орфографии и в теории кодирования и математически формализована несколькими различными способами, включая расстояние Левенштейна , расстояние Хэмминга , расстояние Ли и расстояние Джаро–Винклера .

Расстояние в теории графов

В графе расстояние между двумя вершинами измеряется длиной кратчайшего реберного пути между ними. Например, если граф представляет собой социальную сеть , то идею шести степеней разделения можно математически интерпретировать так, что расстояние между любыми двумя вершинами не превышает шести. Аналогично, число Эрдёша и число Бэкона — количество совместных отношений, на которых человек находится от плодовитого математика Пола Эрдёша и актёра Кевина Бэкона соответственно — являются расстояниями в графах, рёбра которых представляют собой математическое или художественное сотрудничество.

В области социальных наук

В психологии , географии человека и социальных науках расстояние часто теоретизируется не как объективное численное измерение, а как качественное описание субъективного опыта. ^[4] Например, психологическое расстояние — это «различные способы, которыми объект может быть удален от» себя по таким измерениям, как «время, пространство, социальная дистанция и гипотетичность». ^[5] В социологии социальная дистанция описывает разделение между людьми или социальными группами в обществе по таким измерениям, как социальный класс , раса / этническая принадлежность , пол или сексуальность .

Математическая формализация

Большинство понятий расстояния между двумя точками или объектами, описанных выше, являются примерами математической идеи метрики . Метрическая или дистанционная функция — это функция $d$ , которая переводит пары точек или объектов в действительные числа и удовлетворяет следующим правилам:

Расстояние между объектом и самим собой всегда равно нулю.
Расстояние между отдельными объектами всегда положительно.
Расстояние симметрично : расстояние от $x$ до $y$ всегда равно расстоянию от $y$ до $x$ .
Расстояние удовлетворяет неравенству треугольника : если $x$ , $y$ и $z$ — три объекта, то Это условие можно неформально описать как «промежуточные остановки не могут вас ускорить». $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$

В качестве исключения многие расхождения, используемые в статистике, не являются метриками.

Расстояние между сетами

Существует несколько способов измерения физического расстояния между объектами, состоящими из более чем одной точки :

Можно измерить расстояние между репрезентативными точками, такими как центр масс ; это используется для астрономических расстояний, таких как расстояние от Земли до Луны .
Можно измерить расстояние между ближайшими точками двух объектов; в этом смысле высота самолета или космического корабля — это его расстояние от Земли. То же самое чувство расстояния используется в евклидовой геометрии для определения расстояния от точки до прямой , расстояния от точки до плоскости или, в более общем смысле, перпендикулярного расстояния между аффинными подпространствами .

Даже в более общем смысле эта идея может быть использована для определения расстояния между двумя подмножествами метрического пространства. Расстояние между множествами

A

B

является инфимумом расстояний между любыми двумя их соответствующими точками: Это не определяет метрику на множестве таких подмножеств: расстояние между перекрывающимися множествами равно нулю, и это расстояние не удовлетворяет неравенству треугольника для любого метрического пространства с двумя или более точками (рассмотрим тройку множеств, состоящую из двух различных синглетонов и их объединения).

d(A,B)=\inf _{x\in A,y\in B}d(x,y).

Расстояние Хаусдорфа между двумя подмножествами метрического пространства можно рассматривать как измерение того, насколько они далеки от идеального перекрытия. Несколько точнее, расстояние Хаусдорфа между $A$ и $B$ — это либо расстояние от $A$ до самой дальней точки $B$ , либо расстояние от $B$ до самой дальней точки $A$ , в зависимости от того, что больше. (Здесь «самая дальняя точка» должна интерпретироваться как супремум.) Расстояние Хаусдорфа определяет метрику на множестве компактных подмножеств метрического пространства.

Смотрите также

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с расстоянием .

Поддержка библиотеки

Python (язык программирования)
- SciPy -Расчет расстояний ( scipy.spatial.distance)
Джулия (язык программирования)
- Julia Statistics Distance — пакет Julia для оценки расстояний (метрик) между векторами.

Ссылки

^ Шналл, Симона (2014). «Существуют ли базовые метафоры?». Сила метафоры: изучение ее влияния на социальную жизнь . Американская психологическая ассоциация. стр. 225–247. doi :10.1037/14278-010.
^ ab Weisstein, Eric W. "Distance". mathworld.wolfram.com . Получено 01.09.2020 .
^ "Расстояние между 2 точками". www.mathsisfun.com . Получено 01.09.2020 .
^ "СОЦИАЛЬНЫЕ ДИСТАНЦИИ". www.hawaii.edu . Получено 20 июля 2020 г. .
^ Trope Y, Liberman N (апрель 2010 г.). «Теория психологической дистанции на уровне конструкта». Psychological Review . 117 (2): 440–63. doi :10.1037/a0018963. PMC 3152826. PMID 20438233 .
^ "Что такое смещение? (статья)". Khan Academy . Получено 2020-07-20 .
^ "The Directed Distance" (PDF) . Центр информационных и телекоммуникационных технологий . Университет Канзаса. Архивировано из оригинала (PDF) 10 ноября 2016 года . Получено 18 сентября 2018 года .
^ Чан, Т.; Чжу, В. (2005). Априорная сегментация формы на основе набора уровней . Конференция компьютерного общества IEEE по компьютерному зрению и распознаванию образов. doi :10.1109/CVPR.2005.212.
^ Malladi, R.; Sethian, JA; Vemuri, BC (1995). «Моделирование формы с фронтальным распространением: подход с использованием набора уровней». Труды IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 17 (2): 158–175. CiteSeerX 10.1.1.33.2443 . doi :10.1109/34.368173. S2CID 9505101.

Библиография

Деза Э , Деза М (2006). Словарь расстояний . Эльзевир. ISBN 0-444-52087-2.