Джон фон Нейман

Венгерский и американский математик и физик (1903–1957)

Джон фон Нейман ( / v ɒ n ˈ n ɔɪ m ən / von NOY -mən ; венгерский : Neumann János Lajos [ˈnɒjmɒn ˈjaːnoʃ ˈlɒjoʃ] ; 28 декабря 1903 — 8 февраля 1957) был венгерским и американским математиком , физиком , ученым-компьютерщиком и инженером . Он имел, возможно, самый широкий охват среди всех математиков своего времени ^{[9] ,} интегрируя чистые и прикладные науки и внося значительный вклад во многие области, включая математику , физику , экономику , вычисления и статистику . Он был пионером в создании математической основы квантовой физики , в развитии функционального анализа и в теории игр , вводя или кодифицируя концепции , включая клеточные автоматы , универсальный конструктор и цифровой компьютер . Его анализ структуры саморепликации предшествовал открытию структуры ДНК .

Во время Второй мировой войны фон Нейман работал над Манхэттенским проектом . Он разработал математические модели взрывных линз, используемых в ядерном оружии имплозивного типа . ^[10] До и после войны он консультировал многие организации, включая Управление научных исследований и разработок , Армейскую баллистическую исследовательскую лабораторию , Проект специального оружия вооруженных сил и Окриджскую национальную лабораторию . ^[11] На пике своего влияния в 1950-х годах он возглавлял ряд комитетов Министерства обороны, включая Комитет по оценке стратегических ракет и Научно-консультативный комитет МБР . Он также был членом влиятельной Комиссии по атомной энергии , отвечающей за все развитие атомной энергетики в стране. Он сыграл ключевую роль вместе с Бернардом Шривером и Тревором Гарднером в проектировании и разработке первых программ МБР Соединенных Штатов . ^[12] В то время он считался ведущим экспертом страны по ядерному оружию и ведущим ученым в области обороны в Министерстве обороны США .

Вклад фон Неймана и его интеллектуальные способности получили признание коллег в области физики, математики и не только. Он получил ряд наград: от Медали Свободы до кратера на Луне, названного в его честь.

Жизнь и образование

Семейное прошлое

Фон Нейман родился в Будапеште , Королевство Венгрия (тогда часть Австро-Венгерской империи ), ^{[13] [14] [15]} 28 декабря 1903 года в богатой, не соблюдающей обряды еврейской семье. Его имя при рождении было Нейман Янош Лайош. В венгерском языке фамилия стоит на первом месте, а его имя при рождении эквивалентно Джону Луи в английском языке. ^[16]

Он был старшим из трех братьев; его младшими братьями были Михай (Михаэль) и Миклош (Николас). ^[17] Его отец Нойманн Микша (Макс фон Нойманн) был банкиром и имел докторскую степень в области права . Он переехал в Будапешт из Печа в конце 1880-х годов. ^[18] Отец и дед Микши родились в Онде (ныне часть Серенча ), округ Земплен , северная Венгрия. Мать Джона звали Канн Маргит (Маргарет Канн); ^[19] ее родителями были Канн Якаб и Майзельс Каталин из семьи Майзельс . ^[20] Три поколения семьи Канн жили в просторных квартирах над офисами Канн-Хеллера в Будапеште; семья фон Неймана занимала 18-комнатную квартиру на верхнем этаже. ^[21]

20 февраля 1913 года император Франц Иосиф возвел отца Джона в венгерское дворянство за его службу Австро-Венгерской империи. ^[22] Таким образом, семья Нойманн приобрела наследственное наименование Маргиттаи , что означает «из Маргитты» (сегодня Маргита , Румыния). Семья не имела никакой связи с городом; наименование было выбрано в честь Маргарет, как и их выбранный герб с изображением трех маргариток . Нойманн Янош стал маргиттаи Нойманн Янош (Джон Нойманн де Маргитта), которое он позже изменил на немецкое Иоганн фон Нойманн. ^[23]

вундеркинд

Фон Нейман был вундеркиндом , который в шесть лет мог делить в уме два восьмизначных числа ^{[24] [25]} и разговаривать на древнегреческом языке . ^[26] Он, его братья и кузены обучались у гувернанток. Отец фон Неймана считал, что знание языков, отличных от их родного венгерского, было необходимо, поэтому дети обучались на английском , французском , немецком и итальянском языках . ^[27] К восьми годам фон Нейман был знаком с дифференциальным и интегральным исчислением , а к двенадцати годам он прочитал La Théorie des Fonctions Бореля . ^[28] Он также интересовался историей, читая 46-томную серию Вильгельма Онкена по всемирной истории Allgemeine Geschichte in Einzeldarstellungen ( Всеобщая история в монографиях ). ^[29] Одна из комнат в квартире была переоборудована в библиотеку и читальный зал. ^[30]

Фон Нейман поступил в лютеранскую гимназию Fasori Evangélikus в 1914 году. ^[31] Юджин Вигнер учился в школе на год старше фон Неймана и вскоре стал его другом. ^[32]

Хотя отец фон Неймана настаивал на том, чтобы он посещал школу в классе, соответствующем его возрасту, он согласился нанять частных репетиторов, чтобы дать фон Нейману продвинутое обучение. В 15 лет он начал изучать продвинутое исчисление под руководством аналитика Габора Сегё . ^[32] К 19 годам фон Нейман опубликовал две основные математические работы, во второй из которых было дано современное определение порядковых чисел , которое заменило определение Георга Кантора . ^[33] По завершении своего обучения в гимназии он подал заявку и выиграл премию Этвеша, национальную награду по математике. ^[34]

Университетские исследования

По словам его друга Теодора фон Кармана , отец фон Неймана хотел, чтобы Джон последовал за ним в промышленность, и попросил фон Кармана убедить сына не изучать математику. ^[35] Фон Нейман и его отец решили, что лучшим карьерным путем будет химическая инженерия . Это было не то, в чем фон Нейман обладал большими познаниями, поэтому ему было организовано двухгодичное обучение без получения степени по химии в Берлинском университете , после чего он сдал вступительный экзамен в Швейцарскую высшую технологическую школу Цюриха , ^[36] который он сдал в сентябре 1923 года. ^[37] Одновременно фон Нейман поступил в Университет Пазмани Петера в Будапеште, ^[38] в качестве кандидата наук по математике . Для своей диссертации он создал аксиоматизацию теории множеств Кантора . ^{[39] [40]} Он получил диплом инженера-химика в Швейцарской высшей технической школе Цюриха в 1926 году и одновременно сдал выпускные экзамены с отличием на степень доктора философии по математике (с дополнительными предметами по экспериментальной физике и химии). ^{[41] [42]} Однако в книге Сильвии Назар «Игры разума» говорится, что фон Нейман был зачислен на химический факультет Будапештского университета , одновременно изучая математику в Берлине. ^[33]

Затем он отправился в Гёттингенский университет по гранту Фонда Рокфеллера, чтобы изучать математику у Дэвида Гильберта . ^[43] Герман Вейль вспоминает, как зимой 1926–1927 годов фон Нейман, Эмми Нётер и он гуляли по «холодным, мокрым, мокрым от дождя улицам Гёттингена» после занятий, обсуждая гиперкомплексные числовые системы и их представления . ^[44]

Карьера и личная жизнь

Выдержка из университетских календарей на 1928 и 1928/29 годы Берлинского университета имени Фридриха Вильгельма, объявляющая лекции Неймана по теории функций II, аксиоматической теории множеств и математической логике, математический коллоквиум, обзор последних работ по квантовой механике, специальные функции математической физики и теории доказательств Гильберта. Он также читал лекции по теории относительности, теории множеств, интегральным уравнениям и анализу бесконечного числа переменных.

Хабилитация фон Неймана была завершена 13 декабря 1927 года, и в 1928 году он начал читать лекции в качестве приват-доцента в Берлинском университете . ^[45] Он был самым молодым человеком, избранным приват-доцентом в истории университета. ^[46] Он начал писать почти одну крупную математическую работу в месяц. ^[47] В 1929 году он ненадолго стал приват-доцентом в Гамбургском университете , где перспективы стать штатным профессором были лучше, ^[48] затем в октябре того же года переехал в Принстонский университет в качестве приглашенного лектора по математической физике . ^[49]

Фон Нейман был крещен в католической вере в 1930 году. ^[50] Вскоре после этого он женился на Мариетте Кёвеши, которая изучала экономику в Будапештском университете. ^[49] У фон Неймана и Мариетты была дочь Марина , родившаяся в 1935 году; она стала профессором. ^[51] Пара развелась 2 ноября 1937 года. ^[52] 17 ноября 1938 года фон Нейман женился на Кларе Дан . ^{[53] [54]}

В 1933 году фон Нейман принял должность штатного профессора в Институте перспективных исследований в Нью-Джерси, когда план этого учреждения назначить Германа Вейля, по-видимому, провалился. ^[55] Его мать, братья и родственники последовали за фон Нейманом в Соединенные Штаты в 1939 году. ^[56] Фон Нейман англицировал свое имя на Джон, сохранив немецко-аристократическую фамилию фон Нейман. ^[23] Фон Нейман стал натурализованным гражданином США в 1937 году и сразу же попытался стать лейтенантом в Корпусе офицеров резерва армии США . Он сдал экзамены, но был отклонен из-за своего возраста. ^[57]

Клара и Джон фон Нейман были социально активны в местном академическом сообществе. ^[58] Его белый дощатый дом на Уэсткотт-роуд был одной из крупнейших частных резиденций Принстона. ^[59] Он всегда носил строгие костюмы. ^[60] Он любил идиш и «непристойный» юмор. ^[28] В Принстоне он получал жалобы за то, что играл чрезвычайно громкую немецкую маршевую музыку ; ^[61] Фон Нейман создал некоторые из своих лучших работ в шумной, хаотичной обстановке. ^[62] По словам Черчилля Эйзенхарта , фон Нейман мог посещать вечеринки до раннего утра, а затем читать лекцию в 8:30. ^[63]

Он был известен тем, что всегда был рад предоставить другим людям любого уровня способностей научные и математические советы. ^{[4] [64] [65]} Вигнер писал, что он, возможно, руководил большим количеством работ (в неформальном смысле), чем любой другой современный математик. ^[66] Его дочь писала, что он был очень обеспокоен своим наследием в двух аспектах: своей жизнью и долговечностью своего интеллектуального вклада в мир. ^[67]

Многие считали его превосходным председателем комитетов, довольно легко откладывающим решение личных или организационных вопросов, но настаивающим на технических. Герберт Йорк описал множество «комитетов фон Неймана», в которых он участвовал, как «замечательные по стилю и результатам». То, как комитеты, возглавляемые фон Нейманом, работали напрямую и в тесном контакте с необходимыми военными или корпоративными структурами, стало образцом для всех программ ВВС по ракетам дальнего действия. ^[68] Многие люди, знавшие фон Неймана, были озадачены его отношениями с военными и с властными структурами в целом. ^[69] Станислав Улам подозревал, что у него было скрытое восхищение людьми или организациями, которые могли влиять на мысли и принятие решений другими. ^[70]

Он также сохранил свои знания языков, изученных в юности. Он свободно знал венгерский, французский, немецкий и английский, а также поддерживал разговорный уровень итальянского, идиша, латыни и древнегреческого. Его испанский был менее совершенным. ^[71] У него была страсть к энциклопедическим знаниям древней истории, ^{[72] [73]} и он любил читать древнегреческих историков в оригинале на греческом языке. Улам подозревал, что они могли сформировать его взгляды на то, как могут разворачиваться будущие события и как человеческая природа и общество работают в целом. ^[74]

Ближайшим другом фон Неймана в Соединенных Штатах был математик Станислав Улам . ^[75] Фон Нейман считал, что большая часть его математических мыслей возникла интуитивно; он часто ложился спать с нерешенной задачей и знал ответ, когда просыпался. ^[62] Улам отметил, что способ мышления фон Неймана мог быть не визуальным, а скорее слуховым. ^[76] Улам вспоминал: «Совершенно независимо от его пристрастия к абстрактному остроумию, он питал сильную симпатию (можно сказать, почти жажду) к более приземленному типу комедии и юмора». ^[77]

Болезнь и смерть

Надгробие фон Неймана

В 1955 году около ключицы фон Неймана была обнаружена масса, которая оказалась раком, возникшим в скелете , поджелудочной железе или простате . (Хотя существует общее согласие, что опухоль дала метастазы , источники расходятся в определении местоположения первичной опухоли.) ^{[78] [79]} Злокачественность могла быть вызвана воздействием радиации в Лос-Аламосской национальной лаборатории . ^[80] Когда смерть приблизилась, он попросил священника и обратился в католицизм , хотя священник позже вспоминал, что фон Нейман нашел мало утешения в своем обращении и в получении последних обрядов  - он оставался в ужасе от смерти и не мог принять ее. ^{[81] [82] [83] [84]} О своих религиозных взглядах фон Нейман, как сообщается, сказал: «Пока существует возможность вечного проклятия для неверующих, более логично быть верующим в конце», имея в виду пари Паскаля . Он признался своей матери: «Вероятно, Бог должен быть. Многие вещи легче объяснить, если он есть, чем если его нет». ^{[85] [86]}

Он умер 8 февраля 1957 года в армейском медицинском госпитале имени Уолтера Рида и был похоронен на кладбище Принстона . ^{[87] [88]}

Математика

Теория множеств

История подходов, которые привели к теории множеств NBG

В начале 20-го века попытки основать математику на наивной теории множеств потерпели неудачу из-за парадокса Рассела (о множестве всех множеств, которые не принадлежат самим себе). ^[89] Проблема адекватной аксиоматизации теории множеств была неявно решена примерно двадцать лет спустя Эрнстом Цермело и Авраамом Френкелем . Теория множеств Цермело–Френкеля предоставила ряд принципов, которые позволили построить множества, используемые в повседневной практике математики, но явно не исключали возможность существования множества, которое принадлежит самому себе. В своей докторской диссертации 1925 года фон Нейман продемонстрировал два метода исключения таких множеств — аксиому основания и понятие класса . ^[90]

Аксиома основания предполагала, что каждое множество может быть построено снизу вверх в упорядоченной последовательности шагов с помощью принципов Цермело–Френкеля. Если одно множество принадлежит другому, то первое должно обязательно предшествовать второму в последовательности. Это исключает возможность множества принадлежать самому себе. Чтобы продемонстрировать, что добавление этой новой аксиомы к другим не приводит к противоречиям, фон Нейман ввел метод внутренних моделей , который стал существенным демонстрационным инструментом в теории множеств. ^[90]

Второй подход к проблеме множеств, принадлежащих себе, взял за основу понятие класса и определяет множество как класс, принадлежащий другим классам, в то время как собственный класс определяется как класс, не принадлежащий другим классам. В подходе Цермело–Френкеля аксиомы препятствуют построению множества всех множеств, не принадлежащих себе. Напротив, в подходе фон Неймана класс всех множеств, не принадлежащих себе, может быть построен, но это будет собственный класс , а не множество. ^[90]

В целом, главным достижением фон Неймана в теории множеств была «аксиоматизация теории множеств и (связанная с ней) элегантная теория порядковых и кардинальных чисел , а также первая строгая формулировка принципов определений посредством трансфинитной индукции ». ^[91]

Парадокс фон Неймана

Основываясь на парадоксе Хаусдорфа Феликса Хаусдорфа (1914), Стефан Банах и Альфред Тарский в 1924 году показали, как подразделить трехмерный шар на непересекающиеся множества , затем перенести и повернуть эти множества, чтобы сформировать две идентичные копии одного и того же шара; это парадокс Банаха–Тарского . Они также доказали, что двумерный диск не имеет такого парадоксального разложения. Но в 1929 году ^[92] фон Нейман подразделил диск на конечное число частей и переставил их в два диска, используя сохраняющие площадь аффинные преобразования вместо переводов и вращений. Результат зависел от нахождения свободных групп аффинных преобразований, важный метод, позже расширенный фон Нейманом в его работе по теории меры. ^[93]

Теория доказательств

Благодаря вкладу фон Неймана в теории множеств аксиоматическая система теории множеств избежала противоречий более ранних систем и стала пригодной в качестве основы для математики, несмотря на отсутствие доказательства ее непротиворечивости . Следующий вопрос заключался в том, давала ли она окончательные ответы на все математические вопросы, которые могли быть в ней поставлены, или ее можно было бы улучшить, добавив более сильные аксиомы , которые можно было бы использовать для доказательства более широкого класса теорем. ^[94]

К 1927 году фон Нейман участвовал в дискуссиях в Гёттингене о том, следует ли элементарная арифметика из аксиом Пеано . ^[95] Основываясь на работе Аккермана , он начал пытаться доказать (используя финистические методы школы Гильберта ) непротиворечивость арифметики первого порядка . Ему удалось доказать непротиворечивость фрагмента арифметики натуральных чисел (используя ограничения на индукцию ). ^[96] Он продолжил искать более общее доказательство непротиворечивости классической математики, используя методы из теории доказательств . ^[97]

Резко отрицательный ответ на вопрос, является ли он окончательным, был получен в сентябре 1930 года на Второй конференции по эпистемологии точных наук , на которой Курт Гёдель объявил о своей первой теореме о неполноте : обычные аксиоматические системы неполны в том смысле, что они не могут доказать каждую истину, выражаемую на их языке. Более того, каждое последовательное расширение этих систем обязательно остается неполным. ^[98] На конференции фон Нейман предложил Гёделю попытаться преобразовать свои результаты для неразрешимых предложений о целых числах. ^[99]

Менее чем через месяц фон Нейман сообщил Гёделю интересное следствие своей теоремы: обычные аксиоматические системы неспособны продемонстрировать собственную непротиворечивость. ^[98] Гёдель ответил, что он уже открыл это следствие, теперь известное как его вторая теорема о неполноте , и что он вышлет препринт своей статьи, содержащий оба результата, которые так и не появились. ^{[100] [101] [102]} Фон Нейман признал приоритет Гёделя в своем следующем письме. ^[103] Однако метод доказательства фон Неймана отличался от метода Гёделя, и он также считал, что вторая теорема о неполноте нанесла гораздо более сильный удар по программе Гильберта, чем думал Гёдель. ^{[104] [105]} С этим открытием, которое кардинально изменило его взгляды на математическую строгость, фон Нейман прекратил исследования в области оснований математики и метаматематики и вместо этого посвятил время проблемам, связанным с приложениями. ^[106]

Эргодическая теория

В серии статей, опубликованных в 1932 году, фон Нейман внес основополагающий вклад в эргодическую теорию , раздел математики, который включает в себя состояния динамических систем с инвариантной мерой . ^[107] Из статей 1932 года по эргодической теории Пол Халмош написал, что даже «если бы фон Нейман никогда ничего другого не сделал, этого было бы достаточно, чтобы гарантировать ему математическое бессмертие». ^[108] К тому времени фон Нейман уже написал свои статьи по теории операторов , и применение этой работы сыграло важную роль в его средней эргодической теореме . ^[109]

Теорема касается произвольных однопараметрических унитарных групп и утверждает, что для каждого вектора в гильбертовом пространстве существует в смысле метрики, определяемой нормой Гильберта, и является вектором, который таков, что для всех . Это было доказано в первой статье. Во второй статье фон Нейман утверждал, что его результаты здесь достаточны для физических приложений, связанных с эргодической гипотезой Больцмана . Он также указал, что эргодичность еще не достигнута, и выделил это для будущей работы. ^[110] ${\displaystyle {\mathit {t}}\to {\mathit {V_{t}}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\textstyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}V_{t}(\phi )\,dt}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle V_{t}(\psi )=\psi }$ ${\displaystyle t}$

Позже в том же году он опубликовал еще одну влиятельную работу, которая положила начало систематическому изучению эргодичности. Он дал и доказал теорему разложения, показывающую, что эргодические действия, сохраняющие меру, действительной прямой являются фундаментальными строительными блоками, из которых могут быть построены все действия, сохраняющие меру. Дано и доказано несколько других ключевых теорем. Результаты этой работы и другой работы, совместно с Полом Халмошем, имеют важные приложения в других областях математики. ^{[110] [111]}

Теория меры

В теории меры «проблема меры» для n -мерного евклидова пространства R ⁿ может быть сформулирована как: «существует ли положительная, нормированная, инвариантная и аддитивная функция множества на классе всех подмножеств R ⁿ ?» ^[112] Работа Феликса Хаусдорфа и Стефана Банаха подразумевала, что проблема меры имеет положительное решение, если n = 1 или n = 2 , и отрицательное решение (из-за парадокса Банаха–Тарского ) во всех других случаях. Работа фон Неймана утверждала, что «проблема по сути является теоретико-групповой по характеру»: существование меры можно определить, рассмотрев свойства группы преобразований данного пространства. Положительное решение для пространств размерности не более двух и отрицательное решение для более высоких размерностей исходят из того факта, что евклидова группа является разрешимой группой для размерности не более двух и неразрешима для более высоких размерностей. «Таким образом, согласно фон Нейману, именно изменение группы имеет значение, а не изменение пространства». ^[113] Около 1942 года он рассказал Дороти Махарам , как доказать, что каждое полное σ-конечное мерное пространство имеет мультипликативный подъем; он не опубликовал это доказательство, и позже она придумала новое. ^[114]

В ряде статей фон Неймана методы аргументации, которые он использовал, считаются даже более значимыми, чем результаты. Предвосхищая свое более позднее исследование теории размерности в алгебрах операторов, фон Нейман использовал результаты об эквивалентности посредством конечного разложения и переформулировал проблему меры в терминах функций. ^[115] Основной вклад фон Неймана в теорию меры был результатом статьи, написанной для ответа на вопрос Хаара о том, существует ли алгебра всех ограниченных функций на числовой прямой, такая, что они образуют «полную систему представителей классов почти всюду равных измеримых ограниченных функций». ^[116] Он доказал это положительно, и в более поздних статьях со Стоуном обсуждал различные обобщения и алгебраические аспекты этой проблемы. ^[117] Он также доказал новыми методами существование распадов для различных общих типов мер. Фон Нейман также дал новое доказательство уникальности мер Хаара, используя средние значения функций, хотя этот метод работал только для компактных групп . ^[116] Ему пришлось создать совершенно новые методы, чтобы применить это к локально компактным группам . ^[118] Он также дал новое, остроумное доказательство теоремы Радона–Никодима . ^[119] Его лекции по теории меры в Институте перспективных исследований были важным источником знаний по этой теме в Америке в то время и были позже опубликованы. ^{[120] [121] [122]}

Топологические группы

Используя свою предыдущую работу по теории меры, фон Нейман внес несколько вкладов в теорию топологических групп , начиная со статьи о почти периодических функциях на группах, где фон Нейман распространил теорию почти периодических функций Бора на произвольные группы . ^[123] Он продолжил эту работу другой статьей совместно с Бохнером , которая улучшила теорию почти периодичности , включив в нее функции , принимающие элементы линейных пространств в качестве значений, а не чисел. ^[124] В 1938 году он был награжден премией памяти Бохера за свою работу в области анализа в связи с этими работами. ^{[125] [126]}

В статье 1933 года он использовал недавно открытую меру Хаара в решении пятой проблемы Гильберта для случая компактных групп . ^[127] Основная идея, лежащая в основе этого, была открыта несколькими годами ранее, когда фон Нейман опубликовал статью об аналитических свойствах групп линейных преобразований и обнаружил, что замкнутые подгруппы общей линейной группы являются группами Ли . ^{[128] Позднее} Картан распространил это на произвольные группы Ли в форме теоремы о замкнутой подгруппе . ^{[129] [116]}

Функциональный анализ

Фон Нейман был первым, кто аксиоматически определил абстрактное гильбертово пространство . Он определил его как комплексное векторное пространство с эрмитовым скалярным произведением , причем соответствующая норма была как сепарабельной, так и полной. В тех же работах он также доказал общую форму неравенства Коши–Шварца , которая ранее была известна только в конкретных примерах. ^[130] Он продолжил разработку спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве в трех основополагающих работах между 1929 и 1932 годами. ^[131] Эта работа была накоплена в его «Математических основах квантовой механики» , которые наряду с двумя другими книгами Стоуна и Банаха в том же году стали первыми монографиями по теории гильбертова пространства. ^[132] Предыдущие работы других показали, что теория слабых топологий не может быть получена с помощью последовательностей . Фон Нейман был первым, кто наметил программу преодоления трудностей, что привело к тому, что он впервые определил локально выпуклые пространства и топологические векторные пространства . Кроме того, несколько других топологических свойств, которые он определил в то время (он был одним из первых математиков, применивших новые топологические идеи Хаусдорфа от евклидовых к гильбертовым пространствам) ^[133], такие как ограниченность и полная ограниченность, используются и сегодня. ^[134] В течение двадцати лет фон Нейман считался «бесспорным мастером» этой области. ^[116] Эти разработки были в первую очередь вызваны потребностями квантовой механики , где фон Нейман осознал необходимость расширения спектральной теории эрмитовых операторов с ограниченного на неограниченный случай. ^[135] Другие важные достижения в этих работах включают полное разъяснение спектральной теории для нормальных операторов , первое абстрактное представление следа положительного оператора , [ ^{136] [137]} обобщение представления Рисса спектральных теорем Гильберта в то время и открытие эрмитовых операторов в гильбертовом пространстве, в отличие от самосопряженных операторов , что позволило ему дать описание всех эрмитовых операторов, которые расширяют заданный эрмитов оператор. Он написал статью, в которой подробно описывается, как использованиебесконечные матрицы , распространенные в то время в спектральной теории, были неадекватны в качестве представления для эрмитовых операторов. Его работа по теории операторов привела к его самому глубокому изобретению в чистой математике, изучению алгебр фон Неймана и в целом операторных алгебр . ^[138]

Его более поздняя работа над кольцами операторов привела к тому, что он пересмотрел свою работу над спектральной теорией и предложил новый способ работы с геометрическим содержанием с помощью прямых интегралов гильбертовых пространств. ^[135] Как и в своей работе над теорией меры, он доказал несколько теорем, которые не нашел времени опубликовать. Он рассказал Нахману Ароншайну и К. Т. Смиту, что в начале 1930-х годов он доказал существование собственных инвариантных подпространств для полностью непрерывных операторов в гильбертовом пространстве, работая над проблемой инвариантного подпространства . ^[139]

Совместно с И. Й. Шёнбергом он написал несколько статей, исследующих инвариантные относительно трансляции гильбертовы метрики на числовой прямой , что привело к их полной классификации. Их мотивация кроется в различных вопросах, связанных с вложением метрических пространств в гильбертовы пространства. ^{[140] [141]}

Совместно с Паскуалем Жорданом он написал короткую статью, в которой впервые вывел заданную норму из скалярного произведения с помощью тождества параллелограмма . ^[142] Его неравенство следов является ключевым результатом теории матриц, используемым в задачах аппроксимации матриц. ^[143] Он также впервые представил идею о том, что двойственная к преднорме величина является нормой в первой крупной статье, в которой обсуждалась теория унитарно инвариантных норм и симметричных калибровочных функций (теперь известных как симметричные абсолютные нормы). ^{[144] [145] [146]} Эта статья естественным образом приводит к изучению симметричных операторных идеалов и является отправной точкой для современных исследований симметричных операторных пространств . ^[147]

Позже вместе с Робертом Шаттеном он инициировал изучение ядерных операторов в гильбертовых пространствах, ^{[148] [149]} тензорных произведений банаховых пространств , ^[150] ввел и изучил операторы следового класса , ^[151] их идеалы и их двойственность с компактными операторами , а также преддвойственность с ограниченными операторами . ^[152] Обобщение этой темы на изучение ядерных операторов в банаховых пространствах было одним из первых достижений Александра Гротендика . ^{[153] [154]} Ранее в 1937 году фон Нейман опубликовал несколько результатов в этой области, например, дав 1-параметрическую шкалу различных перекрестных норм на и доказав несколько других результатов о том, что сейчас известно как идеалы Шаттена–фон Неймана. ^[155] ${\displaystyle {\textit {l}}\,_{2}^{n}\otimes {\textit {l}}\,_{2}^{n}}$

Операторные алгебры

Фон Нейман основал изучение колец операторов через алгебры фон Неймана (первоначально называвшиеся W*-алгебрами). Хотя его оригинальные идеи для колец операторов существовали уже в 1930 году, он не начал изучать их глубоко, пока не встретил Ф. Дж. Мюррея несколько лет спустя. ^{[156] [157]} Алгебра фон Неймана — это *-алгебра ограниченных операторов в гильбертовом пространстве , которая замкнута в слабой операторной топологии и содержит тождественный оператор . ^[158] Теорема фон Неймана о бикоммутанте показывает, что аналитическое определение эквивалентно чисто алгебраическому определению, поскольку равно бикоммутанту . [ ^159] После разъяснения изучения случая коммутативной алгебры фон Нейман приступил в 1936 году, при частичном сотрудничестве с Мюрреем, к некоммутативному случаю, общему исследованию классификации факторов алгебр фон Неймана. Шесть основных статей, в которых он развивал эту теорию между 1936 и 1940 годами, «входят в число шедевров анализа двадцатого века»; ^[160] они собрали множество основополагающих результатов и положили начало нескольким программам в теории операторной алгебры, над которыми математики работали десятилетиями после этого. Примером может служить классификация факторов . ^[161] Кроме того, в 1938 году он доказал, что каждая алгебра фон Неймана на сепарабельном гильбертовом пространстве является прямым интегралом факторов; он не нашел времени опубликовать этот результат до 1949 года. ^{[162] [163]} Алгебры фон Неймана тесно связаны с теорией некоммутативного интегрирования, на что фон Нейман намекал в своей работе, но явно не писал. ^{[164] [165]} Другой важный результат о полярном разложении был опубликован в 1932 году. ^[166]

Теория решеток

Между 1935 и 1937 годами фон Нейман работал над теорией решеток , теорией частично упорядоченных множеств, в которой каждые два элемента имеют наибольшую нижнюю границу и наименьшую верхнюю границу. Как писал Гаррет Биркгофф , «блестящий ум Джона фон Неймана сверкал над теорией решеток, как метеор». ^[167] Фон Нейман объединил традиционную проективную геометрию с современной алгеброй ( линейной алгеброй , теорией колец , теорией решеток). Многие ранее полученные геометрические результаты затем можно было интерпретировать в случае общих модулей над кольцами. Его работа заложила основы для некоторых современных работ по проективной геометрии. ^[168]

Его наибольший вклад состоял в основании области непрерывной геометрии . ^[169] Это последовало за его новаторской работой над кольцами операторов. В математике непрерывная геометрия является заменой комплексной проективной геометрии , где вместо размерности подпространства, находящегося в дискретном множестве, она может быть элементом единичного интервала . Ранее Менгер и Биркгоф аксиоматизировали комплексную проективную геометрию в терминах свойств ее решетки линейных подпространств . Фон Нейман, следуя своей работе над кольцами операторов, ослабил эти аксиомы , чтобы описать более широкий класс решеток, непрерывные геометрии. ${\displaystyle 0,1,...,{\mathit {n}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

В то время как размерности подпространств проективных геометрий являются дискретным набором ( неотрицательные целые числа ), размерности элементов непрерывной геометрии могут непрерывно изменяться по единичному интервалу . Фон Нейман был мотивирован своим открытием алгебр фон Неймана с функцией размерности, принимающей непрерывный диапазон размерностей, и первым примером непрерывной геометрии, отличной от проективного пространства, были проекции гиперконечного фактора типа II . ^{[170] [171]} ${\displaystyle [0,1]}$

В более чистой решеточной теоретической работе он решил сложную проблему характеристики класса (непрерывно-мерной проективной геометрии над произвольным телом ) на абстрактном языке теории решеток. ^[172] Фон Нейман представил абстрактное исследование размерности в завершенных дополненных модулярных топологических решетках (свойства, которые возникают в решетках подпространств пространств внутреннего произведения ): ${\displaystyle {\mathit {CG(F)}}}$ ${\displaystyle {\mathit {F}}\,}$

Размерность определяется, с точностью до положительного линейного преобразования, следующими двумя свойствами. Она сохраняется перспективными отображениями («перспективностями») и упорядочивается включением. Самая глубокая часть доказательства касается эквивалентности перспективности с «проективностью посредством разложения» — следствием чего является транзитивность перспективности.

Для любого целого числа каждая -мерная абстрактная проективная геометрия изоморфна подпространственной решетке -мерного векторного пространства над (единственным) соответствующим телом . Это известно как теорема Веблена–Юнга . Фон Нейман распространил этот фундаментальный результат в проективной геометрии на непрерывный размерный случай. ^[173] Эта теорема о координатизации стимулировала значительную работу в абстрактной проективной геометрии и теории решеток, большая часть которой продолжила использовать методы фон Неймана. ^{[168] [174]} Биркгоф описал эту теорему следующим образом: ${\displaystyle n>3}$ ${\displaystyle {\mathit {n}}}$ ${\displaystyle {\mathit {n}}}$ ${\displaystyle V_{n}(F)}$ ${\displaystyle F}$

Любая дополненная модулярная решетка L, имеющая «базис» из n ≥ 4 парных перспективных элементов, изоморфна решетке ℛ( R ) всех главных правых идеалов подходящего регулярного кольца R . Этот вывод является кульминацией 140 страниц блестящей и проницательной алгебры, включающей совершенно новые аксиомы. Любой, кто хочет получить незабываемое впечатление от остроты ума фон Неймана, должен просто попытаться самостоятельно проследить эту цепочку точных рассуждений — понимая, что часто пять страниц из нее были записаны перед завтраком, сидя за письменным столом в гостиной в халате. ^[175]

Эта работа потребовала создания регулярных колец . ^[176] Регулярное кольцо фон Неймана — это кольцо , в котором для каждого существует элемент, такой что . ^[175] Эти кольца возникли из его работы над алгебрами фон Неймана и связаны с ней, а также с AW*-алгебрами и различными видами C*-алгебр . ^[177] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle axa=a}$

Многие более мелкие технические результаты были доказаны во время создания и доказательства вышеуказанных теорем, особенно в отношении дистрибутивности (например, бесконечной дистрибутивности), фон Нейман развивал их по мере необходимости. Он также разработал теорию оценок в решетках и участвовал в разработке общей теории метрических решеток . ^[178]

Биркгоф отметил в своей посмертной статье о фон Неймане, что большинство этих результатов были разработаны в течение двухлетнего интенсивного периода работы, и что хотя его интересы в теории решеток продолжались и после 1937 года, они стали периферийными и в основном встречались в письмах к другим математикам. Последний вклад в 1940 году был сделан для совместного семинара, который он проводил с Биркгофом в Институте перспективных исследований по этой теме, где он разработал теорию σ-полных решеточно-упорядоченных колец. Он так и не написал работу для публикации. ^[179]

Математическая статистика

Фон Нейман внес фундаментальный вклад в математическую статистику . В 1941 году он вывел точное распределение отношения среднего квадрата последовательных разностей к выборочной дисперсии для независимых и одинаково нормально распределенных переменных. ^[180] Это отношение было применено к остаткам из регрессионных моделей и широко известно как статистика Дарбина-Уотсона ^[181] для проверки нулевой гипотезы о том, что ошибки являются серийно независимыми, против альтернативы, что они следуют стационарной авторегрессии первого порядка . ^[181]

Впоследствии Денис Сарган и Алок Бхаргава расширили результаты для проверки того, следуют ли ошибки в регрессионной модели гауссовскому случайному блужданию ( т.е. обладают ли они единичным корнем ) против альтернативы, что они являются стационарной авторегрессией первого порядка. ^[182]

Другая работа

В ранние годы фон Нейман опубликовал несколько статей, связанных с теоретико-множественным вещественным анализом и теорией чисел. ^[183] ​​В статье 1925 года он доказал, что для любой плотной последовательности точек в существует перестановка этих точек, которая равномерно распределена . ^{[184] [185] [186]} В 1926 году его единственная публикация была о теории идеальных алгебраических чисел Прюфера , где он нашел новый способ их построения, тем самым расширив теорию Прюфера на область всех алгебраических чисел , и прояснил их связь с p-адическими числами . ^{[187] [188] [189] [190] [191]} В 1928 году он опубликовал две дополнительные статьи, продолжающие эти темы. Первая касалась разбиения интервала на счетное число конгруэнтных подмножеств . Она решила проблему Гуго Штейнхауза, спрашивающего , является ли интервал -делимым. Фон Нейман доказал, что действительно все интервалы, полуоткрытые, открытые или замкнутые, делятся на -делимые переносами (т.е. что эти интервалы можно разложить на подмножества, которые конгруэнтны переносу). ^{[192] [193] [194] [195]} Его следующая работа была посвящена предоставлению конструктивного доказательства без аксиомы выбора того, что алгебраически независимые действительные числа существуют. Он доказал, что алгебраически независимы для . Следовательно, существует совершенное алгебраически независимое множество действительных чисел размером с континуум . ^{[196] [197] [198] [199]} Другие незначительные результаты его ранней карьеры включают доказательство принципа максимума для градиента минимизирующей функции в области вариационного исчисления , ^{[200] [201] [202] [203]} и небольшое упрощение теоремы Германа Минковского для линейных форм в геометрической теории чисел . ^{[204] [205] [206]} Позже в своей карьере вместе с Паскуалем Жорданом и Юджином Вигнером он написал основополагающую работу, классифицирующую все конечномерные формально действительные йордановы алгебры и открывающую алгебры Альберта, одновременно пытаясь найти лучшее ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle A_{r}=\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{2^{[nr]}}\!{\big /}\,2^{2^{n^{2}}}}$ ${\displaystyle r>0}$ Математический формализм для квантовой теории . ^{[207] [208]} В 1936 году он попытался продолжить программу замены аксиом своей предыдущей программы Гильберта на аксиомы йордановых алгебр ^[209] в статье, исследующей бесконечномерный случай; он планировал написать по крайней мере еще одну статью на эту тему, но так и не сделал этого. ^[210] Тем не менее, эти аксиомы легли в основу дальнейших исследований алгебраической квантовой механики, начатых Ирвингом Сигалом . ^{[211] [212]}

Физика

Квантовая механика

Фон Нейман был первым, кто установил строгую математическую основу для квантовой механики , известную как аксиомы Дирака–фон Неймана , в своей влиятельной работе 1932 года «Математические основы квантовой механики» . ^[213] Завершив аксиоматизацию теории множеств, он начал противостоять аксиоматизации квантовой механики. В 1926 году он понял, что состояние квантовой системы может быть представлено точкой в ​​(комплексном) гильбертовом пространстве, которое, в общем случае, может быть бесконечномерным даже для одной частицы. В этом формализме квантовой механики наблюдаемые величины, такие как положение или импульс, представлены как линейные операторы, действующие в гильбертовом пространстве, связанном с квантовой системой. ^[214]

Физика квантовой механики была, таким образом, сведена к математике гильбертовых пространств и линейных операторов, действующих на них. Например, принцип неопределенности , согласно которому определение положения частицы препятствует определению ее импульса и наоборот, переводится в некоммутативность двух соответствующих операторов. Эта новая математическая формулировка включала в себя в качестве частных случаев формулировки как Гейзенберга, так и Шредингера. ^[214]

Абстрактная трактовка фон Неймана позволила ему столкнуться с основополагающей проблемой детерминизма против недетерминизма, и в книге он представил доказательство того, что статистические результаты квантовой механики не могут быть средними значениями базового набора определенных «скрытых переменных», как в классической статистической механике. В 1935 году Грета Германн опубликовала статью, в которой утверждала, что доказательство содержало концептуальную ошибку и поэтому было недействительным. ^[215] Работа Германн в значительной степени игнорировалась до тех пор, пока Джон С. Белл не высказал по сути тот же аргумент в 1966 году. ^[216] В 2010 году Джеффри Баб утверждал, что Белл неверно истолковал доказательство фон Неймана, и указал, что доказательство, хотя и недействительно для всех теорий скрытых переменных , исключает четко определенное и важное подмножество. Баб также предполагает, что фон Нейман знал об этом ограничении и не утверждал, что его доказательство полностью исключает теории скрытых переменных. ^[217] Обоснованность аргумента Баба, в свою очередь, оспаривается. Теорема Глисона 1957 года предоставила аргумент против скрытых переменных в духе фон Неймана, но основанный на предположениях, которые считались более мотивированными и физически более значимыми. ^{[218] [219]}

Доказательство фон Неймана положило начало направлению исследований, которое в конечном итоге привело, через теорему Белла и эксперименты Алена Аспекта в 1982 году, к демонстрации того, что квантовая физика либо требует понятия реальности, существенно отличающегося от понятия классической физики, либо должна включать нелокальность , что является явным нарушением специальной теории относительности. ^[220]

В главе « Математических основ квантовой механики » фон Нейман глубоко проанализировал так называемую проблему измерения . Он пришел к выводу, что вся физическая вселенная может быть подчинена универсальной волновой функции . Поскольку для коллапса волновой функции требовалось что-то «вне расчета», фон Нейман пришел к выводу, что коллапс был вызван сознанием экспериментатора. Он утверждал, что математика квантовой механики позволяет поместить коллапс волновой функции в любую позицию в причинно-следственной цепи от измерительного устройства до «субъективного сознания» человека-наблюдателя. Другими словами, хотя линия между наблюдателем и наблюдаемым может быть проведена в разных местах, теория имеет смысл только в том случае, если где-то существует наблюдатель. ^[221] Хотя идея сознания, вызывающего коллапс, была принята Юджином Вигнером, ^[222] интерпретация фон Неймана–Вигнера так и не получила признания среди большинства физиков. ^[223]

Хотя теории квантовой механики продолжают развиваться, базовую структуру математического формализма проблем квантовой механики, лежащую в основе большинства подходов, можно проследить до математических формализмов и методов, впервые использованных фон Нейманом. Дискуссии об интерпретации теории и ее расширениях в настоящее время в основном проводятся на основе общих предположений о математических основах. ^[213]

Рассматривая работу фон Неймана по квантовой механике как часть выполнения шестой проблемы Гильберта , математический физик Артур Уайтман сказал в 1974 году, что его аксиомизация квантовой теории была, возможно, самой важной аксиомизацией физической теории на сегодняшний день. С его книгой 1932 года квантовая механика стала зрелой теорией в том смысле, что она имела точную математическую форму, которая позволяла давать ясные ответы на концептуальные проблемы. ^[224] Тем не менее, фон Нейман в последние годы своей жизни чувствовал, что потерпел неудачу в этом аспекте своей научной работы, поскольку, несмотря на всю разработанную им математику, он не нашел удовлетворительной математической основы для квантовой теории в целом. ^{[225] [226]}

Энтропия фон Неймана

Энтропия фон Неймана широко используется в различных формах ( условная энтропия , относительная энтропия и т. д.) в рамках квантовой теории информации . ^[227] Меры запутанности основаны на некоторой величине, напрямую связанной с энтропией фон Неймана. Учитывая статистический ансамбль квантово-механических систем с матрицей плотности , она задается как Многие из тех же мер энтропии в классической теории информации также могут быть обобщены на квантовый случай, такие как энтропия Холево ^[228] и условная квантовая энтропия . Квантовая теория информации в значительной степени связана с интерпретацией и использованием энтропии фон Неймана, краеугольного камня в развитии первой; энтропия Шеннона применяется к классической теории информации. ^[229] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S(\rho )=-\operatorname {Tr} (\rho \ln \rho ).\,}$

Матрица плотности

Формализм операторов плотности и матриц был введен фон Нейманом ^[230] в 1927 году и независимо, но менее систематически Львом Ландау ^[231] и Феликсом Блохом ^[232] в 1927 и 1946 годах соответственно. Матрица плотности позволяет представлять вероятностные смеси квантовых состояний ( смешанные состояния ) в отличие от волновых функций , которые могут представлять только чистые состояния . ^[233]

Схема измерений фон Неймана

Схема измерения фон Неймана , предок теории квантовой декогеренции , представляет измерения проективно, принимая во внимание измерительный аппарат, который также рассматривается как квантовый объект. Схема «проективного измерения», введенная фон Нейманом, привела к развитию теорий квантовой декогеренции. ^{[234] [235]}

Квантовая логика

Фон Нейман впервые предложил квантовую логику в своем трактате 1932 года « Математические основы квантовой механики» , где он отметил, что проекции на гильбертово пространство можно рассматривать как предложения о физических наблюдаемых. Область квантовой логики впоследствии была открыта в 1936 году в статье фон Неймана и Гаррета Биркгоффа, первых, кто ввел квантовую логику, ^[236] где фон Нейман и Биркгофф впервые доказали, что квантовая механика требует пропозиционального исчисления, существенно отличающегося от всех классических логик, и строго выделили новую алгебраическую структуру для квантовой логики. Концепция создания пропозиционального исчисления для квантовой логики была впервые изложена в коротком разделе в работе фон Неймана 1932 года, но в 1936 году необходимость в новом пропозициональном исчислении была продемонстрирована с помощью нескольких доказательств. Например, фотоны не могут пройти через два последовательных фильтра, поляризованных перпендикулярно (например, горизонтально и вертикально), и поэтому, a fortiori , они не могут пройти, если третий фильтр, поляризованный диагонально, добавляется к двум другим, либо до, либо после них в последовательности, но если третий фильтр добавляется между двумя другими, фотоны действительно пройдут. Этот экспериментальный факт можно перевести в логику как некоммутативность конъюнкции . Было также продемонстрировано, что законы распределения классической логики и , недействительны для квантовой теории. ^[237] ${\displaystyle (A\land B)\neq (B\land A)}$ ${\displaystyle P\lor (Q\land R)={}}$ ${\displaystyle (P\lor Q)\land (P\lor R)}$ ${\displaystyle P\land (Q\lor R)={}}$ ${\displaystyle (P\land Q)\lor (P\land R)}$

Причина этого в том, что квантовая дизъюнкция, в отличие от случая классической дизъюнкции, может быть истинной, даже когда оба дизъюнкта ложны, и это, в свою очередь, объясняется тем фактом, что в квантовой механике часто бывает так, что пара альтернатив семантически определена, в то время как каждый из ее членов обязательно неопределен. Следовательно, дистрибутивный закон классической логики должен быть заменен более слабым условием. ^[237] Вместо дистрибутивной решетки предложения о квантовой системе образуют ортомодулярную решетку, изоморфную решетке подпространств гильбертова пространства, связанного с этой системой. ^[238]

Тем не менее, он никогда не был удовлетворен своей работой над квантовой логикой. Он намеревался сделать ее совместным синтезом формальной логики и теории вероятностей, и когда он попытался написать статью для лекции Генри Джозефа, которую он прочитал в Вашингтонском философском обществе в 1945 году, он обнаружил, что не может, особенно учитывая, что в то время он был занят военными работами. Во время своего выступления на Международном конгрессе математиков 1954 года он назвал эту проблему одной из нерешенных проблем, над которой могли бы работать будущие математики. ^{[239] [240]}

Динамика жидкости

Фон Нейман внес фундаментальный вклад в область гидродинамики , включая классическое решение потока для взрывных волн , ^[241] и совместное открытие (независимо Яковом Борисовичем Зельдовичем и Вернером Дёрингом ) модели детонации взрывчатых веществ ZND. ^[242] В 1930-х годах фон Нейман стал авторитетом в области математики кумулятивных зарядов . ^[243]

Позже с Робертом Д. Рихтмайером фон Нейман разработал алгоритм определения искусственной вязкости , который улучшил понимание ударных волн . Когда компьютеры решали гидродинамические или аэродинамические задачи, они помещали слишком много точек вычислительной сетки в области резкого разрыва (ударные волны). Математика искусственной вязкости сглаживала переход ударной волны, не жертвуя базовой физикой. ^[244]

Фон Нейман вскоре применил компьютерное моделирование в этой области, разработав программное обеспечение для своих баллистических исследований. Во время Второй мировой войны он обратился к Р. Х. Кенту, директору Лаборатории баллистических исследований армии США , с компьютерной программой для расчета одномерной модели из 100 молекул для моделирования ударной волны. Фон Нейман провел семинар по своей программе для аудитории, в которой был его друг Теодор фон Карман . После того, как фон Нейман закончил, фон Карман сказал: «Конечно, вы понимаете, что Лагранж также использовал цифровые модели для моделирования механики сплошных сред ». Фон Нейман не знал о работе Лагранжа Mécanique analytique . ^[245]

Другая работа

Мемориальная доска фон Нейману на стене дома, где он родился, в Будапеште, 5-й район, улица Батори, дом 26.

Хотя он не был столь плодовит в физике, как в математике, он, тем не менее, внес несколько других заметных вкладов. Его новаторские работы с Субрахманьяном Чандрасекаром по статистике флуктуирующего гравитационного поля, создаваемого случайно распределенными звездами, считались выдающимся достижением . ^[246] В этой работе они разработали теорию релаксации двух тел ^[247] и использовали распределение Хольцмарка для моделирования ^[248] динамики звездных систем . ^[249] Он написал несколько других неопубликованных рукописей по темам звездной структуры , некоторые из которых были включены в другие работы Чандрасекара. ^{[250] [251]} В более ранних работах под руководством Освальда Веблена фон Нейман помог разработать основные идеи, связанные со спинорами , которые привели к теории твисторов Роджера Пенроуза . [ ^{252] [253]} Большая часть этого была сделана на семинарах, проводившихся в IAS в 1930-х годах. ^[254] На основе этой работы он написал статью с А. Х. Таубом и Вебленом, расширяющую уравнение Дирака до проективной теории относительности, с ключевым акцентом на сохранении инвариантности относительно преобразований координат, спина и калибровочных преобразований, как часть ранних исследований потенциальных теорий квантовой гравитации в 1930-х годах. ^[255] В тот же период времени он сделал несколько предложений коллегам по решению проблем в недавно созданной квантовой теории поля и по квантованию пространства-времени; однако и его коллеги, и он сам не посчитали эти идеи плодотворными и не стали их развивать. ^{[256] [257] [258]} Тем не менее, он сохранил, по крайней мере, некоторый интерес, написав в 1940 году рукопись об уравнении Дирака в пространстве де Ситтера . ^[259]

Экономика

Теория игр

Фон Нейман основал область теории игр как математической дисциплины. ^[260] Он доказал свою теорему о минимаксе в 1928 году. Она устанавливает, что в играх с нулевой суммой и полной информацией (т. е. в которых игроки в каждый момент времени знают все ходы, которые имели место до сих пор), существует пара стратегий для обоих игроков, которая позволяет каждому из них минимизировать свои максимальные потери. ^[261] Такие стратегии называются оптимальными . Фон Нейман показал, что их минимаксы равны (по абсолютной величине) и противоположны (по знаку). Он улучшил и расширил теорему о минимаксе , включив в нее игры с несовершенной информацией и игры с более чем двумя игроками, опубликовав этот результат в своей работе 1944 года «Теория игр и экономическое поведение» , написанной совместно с Оскаром Моргенштерном . Общественный интерес к этой работе был таким, что The New York Times опубликовала статью на первой странице. ^[262] В этой книге фон Нейман заявил, что экономическая теория должна использовать функциональный анализ , особенно выпуклые множества и топологическую теорему о неподвижной точке , а не традиционное дифференциальное исчисление, поскольку оператор максимума не сохраняет дифференцируемые функции. ^[260]

Функционально-аналитические методы фон Неймана — использование дуальных пар действительных векторных пространств для представления цен и количеств, использование опорных и разделяющих гиперплоскостей и выпуклых множеств, а также теория неподвижной точки — с тех пор стали основными инструментами математической экономики. ^[263]

Математическая экономика

Фон Нейман поднял математический уровень экономики в нескольких влиятельных публикациях. Для своей модели расширяющейся экономики он доказал существование и единственность равновесия, используя свое обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке . ^[260] Модель расширяющейся экономики фон Неймана рассматривала матричный пучок  A  − λ B с неотрицательными матрицами  A и B ; фон Нейман искал векторы вероятностей p и  q и положительное число  λ, которые решали бы уравнение дополнительности вместе с двумя системами неравенств, выражающими экономическую эффективность. В этой модели ( транспонированный ) вектор вероятности p представляет цены товаров, в то время как вектор вероятности q представляет «интенсивность», с которой будет проходить производственный процесс. Единственное решение λ представляет фактор роста, который равен 1 плюс темп роста экономики; темп роста равен процентной ставке . ^{[264] [265]}   ${\displaystyle p^{T}(A-\lambda B)q=0}$

Результаты фон Неймана рассматривались как особый случай линейного программирования , где его модель использует только неотрицательные матрицы. Изучение его модели расширяющейся экономики продолжает интересовать математических экономистов. ^{[266] [267]} Эта статья была названа величайшей статьей в математической экономике несколькими авторами, которые признали ее введение теорем о неподвижной точке, линейных неравенств , дополнительной нежесткости и двойственности седловой точки . ^[268] В трудах конференции по модели роста фон Неймана Пол Самуэльсон сказал, что многие математики разработали методы, полезные для экономистов, но что фон Нейман был уникален тем, что внес значительный вклад в саму экономическую теорию. ^[269] Непреходящее значение работы по общим равновесиям и методологии теорем о неподвижной точке подчеркивается присуждением Нобелевских премий в 1972 году Кеннету Эрроу , в 1983 году Жерару Дебре и в 1994 году Джону Нэшу, который использовал теоремы о неподвижной точке для установления равновесий для некооперативных игр и для задач торга в своей докторской диссертации. Эрроу и Дебре также использовали линейное программирование, как и лауреаты Нобелевской премии Тьяллинг Купманс , Леонид Канторович , Василий Леонтьев , Пол Самуэльсон , Роберт Дорфман , Роберт Солоу и Леонид Гурвич . ^[270]

Фон Нейман заинтересовался этой темой, когда читал лекции в Берлине в 1928 и 1929 годах. Он проводил лето в Будапеште, как и экономист Николас Калдор ; Калдор порекомендовал фон Нейману прочитать книгу математического экономиста Леона Вальраса . Фон Нейман заметил, что общая теория равновесия Вальраса и закон Вальраса , которые привели к системам одновременных линейных уравнений, могут привести к абсурдному результату, что прибыль может быть максимизирована путем производства и продажи отрицательного количества продукта. Он заменил уравнения неравенствами, ввел динамические равновесия, среди прочего, и в конечном итоге выпустил свою статью. ^[271]

Линейное программирование

Основываясь на своих результатах по матричным играм и на своей модели расширяющейся экономики, фон Нейман изобрел теорию двойственности в линейном программировании, когда Джордж Данциг описал его работу за несколько минут, и нетерпеливый фон Нейман попросил его перейти к сути. Затем Данциг ошеломленно слушал, как фон Нейман давал часовую лекцию о выпуклых множествах, теории неподвижной точки и двойственности, предполагая эквивалентность между матричными играми и линейным программированием. ^[272]

Позже фон Нейман предложил новый метод линейного программирования , используя однородную линейную систему Пола Гордана (1873), который позже был популяризирован алгоритмом Кармаркара . Метод фон Неймана использовал алгоритм поворота между симплексами , при этом решение поворота определялось неотрицательной подзадачой наименьших квадратов с ограничением выпуклости ( проецирование нулевого вектора на выпуклую оболочку активного симплекса). Алгоритм фон Неймана был первым методом внутренней точки линейного программирования. ^[273]

Информатика

Фон Нейман был основоположником вычислительной техники [ ^274], внесшим значительный вклад в проектирование вычислительного оборудования, в теоретическую информатику , в научные вычисления и в философию информатики .

Аппаратное обеспечение

Компьютер AVIDAC был частично основан на архитектуре машины IAS, разработанной фон Нейманом.

Фон Нейман консультировал Армейскую баллистическую исследовательскую лабораторию , в частности, по проекту ENIAC , ^[275] в качестве члена ее Научного консультативного комитета. ^[276] Хотя архитектура с одной памятью и хранимой программой обычно называется архитектурой фон Неймана , эта архитектура была основана на работе Дж. Преспера Экерта и Джона Мочли , изобретателей ENIAC и его преемника EDVAC . Консультируя проект EDVAC в Пенсильванском университете , фон Нейман написал неполный первый черновик отчета по EDVAC . В статье, преждевременное распространение которой аннулировало патентные претензии Экерта и Мочли, описывался компьютер, который хранил и свои данные, и свою программу в одном и том же адресном пространстве, в отличие от самых ранних компьютеров, которые хранили свои программы отдельно на бумажной ленте или коммутационных панелях . Эта архитектура стала основой большинства современных компьютерных конструкций. ^[277]

Затем фон Нейман спроектировал машину IAS в Институте перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси. Он организовал ее финансирование, а компоненты были спроектированы и построены в исследовательской лаборатории RCA неподалеку. Фон Нейман рекомендовал, чтобы IBM 701 , прозванный оборонным компьютером , включал магнитный барабан. Это была более быстрая версия машины IAS, которая легла в основу коммерчески успешного IBM 704. [ ^{278] [279]}

Алгоритмы

Блок-схема из книги фон Неймана «Планирование и кодирование задач для электронного вычислительного прибора», опубликованной в 1947 году.

В 1945 году фон Нейман изобрел алгоритм сортировки слиянием , в котором первая и вторая половины массива сортируются рекурсивно, а затем объединяются. ^{[280] [281]}

В рамках работы фон Неймана над водородной бомбой он и Станислав Улам разработали симуляции для гидродинамических вычислений. Он также внес вклад в разработку метода Монте-Карло , который использовал случайные числа для аппроксимации решений сложных задач. ^[282]

Алгоритм фон Неймана для имитации честной монеты с помощью несимметричной монеты используется на этапе «программного отбеливания» некоторых аппаратных генераторов случайных чисел . ^[283] Поскольку получение «истинно» случайных чисел было непрактичным, фон Нейман разработал форму псевдослучайности , используя метод среднего квадрата . Он оправдывал этот грубый метод как более быстрый, чем любой другой метод в его распоряжении, написав, что «Любой, кто рассматривает арифметические методы получения случайных цифр, конечно, находится в состоянии греха». ^[283] Он также отметил, что когда этот метод давал сбой, это происходило очевидно, в отличие от других методов, которые могли быть некорректными. ^[283]

Стохастические вычисления были введены фон Нейманом в 1953 году, ^[284] но не могли быть реализованы до достижений в области вычислений 1960-х годов. [ ^{285] [286]} Около 1950 года он также был одним из первых, кто говорил о временной сложности вычислений , что в конечном итоге переросло в область теории вычислительной сложности . ^[287]

Клеточные автоматы, ДНК и универсальный конструктор

Первая реализация самовоспроизводящегося универсального конструктора фон Неймана. ^[288] Показаны три поколения машин: вторая почти закончила конструировать третью. Линии, идущие вправо, — это ленты генетических инструкций, которые копируются вместе с телом машин.

Простая конфигурация в клеточном автомате фон Неймана. Двоичный сигнал многократно передается по синей проволочной петле, используя возбужденные и покоящиеся обычные состояния передачи . Конфлюэнтная ячейка дублирует сигнал на отрезок красного провода, состоящий из специальных состояний передачи . Сигнал проходит по этому проводу и создает новую ячейку в конце. Этот конкретный сигнал (1011) кодирует направленное на восток специальное состояние передачи, таким образом, каждый раз удлиняя красный провод на одну ячейку. Во время построения новая ячейка проходит через несколько сенсибилизированных состояний, направляемых двоичной последовательностью.

Математический анализ структуры саморепликации фон Нейманом предшествовал открытию структуры ДНК. ^[289] Уламу и фон Нейману также обычно приписывают создание области клеточных автоматов , начиная с 1940-х годов, как упрощенной математической модели биологических систем. ^[290]

В лекциях 1948 и 1949 годов фон Нейман предложил кинематический самовоспроизводящийся автомат. ^{[291] [292]} К 1952 году он рассматривал проблему более абстрактно. Он спроектировал сложный двумерный клеточный автомат , который автоматически делал копию своей первоначальной конфигурации ячеек. ^[293] Универсальный конструктор фон Неймана, основанный на клеточном автомате фон Неймана, был конкретизирован в его посмертной работе «Теория самовоспроизводящихся автоматов» . ^[294] Окрестность фон Неймана , в которой каждая ячейка в двумерной сетке имеет четыре ортогонально смежных ячейки сетки в качестве соседей, продолжает использоваться для других клеточных автоматов. ^[295]

Научные вычисления и численный анализ

Считающийся, возможно, «самым влиятельным исследователем в области научных вычислений всех времен», ^[296] фон Нейман внес несколько вкладов в эту область, как в техническом, так и в административном плане. Он разработал процедуру анализа устойчивости фон Неймана , ^[297] которая до сих пор широко используется для предотвращения ошибок, возникающих в численных методах для линейных уравнений в частных производных . ^[298] Его статья с Германом Голдстайном в 1947 году была первой, в которой был описан обратный анализ ошибок , хотя и неявно. ^[299] Он также был одним из первых, кто написал о методе Якоби . ^[300] В Лос-Аламосе он написал несколько секретных отчетов о численном решении задач газовой динамики . Однако он был разочарован отсутствием прогресса в аналитических методах для этих нелинейных задач. В результате он обратился к вычислительным методам. ^[301] Под его влиянием Лос-Аламос стал лидером в вычислительной науке в 1950-х и начале 1960-х годов. ^[302]

Из этой работы фон Нейман понял, что вычисления были не просто инструментом для численного решения проблемы методом грубой силы , но также могли дать представление о решении проблем аналитическим путем ^[303] и что существует огромное множество научных и инженерных проблем, для решения которых компьютеры были бы полезны, наиболее значительными из которых были нелинейные проблемы . ^[304] В июне 1945 года на Первом канадском математическом конгрессе он сделал свой первый доклад об общих идеях того, как решать проблемы, в частности, гидродинамики численно. ^[245] Он также описал, как аэродинамические трубы на самом деле были аналоговыми компьютерами , и как цифровые компьютеры заменят их и откроют новую эру гидродинамики. Гаррет Биркгофф описал это как «незабываемое коммерческое предложение». Он расширил этот разговор с Голдстайном в рукопись «О принципах крупномасштабных вычислительных машин» и использовал его для продвижения поддержки научных вычислений. Его статьи также развивали концепции инвертирования матриц , случайных матриц и автоматизированных методов релаксации для решения эллиптических краевых задач . ^[305]

Погодные системы и глобальное потепление

В рамках своих исследований возможных применений компьютеров фон Нейман заинтересовался прогнозированием погоды, отметив сходство между проблемами в этой области и теми, над которыми он работал во время Манхэттенского проекта. ^[306] В 1946 году фон Нейман основал «Метеорологический проект» в Институте перспективных исследований, обеспечив финансирование своего проекта от Бюро погоды , метеорологических служб ВВС США и ВМС США. ^[307] Вместе с Карлом-Густавом Россби , считавшимся ведущим метеорологом-теоретиком того времени, он собрал группу из двадцати метеорологов для работы над различными проблемами в этой области. Однако, учитывая его другую послевоенную работу, он не смог уделить достаточно времени надлежащему руководству проектом, и мало что было достигнуто.

Это изменилось, когда молодой Жюль Грегори Чарни принял на себя руководство проектом вместо Россби. ^[308] К 1950 году фон Нейман и Чарни написали первое в мире программное обеспечение для моделирования климата и использовали его для выполнения первых в мире численных прогнозов погоды на компьютере ENIAC, который фон Нейман организовал для использования; ^[307] фон Нейман и его команда опубликовали результаты как «Численное интегрирование уравнения баротропной вихревости» . ^[309] Вместе они сыграли ведущую роль в усилиях по интеграции обмена энергией и влагой между морем и воздухом в изучение климата. ^[310] Несмотря на примитивность, новости о прогнозах ENIAC быстро распространились по всему миру, и был инициирован ряд параллельных проектов в других местах. ^[311]

В 1955 году фон Нейман, Чарни и их коллеги убедили своих спонсоров открыть Объединенный численный прогноз погоды (JNWPU) в Сьютленде, штат Мэриленд , который начал регулярное прогнозирование погоды в реальном времени. ^[312] Затем фон Нейман предложил исследовательскую программу для моделирования климата:

Подход заключается в том, чтобы сначала попытаться сделать краткосрочные прогнозы, затем долгосрочные прогнозы тех свойств циркуляции, которые могут сохраняться в течение произвольно длительных периодов времени, и только в конце попытаться сделать прогноз на средне-длительные периоды времени, которые слишком длительны для рассмотрения с помощью простой гидродинамической теории и слишком коротки для рассмотрения с помощью общего принципа теории равновесия. ^[313]

Положительные результаты Нормана А. Филлипса в 1955 году вызвали немедленную реакцию, и фон Нейман организовал конференцию в Принстоне на тему «Применение методов численного интегрирования к проблеме общей циркуляции». Он снова стратегически организовал программу как прогностическую, чтобы обеспечить постоянную поддержку со стороны Бюро погоды и военных, что привело к созданию Секции исследований общей циркуляции (ныне Лаборатория геофизической гидродинамики ) рядом с JNWPU. ^[314] Он продолжил работу как над техническими вопросами моделирования, так и над обеспечением постоянного финансирования этих проектов. ^[315] В конце 19 века Сванте Аррениус предположил, что деятельность человека может вызвать глобальное потепление , добавляя углекислый газ в атмосферу. ^[316] В 1955 году фон Нейман заметил, что это, возможно, уже началось: «Диоксид углерода, выбрасываемый в атмосферу в результате сжигания угля и нефти в промышленности — более половины этого количества за последнее поколение — мог изменить состав атмосферы в достаточной степени, чтобы объяснить общее потепление мира примерно на один градус по Фаренгейту». ^{[317] [318]} Его исследования погодных систем и метеорологического прогнозирования привели его к предложению манипулировать окружающей средой путем нанесения красителей на полярные ледяные шапки для усиления поглощения солнечной радиации (за счет снижения альбедо ). ^{[319] [320] [319] [320]} Однако он призвал к осторожности в любой программе изменения атмосферы:

То, что можно было бы сделать, конечно, не является показателем того, что следует делать... На самом деле, оценка конечных последствий как общего похолодания, так и общего потепления была бы сложным делом. Изменения повлияли бы на уровень морей, а значит, и на обитаемость континентальных прибрежных шельфов; испарение морей, а значит, и на общий уровень осадков и оледенения; и так далее... Но нет никаких сомнений в том, что можно было бы провести необходимые анализы, необходимые для прогнозирования результатов, вмешаться в любом желаемом масштабе и в конечном итоге достичь довольно фантастических результатов. ^[318]

Он также предупредил, что погода и климатический контроль могут иметь военное применение, заявив Конгрессу в 1956 году, что они могут представлять даже большую опасность, чем МБР . ^[321]

Гипотеза технологической сингулярности

«Технология, которая сейчас развивается и которая будет доминировать в последующие десятилетия, находится в противоречии с традиционными и, в основном, все еще актуальными в данный момент географическими и политическими единицами и концепциями. Это назревающий кризис технологий... Самый обнадеживающий ответ заключается в том, что человеческий род уже подвергался подобным испытаниям раньше, и, похоже, у него есть врожденная способность выходить из них после различного количества трудностей».

— фон Нейман, 1955 ^[318]

Первое использование концепции сингулярности в технологическом контексте приписывается фон Нейману ^[322] , который, по словам Улама, обсуждал «постоянно ускоряющийся прогресс технологий и изменения в образе жизни человека, что создает видимость приближения к некой существенной сингулярности в истории расы, за пределами которой человеческие дела, какими мы их знаем, не могут продолжаться». ^[323] Эта концепция была позднее конкретизирована в книге «Шок будущего» Элвина Тоффлера .

Оборонная работа

Фотография военного удостоверения личности фон Неймана из Лос-Аламоса

Проект Манхэттен

Начиная с конца 1930-х годов фон Нейман приобрел опыт в области взрывов — явлений, которые трудно моделировать математически. В этот период он был ведущим авторитетом в области математики кумулятивных зарядов , что привело его к большому количеству военных консультаций и, как следствие, к его участию в Манхэттенском проекте . Участие включало частые поездки в секретные исследовательские учреждения проекта в Лос-Аламосской лаборатории в Нью-Мексико. ^[38]

Фон Нейман внес свой основной вклад в атомную бомбу в концепцию и конструкцию взрывных линз , которые были необходимы для сжатия плутониевого ядра оружия « Толстяк» , которое позже было сброшено на Нагасаки . ^[324] Хотя фон Нейман не был инициатором концепции « имплозии », он был одним из самых стойких ее сторонников, поощряя ее дальнейшее развитие вопреки инстинктам многих своих коллег, которые считали такую ​​конструкцию неработоспособной. Он также в конечном итоге придумал идею использования более мощных кумулятивных зарядов и менее расщепляемого материала, чтобы значительно увеличить скорость «сборки». ^[325]

Когда выяснилось, что урана-235 недостаточно для изготовления более чем одной бомбы, проект имплозивной линзы был значительно расширен, и идея фон Неймана была реализована. Имплозия была единственным методом, который можно было использовать с плутонием-239 , который был доступен на объекте в Хэнфорде . ^[326] Он разработал конструкцию необходимых взрывных линз , но оставались опасения по поводу «краевых эффектов» и несовершенств взрывчатых веществ. ^[327] Его расчеты показали, что имплозия будет работать, если она не будет отклоняться более чем на 5% от сферической симметрии. ^[328] После серии неудачных попыток с моделями это удалось сделать Джорджу Кистяковскому , и создание бомбы «Тринити» было завершено в июле 1945 года. ^[329]

Во время визита в Лос-Аламос в сентябре 1944 года фон Нейман показал, что увеличение давления от отражения ударной волны взрыва от твердых объектов было больше, чем считалось ранее, если угол падения ударной волны был между 90° и некоторым предельным углом. В результате было установлено, что эффективность атомной бомбы будет повышена при детонации на расстоянии нескольких километров над целью, а не на уровне земли. ^{[330] [331]}

Механизм имплозии

Фон Нейман был включен в комитет по выбору целей, который отвечал за выбор японских городов Хиросима и Нагасаки в качестве первых целей атомной бомбы . Фон Нейман руководил расчетами, связанными с ожидаемым размером взрывов бомб, предполагаемым числом погибших и расстоянием над землей, на котором бомбы должны быть взорваны для оптимального распространения ударной волны. Культурная столица Киото была первым выбором фон Неймана, ^[332] выбор был поддержан руководителем Манхэттенского проекта генералом Лесли Гроувсом . Однако эта цель была отклонена военным министром Генри Л. Стимсоном . ^[333]

16 июля 1945 года фон Нейман и многие другие сотрудники Манхэттенского проекта стали очевидцами первого испытания детонации атомной бомбы под кодовым названием « Тринити» . Событие проводилось в качестве испытания устройства, работающего по методу имплозии, на полигоне Аламогордо в Нью-Мексико. Основываясь только на своих наблюдениях, фон Нейман оценил, что испытание привело к взрыву, эквивалентному 5 килотоннам тротила (21  ТДж ), но Энрико Ферми дал более точную оценку в 10 килотонн, сбрасывая обрывки рваной бумаги, когда ударная волна проходила мимо его местоположения, и наблюдая, как далеко они разлетались. Фактическая мощность взрыва составляла от 20 до 22 килотонн. ^[334] Именно в работах фон Неймана 1944 года впервые появилось выражение «килотонны». ^[335]

Фон Нейман продолжал невозмутимо работать и стал, наряду с Эдвардом Теллером, одним из тех, кто поддерживал проект водородной бомбы . Он сотрудничал с Клаусом Фуксом в дальнейшей разработке бомбы, и в 1946 году они подали секретный патент, описывающий схему использования бомбы деления для сжатия термоядерного топлива для инициирования ядерного синтеза . ^[336] Патент Фукса-фон Неймана использовал радиационную имплозию , но не таким образом, как это используется в том, что стало окончательной конструкцией водородной бомбы, конструкции Теллера-Улама . Однако их работа была включена в кадр «Джордж» операции «Парник » , который был поучителен для проверки концепций, которые вошли в окончательный дизайн. ^[337] Работа Фукса-фон Неймана была передана Советскому Союзу Фуксом как часть его ядерного шпионажа , но она не была использована в собственной, независимой разработке Советами конструкции Теллера-Улама. Историк Джереми Бернстайн отметил, что по иронии судьбы «Джон фон Нейман и Клаус Фукс в 1946 году создали блестящее изобретение, которое могло бы изменить весь ход разработки водородной бомбы, но не было полностью понято до тех пор, пока бомба не была успешно создана». ^[337]

За свои военные заслуги фон Нейман был награжден Военно-морской наградой за выдающиеся гражданские заслуги в июле 1946 года и медалью «За заслуги» в октябре 1946 года. ^[338]

Послевоенная работа

В 1950 году фон Нейман стал консультантом Группы оценки систем вооружения , ^[339] чьей функцией было консультирование Объединенного комитета начальников штабов и министра обороны США по вопросам разработки и использования новых технологий. ^[340] Он также стал советником Проекта специального оружия вооруженных сил , который отвечал за военные аспекты ядерного оружия . ^[339] В течение следующих двух лет он стал консультантом во всем правительстве США. ^[341] Сюда входило Центральное разведывательное управление (ЦРУ), член влиятельного Генерального консультативного комитета Комиссии по атомной энергии , консультант недавно созданной Ливерморской национальной лаборатории и член Научно-консультативной группы ВВС США . ^[339] За это время он стал «суперзвездой» оборонного ученого в Пентагоне . Его авторитет считался непогрешимым на самых высоких уровнях правительства США и армии. ^[342]

Во время нескольких заседаний консультативного совета ВВС США фон Нейман и Эдвард Теллер предсказали, что к 1960 году США смогут создать водородную бомбу, достаточно легкую, чтобы поместиться на вершине ракеты. В 1953 году Бернард Шривер , присутствовавший на встрече, нанес личный визит фон Нейману в Принстон, чтобы подтвердить эту возможность. ^[343] Шривер привлек Тревора Гарднера , который, в свою очередь, посетил фон Неймана несколько недель спустя, чтобы полностью понять будущие возможности, прежде чем начать свою кампанию за такое оружие в Вашингтоне. ^[344] Теперь, председательствуя или работая в нескольких советах, занимающихся стратегическими ракетами и ядерным оружием, фон Нейман смог вставить несколько важных аргументов относительно потенциальных советских достижений в обеих этих областях и в стратегической обороне от американских бомбардировщиков в правительственные отчеты, чтобы аргументировать создание МБР . ^[345] Гарднер несколько раз приводил фон Неймана на встречи с Министерством обороны США, чтобы обсудить с различными высокопоставленными должностными лицами его отчеты. ^[346] Несколько проектных решений в этих отчетах, такие как инерциальные механизмы наведения, впоследствии легли в основу всех МБР. ^[347] К 1954 году фон Нейман также регулярно давал показания различным военным подкомитетам Конгресса , чтобы обеспечить постоянную поддержку программы МБР. ^[348]

Однако этого было недостаточно. Чтобы программа МБР работала на полную мощность, им требовались прямые действия президента Соединенных Штатов. ^[349] Они убедили президента Эйзенхауэра на прямой встрече в июле 1955 года, которая привела к президентской директиве 13 сентября 1955 года. В ней говорилось, что «будут самые серьезные последствия для национальной безопасности и сплоченности свободного мира», если Советский Союз разработает МБР раньше США, и поэтому проект МБР был обозначен как «программа исследований и разработок наивысшего приоритета над всеми остальными». Министру обороны было приказано начать проект с «максимальной срочностью». ^[350] Позже доказательства показали, что Советы действительно уже испытывали свои собственные баллистические ракеты средней дальности в то время. ^[351] Фон Нейман продолжал встречаться с президентом, в том числе в его доме в Геттисберге, штат Пенсильвания , и с другими высокопоставленными правительственными чиновниками в качестве ключевого советника по МБР до своей смерти. ^[352]

Комиссия по атомной энергии

В 1955 году фон Нейман стал комиссаром Комиссии по атомной энергии (AEC), которая в то время была самой высокой официальной должностью, доступной ученым в правительстве. ^[353] (Хотя его назначение формально требовало, чтобы он разорвал все свои другие консультационные контракты, ^[354] для фон Неймана было сделано исключение, чтобы продолжить работу с несколькими критически важными военными комитетами после того, как ВВС и несколько ключевых сенаторов выразили обеспокоенность. ^[352] ) Он использовал эту должность для дальнейшего производства компактных водородных бомб, пригодных для доставки межконтинентальными баллистическими ракетами (МБР). Он участвовал в устранении острой нехватки трития и лития-6, необходимых для этого оружия, и выступал против того, чтобы довольствоваться ракетами средней дальности, которые хотела армия. Он был непреклонен в том, что водородные бомбы, доставляемые в глубь вражеской территории с помощью МБР, будут наиболее эффективным возможным оружием, и что относительная неточность ракеты не будет проблемой с водородной бомбой. Он сказал, что русские, вероятно, будут создавать похожую систему оружия, что и оказалось правдой. ^{[355] [356]} Пока Льюис Штраус отсутствовал во второй половине 1955 года, фон Нейман занял пост исполняющего обязанности председателя комиссии. ^[357]

В последние годы перед своей смертью от рака фон Нейман возглавлял сверхсекретный комитет правительства США по МБР, который иногда собирался у него дома. Его целью было принять решение о возможности создания МБР, достаточно большой, чтобы нести термоядерное оружие. Фон Нейман долго утверждал, что, хотя технические препятствия были значительными, их можно было преодолеть. SM-65 Atlas прошла свое первое полностью функциональное испытание в 1959 году, через два года после его смерти. ^[358] Более совершенные ракеты Titan были развернуты в 1962 году. Обе были предложены в комитетах по МБР, которые возглавлял фон Нейман. ^[352] Осуществимость МБР была обусловлена ​​как улучшенными, меньшими боеголовками, не имеющими проблем с наведением или термостойкостью, так и разработками в области ракетной техники, и его понимание первой сделало его советы бесценными. ^{[358] [352]}

Фон Нейман поступил на государственную службу, прежде всего потому, что он чувствовал, что если свобода и цивилизация должны выжить, то это должно произойти потому, что Соединенные Штаты одержат победу над тоталитаризмом, над нацизмом , фашизмом и советским коммунизмом . ^[60] Во время слушаний в сенатском комитете он описал свою политическую идеологию как «яростно антикоммунистическую и гораздо более милитаристскую, чем обычно». ^{[359] [360]}

Личность

Рабочие привычки

Герман Голдстайн прокомментировал способность фон Неймана интуитивно обнаруживать скрытые ошибки и прекрасно помнить старый материал. ^{[361] [362]} Когда у него возникали трудности, он не работал над ними; вместо этого он шел домой и спал, а потом возвращался с решением. ^[363] Этот стиль, «идя по пути наименьшего сопротивления», иногда означал, что он мог пойти по касательной. Это также означало, что если сложность была велика с самого начала, он просто переключался на другую задачу, не пытаясь найти слабые места, из которых он мог бы прорваться. ^[364] Иногда он мог не знать стандартную математическую литературу, обнаруживая, что проще заново извлечь основную информацию, которая ему была нужна, чем гоняться за ссылками. ^[365]

После начала Второй мировой войны он стал чрезвычайно занят как академическими, так и военными обязательствами. Его привычка не записывать доклады или не публиковать результаты ухудшилась. ^[366] Ему было нелегко обсуждать тему формально в письменной форме, если она не была уже зрелой в его уме; если это было не так, он, по его собственным словам, «развивал худшие черты педантизма и неэффективности». ^[367]

Математический диапазон

Математик Жан Дьедонне сказал, что фон Нейман «возможно, был последним представителем некогда процветающей и многочисленной группы великих математиков, которые одинаково хорошо чувствовали себя как дома в чистой и прикладной математике и которые на протяжении всей своей карьеры поддерживали устойчивую производительность в обоих направлениях». ^[160] По словам Дьедонне, его особый гений был в анализе и «комбинаторике», причем комбинаторика понималась в очень широком смысле, который описывал его способность организовывать и аксиомизировать сложные работы, которые ранее, казалось, имели мало связи с математикой. Его стиль в анализе следовал немецкой школе, основанной на основах линейной алгебры и общей топологии . Хотя фон Нейман имел энциклопедическое образование, его диапазон в чистой математике был не таким широким, как у Пуанкаре , Гильберта или даже Вейля : фон Нейман никогда не делал значительных работ в теории чисел , алгебраической топологии , алгебраической геометрии или дифференциальной геометрии . Однако в прикладной математике его работы можно сравнить с работами Гаусса , Коши или Пуанкаре . ^[116]

По словам Вигнера, «никто не знает всей науки, даже фон Нейман. Но что касается математики, он внес вклад во все ее части, за исключением теории чисел и топологии. Это, я думаю, нечто уникальное». ^[368] Халмош отметил, что, хотя фон Нейман знал много математики, наиболее заметные пробелы были в алгебраической топологии и теории чисел; он вспомнил случай, когда фон Нейман не смог распознать топологическое определение тора . [ ^369] Фон Нейман признался Герману Голдстайну, что у него вообще нет способностей к топологии, и он никогда не чувствовал себя комфортно в ней, и Голдстайн позже поднял этот вопрос, сравнивая его с Германом Вейлем , которого он считал более глубоким и широким. ^[363]

В своей биографии фон Неймана Саломон Бохнер писал, что большая часть работ фон Неймана по чистой математике включала в себя конечномерные и бесконечномерные векторные пространства , которые в то время охватывали большую часть общей области математики. Однако он указал, что это все еще не охватывало важную часть математического ландшафта, в частности, все, что касалось геометрии «в глобальном смысле», такие темы, как топология , дифференциальная геометрия и гармонические интегралы , алгебраическая геометрия и другие подобные области. Фон Нейман редко работал в этих областях и, как видел Бохнер, имел к ним мало склонности. ^[129]

В одной из последних статей фон Неймана он сетовал, что чистые математики больше не могут достичь глубоких знаний даже в части этой области. ^[370] В начале 1940-х годов Улам придумал для него экзамен в докторском стиле, чтобы найти слабые места в его знаниях; фон Нейман не смог удовлетворительно ответить на вопросы по дифференциальной геометрии, теории чисел и алгебре. Они пришли к выводу, что докторские экзамены могут иметь «мало постоянного значения». Однако, когда Вейль отклонил предложение написать историю математики 20-го века, утверждая, что никто не может сделать это, Улам подумал, что фон Нейман мог бы стремиться сделать это. ^[371]

Предпочтительные методы решения проблем

Улам заметил, что большинство математиков могли освоить один метод, который затем использовали многократно, тогда как фон Нейман освоил три:

1. Средство символической манипуляции линейными операторами;
2. Интуитивное чувство логической структуры любой новой математической теории;
3. Интуитивное чувство комбинаторной надстройки новых теорий. ^[372]

Хотя его обычно описывали как аналитика, он когда-то считал себя алгебраистом, ^[373] и его стиль часто демонстрировал смесь алгебраической техники и теоретико-множественной интуиции. ^[374] Он любил навязчивые детали и не имел проблем с избыточным повторением или чрезмерно явной нотацией. Примером этого была его работа о кольцах операторов, где он расширил обычную функциональную нотацию до . Однако этот процесс в конечном итоге повторялся несколько раз, где конечным результатом были уравнения, такие как . Статья 1936 года стала известна студентам как «луковица фон Неймана» ^[375], потому что уравнения «нужно было очистить, прежде чем их можно было переварить». В целом, хотя его труды были ясными и мощными, они не были чистыми или элегантными. ^[376] Хотя технически они были мощными, его главной заботой было скорее ясное и жизнеспособное формирование фундаментальных проблем и вопросов науки, а не просто решение математических головоломок. ^[375] ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \phi ((x))}$ ${\displaystyle (\psi ((((a)))))^{2}=\phi ((((a))))}$

По словам Улама, фон Нейман удивил физиков, выполняя размерные оценки и алгебраические вычисления в уме с такой беглостью, которую Улам сравнил с игрой вслепую . По его мнению, фон Нейман анализировал физические ситуации с помощью абстрактной логической дедукции, а не конкретной визуализации. ^[377]

Стиль лекции

Голдстайн сравнивал свои лекции с тем, что они были на стекле, гладкие и ясные. Для сравнения, Голдстайн считал, что его научные статьи были написаны в гораздо более резкой манере и с гораздо меньшим пониманием. ^[64] Халмош описывал свои лекции как «ослепительные», с его ясной, быстрой, точной и всеобъемлющей речью. Как и Голдстайн, он также описывал, как все казалось «таким легким и естественным» на лекциях, но озадачивающим при последующем размышлении. ^[365] Он был быстрым оратором: Банеш Хоффманн обнаружил, что ему очень трудно делать заметки, даже стенографируя , ^[378] а Альберт Такер сказал, что людям часто приходилось задавать фон Нейману вопросы, чтобы замедлить его и обдумать идеи, которые он представлял. Фон Нейман знал об этом и был благодарен своей аудитории, которая говорила ему, когда он говорил слишком быстро. ^[379] Хотя он и тратил время на подготовку к лекциям, он редко использовал записи, вместо этого записывая пункты того, что он будет обсуждать и как долго. ^[365]

Эйдетическая память

Фон Нейман также был известен своей эйдетической памятью , особенно символического рода. Герман Голдстайн пишет:

Одной из его замечательных способностей была его способность к абсолютной памяти. Насколько я мог судить, фон Нейман мог, прочитав однажды книгу или статью, процитировать ее дословно; более того, он мог делать это и годы спустя без колебаний. Он также мог перевести ее с исходного языка на английский, не теряя скорости. Однажды я проверил его способности, попросив его рассказать мне, как началась «Повесть о двух городах» . После чего, без какой-либо паузы, он немедленно начал декламировать первую главу и продолжал, пока его не попросили остановиться примерно через десять или пятнадцать минут. ^[380]

Фон Нейман, как сообщается, мог запоминать страницы телефонных справочников. Он развлекал друзей, прося их называть номера страниц наугад; затем он перечислял имена, адреса и номера, указанные в них. ^{[29] [381]} Станислав Улам считал, что память фон Неймана была слуховой, а не визуальной. ^[382]

Математическая быстрота

Математическая беглость фон Неймана, скорость вычислений и общая способность решать проблемы были широко отмечены его коллегами. Пол Халмош назвал его скорость «впечатляющей». ^[383] Лотар Вольфганг Нордхайм описал его как «самый быстрый ум, который я когда-либо встречал». ^[384] Энрико Ферми сказал физику Герберту Л. Андерсону : «Знаешь, Герб, Джонни может производить вычисления в уме в десять раз быстрее, чем я! И я могу делать их в десять раз быстрее, чем ты, Герб, так что ты можешь видеть, насколько впечатляющ Джонни!» ^[385] Эдвард Теллер признался, что он «никогда не мог угнаться за ним», ^[386] а Израиль Гальперин описал попытки угнаться как езду на «трехколесном велосипеде, преследующем гоночный автомобиль». ^[387]

Он обладал необычной способностью быстро решать новые задачи. Джордж Пойа , лекции которого в ETH Zürich фон Нейман посещал в качестве студента, сказал: «Джонни был единственным студентом, которого я когда-либо боялся. Если в ходе лекции я излагал нерешенную задачу, то, скорее всего, он приходил ко мне в конце лекции с полным решением, нацарапанным на листке бумаги». ^[388] Когда Джордж Данциг принес фон Нейману нерешенную задачу линейного программирования «как я бы сделал это с обычным смертным», по которой не было опубликованной литературы, он был поражен, когда фон Нейман сказал: «О, это!», прежде чем небрежно прочитать лекцию продолжительностью более часа, объяснив, как решить задачу, используя доселе не понятую теорию двойственности . ^[389]

История о встрече фон Неймана со знаменитой головоломкой о мухе ^[390] вошла в математический фольклор . В этой головоломке два велосипеда начинают движение на расстоянии 20 миль друг от друга, и каждый движется навстречу другому со скоростью 10 миль в час, пока не сталкиваются; тем временем муха непрерывно движется вперед и назад между велосипедами со скоростью 15 миль в час, пока не будет раздавлена ​​при столкновении. Спрашивающий спрашивает, какое расстояние пролетела муха в общей сложности; «трюк» для быстрого ответа заключается в том, чтобы понять, что отдельные транзиты мухи не имеют значения, а только то, что она летела со скоростью 15 миль в час в течение одного часа. Как рассказывает Юджин Вигнер , ^[391] Макс Борн задал загадку фон Нейману. Другие ученые, которым он ее задал, кропотливо вычислили расстояние, поэтому, когда фон Нейман немедленно был готов с правильным ответом в 15 миль, Борн заметил, что он, должно быть, догадался об этом трюке. «Какой трюк?» — ответил фон Нейман. «Все, что я сделал, это просуммировал геометрическую прогрессию ». ^[392]

Сомнения в себе

Рота писал, что у фон Неймана были «глубоко укоренившиеся и повторяющиеся сомнения в себе». ^[393] Джон Л. Келли вспоминал в 1989 году, что «Джонни фон Нейман сказал, что его забудут, в то время как Курта Гёделя будут помнить вместе с Пифагором , но все остальные из нас смотрели на Джонни с благоговением». ^[394] Улам предполагает, что некоторые из его сомнений в себе относительно его собственного творчества могли возникнуть из-за того, что он не открыл несколько важных идей, которые были у других, хотя он был более чем способен сделать это, приводя в качестве примеров теоремы о неполноте и точечную эргодическую теорему Биркгофа . Фон Нейман обладал виртуозностью в следовании сложным рассуждениям и имел высшие прозрения, однако он, возможно, чувствовал, что у него нет дара для, казалось бы, иррациональных доказательств и теорем или интуитивных прозрений. Улам описывает, как во время одного из своих пребываний в Принстоне, когда фон Нейман работал над кольцами операторов, непрерывной геометрией и квантовой логикой, он чувствовал, что фон Нейман не был убежден в важности его работы, и только когда он находил какой-то гениальный технический трюк или новый подход, он получал от этого некоторое удовольствие. ^[395] Однако, по словам Роты, фон Нейман все еще обладал «несравненно более сильной техникой» по сравнению со своим другом, несмотря на то, что он описывал Улама как более креативного математика. ^[393]

Наследие

Почести

Лауреат Нобелевской премии Ганс Бете сказал: «Иногда я задавался вопросом, не указывает ли мозг, подобный мозгу фон Неймана, на вид, превосходящий человеческий». ^[29] Эдвард Теллер заметил: «фон Нейман вел беседу с моим трехлетним сыном, и они говорили на равных, и я иногда задавался вопросом, использовал ли он тот же принцип, когда разговаривал с остальными из нас». ^[396] Питер Лакс писал: «Фон Нейман был склонен к размышлениям, и в частности к размышлениям о математике». ^[366] Юджин Вигнер сказал: «Он понимал математические проблемы не только в их изначальном аспекте, но и во всей их сложности». ^[397] Клод Шеннон назвал его «самым умным человеком, которого я когда-либо встречал», что было общим мнением. ^[398] Якоб Броновски писал: «Он был самым умным человеком, которого я когда-либо знал, без исключения. Он был гением». ^[399]

«По-видимому, справедливо будет сказать, что если влияние ученого толковать достаточно широко, чтобы включить воздействие на области за пределами собственно науки, то Джон фон Нейман был, вероятно, самым влиятельным математиком, который когда-либо жил», — писал Миклош Редей . ^[400] Питер Лакс прокомментировал, что фон Нейман получил бы Нобелевскую премию по экономике, если бы прожил дольше, и что «если бы существовали Нобелевские премии по информатике и математике, он был бы удостоен и их». ^[401] Рота пишет, что «он был первым, кто увидел безграничные возможности вычислений, и он был полон решимости собрать значительные интеллектуальные и инженерные ресурсы, которые привели к созданию первого большого компьютера», и, следовательно, «ни один другой математик в этом столетии не оказал столь глубокого и продолжительного влияния на ход цивилизации». ^[402] Его широко считают одним из величайших и наиболее влиятельных математиков и ученых 20-го века. ^[403]

Нейрофизиолог Леон Хармон описал его похожим образом, назвав его единственным «истинным гением», которого он когда-либо встречал: «Ум фон Неймана был всеобъемлющим. Он мог решать проблемы в любой области. ... И его ум всегда работал, всегда был беспокойным». ^[404] Во время консультирования по неакадемическим проектам сочетание выдающихся научных способностей и практичности фон Неймана давало ему высокий авторитет среди военных офицеров, инженеров и промышленников, с которым не мог сравниться ни один другой ученый. В ядерной ракетной технике он считался «явно доминирующей консультативной фигурой», по словам Герберта Йорка . ^[405] Экономист Николас Калдор сказал, что он был «несомненно самым близким к гению, с которым я когда-либо сталкивался». ^[268] Аналогично, Пол Самуэльсон писал: «Мы, экономисты, благодарны за гениальность фон Неймана. Не нам вычислять, был ли он Гауссом , Пуанкаре или Гильбертом . Он был несравненным Джонни фон Нейманом. Он ненадолго ворвался в нашу сферу, и с тех пор она уже никогда не была прежней». ^[406]

Почести и награды

Кратер фон Неймана на обратной стороне Луны

Мероприятия и награды, названные в знак признания заслуг фон Неймана, включают ежегодную премию Джона фон Неймана по теории Института исследований операций и управленческих наук , ^[407] медаль Джона фон Неймана IEEE , ^[408] и премию Джона фон Неймана Общества промышленной и прикладной математики . ^[409] И кратер фон Неймана на Луне ^[410] , и астероид 22824 фон Неймана названы в его честь. ^{[411] [412]}

Фон Нейман получил награды, включая Медаль за заслуги в 1947 году, Медаль Свободы в 1956 году ^[413] и Премию Энрико Ферми также в 1956 году. Он был избран членом нескольких почетных обществ, включая Американскую академию искусств и наук и Национальную академию наук , и имел восемь почетных докторских степеней. ^{[414] [415] [416]} 4 мая 2005 года Почтовая служба Соединенных Штатов выпустила серию памятных почтовых марок «Американские ученые» , разработанную художником Виктором Стабиным . На марке были изображены фон Нейман, Барбара МакКлинток , Джозайя Уиллард Гиббс и Ричард Фейнман . ^[417]

Университет Джона фон Неймана  [ ху ] был основан в Кечкемете , Венгрия, в 2016 году как преемник Кечкеметского колледжа. ^[418]

Избранные произведения

Первой опубликованной работой фон Неймана была работа «О положении нулей некоторых минимальных многочленов» , написанная в соавторстве с Михаэлем Фекете и опубликованная, когда фон Нейману было 18 лет. В 19 лет была опубликована его сольная работа « О введении трансфинитных чисел» . ^[419] Он расширил свою вторую сольную работу «Аксиоматизация теории множеств» , чтобы создать докторскую диссертацию. ^[420] Его первая книга «Математические основы квантовой механики » была опубликована в 1932 году . ^[421] После этого фон Нейман перешел от публикации на немецком языке к публикации на английском языке, и его публикации стали более избирательными и вышли за рамки чистой математики. Его «Теория детонационных волн» 1942 года способствовала военным исследованиям, ^[422] его работа по вычислениям началась с неопубликованной работы 1946 года «О принципах крупномасштабных вычислительных машин» , а его публикации по прогнозированию погоды начались с работы 1950 года «Численное интегрирование уравнения баротропной вихревости » . ^[423] Наряду с его более поздними работами были неофициальные эссе, ориентированные на коллег и широкую общественность, такие как его работа 1947 года «Математик» , ^[424] описанная как «прощание с чистой математикой», и его работа 1955 года «Можем ли мы выжить, технология?» , в которой рассматривалось мрачное будущее, включая ядерную войну и преднамеренное изменение климата. ^[425] Его полное собрание сочинений было собрано в шеститомный сборник. ^[419]

Смотрите также

• Список пионеров в области компьютерных наук
• Комитет чайников
• МАНЬЯК , книга 2023 года о фон Неймане
• Немецкий : Abenteuer eines Mathematikers (английское название: Приключения математика ), биографический фильм о Станиславе Уламе, в котором также участвует Джон фон Нейман.

Примечания

1. Дайсон 2012, стр. 48.
2. Израиль, Джорджио [на итальянском] ; Гаска, Ана Миллан (2009). Мир как математическая игра: Джон фон Нейман и наука двадцатого века. Научные сети. Исторические исследования. Том 38. Базель: Birkhäuser. стр. 14. doi :10.1007/978-3-7643-9896-5. ISBN 978-3-7643-9896-5. OCLC  318641638.
3. Голдстайн 1980, стр. 169.
4. Halperin, Israel . "Необычайное вдохновение Джона фон Неймана". В Glimm, Impagliazzo & Singer (1990), стр. 16.
5. Хотя научным руководителем диссертации Израиля Гальперина часто называют Саломона Бохнера , это может быть связано с тем, что «профессора в университете руководят докторскими диссертациями, а в институте — нет. Не зная об этом, в 1934 году я спросил фон Неймана, будет ли он руководить моей докторской диссертацией. Он ответил «Да». ^[4]
6. Джон фон Нейман в проекте «Генеалогия математики» . Получено 17 марта 2015 г.
7. Сантон 1992, стр. 130.
8. Демпстер, MAH (февраль 2011 г.). «Бенуа Б. Мандельброт (1924–2010): отец количественных финансов» (PDF) . Количественные финансы . 11 (2): 155–156. doi :10.1080/14697688.2011.552332. S2CID  154802171.
9. Редеи 1999, стр. 7.
10. Макрей 1992.
11. Аспрей 1990, стр. 246.
12. Шиэн 2010.
13. Доран, Роберт С.; Кадисон , Ричард В. , ред. (2004). Операторные алгебры, квантование и некоммутативная геометрия: празднование столетия в честь Джона фон Неймана и Маршалла Х. Стоуна. Вашингтон, округ Колумбия: Американское математическое общество. стр. 1. ISBN 978-0-8218-3402-2.
14. Myhrvold, Nathan (21 марта 1999 г.). "Джон фон Нейман". Time . Архивировано из оригинала 2001-02-11.
15. Блэр 1957, стр. 104.
16. Бхаттачарья 2022, стр. 4.
17. Дайсон 1998, стр. xxi.
18. Макрэ 1992, стр. 38–42.
19. Макрэ 1992, стр. 37–38.
20. Макрэ 1992, стр. 39.
21. Макрэ 1992, стр. 44–45.
22. "Нейман де Маргитта Микса и венгерский Желзалог-Хительбанк igazgatója n: Канн Маргит гы: Янош-Лайош, Михай-Йожеф, Миклош-Агост | Libri Regii | Hungaricana" . archives.hungaricana.hu (на венгерском языке) . Проверено 8 августа 2022 г.
23. Macrae 1992, стр. 57–58.
24. Хендерсон, Гарри (2007). Математика: мощные закономерности в природе и обществе . Нью-Йорк: Chelsea House. стр. 30. ISBN 978-0-8160-5750-4. OCLC  840438801.
25. Шнайдер, Герстинг и Бринкман 2015, стр. 28.
26. Митчелл, Мелани (2009). Сложность: Экскурсия . Oxford University Press. стр. 124. ISBN 978-0-19-512441-5. OCLC  216938473.
27. Макрэ 1992, стр. 46–47.
28. Halmos 1973, стр. 383.
29. Blair 1957, стр. 90.
30. Макрэ 1992, стр. 52.
31. Аспрей 1990.
32. Macrae 1992, стр. 70–71.
33. Nasar, Sylvia (2001). A Beautiful Mind: a Biography of John Forbes Nash, Jr., Winner of the Nobel Prize in Economics, 1994. London: Simon & Schuster. p. 81. ISBN 978-0-7432-2457-4.
34. Макрэ 1992, стр. 84.
35. фон Карман Т. и Эдсон Л. (1967). Ветер и не только. Литтл, Браун и компания.
36. Макрэ 1992, стр. 85–87.
37. Макрэ 1992, стр. 97.
38. Regis, Ed (8 ноября 1992 г.). «Джонни трясет планету». The New York Times . Получено 2008-02-04 .
39. фон Нейман, Дж. (1928). «Аксиоматика Менгенлера». Mathematische Zeitschrift (на немецком языке). 27 (1): 669–752. дои : 10.1007/BF01171122. ISSN  0025-5874. S2CID  123492324.
40. Макрэ 1992, стр. 86–87.
41. Вигнер, Юджин (2001). «Джон фон Нейман (1903–1957)». В Mehra, Jagdish (ред.). Собрание сочинений Юджина Пауля Вигнера: исторические, философские и социально-политические статьи. Исторические и биографические размышления и синтезы . Берлин: Springer. стр. 128. doi :10.1007/978-3-662-07791-7. ISBN 978-3-662-07791-7.
42. Паис 2000, стр. 187.
43. Макрэ 1992, стр. 98–99.
44. Weyl, Hermann (2012). Pesic, Peter (ред.). Уровни бесконечности: избранные труды по математике и философии (1-е изд.). Dover Publications. стр. 55. ISBN 978-0-486-48903-2.
45. Хашаген, Ульф [на немецком языке] (2010). «Die Habilitation von John von Neumann an der Friedrich-Wilhelms-Universität в Берлине: Urteile über einen ungarisch-jüdischen Mathematiker in Deutschland im Jahr 1927». История математики . 37 (2): 242–280. дои : 10.1016/j.hm.2009.04.002 .
46. Диманд, Мэри Энн; Диманд, Роберт (2002). История теории игр: от истоков до 1945 года. Лондон: Routledge. С. 129. ISBN 9781138006607.
47. Макрэ 1992, стр. 145.
48. Макрэ 1992, стр. 143–144.
49. Macrae 1992, стр. 155–157.
50. Бохнер 1958, стр. 446.
51. "Марина Уитман". Школа государственной политики имени Джеральда Р. Форда при Мичиганском университете. 18 июля 2014 г. Получено 05.01.2015 .
52. "Профессор Принстона разводится с женой здесь". Nevada State Journal . 3 ноября 1937 г.
53. Хеймс 1980, стр. 178.
54. Макрэ 1992, стр. 170–174.
55. Макрэ 1992, стр. 167–168.
56. Макрэ 1992, стр. 195–196.
57. Макрэ 1992, стр. 190–195.
58. Макрэ 1992, стр. 170–171.
59. Реджис, Эд (1987). Кто получил кабинет Эйнштейна?: Эксцентричность и гениальность в Институте перспективных исследований. Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley. стр. 103. ISBN 978-0-201-12065-3. OCLC  15548856.
60. "Conversation with Marina Whitman". Gray Watson (256.com). Архивировано из оригинала 2011-04-28 . Получено 2011-01-30 .
61. Макрэ 1992, стр. 48.
62. Blair 1957, стр. 94.
63. Эйзенхарт, Черчилль (1984). «Интервью Стенограмма № 9 — Проект устной истории» (PDF) (Интервью). Интервью взято Уильямом Эпсреем. Нью-Джерси: Принстонский математический факультет. стр. 7. Получено 03.04.2022 .
64. Goldstine 1985, стр. 7.
65. ДеГрут, Моррис Х. (1989). «Беседа с Дэвидом Блэквеллом». В Дьюрен, Питер (ред.). Столетие математики в Америке: Часть III . Американское математическое общество. стр. 592. ISBN 0-8218-0136-8.
66. Сантон 1992, стр. 227.
67. фон Нейман Уитман, Марина . "Джон фон Нейман: Личный взгляд". В Glimm, Impagliazzo & Singer (1990), стр. 2.
68. Йорк 1971, стр. 18.
69. Паис 2006, стр. 108.
70. Улам 1976, стр. 231–232.
71. Улам 1958, стр. 5–6.
72. Сантон 1992, стр. 277.
73. Блэр 1957, стр. 93.
74. Улам 1976, стр. 97, 102, 244–245.
75. Рота, Джан-Карло (1989). «Потерянное кафе». В Купер, Несия Грант; Экхардт, Роджер; Шера, Нэнси (ред.). От кардиналов к хаосу: размышления о жизни и наследии Станислава Улама . Cambridge University Press. стр. 23–32. ISBN 978-0-521-36734-9. OCLC  18290810.
76. Макрэ 1992, стр. 75.
77. Улам 1958, стр. 4–6.
78. В то время как Макрей указывает на панкреатическое происхождение, статья в журнале Life говорит, что это была простата. Книга Шихана указывает на яичко.
79. Вейсдал, Йорген (11 ноября 2019 г.). «Непревзойденный гений Джона фон Неймана». Середина . Проверено 19 ноября 2019 г.
80. Якобсен 2015, стр. 62.
81. Паундстоун, Уильям (1993). Дилемма заключенного: Джон фон Нейман, теория игр и загадка бомбы . Random House Digital. стр. 194. ISBN 978-0-385-41580-4.
82. Халмош 1973, стр. 383, 394.
83. Якобсен 2015, стр. 63.
84. Рид, Колин (2012). Теоретики портфеля: фон Нейман, Сэвидж, Эрроу и Марковиц. Великие умы в финансах. Palgrave Macmillan. стр. 65. ISBN 978-0230274143. Получено 29.09.2017 . Когда фон Нейман понял, что он неизлечимо болен, его логика заставила его осознать, что он перестанет существовать... [судьба], которая казалась ему неизбежной, но неприемлемой.
85. Макрей 1992, стр. 379"
86. Аюб, Рэймонд Джордж (2004). Musings Of The Masters: An Anthology Of Mathematical Reflections . Вашингтон, округ Колумбия: MAA. стр. 170. ISBN 978-0-88385-549-2. OCLC  56537093.
87. Макрэ 1992, стр. 380.
88. «Пресвитерианская церковь Нассау».
89. Макрэ 1992, стр. 104–105.
90. Ван Хейеноорт, Жан (1967). От Фреге до Гёделя: первоисточник по математической логике, 1879–1931 . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-32450-3. OCLC  523838.
91. Муравски 2010, стр. 196.
92. фон Нейман, Дж. (1929), «Zur allgemeinen Theorie des Masses» [Об общей теории массы] (PDF) , Fundamenta Mathematicae (на немецком языке), 13 : 73–116, doi : 10.4064/fm-13- 1-73-116
93. Улам 1958, стр. 14–15.
94. Von Plato, Jan (2018). «Развитие теории доказательств». В Zalta, Edward N. (ред.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (зимнее издание 2018 г.). Stanford University . Получено 25 сентября 2023 г.
95. ван дер Варден, BL (1975). «Об источниках моей книги «Современная алгебра». История математики . 2 (1): 31–40. дои : 10.1016/0315-0860(75)90034-8 .
96. Нойманн, СП (1927). «Zur Hilbertschen Beweistheorie». Mathematische Zeitschrift (на немецком языке). 24 : 1–46. дои : 10.1007/BF01475439. S2CID  122617390.
97. Муравски 2010, стр. 204–206.
98. Rédei 2005, стр. 123.
99. Платон 2018, стр. 4080.
100. Доусон, Джон В. младший (1997). Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя . Уэллсли, Массачусетс: AK Peters. стр. 70. ISBN 978-1-56881-256-4.
101. фон Платон 2018, стр. 4083–4088.
102. фон Платон 2020, стр. 24–28.
103. Редеи 2005, стр. 124.
104. Платон 2020, стр. 22.
105. Sieg, Wilfried (2013). Программы Гильберта и не только. Oxford University Press. стр. 149. ISBN 978-0195372229.
106. Муравски 2010, стр. 209.
107. Хопф, Эберхард (1939). «Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negater Krümmung». Лейпциг Бер. Верхандл. Сакс. Акад. Висс. (на немецком языке). 91 : 261–304.
     Две из этих статей:
     фон Нейман, Джон (1932). «Доказательство квазиэргодической гипотезы». Proc Natl Acad Sci USA . 18 (1): 70–82. Bibcode : 1932PNAS...18...70N . doi : 10.1073/pnas.18.1.70 . PMC  1076162. PMID  16577432 .

     фон Нейман, Джон (1932). «Физические приложения эргодической гипотезы». Proc Natl Acad Sci USA . 18 (3): 263–266. Bibcode : 1932PNAS...18..263N. doi : 10.1073/pnas.18.3.263 . JSTOR  86260. PMC  1076204. PMID  16587674 ..

108. Халмош 1958, стр. 93.
109. Халмош 1958, стр. 91.
110. Mackey, George W. «Фон Нейман и ранние дни эргодической теории». В Glimm, Impagliazzo & Singer (1990), стр. 27–30.
111. Орнштейн, Дональд С. «Фон Нейман и эргодическая теория». В Glimm, Impagliazzo & Singer (1990), стр. 39.
112. Халмош 1958, стр. 86.
113. Халмош 1958, стр. 87.
114. Питч 2007, стр. 168.
115. Халмош 1958, стр. 88.
116. Дьедонне 2008.
117. Ионеску-Тулча, Александра ; Ионеску-Тулча, Кассий (1969). Темы теории лифтинга. Шпрингер-Верлаг Берлин Гейдельберг. п. В. ISBN 978-3-642-88509-9.
118. Халмош 1958, стр. 89.
119. Нейман, Дж. ф. (1940). «О кольцах операторов. III». Annals of Mathematics . 41 (1): 94–161. doi :10.2307/1968823. JSTOR  1968823.
120. Халмош 1958, стр. 90.
121. Нейман, Джон фон (1950). Функциональные операторы, том 1: Меры и интегралы. Princeton University Press. ISBN 9780691079660.
122. фон Нейман, Джон (1999). Инвариантные меры. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-0912-9.
123. фон Нейман, Джон (1934). «Почти периодические функции в группе. I». Труды Американского математического общества . 36 (3): 445–492. doi :10.2307/1989792. JSTOR  1989792.
124. фон Нейман, Джон; Бохнер, Саломон (1935). «Почти периодические функции в группах, II». Труды Американского математического общества . 37 (1): 21–50. doi :10.2307/1989694. JSTOR  1989694.
125. "AMS Bôcher Prize". AMS. 5 января 2016 г. Получено 12 января 2018 г.
126. Бохнер 1958, стр. 440.
127. фон Нейман, Дж. (1933). «Аналитический параметр Die Einfuhrung Analytischer в топологических группах». Анналы математики . 2 (на немецком языке). 34 (1): 170–190. дои : 10.2307/1968347. JSTOR  1968347.
128. против Неймана, Дж. (1929). «Über die analytischen Eigenschaften von Gruppen Lineer Transformationen und Ihrer Darstellungen». Mathematische Zeitschrift (на немецком языке). 30 (1): 3–42. дои : 10.1007/BF01187749. S2CID  122565679.
129. Bochner 1958, стр. 441.
130. Питч 2007, стр. 11.
131. Дьедонне 1981, стр. 172.
132. Питч 2007, стр. 14.
133. Дьедонне 1981, стр. 211, 218.
134. Питш 2007, стр. 58, 65–66.
135. Steen, LA (апрель 1973 г.). «Основные моменты истории спектральной теории». The American Mathematical Monthly . 80 (4): 359–381, в особенности 370–373. doi :10.1080/00029890.1973.11993292. JSTOR  2319079.
136. Питч, Альбрехт [на немецком языке] (2014). «Следы операторов и их история». Acta et Commentationes Universitatis Tartuensis de Mathematica . 18 (1): 51–64. дои : 10.12697/ACUTM.2014.18.06 .
137. Лорд, Сукочев и Занин 2012, с. 1.
138. Дьедонне 1981, стр. 175–176, 178–179, 181, 183.
139. Питч 2007, стр. 202.
140. Кар, Пурушоттам; Карник, Хариш (2013). «О трансляционно-инвариантных ядрах и винтовых функциях». стр. 2. arXiv : 1302.4343 [math.FA].
141. Alpay, Daniel; Levanony, David (2008). «О воспроизводящих ядрах гильбертовых пространств, связанных с дробными и бидробными броуновскими движениями». Potential Analysis . 28 (2): 163–184. arXiv : 0705.2863 . doi : 10.1007/s11118-007-9070-4. S2CID  15895847.
142. Хорн и Джонсон 2013, стр. 320.
143. Хорн и Джонсон 2013, стр. 458.
144. Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1991). Темы анализа матриц. Cambridge University Press. стр. 139. ISBN 0-521-30587-X.
145. Хорн и Джонсон 2013, стр. 335.
146. Бхатия, Раджендра (1997). Матричный анализ. Graduate Texts in Mathematics. Т. 169. Нью-Йорк: Springer. С. 109. doi : 10.1007/978-1-4612-0653-8. ISBN 978-1-4612-0653-8.
147. Лорд, Сукочев и Занин 2021, с. 73.
148. Prochnoa, Joscha; Strzelecki, Michał (2022). «Аппроксимация, числа Гельфанда и Колмогорова вложений классов Шаттена». Журнал теории аппроксимации . 277 : 105736. arXiv : 2103.13050 . doi : 10.1016/j.jat.2022.105736. S2CID  232335769.
149. "Ядерный оператор". Энциклопедия математики. Архивировано из оригинала 2021-06-23 . Получено 2022-08-07 .
150. Питч 2007, стр. 372.
151. Питч 2014, стр. 54.
152. Лорд, Сукочев и Занин 2012, с. 73.
153. Лорд, Сукочев и Занин 2021, с. 26.
154. Питч 2007, стр. 272.
155. Питч 2007, стр. 272, 338.
156. Питч 2007, стр. 140.
157. Мюррей, Фрэнсис Дж. «Кольца операторов». В Glimm, Impagliazzo & Singer (1990), стр. 57–59.
158. Петц, Д .; Редеи, М. Р. «Джон фон Нейман и теория операторных алгебр». В Brody & Vámos (1995), стр. 163–181.
159. "Алгебры фон Неймана" (PDF) . Принстонский университет . Получено 2016-01-06 .
160. Dieudonné 2008, стр. 90.
161. Питч 2007, стр. 151.
162. Питч 2007, стр. 146.
163. "Прямые интегралы гильбертовых пространств и алгебр фон Неймана" (PDF) . Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе. Архивировано из оригинала (PDF) 2015-07-02 . Получено 2016-01-06 .
164. Сигал 1965.
165. Кадисон, Ричард В. «Операторные алгебры — обзор». В Glimm, Impagliazzo & Singer (1990), стр. 65,71,74.
166. Питч 2007, стр. 148.
167. Биркгоф 1958, стр. 50.
168. Лашхи, АА (1995). "Общие геометрические решетки и проективная геометрия модулей". Журнал математических наук . 74 (3): 1044–1077. doi : 10.1007/BF02362832 . S2CID  120897087.
169. фон Нейман, Джон (1936). «Примеры непрерывных геометрий». Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 22 (2): 101–108. Bibcode :1936PNAS...22..101N. doi : 10.1073/pnas.22.2.101 . JFM  62.0648.03. JSTOR  86391. PMC 1076713 . PMID  16588050. 
     фон Нейман, Джон (1998) [1960]. «Непрерывная геометрия». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . Princeton Landmarks in Mathematics. 22 (2). Princeton University Press : 92–100. doi : 10.1073/pnas.22.2.92 . ISBN 978-0-691-05893-1. MR  0120174. PMC  1076712 . PMID  16588062.
     фон Нейман, Джон (1962). Тауб, AH (ред.). Собрание сочинений. Том IV: Непрерывная геометрия и другие темы. Оксфорд: Pergamon Press. MR  0157874.

     фон Нейман, Джон (1981) [1937]. Гальперин, Израиль (ред.). "Непрерывные геометрии с вероятностью перехода". Мемуары Американского математического общества . 34 (252). doi :10.1090/memo/0252. ISBN 978-0-8218-2252-4. ISSN  0065-9266. MR  0634656.

170. Макрэ 1992, стр. 140.
171. фон Нейман, Джон (1930). «Алгебра функциональных операций и теория нормальных операторов». Mathematische Annalen (на немецком языке). 102 (1): 370–427. Бибкод : 1930MatAn.102..685E. дои : 10.1007/BF01782352. S2CID  121141866.. Оригинальная статья об алгебрах фон Неймана.
172. Биркгоф 1958, стр. 50–51.
173. Биркгоф 1958, стр. 51.
174. Верунг, Фридрих (2006). «Координация фон Неймана не является первопорядковой». Журнал математической логики . 6 (1): 1–24. arXiv : math/0409250 . doi :10.1142/S0219061306000499. S2CID  39438451.
175. Birkhoff 1958, стр. 52.
176. Гудэрл, Кен Р. (1979). Регулярные кольца фон Неймана . Pitman Publishing. стр. ix. ISBN 0-273-08400-3.
177. Гудэрл, Кен Р. (1981). «Регулярные кольца фон Неймана: связи с функциональным анализом». Бюллетень Американского математического общества . 4 (2): 125–134. doi : 10.1090/S0273-0979-1981-14865-5 .
178. Биркгоф 1958, стр. 52–53.
179. Биркгоф 1958, стр. 55–56.
180. фон Нейман, Джон (1941). «Распределение отношения среднего квадрата последовательной разности к дисперсии». Annals of Mathematical Statistics . 12 (4): 367–395. doi : 10.1214/aoms/1177731677 . JSTOR  2235951.
181. Дурбин, Дж.; Уотсон, Г. С. (1950). «Тестирование последовательной корреляции в регрессии наименьших квадратов, I». Biometrika . 37 (3–4): 409–428. doi :10.2307/2332391. JSTOR  2332391. PMID  14801065.
182. Сарган, Дж. Д.; Бхаргава, Алок (1983). «Проверка остатков из регрессии наименьших квадратов на предмет их генерации случайным блужданием Гаусса». Econometrica . 51 (1): 153–174. doi :10.2307/1912252. JSTOR  1912252.
183. Редей, Ласло (1959). «Нейман Янош Мункассага из алгебры - это загадка». Математикай Лапок (на венгерском языке). 10 : 226–230.
184. фон Нейман, Дж. (1925). «Egyenletesen sürü szämsorozatok (Gleichmässig dichte Zahlenfolgen)». Мат. Физ. Лапок . 32 : 32–40.
185. Карбоне, Ингрид; Вольчич, Алёша (2011). «Теорема фон Неймана для равномерно распределённых последовательностей разбиений». Rend. Circ. Mat. Палермо . 60 (1–2): 83–88. arXiv : 0901.2531 . doi :10.1007/s12215-011-0030-x. S2CID  7270857.
186. Нидеррайтер, Харальд (1975). «Теоремы о перестановке последовательностей». Астериск . 24–25: 243–261.
187. фон Нейман, Дж. (1926). «Zur Prüferschen Theorie der Idealen Zahlen». Акта Сегед . 2 : 193–227. ЖФМ  52.0151.02.
188. Улам 1958, стр. 9–10.
189. Наркевич, Владислав (2004). Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел . Springer Monographs in Mathematics (3-е изд.). Springer. стр. 120. doi :10.1007/978-3-662-07001-7. ISBN 978-3-662-07001-7.
     Наркевич, Владислав (2018). История алгебраических чисел в первой половине 20-го века: от Гильберта до Тейта . Springer Monographs in Mathematics. Springer. стр. 144. doi :10.1007/978-3-030-03754-3. ISBN 978-3-030-03754-3.
190. ван Данциг, Д. (1936). «Вселенные или p-adiques с введением в топологическую алгебру». Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure (на французском языке). 53 : 282–283. дои : 10.24033/asens.858 .
191. Уорнер, Сет (1993). Топологические кольца. Северный Голливуд. стр. 428. ISBN 9780080872896.
192. фон Нейман, Дж. (1928). «Die Zerlegung eines Intervalles in abzählbar viele congruente Teilmengen». Фундамента Математика . 11 (1): 230–238. дои : 10.4064/fm-11-1-230-238 . ЖФМ  54.0096.03.
193. Вагон и Томкович 2016, с. 73.
194. Дайсон 2013, стр. 156.
195. Харцхейм, Эгберт (2008). «Построение подмножеств вещественных чисел, имеющих разложение по сходству». Заказ . 25 (2): 79–83. doi :10.1007/s11083-008-9079-3. S2CID  45005704.
196. фон Нейман, Дж. (1928). «Алгебраическая система алгебраических исследований». Математические Аннален . 99 : 134–141. дои : 10.1007/BF01459089. ЯФМ  54.0096.02. S2CID  119788605.
197. Кёйпер, Ф.; Попкен, Ян (1962). «О так называемых числах фон Неймана». Indagationes Mathematicae (Proceedings) . 65 : 385–390. doi : 10.1016/S1385-7258(62)50037-1 .
198. Мисельский, Ян (1964). «Независимые множества в топологических алгебрах». Фундамента Математика . 55 (2): 139–147. дои : 10.4064/fm-55-2-139-147 .
199. Вагон и Томкович 2016, с. 114.
200. фон Нейман, Дж. (1930). «Über einen Hilfssatz der Variationsrechnung». Абхандлунген Гамбург . 8 : 28–31. ЖФМ  56.0440.04.
201. Миранда, Марио (1997). «Принципы максимума и минимальные поверхности». Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze . 4, 25 (3–4): 667–681.
202. Гилбарг, Дэвид ; Трудингер, Нил С. (2001). Эллиптические уравнения с частными производными второго порядка (2-е изд.). Springer. стр. 316. doi :10.1007/978-3-642-61798-0. ISBN 978-3-642-61798-0.
203. Ладыженская, Ольга А. ; Уральцева, Нина Н. (1968). Линейные и квазилинейные эллиптические уравнения . Academic Press. С. 14, 243. ISBN 978-1483253329.
204. фон Нейман, Дж. (1929). «Zum Beweise des Minkowskischen Stazes über Linearformen». Mathematische Zeitschrift . 30 : 1–2. дои : 10.1007/BF01187748. ЖФМ  55.0065.04. S2CID  123066944.
205. Коксма, Дж. Ф. (1936). Diophantische Approximationen (на немецком языке). Спрингер. п. 15. дои : 10.1007/978-3-642-65618-7. ISBN 978-3-642-65618-7.
206. Улам 1958, стр. 10, 23.
207. Баез, Джон . "State-Observable Duality (Part 2)". Кафе n-Category . Получено 20 августа 2022 г.
208. Маккриммон, Кевин (2004). Вкус йордановых алгебр. Universitext. Нью-Йорк: Springer. стр. 68. doi :10.1007/b97489. ISBN 978-0-387-21796-3.
209. Редеи, Миклош (1996). «Почему Джон фон Нейман не любил формализм Гильбертова пространства квантовой механики (и что ему нравилось вместо этого)». Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 27 (4): 493–510. Bibcode :1996SHPMP..27..493R. doi :10.1016/S1355-2198(96)00017-2.
210. Ван, Шучжоу; Ван, Чжэньхуа (2021). «Операторные средства в JB-алгебрах». Отчеты по математической физике . 88 (3): 383. arXiv : 2012.13127 . Bibcode :2021RpMP...88..383W. doi :10.1016/S0034-4877(21)00087-2. S2CID  229371549.
211. Ландсман, Николаас П. (2009). «Алгебраическая квантовая механика». В Гринбергере, Дэниел ; Хентшель, Клаус ; Вайнерт, Фридель (ред.). Сборник квантовой физики: концепции, эксперименты, история и философия . Спрингер. стр. 6–7. дои : 10.1007/978-3-540-70626-7. ISBN 978-3-540-70626-7.
212. Кронц, Фред; Люфер, Трейси (2021). «Квантовая теория и математическая строгость». В Zalta, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (зимнее изд. 2021 г.). Стэнфордский университет . Получено 21 декабря 2022 г.
213. Van Hove, Léon (1958). «Вклад фон Неймана в квантовую теорию». Бюллетень Американского математического общества . 64 (3): 95–99. doi : 10.1090/s0002-9904-1958-10206-2 .
214. Macrae 1992, стр. 139–141.
215. Германн, Грета (1935). «Die naturphilosophischen Grundlagen der Quantenmechanik». Naturwissenschaften . 23 (42): 718–721. Бибкод : 1935NW.....23..718H. дои : 10.1007/BF01491142. S2CID  40898258.Перевод на английский язык в Hermann, Grete (2016). Crull, Elise; Bacciagaluppi, Guido (ред.). Grete Hermann — Between physics and philosophy . Springer. стр. 239–278.
216. Белл, Джон С. (1966). «О проблеме скрытых переменных в квантовой механике». Reviews of Modern Physics . 38 (3): 447–452. Bibcode : 1966RvMP...38..447B. doi : 10.1103/RevModPhys.38.447. OSTI  1444158.
217. Баб, Джеффри (2010). «Доказательство фон Неймана «отсутствие скрытых переменных»: переоценка». Основы физики . 40 (9–10): 1333–1340. arXiv : 1006.0499 . Bibcode :2010FoPh...40.1333B. doi :10.1007/s10701-010-9480-9. S2CID  118595119.
218. Mermin, N. David ; Schack, Rüdiger (2018). «Гомер кивнул: удивительная оплошность фон Неймана». Foundations of Physics . 48 (9): 1007–1020. arXiv : 1805.10311 . Bibcode :2018FoPh...48.1007M. doi :10.1007/s10701-018-0197-5. S2CID  118951033.
219. Перес, Эшер (1992). «Экспериментальная проверка теоремы Глисона». Physics Letters A. 163 ( 4): 243–245. Bibcode : 1992PhLA..163..243P. doi : 10.1016/0375-9601(92)91005-C.
220. Фрейре, Оливал-младший (2006). «Философия входит в оптическую лабораторию: теорема Белла и ее первые экспериментальные проверки (1965–1982)». Исследования по истории и философии современной физики . 37 (4): 577–616. arXiv : physics/0508180 . Bibcode :2006SHPMP..37..577F. doi :10.1016/j.shpsb.2005.12.003. S2CID  13503517.
221. Stacey, BC (2016). «Фон Нейман не был квантовым байесовцем». Philosophical Transactions of the Royal Society A. 374 ( 2068): 20150235. arXiv : 1412.2409 . Bibcode : 2016RSPTA.37450235S. doi : 10.1098/rsta.2015.0235. PMID  27091166. S2CID  16829387.
222. Вигнер, Юджин ; Маргенау, Генри (декабрь 1967 г.). «Замечания по вопросу разума и тела в симметриях и отражениях, научные эссе». Американский журнал физики . 35 (12): 1169–1170. Bibcode : 1967AmJPh..35.1169W. doi : 10.1119/1.1973829.
223. Шлосшауэр, М.; Коэр, Дж.; Цайлингер, А. (2013). «Краткий обзор основополагающих взглядов на квантовую механику». Исследования по истории и философии науки, часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 44 (3): 222–230. arXiv : 1301.1069 . Bibcode :2013SHPMP..44..222S. doi :10.1016/j.shpsb.2013.04.004. S2CID  55537196.
224. Wightman, AS (1976). "Шестая проблема Гильберта: математическая трактовка аксиом физики". В Browder, Felix E. (ред.). Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта. Американское математическое общество. стр. 157–158. ISBN 978-0821814284.
225. Кац, Рота и Шварц 2008, стр. 168.
226. Редеи 2005, стр. 21, 151–152, 194.
227. Нильсен, Майкл А.; Чуан , Айзек (2001). Квантовые вычисления и квантовая информация (переизданное издание). Cambridge University Press. стр. 700. ISBN 978-0-521-63503-5.
228. "Александр С. Холево".
229. Уайлд, Марк М. (2013). Квантовая теория информации . Cambridge University Press. стр. 252.
230. фон Нейман, Джон (1927). «Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik». Göttinger Nachrichten (на немецком языке). 1 : 245–272.
231. Шлютер, Михаэль; Шам, Лу Джеу (1982), «Теория функционала плотности», Physics Today , 35 (2): 36–43, Bibcode : 1982PhT....35b..36S, doi : 10.1063/1.2914933, S2CID  126232754
232. Фано, Уго (июнь 1995 г.), «Матрицы плотности как векторы поляризации», Rendiconti Lincei , 6 (2): 123–130, doi :10.1007/BF03001661, S2CID  128081459
233. Холл, Брайан С. (2013). «Системы и подсистемы, множественные частицы». Квантовая теория для математиков . Выпускные тексты по математике. Том 267. С. 419–440. doi :10.1007/978-1-4614-7116-5_19. ISBN 978-1-4614-7115-8.
234. Giulini, Domenico; Joos, Erich; Kiefer, Claus; Kupsch, Joachim; Stamatescu, Ion-Olimpiu; Zeh, H. Dieter (1996). Декогеренция и появление классического мира в квантовой теории . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-03263-3. OCLC  851393174.
235. Bacciagaluppi, Guido (2020). «Роль декогеренции в квантовой механике». В Zalta, Edward N. (ред.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (ред. осень 2020 г.). Stanford University . Получено 25 сентября 2023 г.
236. Габбей, Дов М .; Вудс, Джон (2007). «История квантовой логики». Многозначный и немонотонный поворот в логике . Elsevier. стр. 205–2017. ISBN 978-0-08-054939-2.
237. Биркгофф, Гарретт ; фон Нейман, Джон (октябрь 1936 г.). «Логика квантовой механики». Annals of Mathematics . 37 (4): 823–843. doi :10.2307/1968621. JSTOR  1968621.
238. Патнэм, Хилари (1985). Философские статьи. Том 3: Реализм и разум. Cambridge University Press. стр. 263. ISBN 978-0-521-31394-0.
239. Редеи 2005, стр. 30–32.
240. Редеи и Штёльцнер 2001, стр. 53, 153–154, 168–169.
241. фон Нейман, Джон. «Решение точечного источника». В Таубе (1963), стр. 219–237.
242. фон Нейман, Джон. «Теория детонационных волн. Отчет о ходе работ в Национальный комитет по оборонным исследованиям, подразделение B, OSRD-549». В Таубе (1963), стр. 205–218.
243. Карлуччи, Дональд Э.; Якобсон, Сидни С. (26 августа 2013 г.). Баллистика: теория и проектирование оружия и боеприпасов (2-е изд.). CRC Press. стр. 523.
244. фон Нейман, Дж.; Рихтмайер, РД (март 1950 г.). «Метод численного расчета гидродинамических ударов». Журнал прикладной физики . 21 (3): 232–237. Bibcode : 1950JAP....21..232V. doi : 10.1063/1.1699639.
245. Metropolis, Nicholas ; Howlett, J. ; Rota, Gian-Carlo , ред. (1980). История вычислений в двадцатом веке . Elsevier. стр. 24–25. doi :10.1016/C2009-0-22029-0. ISBN 978-1-4832-9668-5.
246. Бинни, Джеймс (1996). «Звездно-динамическое произведение». Журнал астрофизики и астрономии . 17 (3–4): 81–93. Bibcode : 1996JApA...17...81B. doi : 10.1007/BF02702298. S2CID  56126751.
247. Benacquista, Matthew J.; Downing, Jonathan MB (2013). "Релятивистские двойные в шаровых скоплениях". Living Reviews in Relativity . 16 (1): 4. arXiv : 1110.4423 . Bibcode : 2013LRR....16....4B. doi : 10.12942/lrr-2013-4 . PMC 5255893. PMID  28179843 . 
248. Учайкин, Владимир В.; Золотарев, Владимир М. (1999). Случайность и устойчивость: устойчивые распределения и их приложения . De Gruyter. стр. xviii, 281, 424. doi :10.1515/9783110935974. ISBN 9783110631159.
249. Сильва, Дж. М.; Лима, Дж. А. С.; де Соуза, Р. Э.; Дель Пополо, А.; Ле Деллу, Морган; Ли, Си-Го (2016). «Динамическое трение Чандрасекара и необширная статистика». Журнал космологии и астрофизики частиц . 2016 (5): 21. arXiv : 1604.02034 . Bibcode : 2016JCAP...05..021S. doi : 10.1088/1475-7516/2016/05/021. hdl : 11449/173002. S2CID  118462043.
250. Тауб 1963, стр. 172–176.
251. Бонолис, Луиза (2017). «Звездная структура и компактные объекты до 1940 года: к релятивистской астрофизике». The European Physical Journal H. 42 ( 2): 311–393, особенно стр. 351, 361. arXiv : 1703.09991 . Bibcode : 2017EPJH...42..311B. doi : 10.1140/epjh/e2017-80014-4 .
252. Траутман, Анджей ; Траутман, Кшиштоф (1994). «Обобщенные чистые спиноры». Журнал геометрии и физики . 15 (1): 1–22. Бибкод : 1994JGP....15....1T. дои : 10.1016/0393-0440(94)90045-0.
253. Форстнерич, Франк (2021). «Свойство Калаби–Яу суперминимальных поверхностей в самодуальных четырехмерных многообразиях Эйнштейна». Журнал геометрического анализа . 31 (5): 4754–4780. arXiv : 2004.03536 . doi : 10.1007/s12220-020-00455-6. S2CID  215238355.
254. Сигал, Ирвинг Э. «Математические следствия фундаментальных физических принципов». В Glimm, Impagliazzo & Singer (1990), стр. 162–163.
255. Риклз 2020, стр. 89.
256. Редеи 2005, стр. 21–22.
257. Редеи и Штёльцнер 2001, стр. 222–224.
258. Риклз 2020, стр. 202–203.
259. Тауб 1963, стр. 177.
260. Kuhn, HW ; Tucker, AW (1958). «Работа Джона фон Неймана по теории игр и математической экономике». Bull. Amer. Math. Soc . 64 (часть 2) (3): 100–122. CiteSeerX 10.1.1.320.2987 . doi :10.1090/s0002-9904-1958-10209-8. MR  0096572. 
261. фон Нейман, Дж (1928). «Zur Theorie der Gesellschaftsspiele». Mathematische Annalen (на немецком языке). 100 : 295–320. дои : 10.1007/bf01448847. S2CID  122961988.
262. Лисснер, Уилл (10 марта 1946 г.). «Математическая теория покера применяется к проблемам бизнеса; СТРАТЕГИЯ ИГРЫ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ В ЭКОНОМИКЕ. Большие возможности. Анализ стратегий, практическое применение в играх». The New York Times . ISSN  0362-4331 . Получено 25 июля 2020 г.
263. Blume, Lawrence E. (2008). «Выпуклость». В Durlauf, Steven N. ; Blume, Lawrence E. (ред.). Новый экономический словарь Palgrave (2-е изд.). Нью-Йорк: Palgrave Macmillan. стр. 225–226. doi :10.1057/9780230226203.0315. ISBN 978-0-333-78676-5.
264. Для того чтобы эта задача имела единственное решение, достаточно, чтобы неотрицательные матрицы  A и  B удовлетворяли условию неприводимости , обобщающему условие теоремы Перрона–Фробениуса о неотрицательных матрицах, которая рассматривает (упрощенную) задачу на собственные значения

     А − λI q = 0,

     где неотрицательная матрица A должна быть квадратной, а диагональная матрица I является единичной матрицей . Условие неприводимости фон Неймана было названо гипотезой «китов и спорщиков » Д. Г. Чамперноуном , который предоставил словесный и экономический комментарий к английскому переводу статьи фон Неймана. Гипотеза фон Неймана подразумевала, что каждый экономический процесс использует положительное количество каждого экономического блага. Более слабые условия «неприводимости» были даны Дэвидом Гейлом и Джоном Кемени , Моргенштерном и Джеральдом Л. Томпсоном в 1950-х годах, а затем Стивеном М. Робинсоном в 1970-х годах.  
265. Моргенштерн, Оскар ; Томпсон, Джеральд Л. (1976). Математическая теория расширяющейся и сокращающейся экономики . Lexington Books. Лексингтон, Массачусетс: DC Heath and Company. стр. xviii, 277. ISBN 978-0-669-00089-4.
266. Рокафеллар, РТ (1970). Выпуклый анализ . Princeton University Press. стр. i, 74. ISBN 978-0-691-08069-7. OCLC  64619.
     Rockafellar, RT (1974). «Выпуклая алгебра и двойственность в динамических моделях производства». В Loz, Josef; Loz, Maria (ред.). Математические модели в экономике . Труды симпозиумов и конференций по моделям фон Неймана, Варшава, 1972. Амстердам: Elsevier North-Holland Publishing и Польская академия наук. стр. 351–378. OCLC  839117596.
267. Ye, Yinyu (1997). "Модель роста фон Неймана". Алгоритмы внутренних точек: Теория и анализ. Нью-Йорк: Wiley. С. 277–299. ISBN 978-0-471-17420-2. OCLC  36746523.
268. Dore, Chakravarty & Goodwin 1989, стр. xi.
269. Брукманн, Герхарт; Вебер, Вильгельм, ред. (21 сентября 1971 г.). Вклад в модель роста фон Неймана . Труды конференции, организованной Институтом передовых исследований Вены, Австрия, 6 и 7 июля 1970 г. Springer–Verlag. doi :10.1007/978-3-662-24667-2. ISBN 978-3-662-22738-1.
270. Доре, Чакраварти и Гудвин 1989, стр. 234.
271. Макрэ 1992, стр. 250–253.
272. Данциг, ГБ (1983). «Воспоминания о происхождении линейного программирования». В Bachem, А.; Grötschel, М.; Korte, Б. (ред.). Математическое программирование. Современное состояние искусства: Бонн, 1982. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 78–86. ISBN 0387120823. OCLC  9556834.
273. Данциг, Джордж ; Тапа, Мукунд Н. (2003). Линейное программирование: 2: Теория и расширения . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4419-3140-5.
274. Голдстайн 1980, стр. 167–178.
275. Макрэ 1992, стр. 279–283.
276. "Научный консультативный комитет BRL, 1940". Исследовательская лаборатория армии США . Получено 12 января 2018 г.
277. "Джон В. Мочли и разработка компьютера ENIAC". Университет Пенсильвании. Архивировано из оригинала 2007-04-16 . Получено 2017-01-27 .
278. Редеи 2005, стр. 73.
279. Дайсон 2012, стр. 267–268, 287.
280. Кнут, Дональд (1998). Искусство программирования: Том 3 Сортировка и поиск . Бостон: Addison-Wesley. С. 159. ISBN 978-0-201-89685-5.
281. Кнут, Дональд Э. (1987). «Первая компьютерная программа фон Неймана». В Aspray, W.; Burks, A. (ред.). Статьи Джона фон Неймана по вычислениям и теории компьютеров. Кембридж: MIT Press. стр. 89–95. ISBN 978-0-262-22030-9.
282. Макрэ 1992, стр. 334–335.
283. Фон Нейман, Джон (1951). «Различные методы, используемые в связи со случайными цифрами». Серия «Прикладная математика» Национального бюро стандартов . 12 : 36–38.
284. фон Нейман, Дж. «Вероятностная логика и синтез надежных организмов из ненадежных компонентов». В Bródy & Vámos (1995), стр. 567–616.
285. Петрович, Р.; Сильяк, Д. (1962). «Умножение посредством совпадения». ACTES Proc. 3rd Int. Analog Comp. Meeting .
286. Афусо, К. (1964), технический профессор , Иллинойс: Кафедра компьютерных наук, Иллинойсский университет в Урбане-Шампейне
287. Чайтин, Грегори Дж. (2002). Беседы с математиком: математика, искусство, наука и пределы разума. Лондон: Springer. стр. 28. doi :10.1007/978-1-4471-0185-7. ISBN 978-1-4471-0185-7.
288. Песавенто, Умберто (1995). «Реализация самовоспроизводящейся машины фон Неймана» (PDF) . Искусственная жизнь . 2 (4): 337–354. doi :10.1162/artl.1995.2.337. PMID  8942052. Архивировано из оригинала (PDF) 2007-06-21.
289. Rocha, LM (2015). «Фон Нейман и естественный отбор». Заметки лекций I-585-Biologically Inspired Computing Course, Indiana University (PDF) . стр. 25–27. Архивировано из оригинала (PDF) 2015-09-07 . Получено 2016-02-06 .
290. Damerow, Julia, ed. (14 июня 2010 г.). «Клеточные автоматы Джона фон Неймана». Энциклопедия проекта «Эмбрион » . Университет штата Аризона. Факультет наук о жизни. Центр биологии и общества . Получено 14 января 2024 г.
291. фон Нейман, Джон (1966). А. Беркс (ред.). Теория самовоспроизводящихся автоматов. Урбана, Иллинойс: Univ. of Illinois Press. ISBN 978-0-598-37798-2.
292. "2.1 Вклад фон Неймана". Molecularassembler.com . Получено 2009-09-16 .
293. "2.1.3 Модель клеточного автомата (CA) репликации машины". Molecularassembler.com . Получено 2009-09-16 .
294. фон Нейман, Джон (1966). Артур В. Беркс (ред.). Теория самовоспроизводящихся автоматов (PDF) . Урбана и Лондон: Издательство Иллинойсского университета . ISBN 978-0-598-37798-2.
295. Тоффоли, Томмасо ; Марголус, Норман (1987). Клеточные автоматы: новая среда для моделирования . MIT Press. стр. 60..
296. Густафссон 2018, стр. 91.
297. Густавссон 2018, стр. 101–102.
298. Густафссон 2018, стр. 235.
299. Брезински и Вуйтак 2001, стр. 27.
300. Брезински и Вуйтак 2001, стр. 216.
301. Густавссон 2018, стр. 112–113.
302. Лакс, Питер Д. (2005). «Интервью с Питером Д. Лаксом» (PDF) (Интервью). Интервью Мартина Рауссена; Кристиана Скау. Осло: Извещения Американского математического общества . стр. 223.
303. Улам, Станислав М. (1986). Рейнольдс, Марк К.; Рота, Джан-Карло (ред.). Наука, компьютеры и люди: с древа математики. Бостон: Birkhäuser. стр. 224. doi :10.1007/978-1-4615-9819-0. ISBN 978-1-4615-9819-0.
304. Херш, Рубен (2015). Питер Лакс, Математик: Иллюстрированные мемуары. Американское математическое общество. стр. 170. ISBN 978-1-4704-2043-7.
305. Биркофф, Гарретт (1990). «Гидродинамика, реакторные вычисления и представление поверхности». В Нэше, Стивен Г. (ред.). История научных вычислений . Ассоциация вычислительной техники. стр. 64–69. doi :10.1145/87252.88072. ISBN 978-0-201-50814-7.
306. Эдвардс 2010, стр. 115.
307. Weather Architecture Джонатан Хилл (Routledge, 2013), стр. 216
308. Эдвардс 2010, стр. 117–118.
309. Чарни, JG; Фьёртофт, Р.; Нойманн, Дж. (1950). «Численное интегрирование уравнения баротропной завихренности». Теллус . 2 (4): 237–254. Бибкод : 1950Tell....2..237C. дои : 10.3402/TELLUSA.V2I4.8607 .
310. Гилкрист, Брюс , «Вспоминая некоторые ранние компьютеры, 1948–1960» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2006-12-12 . Получено 2006-12-12 ., Колумбийский университет EPIC , 2006, стр. 7-9. (архив 2006 г.) Содержит некоторые автобиографические материалы об использовании Гилкристом компьютера IAS, начиная с 1952 г.
311. Эдвардс 2010, стр. 126.
312. Эдвардс 2010, стр. 130.
313. Внутрисезонная изменчивость в климатической системе атмосфера-океан , Уильям К.-М. Лау, Дуэйн Э. Валисер (Springer 2011), стр. V
314. Эдвардс 2010, стр. 152–153.
315. Эдвардс 2010, стр. 153, 161, 189–190.
316. "Парниковый эффект углекислого газа". Открытие глобального потепления . Американский институт физики . Май 2023 г. Получено 09.10.2023 .
317. Макрэ 1992, стр. 16.
318. Engineering: Its Role and Function in Human Society под редакцией William H. Davenport, Daniel I. Rosenthal (Elsevier 2016), стр. 266
319. Macrae 1992, стр. 332.
320. Хеймс 1980, стр. 236–247.
321. Эдвардс 2010, стр. 189–191.
322. Технологическая сингулярность Мюррея Шанахана (MIT Press, 2015), стр. 233
323. Чалмерс, Дэвид (2010). «Сингулярность: философский анализ». Журнал исследований сознания . 17 (9–10): 7–65.
324. Якобсен 2015, Гл. 3.
325. Ходдесон и др. 1993, стр. 130–133, 157–159.
326. Ходдесон и др. 1993, стр. 239–245.
327. Ходдесон и др. 1993, стр. 295.
328. Sublette, Carey. "Раздел 8.0 Первое ядерное оружие". Ядерное оружие: часто задаваемые вопросы . Получено 2016-01-08 .
329. Ходдесон и др. 1993, стр. 320–327.
330. Макрэ 1992, стр. 209.
331. Ходдесон и др. 1993, стр. 184.
332. Макрэ 1992, стр. 242–245.
333. Гроувс, Лесли (1962). Теперь это можно рассказать: История Манхэттенского проекта . Нью-Йорк: Harper & Row. С. 268–276. ISBN 978-0-306-70738-4. OCLC  537684.
334. Ходдесон и др. 1993, стр. 371–372.
335. Макрэ 1992, стр. 205.
336. Херкен, Грегг (2002). Братство бомбы: запутанные жизни и преданности Роберта Оппенгеймера, Эрнеста Лоуренса и Эдварда Теллера . Нью-Йорк: Холт. С. 171, 374. ISBN 978-0-8050-6589-3. OCLC  48941348.
337. Бернстайн, Джереми (2010). «Джон фон Нейман и Клаус Фукс: маловероятное сотрудничество». Physics in Perspective . 12 (1): 36–50. Bibcode : 2010PhP....12...36B. doi : 10.1007/s00016-009-0001-1. S2CID  121790196.
338. Макрэ 1992, стр. 208.
339. Macrae 1992, стр. 350–351.
340. «Оценка стоимости оружия». Spokane Daily Chronicle . 15 декабря 1948 г. Получено 08.01.2015 .
341. Шихан 2010, стр. 182.
342. Якобсен 2015, стр. 40.
343. Шихан 2010, стр. 178–179.
344. Шихан 2010, стр. 199.
345. Шихан 2010, стр. 217, 219–220.
346. Шихан 2010, стр. 221.
347. Шихан 2010, стр. 259.
348. Шихан 2010, стр. 273, 276–278.
349. Шихан 2010, стр. 275, 278.
350. Шихан 2010, стр. 287–299.
351. Шихан 2010, стр. 311.
352. Aspray 1990, стр. 250.
353. Хеймс 1980, стр. 275.
354. Аспрей 1990, стр. 244–245.
355. Хеймс 1980, стр. 276.
356. Макрэ 1992, стр. 367–369.
357. Хеймс 1980, стр. 282.
358. Macrae 1992, стр. 359–365.
359. Блэр 1957, стр. 96.
360. Паис 2006, стр. 109.
361. Голдстайн 1985, стр. 9–10.
362. Альберс и Александерсон 2008, с. 81.
363. Goldstine 1985, стр. 16.
364. Улам 1976, стр. 78.
365. Halmos 1973, стр. 387–388.
366. Lax, Peter D. «Вспоминая Джона фон Неймана». В Glimm, Impagliazzo & Singer (1990), стр. 6.
367. Редеи и Штельцнер 2001, стр. 168.
368. Дайсон 1998, стр. 77.
369. Халмош 1973, стр. 389.
370. Улам 1958, стр. 8.
371. Улам 1976, стр. 291.
372. Улам 1976, стр. 96.
373. Гальперин, Израиль (1984). «Интервью Стенограмма № 18 - Проект устной истории» (PDF) (Интервью). Интервью взято Альбертом Такером . Кафедра математики Принстона. стр. 12. Получено 04.04.2022 .
374. Улам 1958, стр. 9.
375. Segal, Irving E. «Математические следствия фундаментальных физических принципов». В Glimm, Impagliazzo & Singer (1990), стр. 154–156.
376. Халмош 1973, стр. 388.
377. Улам 1958, стр. 38.
378. Хоффманн, Банеш (1984). «Интервью Стенограмма № 20 - Проект устной истории» (PDF) (Интервью). Интервью взято Альбертом Такером . Кафедра математики Принстона. стр. 4. Получено 04.04.2022 .
379. Такер 1984, стр. 4.
380. Голдстайн 1980, стр. 167.
381. Джон фон Нейман: жизнь, работа и наследие Институт перспективных исследований, Принстон
382. Улам 1976, стр. 147–148.
383. Халмош 1973, стр. 386.
384. Голдстайн 1980, стр. 171.
385. Fermi Remembered , Джеймс У. Кронин , Издательство Чикагского университета (2004), стр. 236
386. Теллер, Эдвард (апрель 1957 г.). «Джон фон Нейман». Bulletin of the Atomic Scientists . 13 (4): 150–151. Bibcode : 1957BuAtS..13d.150T. doi : 10.1080/00963402.1957.11457538.
387. Каплан, Майкл и Каплан, Эллен (2006) Шансы есть: приключения в вероятности . Викинг.
388. Петкович, Миодраг (2009). Знаменитые головоломки великих математиков . Американское математическое общество. стр. 157. ISBN 978-0-8218-4814-2.
389. Мировски, Филип (2002). Мечты о машинах: экономика становится наукой киборгов . Cambridge University Press. стр. 258. ISBN 978-0-521-77283-9. OCLC  45636899.
390. "Fly Puzzle (Two Trains Puzzle)". Wolfram MathWorld. 15 февраля 2014 г. Получено 25 февраля 2014 г.
391. "Джон фон Нейман – Документальный фильм". Математическая ассоциация Америки. 1966. 17m00s – 19m11s . Получено 2022-08-26 .
392. Халмош 1973, стр. 386–387.
393. Rota 1997, стр. 71.
394. Келли, Дж. Л. (1989). «Once Over Lightly». В Дьюрен, Питер (ред.). Столетие математики в Америке: Часть III. Американское математическое общество. стр. 478. ISBN 0-8218-0136-8.
395. Улам 1976, стр. 76–77.
396. Новак, Амрам (1 января 1966 г.). «Джон фон Нейман документальный фильм». Математическая ассоциация Америки, Комитет по образовательным средствам массовой информации. ОСЛК  177660043., DVD-версия (2013) OCLC  897933992.
397. Сантон 1992, стр. 58.
398. Сони, Джимми ; Гудман, Роб (2017). Игра разума: как Клод Шеннон изобрел информационный век . Simon & Schuster. стр. 76. ISBN 978-1476766683.
399. Броновски, Джейкоб (1974). Восхождение человека . Бостон: Little, Brown. стр. 433.
400. Редей 2005, стр. 7.
401. Редеи 2005, стр. xiii.
402. Рота 1997, стр. 70.
403. Улам 1976, с. 4; Кац, Рота и Шварц 2008, с. 206; Альберс и Александерсон 2008, с. 168; Сантон 1992, с. 51
     Родс, Ричард (1995). Темное солнце: создание водородной бомбы. Нью-Йорк: Simon & Schuster. стр. 250. ISBN 0-684-80400-X.
     Doedel, Eusebius J.; Domokos, Gábor; Kevrekidis, Ioannis G. (март 2006 г.). "Моделирование и вычисления в динамических системах". Всемирная научная серия по нелинейной науке. Серия B. 13. doi : 10.1142 /5982. ISBN 978-981-256-596-9.
404. МакКордак, Памела (2004). Машины, которые думают: личное исследование истории и перспектив искусственного интеллекта (2-е изд.). Routledge. стр. 81. ISBN 978-1568812052.
405. Йорк 1971, стр. 85.
406. Доре, Чакраварти и Гудвин 1989, стр. 121.
407. "Премия Джона фон Неймана по теории". Институт исследований операций и управленческих наук . Архивировано из оригинала 2016-05-13 . Получено 2016-05-17 .
408. "IEEE John von Neumann Medal". Награды IEEE . Институт инженеров по электротехнике и электронике . Получено 2024-07-30 .
409. "Лекция Джона фон Неймана". Общество промышленной и прикладной математики . Получено 17 мая 2016 г.
410. "Von Neumann". Геологическая служба США . Получено 2016-05-17 .
411. "22824 von Neumann (1999 RP38)". Лаборатория реактивного движения . Получено 2018-02-13 .
412. "(22824) фон Нейман = 1999 RP38 = 1998 HR2". Minor Planet Center . Получено 2018-02-13 .
413. "Дуайт Д. Эйзенхауэр: Благодарность, сопровождающая Медаль Свободы, врученная доктору Джону фон Нейману". Американский проект президентства.
414. Аспрей 1990, стр. 246–247.
415. Улам 1958, стр. 41–42.
416. "Von Neumann, John, 1903–1957". Physics History Network . American Institute of Physics . Получено 2023-10-12 .
417. "American Scientists Issue". Arago: People, Postage & the Post . National Postal Museum . Архивировано из оригинала 2016-02-02 . Получено 2022-08-02 .
418. "Нойман Янош Эгиетем". Нейман Янош Эгиетем .
419. Dyson 2013, стр. 154.
420. Дайсон 2013, стр. 155.
421. Дайсон 2013, стр. 157.
422. Дайсон 2013, стр. 158.
423. Дайсон 2013, стр. 159.
424. фон Нейман, Джон (1947). «Математик». В Хейвуде, Роберт Б. (ред.). Работы разума . Издательство Чикагского университета. OCLC  752682744.
425. Дайсон 2013, стр. 159–160.

Ссылки

• Альберс, Дональд Дж.; Александерсон, Джеральд Л. , ред. (2008). Математические люди: профили и интервью (2-е изд.). CRC Press. doi :10.1201/b10585. ISBN 978-1568813400.
• Aspray, William (1990). Джон фон Нейман и истоки современной вычислительной техники. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. Bibcode : 1990jvno.book.....A. ISBN 978-0262518857. OCLC  21524368.
• Бхаттачарья, Ананьо (2022). Человек из будущего: визионерская жизнь Джона фон Неймана. WW Norton & Company. ISBN 978-1324003991.
• Биркгоф, Гаррет (1958). «Фон Нейман и теория решеток». Бюллетень Американского математического общества . 64 (3, Часть 2): 50–56. doi : 10.1090/S0002-9904-1958-10192-5 .
• Блэр, Клэй-младший (25 февраля 1957 г.). «Уход великого ума». Жизнь . С. 89–104.
• Бохнер, С. (1958). "Джон фон Нейман 1903–1957: Биографические мемуары" (PDF) . Национальная академия наук . Получено 16 августа 2015 г. .
• Brezinski, C.; Wuytack, L. (2001). Численный анализ: Исторические разработки в 20 веке . Elsevier. doi :10.1016/C2009-0-10776-6. ISBN 9780444598585.
• Bródy, F.; Vámos, Tibor, ред. (1995). The Neumann Compendium . World Scientific Series in 20th Century Mathematics. Том 1. Сингапур: World Scientific Publishing Company. doi : 10.1142/2692. ISBN 978-981-02-2201-7. OCLC  32013468.
• Дьедонне, Жан (1981). История функционального анализа . North-Hollywood Publishing Company. ISBN 978-0444861481.
• Dieudonné, J. (2008). «Фон Нейман, Иоганн (или Джон)». В Gillispie, CC (ред.). Полный словарь научной биографии. Том 14 (7-е изд.). Детройт: Charles Scribner's Sons. стр. 88–92 Gale Virtual Reference Library. ISBN 978-0-684-31559-1. OCLC  187313311.
• Доре, Мохаммед; Чакраварти, Сукхамой ; Гудвин, Ричард , ред. (1989). Джон фон Нейман и современная экономика. Оксфорд: Clarendon. ISBN 978-0-19-828554-0. OCLC  18520691.
• Дайсон, Джордж (1998). Дарвин среди машин: эволюция мирового интеллекта. Кембридж, Массачусетс: Perseus Books. ISBN 978-0-7382-0030-9. OCLC  757400572.
• Дайсон, Джордж (2012). Собор Тьюринга: Истоки цифровой Вселенной . Нью-Йорк: Pantheon Books. ISBN 978-0-375-42277-5. OCLC  745979775.«Я думаю о чем-то гораздо более важном, чем бомбы. Я думаю о компьютерах».
• Дайсон, Фримен (2013). «Прогулка по саду Джонни фон Неймана». Notices of the AMS . 60 (2): 154–161. doi : 10.1090/noti942 .
• Эдвардс, Пол Н. (2010). Огромная машина: компьютерные модели, климатические данные и политика глобального потепления. MIT Press. ISBN 978-0-262-01392-5.
• Глимм, Джеймс ; Импальяццо, Джон; Сингер, Изадор Мануэль , ред. (1990). Наследие Джона фон Неймана. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4219-5.
• Голдстайн, Герман (1980). Компьютер от Паскаля до фон Неймана . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02367-0.
• Goldstine, Herman (1985). "Интервью Transcript #15 - Oral History Project" (PDF) (Интервью). Интервью Альберта Такера ; Фредерика Небекера. Мэриленд: Принстонский математический факультет . Получено 2022-04-03 .
• Густафссон, Бертил (2018). Научные вычисления: историческая перспектива. Тексты по вычислительной науке и технике. Том 17. Springer. doi :10.1007/978-3-319-69847-2. ISBN 978-3-319-69847-2.
• Халмош, Пол Р. (1958). «Фон Нейман о мере и эргодической теории». Бюллетень Американского математического общества . 64 (3, Часть 2): 86–94. doi : 10.1090/S0002-9904-1958-10203-7 .
• Халмош, Пол (1973). «Легенда о Джоне фон Неймане». The American Mathematical Monthly . 80 (4): 382–394. doi :10.1080/00029890.1973.11993293.
• Хеймс, Стив Дж. (1980). Джон фон Нейман и Норберт Винер, от математики к технологиям жизни и смерти. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-08105-4.
• Hoddeson, Lillian ; Henriksen, Paul W.; Meade, Roger A.; Westfall, Catherine L. (1993). Критическая сборка: техническая история Лос-Аламоса в годы Оппенгеймера, 1943–1945 . Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-44132-2. OCLC  26764320.
• Хорн, Роджер А.; Джонсон , Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83940-2.
• Якобсен, Энни (2015). Мозг Пентагона: история DARPA без цензуры, самого секретного военного исследовательского агентства Америки. Little, Brown and Company. ISBN 978-0316371667. OCLC  1037806913.
• Кац, Марк ; Рота, Джан-Карло ; Шварц, Якоб Т. (2008). Дискретные мысли: эссе о математике, науке и философии (2-е изд.). Бостон: Birkhäuser. doi :10.1007/978-0-8176-4775-9. ISBN 978-0-8176-4775-9.
• Лорд, Стивен; Сукочев, Федор; Занин, Дмитрий (2012). Singular Traces: Theory and Applications (1-е изд.). De Gruyter. doi :10.1515/9783110262551. ISBN 9783110262551.
• Господи, Стивен; Сукочев, Федор; Занин, Дмитрий (2021). Особые следы. Том 1: Теория (2-е изд.). Де Грюйтер. дои : 10.1515/9783110378054. ISBN 9783110378054. S2CID  242485577.
• Макрей, Норман (1992). Джон фон Нейман: научный гений, который стал пионером современного компьютера, теории игр, ядерного сдерживания и многого другого . Pantheon Press. ISBN 978-0-679-41308-0. Описание, содержание, включая предварительный просмотр с прокруткой стрелкой и обзор.
• Муравски, Роман (2010). «Джон фон Нейман и школа Гильберта». Очерки философии и истории логики и математики. Амстердам: Rodopi. С. 195–209. doi :10.1163/9789042030916_015. ISBN 978-90-420-3091-6.
• Паис, Абрахам (2000). Гений науки: Портретная галерея: Портретная галерея физиков двадцатого века . Oxford University Press. ISBN 978-0198506140.
• Паис, Абрахам (2006). Дж. Роберт Оппенгеймер: Жизнь. Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-516673-6. OCLC  475574884.
• Питч, Альбрехт [на немецком языке] (2007). История банаховых пространств и линейных операторов. Бостон: Биркхойзер. дои : 10.1007/978-0-8176-4596-0. ISBN 978-0-8176-4596-0.
• Редей, Миклош (1999). «Нерешенные проблемы математики» (PDF) . The Mathematical Intelligencer . 21 : 7–12. doi :10.1007/BF03025331. S2CID  117002529.
• Редей, Миклош; Штёльцнер, Майкл, ред. (2001). Джон фон Нейман и основы квантовой физики. Спрингер. дои : 10.1007/978-94-017-2012-0. ISBN 978-0792368120.
• Редеи, Миклош, ред. (2005). Джон фон Нейман: Избранные письма. История математики. Том 27. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3776-4. OCLC  60651134.
• Риклз, Дин (2020). Покрытый густым туманом: Развитие квантовой гравитации 1916–1956. Oxford University Press. doi : 10.1093/oso/9780199602957.001.0001. ISBN 9780199602957.
• Рота, Джан-Карло (1997). Паломби, Фабрицио (ред.). Недискретные мысли. Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. дои : 10.1007/978-0-8176-4781-0. ISBN 978-0-8176-4781-0.
• Шнайдер, Г. Майкл; Герстинг, Джудит ; Бринкман, Бо (2015). Приглашение в компьютерные науки . Бостон: Cengage Learning. ISBN 978-1-305-07577-1. OCLC  889643614.
• Сигал, Ирвинг (1965). «Алгебраическая теория интегрирования». Бюллетень Американского математического общества . 71 (3): 419–489. doi : 10.1090/S0002-9904-1965-11284-8 .
• Шиэн, Нил (2010). Огненный мир в холодной войне: Бернард Шривер и абсолютное оружие. Винтаж. ISBN 978-0679745495.
• Сантон, Эндрю (1992). Воспоминания Юджина П. Вигнера: рассказанные Эндрю Сантону (1-е изд.). Springer. doi : 10.1007/978-1-4899-6313-0. ISBN 978-1-4899-6313-0.
• Тауб, А. Х. , ред. (1963). Собрание сочинений Джона фон Неймана, том VI: Теория игр, астрофизика, гидродинамика и метеорология . Нью-Йорк: Pergamon Press. ISBN 978-0-08-009566-0. OCLC  493423386.
• Такер, Альберт (1984). «Интервью Стенограмма № 34 — Проект устной истории» (PDF) (Интервью). Интервью Уильяма Эспрея. Принстон: Математический факультет Принстона . Получено 04.04.2022 .
• Улам, Станислав (1958). «Джон фон Нейман 1903–1957» (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 64 (3): 1–49. doi :10.1090/S0002-9904-1958-10189-5.
• Улам, Станислав (1976). Приключения математика . Нью-Йорк: Charles Scribner's Sons. ISBN 0-684-14391-7.
• фон Платон, Ян (2018). «В поисках источников неполноты» (PDF) . Труды Международного конгресса математиков 2018 г. 3 : 4075–4092. doi :10.1142/9789813272880_0212. ISBN 978-981-327-287-3. S2CID  203463751.
• фон Платон, Ян (2020). Можно ли доказать непротиворечивость математики? Источники и исследования по истории математики и физических наук. Springer International Publishing. doi :10.1007/978-3-030-50876-0. ISBN 978-3-030-50876-0. S2CID  226522427.
• Вагон, Стэн ; Томкович, Гжегож (2016). Парадокс Банаха-Тарского (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781316572870.
• Йорк, Герберт (1971). Гонка к забвению: взгляд участника на гонку вооружений. Нью-Йорк: Simon and Schuster. ISBN 978-0671209315.

Дальнейшее чтение

Книги

• Эриксон, Пол (2015). Мир, созданный теоретиками игр . Издательство Чикагского университета. ISBN 9780226097176.
• Халмош, Пол Р. (1985). Я хочу быть математиком: автоматография . Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-1084-9. ISBN 978-0-387-96078-4. OCLC  11497873.
• Харгиттай, Балаж; Харгиттай, Иштван (2015). Мудрость марсиан науки: их собственными словами с комментариями . World Scientific. doi : 10.1142/9809. ISBN 978-9814723817.
• Харгиттай, Иштван (2008). Марсиане науки: пять физиков, изменивших двадцатый век . Oxford University Press. doi :10.1093/acprof:oso/9780195178456.001.0001. ISBN 978-0195365566.
• Хорват, Янош , ред. (2006). Панорама венгерской математики в двадцатом веке I. Математические исследования общества Бойяи. Том 14. Springer. doi :10.1007/978-3-540-30721-1. ISBN 978-3540289456.
• Крель, Питер OK (2009). История ударных волн, взрывов и воздействий: хронологическая и биографическая справка . Springer. doi :10.1007/978-3-540-30421-0. ISBN 978-3-540-30421-0.
• Леонард, Роберт (2010). Фон Нейман, Моргенштерн и создание теории игр: от шахмат до социальных наук, 1900–1960 . Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511778278. ISBN 978-1107609266.
• Паундстоун, Уильям (1993). Дилемма заключенного: Джон фон Нейман, теория игр и загадка бомбы . Random House Digital. ISBN 978-0-385-41580-4.
• Пуррингтон, Роберт Д. (2018). Героический век: создание квантовой механики, 1925–1940 . Oxford University Press. ISBN 978-0190655174.
• Слейтер, Роберт (1989). Портреты из кремния . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-19262-0. OCLC  15630421.
• фон Нейман Уитман, Марина (2012). Дочь марсианина — Мемуары . Энн-Арбор: Издательство Мичиганского университета. ISBN 978-0-472-03564-9. OCLC  844308382.
• Vonneuman, Nicholas A. (1987). Джон фон Нейман глазами его брата (PDF) . Медоубрук, Пенсильвания: NA Vonneuman. ISBN 978-0-9619681-0-6. OCLC  17547196.
• Вайнтрауб, Э. Рой , ред. (1992). К истории теории игр . История политической экономии. Том 24 (Приложение). ISSN  0018-2702.

Популярные периодические издания

• Графтон, Сэмюэл (сентябрь 1956 г.). «Замужем за человеком, который верит, что разум может двигать миром». Good Housekeeping Magazine (интервью с Клари фон Нейман). стр. 80–81, 282–292.

Журналы

• Formica, Giambattista (2022). «Открытие Джоном фон Нейманом 2-й теоремы о неполноте». История и философия логики . 44 : 66–90. doi :10.1080/01445340.2022.2137324. S2CID  256699234.
• Смитис, Ф. (1959). «Джон фон Нейман». Журнал Лондонского математического общества . s1-34 (3): 373–384. doi :10.1112/jlms/s1-34.3.373.

Внешние ссылки

• Более или менее полная библиография публикаций Джона фон Неймана Нельсона Х.Ф. Биба
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Джон фон Нейман», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
• Профиль фон Неймана в Google Scholar
• Проект «Устная история» — Математическое сообщество Принстона в 1930-х годах, содержит множество интервью, описывающих контакты и истории из жизни фон Неймана и других членов сообщества Принстонского университета и Института перспективных исследований.
• Устные исторические интервью (из Института Чарльза Бэббиджа , Университет Миннесоты ) с: Элис Р. Беркс и Артуром У. Берксом; Юджином П. Вигнером; и Николасом К. Метрополисом.
• профиль zbMATH
• Введите запрос «von neumann» в цифровом репозитории Института перспективных исследований.
• Фон Нейман против Дирака о квантовой теории и математической строгости – из Стэнфордской энциклопедии философии
• Квантовая логика и теория вероятностей - из Стэнфордской энциклопедии философии
• Файлы ФБР на Джона фон Неймана опубликованы через FOI
• Биографическое видео Дэвида Брейлсфорда (почетный профессор компьютерных наук имени Джона Данфорда в Ноттингемском университете)
• Джон фон Нейман: пророк 21 века. Документальный фильм Arte 2013 года о Джоне фон Неймане и его влиянии на современный мир (на немецком и французском языках с английскими субтитрами).
• Джон фон Нейман - Документальный фильм 1966 года. Подробный документальный фильм Математической ассоциации Америки, содержащий замечания нескольких его коллег, включая Улама, Вигнера, Халмоша, Моргенштерна, Бете, Голдстайна, Штрауса и Теллера.