Кардинальное назначение фон Неймана — это кардинальное назначение , которое использует порядковые числа . Для хорошо упорядочиваемого множества U мы определяем его кардинальное число как наименьшее порядковое число, равновеликое U , используя определение порядкового числа фон Неймана. Точнее:
где ON — класс ординалов. Этот ординал также называется начальным ординалом кардинала.
То, что такой ординал существует и является уникальным, гарантируется тем фактом, что U является вполне упорядочиваемым, а класс ординалов является вполне упорядоченным, используя аксиому замены . С полной аксиомой выбора каждое множество является вполне упорядочиваемым , поэтому каждое множество имеет кардинал ; мы упорядочиваем кардиналы, используя унаследованный порядок от порядковых чисел. Легко обнаружить, что это совпадает с порядком через ≤ c . Это является вполне упорядоченным кардинальным числом.
Каждый ординал имеет связанный с ним кардинал , его мощность, полученную простым забыванием порядка. Любое хорошо упорядоченное множество, имеющее этот ординал в качестве своего типа порядка, имеет ту же мощность. Наименьший ординал, имеющий данный кардинал в качестве своей мощности, называется начальным ординалом этого кардинала. Каждый конечный ординал ( натуральное число ) является начальным, но большинство бесконечных ординалов не являются начальными. Аксиома выбора эквивалентна утверждению, что каждое множество может быть хорошо упорядочено, т. е. что каждый кардинал имеет начальный ординал. В этом случае традиционно кардинал отождествляют с его начальным ординалом, и мы говорим, что начальный ординал является кардиналом.
-й бесконечный начальный ординал записывается . Его мощность записывается ( -й алеф-номер ). Например, мощность равна , что также является мощностью , , и (все являются счетными ординалами). Таким образом, мы отождествляем себя с , за исключением того, что запись используется для записи кардиналов и для записи ординалов. Это важно, потому что арифметика над кардиналами отличается от арифметики над ординалами , например = , тогда как > . Кроме того, является наименьшим несчетным ординалом (чтобы увидеть, что он существует, рассмотрим множество классов эквивалентности вполне упорядоченных натуральных чисел; каждое такое вполне упорядоченное число определяет счетный ординал и является типом порядка этого множества), является наименьшим ординалом, мощность которого больше , и так далее, и является пределом для натуральных чисел (любой предел кардиналов является кардиналом, поэтому этот предел действительно является первым кардиналом после всех ).
Бесконечные начальные ординалы являются предельными ординалами. Используя порядковую арифметику, следует , и из 1 ≤ α < ω β следует α · ω β = ω β , а из 2 ≤ α < ω β следует α ω β = ω β . Используя иерархию Веблена , β ≠ 0 и α < ω β подразумевают , что Γ ω β = ω β . Действительно, можно пойти намного дальше этого. Таким образом, как порядковый номер, бесконечный начальный порядковый номер является чрезвычайно сильным пределом.
