Апериодическая мозаика

Форма плоской мозаики без повторений в масштабе

Мозаика Пенроуза является примером апериодической мозаики; каждая мозаика, которую она может создать, лишена трансляционной симметрии .

Апериодическая мозаика, использующая одну фигуру и ее отражение, открытая Дэвидом Смитом

Апериодическая мозаика — это непериодическая мозаика с дополнительным свойством, что она не содержит произвольно больших периодических областей или участков. Набор типов плиток (или протоплиток ) является апериодическим, если копии этих плиток могут образовывать только непериодические мозаики .

Мозаики Пенроуза являются хорошо известным примером апериодических мозаик. ^{[1] [2]}

В марте 2023 года четыре исследователя, Дэвид Смит , Джозеф Сэмюэл Майерс, Крейг С. Каплан и Хаим Гудман-Штраус , объявили о доказательстве того, что плитка, открытая Дэвидом Смитом, является апериодической моноплиткой , то есть решением проблемы Эйнштейна , проблемы, которая ищет существование любой единой формы апериодической плитки. ^[3] В мае 2023 года те же авторы опубликовали хиральную апериодическую моноплитку с похожими, но более сильными ограничениями. ^[4]

Апериодические мозаики служат математическими моделями квазикристаллов , физических твердых тел, которые были открыты в 1982 году Дэном Шехтманом ^[5] , впоследствии получившим Нобелевскую премию в 2011 году ^[6]. Однако конкретная локальная структура этих материалов до сих пор плохо изучена.

Известно несколько методов построения апериодических мозаик.

Определение и иллюстрация

Рассмотрим периодическую мозаику из единичных квадратов (она выглядит как бесконечная миллиметровка ). Теперь разрежем один квадрат на два прямоугольника. Полученная таким образом мозаика непериодична: нет ненулевого сдвига, который оставляет эту мозаику неподвижной. Но очевидно, что этот пример гораздо менее интересен, чем мозаика Пенроуза. Чтобы исключить такие скучные примеры, определяют апериодическую мозаику как такую, которая не содержит произвольно больших периодических частей.

Мозаика называется апериодической, если ее оболочка содержит только непериодические мозаики. Оболочка мозаики содержит все трансляции T + x из T , вместе со всеми мозаиками, которые могут быть аппроксимированы трансляциями из T . Формально это замыкание множества в локальной топологии. ^[7] В локальной топологии (соответственно соответствующей метрике) две мозаики являются -близкими, если они совпадают в шаре радиуса вокруг начала координат (возможно, после сдвига одной из мозаик на величину, меньшую ). ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \{T+x\,:\,x\in \mathbb {R} ^{d}\}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 1/\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Чтобы привести еще более простой пример, чем выше, рассмотрим одномерную мозаику T прямой, которая выглядит как ... aaaaaabaaaaa ..., где a представляет интервал длины один, b представляет интервал длины два. Таким образом, мозаика T состоит из бесконечного числа копий a и одной копии b (с центром, скажем, 0). Теперь все трансляции T являются мозаиками с одним b где-то и s в другом месте. Последовательность мозаик, где b имеет центр в , сходится – в локальной топологии – к периодической мозаике, состоящей только из s . Таким образом, T не является апериодической мозаикой, поскольку ее оболочка содержит периодическую мозаику ... aaaaaa .... ${\displaystyle 1,2,4,\ldots ,2^{n},\ldots }$

Для хорошо ведущих себя мозаик (например, мозаик замещения с конечным числом локальных шаблонов) справедливо: если мозаика непериодична и повторяется (т.е. каждый фрагмент встречается равномерно плотным образом по всей мозаике), то она апериодична. ^[7]

История

Первое конкретное появление апериодических мозаик возникло в 1961 году, когда логик Хао Ван попытался определить, разрешима ли задача домино , то есть существует ли алгоритм для решения вопроса, допускает ли заданный конечный набор протоплиток мозаику плоскости. Ван нашел алгоритмы для перечисления наборов плиток, которые не могут замостить плоскость, и наборов плиток, которые замостит ее периодически; тем самым он показал, что такой алгоритм решения существует, если каждый конечный набор протоплиток, который допускает мозаику плоскости, также допускает периодическую мозаику. В 1964 году Роберт Бергер нашел апериодический набор протоплиток, с помощью которого он продемонстрировал, что задача мозаики на самом деле неразрешима. ^{[8] [9]} Этот первый такой набор, использованный Бергером в его доказательстве неразрешимости, потребовал 20 426 плиток Вана. Позднее Бергер сократил свой набор до 104, а Ханс Лойхли впоследствии нашел апериодический набор, требующий всего 40 плиток Вана. ^[10] Меньший набор из шести апериодических плиток (основанный на плитках Вана) был обнаружен Рафаэлем М. Робинсоном в 1971 году. ^[11] Роджер Пенроуз открыл еще три набора в 1973 и 1974 годах, сократив количество необходимых плиток до двух, а Роберт Амманн открыл несколько новых наборов в 1977 году. ^[12] Количество требуемых плиток было сокращено до одной в 2023 году Дэвидом Смитом, Джозефом Сэмюэлем Майерсом, Крейгом С. Капланом и Хаимом Гудманом-Штраусом . ^{[3] [4] [13]}

Апериодические мозаики Пенроуза могут быть получены не только апериодическим набором протоплиток, но также заменой и методом разрезания и проекции. После открытия квазикристаллов апериодические мозаики стали интенсивно изучаться физиками и математиками. Метод разрезания и проекции Н. Г. де Брейна для мозаик Пенроуза в конечном итоге оказался примером теории множеств Мейера . ^{[14] [15]} Сегодня существует большое количество литературы по апериодическим мозаикам. ^[7]

Эйнштейн ( нем . ein Stein , один камень) — апериодическая плитка, которая использует только одну форму. Первая такая плитка была обнаружена в 2010 году — плитка Соколара–Тейлора , которая, однако , не соединена в одну часть. В 2023 году была обнаружена связанная плитка, использующая форму, называемую «шляпа». ^[16]

Конструкции

Известно несколько конструкций апериодических плиток. Некоторые конструкции основаны на бесконечных семействах апериодических наборов плиток. ^{[17] [18]} Плитки, которые были найдены до сих пор, в основном построены несколькими способами, в первую очередь путем навязывания некоторой непериодической иерархической структуры. Несмотря на это, неразрешимость проблемы домино гарантирует , что должно быть бесконечно много различных принципов построения, и что на самом деле существуют апериодические наборы плиток, для которых не может быть доказательства их апериодичности.

Однако до 2023 года для конечных наборов прототипов преимущественно использовались три принципа построения: ^[19]

• правила сопоставления,
• правила замены и расширения и
• метод «разрезки и проекции».

Для некоторых мозаик только одна из конструкций известна, чтобы получить эту мозаику. Другие могут быть построены всеми тремя классическими методами, например мозаики Пенроуза . ^[19]

Гудман-Штраус доказал, что все мозаики, созданные правилами подстановки и удовлетворяющие техническому условию, могут быть созданы с помощью правил сопоставления. Техническое условие является мягким и обычно выполняется на практике. Плитки должны допускать набор наследственных ребер, такой что мозаика подстановки является родственной-ребро-к-ребру . ^[17]

Апериодические иерархические мозаики посредством сопоставления

Для мозаики конгруэнтные копии протоплиток должны замостить всю евклидову плоскость без наложений (кроме границ) и не оставляя непокрытых частей. Поэтому границы плиток, образующих мозаику, должны геометрически совпадать. Это, как правило, верно для всех мозаик, апериодических и периодических. Иногда этих геометрических условий соответствия достаточно, чтобы заставить набор плиток быть апериодическим, например, это касается мозаик Робинсона, обсуждаемых ниже.

Иногда для удержания требуются дополнительные правила соответствия . Обычно они включают цвета или маркировки, которые должны совпадать на нескольких плитках по границам. Плитки Вана обычно требуют таких дополнительных правил.

В некоторых случаях можно было полностью заменить правила сопоставления геометрическими условиями сопоставления, изменив протоплитки на их границе. Мозаика Пенроуза (P1) изначально состоит из четырех протоплиток вместе с некоторыми правилами сопоставления. Одна из четырех плиток является пятиугольником. Можно заменить эту пятиугольную протоплитку тремя различными пятиугольными формами, которые имеют дополнительные выступы и углубления на границе, создавая три различные плитки. Вместе с тремя другими протоплитками с соответствующим образом адаптированными границами получается набор из шести протоплиток, которые по сути создают те же апериодические мозаики, что и исходные четыре плитки, но для шести плиток не нужны дополнительные правила сопоставления, достаточно геометрического условия сопоставления.

Также обратите внимание, что представленные ниже проплитки Robinsion снабжены маркировкой, которая упрощает визуальное распознавание структуры, но эта маркировка не устанавливает дополнительных правил соответствия для плиток, поскольку они уже установлены посредством геометрических границ.

На сегодняшний день не существует формального определения, описывающего, когда мозаика имеет иерархическую структуру; тем не менее, ясно, что подстановочные мозаики имеют их, как и мозаики Бергера, Кнута , Лойхли, Робинсона и Аммана . Как и сам термин «апериодическая мозаика», термин «апериодическая иерархическая мозаика» является удобным сокращением, означающим что-то вроде «набора плиток, допускающих только непериодические мозаики с иерархической структурой».

Для апериодических мозаик, независимо от того, задействованы ли дополнительные правила сопоставления или нет, условия сопоставления навязывают мозаикам некоторую иерархическую структуру, которая, в свою очередь, делает невозможными периодические структуры.

Каждый из этих наборов плиток, в любой допускаемой ими мозаике, навязывает определенную иерархическую структуру. (Во многих более поздних примерах эта структура может быть описана как система подстановочной мозаики; это описано ниже). Никакая мозаика, допускаемая таким набором плиток, не может быть периодической, просто потому, что ни один перевод не может оставить всю иерархическую структуру инвариантной. Рассмотрим плитки Робинсона 1971 года:

Плитка Робинсона

Любая мозаика этими плитками может демонстрировать только иерархию квадратных решеток: центр любого оранжевого квадрата также является углом большего оранжевого квадрата, и так до бесконечности. Любой перевод должен быть меньше некоторого размера квадрата, и поэтому не может оставить такую ​​мозаику инвариантной.

Фрагмент мозаики, выполненной плиткой Robinson

Робинсон доказывает, что эти плитки должны образовывать эту структуру индуктивно; по сути, плитки должны образовывать блоки, которые сами по себе подходят друг другу как более крупные версии исходных плиток и т. д. Эта идея — нахождения наборов плиток, которые могут допускать только иерархические структуры — использовалась при построении большинства известных апериодических наборов плиток на сегодняшний день.

Однако мозаика, полученная таким образом, не является уникальной, даже с точностью до изометрий евклидовой группы , например, переносов и вращений . Полная мозаика плоскости, построенная из плиток Робинсона, может иметь или не иметь разломы (также называемые коридорами ), уходящие в бесконечность в четырех рукавах , и существуют дополнительные варианты, которые позволяют кодировать бесконечные слова из Σ ^ω для алфавита Σ из четырех букв. ^[12] Подводя итог, можно сказать, что существует несчетное множество различных мозаик, не связанных евклидовыми изометриями, все из которых обязательно непериодичны, которые могут возникнуть из плиток Робинсона.

Замены

Системы замещения мозаики предоставляют богатый источник апериодических мозаик. Набор плиток, который заставляет возникнуть структуру замещения, как говорят, обеспечивает структуру замещения. Например, плитки стульев, показанные ниже, допускают замену, а часть замещения мозаики показана справа внизу. Эти замещения мозаики обязательно непериодичны, точно так же, как описано выше, но сама плитка стула не является апериодической — легко найти периодические мозаики с помощью неотмеченных плиток стульев, которые удовлетворяют геометрическим условиям соответствия.

Система замещения стульев плиткой.

Однако плитки, показанные ниже, заставляют возникнуть структуру замещения стульев и поэтому сами по себе являются апериодическими. ^[20]

Плитки « Трилобит » и «Крест» реализуют структуру замены стульев — они допускают только такие мозаики, в которых замена стульев может быть различима, и поэтому являются апериодическими.

Плитки Пенроуза, а вскоре после этого и несколько различных наборов плиток Аммана ^[21] были первым примером, основанным на явном принуждении к возникновению структуры замещения плиток. Джошуа Соколар ^{[22] [23]} Роджер Пенроуз [ ^24] Людвиг Данцер [ ^25] и Хаим Гудман-Штраус ^[20] нашли несколько последующих наборов. Шахар Мозес дал первую общую конструкцию, показав, что каждое произведение одномерных систем замещения может быть обеспечено с помощью правил соответствия. ^[18] Чарльз Радин нашел правила, обеспечивающие систему замещения плиток Конвея-вертушки . ^[26] В 1998 году Гудман-Штраус показал, что можно найти локальные правила соответствия, которые заставят возникнуть любую структуру замещения плиток при соблюдении некоторых мягких условий. ^[17]

Метод разрезания и проецирования

Непериодические мозаики также могут быть получены путем проецирования структур более высокой размерности в пространства с меньшей размерностью, и при некоторых обстоятельствах могут быть плитки, которые обеспечивают эту непериодическую структуру и, таким образом, являются апериодическими. Плитки Пенроуза являются первым и самым известным примером этого, как впервые отмечено в пионерской работе де Брейна . ^[27] Пока еще нет полной (алгебраической) характеристики мозаик разрезания и проекции, которые могут быть обеспечены правилами сопоставления, хотя известны многочисленные необходимые или достаточные условия. ^[28]

Некоторые мозаики, полученные методом разрезания и проецирования. Все плоскости разрезания параллельны той, которая определяет мозаики Пенроуза (четвертая мозаика на третьей строке). Все эти мозаики находятся в разных классах локального изоморфизма, то есть они локально различимы.

Другие методы

Было найдено всего несколько различных видов конструкций. В частности, Яркко Кари дал апериодический набор плиток Вана, основанный на умножениях на 2 или 2/3 действительных чисел, закодированных строками плиток (кодирование связано с последовательностями Штурма, созданными как разности последовательных элементов последовательностей Битти ), с апериодичностью, в основном, основанной на том факте, что 2 ⁿ /3 ^m никогда не равно 1 для любых положительных целых чисел n и m . ^[29] Этот метод был позже адаптирован Гудманом-Штрауссом, чтобы дать сильно апериодический набор плиток в гиперболической плоскости. ^[30] Шахар Мозес нашел много альтернативных конструкций апериодических наборов плиток, некоторые в более экзотических условиях; например, в полупростых группах Ли . ^[31] Блок и Вайнбергер использовали гомологические методы для построения апериодических наборов плиток для всех неаменабельных многообразий . ^[32] Джошуа Соколар также предложил другой способ обеспечения апериодичности, с точки зрения чередующихся условий . ^[33] Это обычно приводит к гораздо меньшим наборам плиток, чем те, которые получаются путем замен.

Физика

Апериодические мозаики считались математическими артефактами до 1984 года, когда физик Дэн Шехтман объявил об открытии фазы алюминиево-марганцевого сплава, которая давала острую дифрактограмму с однозначной пятикратной симметрией ^[5] – поэтому это должно было быть кристаллическое вещество с икосаэдрической симметрией. В 1975 году Роберт Амманн уже расширил конструкцию Пенроуза до трехмерного икосаэдрического эквивалента. В таких случаях термин «мозаика» используется для обозначения «заполнения пространства». Фотонные устройства в настоящее время строятся как апериодические последовательности различных слоев, будучи, таким образом, апериодическими в одном направлении и периодическими в двух других. Квазикристаллические структуры Cd–Te, по-видимому, состоят из атомных слоев, в которых атомы расположены в плоском апериодическом узоре. Иногда для таких апериодических структур возникает энергетический минимум или максимум энтропии. Штейнхардт показал, что перекрывающиеся декагоны Гуммельта позволяют применять экстремальный принцип и, таким образом, обеспечивают связь между математикой апериодической мозаики и структурой квазикристаллов. ^[34] Было обнаружено, что волны Фарадея образуют большие участки апериодических узоров. ^[35] Физика этого открытия возродила интерес к несоизмеримым структурам и частотам, предполагая связь апериодической мозаики с явлениями интерференции . ^[36]

Путаница в терминологии

Термин апериодический использовался в самых разных смыслах в математической литературе о мозаиках (а также в других математических областях, таких как динамические системы или теория графов, с совершенно разными значениями). В отношении мозаик термин апериодический иногда использовался как синоним термина непериодический. Непериодическая мозаика — это просто та, которая не фиксируется никаким нетривиальным переводом. Иногда термин описывал — неявно или явно — мозаику, созданную апериодическим набором протоплиток. Часто термин апериодический просто использовался неопределенно для описания рассматриваемых структур, ссылаясь на физические апериодические твердые тела, а именно квазикристаллы, или на что-то непериодическое с каким-то глобальным порядком. ^[37]

Использование слова «tiling» также проблематично, несмотря на его простое определение. Например, не существует единой мозаики Пенроуза : ромбы Пенроуза допускают бесконечно много мозаик (которые нельзя различить локально). Распространенное решение — попытаться использовать термины осторожно в технических текстах, но признать широкое использование неформальных терминов.

Смотрите также

• Плитки Гирих  – пять видов плиток, используемых в исламском декоративном искусстве.
• Список апериодических наборов плиток
• Квазикристалл  – упорядоченная химическая структура без повторяющегося узора.
• Zellige  – декорирование мозаичной плиткойСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления

Ссылки

1. Гарднер, Мартин (январь 1977 г.). «Математические игры». Scientific American . 236 (1): 111–119. Bibcode : 1977SciAm.236a.110G. doi : 10.1038/scientificamerican0177-110.
2. Гарднер, Мартин (1988). От плиток Пенроуза до шифров с секретом . WH Freeman & Co. ISBN 978-0-7167-1987-8.
3. Смит, Дэвид; Майерс, Джозеф Сэмюэл; Каплан, Крейг С.; Гудман-Штраус, Хаим (2023-03-19). "Апериодическая моноплитка". arXiv : 2303.10798 [math.CO].
4. Смит, Дэвид; Майерс, Джозеф Сэмюэл; Каплан, Крейг С.; Гудман-Штраус, Хаим (2023-05-28). "Хиральная апериодическая моноплитка". arXiv : 2305.17743 [math.CO].
5. Шехтман, Д.; Блех, И.; Гратиас, Д.; Кан, Дж. В. (1984). «Металлическая фаза с дальним ориентационным порядком и отсутствием трансляционной симметрии». Physical Review Letters . 53 (20): 1951–1953. Bibcode :1984PhRvL..53.1951S. doi : 10.1103/PhysRevLett.53.1951 .
6. "Нобелевская премия по химии 2011 года". Nobelprize.org . Получено 2011-10-06 .
7. Baake, M.; Grimm, Uwe (2013). Апериодический порядок. Том 1: Математическое приглашение . Cambridge University Press.
8. Роберт Бергер в проекте «Генеалогия математики» .
9. Бергер, Роберт (1966). «Неразрешимость проблемы домино». Мемуары Американского математического общества (66): 1–72.
10. Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри Колин (1987). Tilings and Patterns. Нью-Йорк: WH Freeman. стр. 584f. ISBN 0-7167-1193-1.
11. Робинсон, Рафаэль М. (1971). «Неразрешимость и непериодичность для мозаик плоскости». Inventiones Mathematicae . 12 (3): 177–209. Bibcode : 1971InMat..12..177R. doi : 10.1007/BF01418780. S2CID  14259496.
12. Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри Колин (1987). Tilings and Patterns. Нью-Йорк: WH Freeman. стр. 528f. ISBN 0-7167-1193-1.
13. "Bromley Tilers" . Получено 26 июля 2023 г.
14. Lagarias, JC (1996). "Концепция квазикристалла и квазирегулярных множеств Мейера". Communications in Mathematical Physics . 179 (2): 356–376. Bibcode : 1996CMaPh.179..365L. doi : 10.1007/BF02102593 . S2CID  122753893.
15. Moody, RV (1997). «Множества Мейера и их дуалы». В Moody, RV (ред.). Математика дальнего апериодического порядка . NATO ASI Series C. стр. 403–441. doi :10.1007/978-94-015-8784-6_16. ISBN 978-90-481-4832-5.
16. Коновер, Эмили (2023-03-24). «Математики наконец-то обнаружили неуловимую плитку „Эйнштейна“». Science News . Получено 2023-03-25 .
17. Goodman-Strauss, Chaim (1998). «Правила соответствия и подстановочные мозаики». Annals of Mathematics . 147 (1): 181–223. CiteSeerX 10.1.1.173.8436 . doi :10.2307/120988. JSTOR  120988. 
18. Mozes, Shahar (1989). «Tilings, substitution systems and dynamical systems produce from them». Journal d'Analyse Mathématique . 53 (1): 139–186. doi :10.1007/BF02793412. S2CID  121775031.
19. Treviño, Rodrigo (2023). "Aperiodic Tilings, Order, and Randomness" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 70 (8): 1183. doi :10.1090/noti2759. S2CID  260818304.
20. Goodman-Strauss, Chaim (1999). "Небольшой апериодический набор плоских плиток". European Journal of Combinatorics . 20 (5): 375–384. doi : 10.1006/eujc.1998.0281 .
21. Грюнбаум, Бранко ; Джеффри С. Шепард (1986). Tilings and Patterns . WH Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-1194-0.
22. Сенешаль, Марджори (1996) [1995]. Квазикристаллы и геометрия (исправленное издание в мягкой обложке). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-57541-6.
23. Socolar, JES (1989). «Простые восьмиугольные и додекагональные квазикристаллы». Phys. Rev. B. 39 ( 15): 10519–51. Bibcode :1989PhRvB..3910519S. doi :10.1103/PhysRevB.39.10519. PMID  9947860.
24. Пенроуз, Р. (1997). «Замечания о мозаике: подробности 1 +  ε  +  ε ² -апериодического набора». Математический дальний апериодический порядок, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C. Math. Phys. Sci . . 489 : 467–497.
25. Нишке, К.-П.; Данцер, Л. (1996). «Построение правил инфляции на основе n-кратной симметрии». Дискретная и вычислительная геометрия . 15 (2): 221–236. doi : 10.1007/BF02717732 .
26. Радин, Чарльз (1994). «Вертушечные мозаики плоскости». Annals of Mathematics . 139 (3): 661–702. doi :10.2307/2118575. JSTOR  2118575.
27. Н.Г. де Брёйн, Недерль. Акад. Ветенш. Индаг. Математика. 43 , 39–52, 53–66 (1981). Алгебраическая теория непериодических разбиений Пенроуза плоскости I, II
28. См., например, обзор Le, TTQ (1997). "Локальные правила для квазипериодических мозаик". В Moody, RV (ред.). Математика дальнего апериодического порядка . NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C. Math. Phys. Sci. Vol. 489. pp. 331–366. doi :10.1007/978-94-015-8784-6_13. ISBN 978-90-481-4832-5.
29. Кари, Яркко (1996). «Небольшой апериодический набор плиток Вана». Дискретная математика . 160 (1–3): 259–264. doi :10.1016/0012-365X(95)00120-L.
30. Goodman-Strauss, Chaim (2005). "Сильно апериодический набор плиток в гиперболической плоскости". Inventiones Mathematicae . 159 (1): 119–132. Bibcode :2004InMat.159..119G. CiteSeerX 10.1.1.477.1974 . doi : 10.1007/s00222-004-0384-1 . S2CID  5348203. 
31. Мозес, Шахар (1997). «Апериодические мозаики». Математические изобретения . 128 (3): 603–611. Бибкод : 1997InMat.128..603M. дои : 10.1007/s002220050153. S2CID  189819776.
32. Блок, Дж.; Вайнбергер, С. (1992). «Апериодические мозаики, положительная скалярная кривизна и аменабельность пространств». Журнал Американского математического общества . 5 (4): 907–918. doi : 10.1090/s0894-0347-1992-1145337-x .
33. Соколар, Джошуа (1990). «Слабые правила соответствия для квазикристаллов». Сообщения по математической физике . 129 (3): 599–619. Bibcode :1990CMaPh.129..599S. doi : 10.1007/BF02097107 . S2CID  123629334.
34. Steinhardt, Paul J. "A New Paradigm for the Structure of Quasicrystals". Архивировано из оригинала 23 февраля 2007 года . Получено 2007-03-26 .
35. Эдвардс, В.; Фов, С. (1993). «Параметрически возбуждаемые квазикристаллические поверхностные волны». Physical Review E. 47 ( 2): R788–R791. Bibcode : 1993PhRvE..47..788E. doi : 10.1103/PhysRevE.47.R788. PMID  9960162.
36. Леви, Дж. К. С.; Мерсье, Д. (2006). «Стабильные квазикристаллы». Acta Phys. Superficierum . 8 : 115.
37. Каплан, Крейг (2009). Вводная теория тайлинга для компьютерной графики . Morgan & Claypool Publishers. стр. 55. ISBN 9781608450183.

Внешние ссылки

• Свалка геометрии
• Апериодичные мозаики
• Бесконечный узор, который никогда не повторяется