Эпиграф (математика)

Область над графиком

Эпиграф функции

Функция (черного цвета) является выпуклой тогда и только тогда, когда область над ее графиком (зеленого цвета) является выпуклым множеством . Эта область является эпиграфом функции.

В математике надграфик или суперграфик ^[1] ​​функции , значение которой выражается в расширенных действительных числах, — это множество , состоящее из всех точек декартова произведения, лежащих на графике функции или выше него . ^[2] Аналогично, строгий надграфик — это множество точек, лежащих строго над ее графиком. ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ $${\displaystyle \operatorname {epi} f=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\}}$$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {epi} _{S}f}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

Важно отметить, что в отличие от графика надграфик всегда состоит исключительно из точек в (это справедливо для графика только тогда, когда является вещественным). Если функция принимает в качестве значения то не будет подмножеством своего надграфика Например, если то точка будет принадлежать но не будет принадлежать Эти два множества тем не менее тесно связаны, поскольку график всегда можно восстановить по надграфику, и наоборот. ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle \operatorname {epi} f.}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=\infty }$ ${\displaystyle \left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right)=\left(x_{0},\infty \right)}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle \operatorname {epi} f.}$

Изучение непрерывных действительных функций в действительном анализе традиционно тесно связано с изучением их графиков , которые представляют собой множества, предоставляющие геометрическую информацию (и интуицию) об этих функциях. ^[2] Эпиграфы служат той же цели в областях выпуклого анализа и вариационного анализа , в которых основное внимание уделяется выпуклым функциям, имеющим значения в , а не непрерывным функциям, имеющим значения в векторном пространстве (например, или ). ^[2] Это связано с тем, что в общем случае для таких функций геометрическую интуицию легче получить из эпиграфа функции, чем из ее графика. ^[2] Аналогично тому, как графики используются в действительном анализе, эпиграф часто может использоваться для геометрической интерпретации свойств выпуклой функции , для помощи в формулировании или доказательстве гипотез или для помощи в построении контрпримеров . ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Определение

Определение эпиграфа было навеяно определением графика функции , гдеГраф определяетсякак множество ${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle \operatorname {graph} f:=\{(x,y)\in X\times Y~:~y=f(x)\}.}$$

Theэпиграф илиСуперграфом функции, принимающей значения врасширенных действительных числах,является множество^[2], где все множества, объединяемые в последней строке, попарно не пересекаются. ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} f&=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\}\\&=\left[f^{-1}(-\infty )\times \mathbb {R} \right]\cup \bigcup _{x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}(\{x\}\times [f(x),\infty ))\end{alignedat}}}$$

В объединении , которое появляется выше, справа от последней строки, множество может быть интерпретировано как «вертикальный луч», состоящий из и всех точек в «прямо над» ним. Аналогично, множество точек на или под графиком функции является ее ${\displaystyle x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \{x\}\times [f(x),\infty )}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$гипограф .

Theстрогий эпиграф — это эпиграф с удаленным графом: где все множества, объединяемые в последней строке, попарно не пересекаются, а некоторые могут быть пустыми. $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} _{S}f&=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r>f(x)\}\\&=\operatorname {epi} f\setminus \operatorname {graph} f\\&=\bigcup _{x\in X}\left(\{x\}\times (f(x),\infty )\right)\end{alignedat}}}$$

Отношения с другими множествами

Несмотря на то, что может принимать одно (или оба) из в качестве значения (в этом случае его график не будет подмножеством ), надграфик тем не менее определяется как подмножество , а не Это сделано намеренно, поскольку когда является векторным пространством, то также является , но никогда не является векторным пространством ^[2] (поскольку расширенная прямая действительных чисел не является векторным пространством). Этот недостаток в сохраняется, даже если вместо того, чтобы быть векторным пространством, является просто непустым подмножеством некоторого векторного пространства. Надграфик, являющийся подмножеством векторного пространства, позволяет более легко применять инструменты, связанные с вещественным анализом и функциональным анализом (и другими областями). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ].}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle X}$

Область определения (а не область значений ) функции не имеет особого значения для этого определения; это может быть любое линейное пространство ^[1] или даже произвольное множество ^[3] вместо . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Строгий эпиграф и граф всегда не пересекаются. ${\displaystyle \operatorname {epi} _{S}f}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$

Надграфик функции связан с ее графиком и строгим надграфиком соотношением, где равенство множеств выполняется тогда и только тогда, когда является вещественнозначным. Однако выполняется всегда. ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ $${\displaystyle \,\operatorname {epi} f\,\subseteq \,\operatorname {epi} _{S}f\,\cup \,\operatorname {graph} f}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {epi} f=\left[\operatorname {epi} _{S}f\,\cup \,\operatorname {graph} f\right]\,\cap \,[X\times \mathbb {R} ]}$$

Реконструкция функций по эпиграфам

Надпись пуста тогда и только тогда, когда функция тождественно равна бесконечности.

Так же, как любая функция может быть восстановлена ​​по ее графику, так и любая расширенная вещественная функция может быть восстановлена ​​по ее надграфику (даже когда принимает значение). Учитывая, что значение может быть восстановлено по пересечению с «вертикальной линией», проходящей через следующим образом: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E:=\operatorname {epi} f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \{x\}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$

• случай 1: тогда и только тогда, когда ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )=\varnothing }$ ${\displaystyle f(x)=\infty ,}$
• случай 2: тогда и только тогда, когда ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )=\{x\}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=-\infty ,}$
• случай 3: в противном случае обязательно имеет вид, из которого значение может быть получено путем взятия инфимума интервала. ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \{x\}\times [f(x),\infty ),}$ ${\displaystyle f(x)}$

Вышеприведенные наблюдения можно объединить, чтобы получить единую формулу для в терминах В частности, для любого места по определению, Эту же формулу можно использовать для реконструкции из ее строгого эпиграфа ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle E:=\operatorname {epi} f.}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle f(x)=\inf _{}\{r\in \mathbb {R} ~:~(x,r)\in E\}}$$ ${\displaystyle \inf _{}\varnothing :=\infty .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E:=\operatorname {epi} _{S}f.}$

Связь между свойствами функций и их надграфиками

Функция выпукла тогда и только тогда, когда ее надграфик — выпуклое множество . Надграфик действительной аффинной функции — полупространство в ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}.}$

Функция полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда ее надграфик замкнут .

Смотрите также

• Эффективный домен
• Гипограф (математика)  – область под графиком.
• Правильная выпуклая функция

Цитаты

1. Pekka Neittaanmäki; Сергей Р. Репин (2004). Надежные методы компьютерного моделирования: контроль ошибок и апостериорные оценки. Elsevier. стр. 81. ISBN 978-0-08-054050-4.
2. Rockafellar & Wets 2009, стр. 1–37.
3. Хараламбос Д. Алипрантис; Ким К. Бордер (2007). Анализ бесконечных измерений: Путеводитель для путешествующих автостопом (3-е изд.). Springer Science & Business Media. стр. 8. ISBN 978-3-540-32696-0.

Ссылки

• Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Ж.-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 317. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC  883392544.
• Рокафеллар, Ральф Тирелл (1996), Выпуклый анализ , Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси. ISBN 0-691-01586-4 .