В математике проективная геометрия — это изучение геометрических свойств , инвариантных относительно проективных преобразований . Это означает, что по сравнению с элементарной евклидовой геометрией проективная геометрия имеет другую настройку, проективное пространство и выборочный набор основных геометрических понятий. Основные интуиции заключаются в том, что проективное пространство имеет больше точек, чем евклидово пространство , для данного измерения, и что разрешены геометрические преобразования , которые преобразуют дополнительные точки (называемые « точками на бесконечности ») в евклидовы точки, и наоборот.
Свойства, значимые для проективной геометрии, учитываются этой новой идеей трансформации, которая более радикальна по своим последствиям, чем может быть выражена с помощью матрицы трансформации и трансляций ( аффинных трансформаций ). Первый вопрос для геометров заключается в том, какая геометрия подходит для новой ситуации. Невозможно относиться к углам в проективной геометрии так, как это происходит в евклидовой геометрии , потому что угол является примером понятия, не инвариантного относительно проективных преобразований, как это видно при перспективном рисовании с изменяющейся точки зрения. Одним из источников проективной геометрии действительно была теория перспективы. Еще одним отличием от элементарной геометрии является то, как можно сказать, что параллельные линии встречаются в бесконечной точке , если эту концепцию перевести в термины проективной геометрии. Опять же, это понятие имеет интуитивную основу, например, железнодорожные пути, встречающиеся на горизонте на перспективном рисунке. См. Проекционную плоскость , чтобы узнать об основах проективной геометрии в двух измерениях.
Хотя идеи были доступны и раньше, проективная геометрия была в основном развитием 19 века. Это включало теорию комплексного проективного пространства , в которой используемые координаты ( однородные координаты ) были комплексными числами. Несколько основных типов более абстрактной математики (включая теорию инвариантов , итальянскую школу алгебраической геометрии и Эрлангенскую программу Феликса Кляйна , приведшую к изучению классических групп ) были мотивированы проективной геометрией. Этот предмет, как синтетическая геометрия , интересовал многих практиков сам по себе . Другая тема, развившаяся в результате аксиоматических исследований проективной геометрии, — это конечная геометрия .
Сама тема проективной геометрии теперь разделена на множество исследовательских подтем, двумя примерами которых являются проективная алгебраическая геометрия (изучение проективных многообразий ) и проективная дифференциальная геометрия (исследование дифференциальных инвариантов проективных преобразований).
Проективная геометрия — это элементарная неметрическая форма геометрии, то есть она не основана на понятии расстояния. В двух измерениях оно начинается с изучения конфигураций точек и линий . То, что в этой редкой обстановке действительно существует некоторый геометрический интерес, было впервые установлено Дезаргом и другими в их исследовании принципов перспективного искусства . [1] В пространствах более высоких размерностей рассматриваются гиперплоскости (которые всегда встречаются) и другие линейные подпространства, которые демонстрируют принцип двойственности. Простейшая иллюстрация двойственности находится на проективной плоскости, где утверждения «две различные точки определяют единственную линию» (т. е. линию, проходящую через них) и «две различные прямые определяют единственную точку» (т. е. точку их пересечения) показывают одно и то же. структура как предложения. Проективную геометрию можно также рассматривать как геометрию конструкций, содержащих только линейку . [2] Поскольку проективная геометрия исключает конструкции циркуля , здесь нет ни кругов, ни углов, ни измерений, ни параллелей, ни понятия промежуточного состояния (или «между»). [3] Стало понятно, что теоремы, применимые к проективной геометрии, представляют собой более простые утверждения. Например, все различные конические сечения эквивалентны в (комплексной) проективной геометрии, и некоторые теоремы об окружностях можно рассматривать как частные случаи этих общих теорем.
В начале 19 века работы Жана-Виктора Понселе , Лазара Карно и других установили проективную геометрию как независимую область математики . [3] Его строгие основы были заложены Карлом фон Штаудтом и усовершенствованы итальянцами Джузеппе Пеано , Марио Пьери , Алессандро Падоа и Джино Фано в конце 19 века. [4] Проективная геометрия, подобно аффинной и евклидовой геометрии , также может быть разработана на основе Эрлангенской программы Феликса Кляйна; Проективная геометрия характеризуется инвариантами относительно преобразований проективной группы .
Таким образом, после долгой работы над очень большим количеством теорем по этому предмету стали понятны основы проективной геометрии. Структура инцидентности и перекрестное отношение являются фундаментальными инвариантами относительно проективных преобразований. Проективную геометрию можно смоделировать с помощью аффинной плоскости (или аффинного пространства) плюс линии (гиперплоскости) «на бесконечности», а затем рассматривать эту линию (или гиперплоскость) как «обычную». [5] Алгебраическая модель для выполнения проективной геометрии в стиле аналитической геометрии задается однородными координатами. [6] [7] С другой стороны, аксиоматические исследования выявили существование недезарговых плоскостей , примеры, показывающие, что аксиомы инцидентности могут быть смоделированы (только в двух измерениях) структурами, недоступными для рассуждений через однородные системы координат.
В фундаментальном смысле проективная геометрия и упорядоченная геометрия являются элементарными, поскольку они включают минимум аксиом , и любая из них может использоваться в качестве основы для аффинной и евклидовой геометрии . [8] [9] Проективная геометрия не «упорядочена» [3] и поэтому является отдельной основой геометрии.
Первые геометрические свойства проективной природы были открыты в III веке Паппом Александрийским . [3] Филиппо Брунеллески (1404–1472) начал исследовать геометрию перспективы в 1425 году [ 10] ( более подробное обсуждение работ в изобразительном искусстве, которые мотивировали большую часть развития проективной геометрии, см. в истории перспективы). Иоганн Кеплер (1571–1630) и Жирар Дезарг (1591–1661) независимо друг от друга разработали концепцию «точки бесконечности». [11] Дезарг разработал альтернативный способ построения перспективных рисунков, обобщив использование точек схода, включив в него случай, когда они находятся бесконечно далеко. Он превратил евклидову геометрию , в которой параллельные прямые действительно параллельны, в частный случай всеобъемлющей геометрической системы. Исследование Дезарга конических сечений привлекло внимание 16-летнего Блеза Паскаля и помогло ему сформулировать теорему Паскаля . Работы Гаспара Монжа конца 18 — начала 19 вв. сыграли важную роль в дальнейшем развитии проективной геометрии. Работа Дезарга игнорировалась до тех пор, пока Мишель Шаль случайно не наткнулся на рукописную копию в 1845 году. Тем временем Жан-Виктор Понсле опубликовал основополагающий трактат по проективной геометрии в 1822 году. Понселе исследовал проективные свойства объектов (инвариантные относительно центральной проекции) и: основываясь на своей теории на конкретном полюсе и полярном отношении по отношению к кругу, установил связь между метрическими и проективными свойствами. В конечном итоге было продемонстрировано, что неевклидовы геометрии , открытые вскоре после этого, имеют модели, такие как модель Клейна гиперболического пространства , относящиеся к проективной геометрии.
В 1855 году А. Ф. Мёбиус написал статью о перестановках, ныне называемых преобразованиями Мёбиуса , обобщенных окружностей на комплексной плоскости . Эти преобразования представляют собой проективности комплексной проективной прямой . При изучении линий в пространстве Юлиус Плюкер использовал в своем описании однородные координаты , а набор линий рассматривался на квадрике Клейна , одном из ранних вкладов проективной геометрии в новую область, называемую алгебраической геометрией , ответвлением аналитической геометрии . с проективными идеями.
Проективная геометрия сыграла важную роль в подтверждении предположений Лобачевского и Бояи относительно гиперболической геометрии , предоставив модели для гиперболической плоскости : [12] например, модель диска Пуанкаре , где обобщенные круги, перпендикулярные единичному кругу , соответствуют «гиперболическим линиям» ( геодезические ), а «переводы» этой модели описываются преобразованиями Мёбиуса, которые отображают единичный круг сам на себя. Расстояние между точками задается метрикой Кэли-Клейна , которая, как известно, инвариантна относительно сдвигов, поскольку зависит от перекрестного отношения , ключевого проективного инварианта. Переводы описываются по-разному: как изометрии в теории метрического пространства , как формально дробно-линейные преобразования и как проективные линейные преобразования проективной линейной группы , в данном случае SU(1, 1) .
Работы Понселе , Якоба Штайнера и других не были предназначены для расширения аналитической геометрии. Техники должны были быть синтетическими : фактически проективное пространство в его нынешнем понимании должно было быть введено аксиоматически. В результате переформулировать ранние работы по проективной геометрии так, чтобы они удовлетворяли современным стандартам строгости, может быть несколько сложно. Даже в случае одной только проективной плоскости аксиоматический подход может привести к моделям , которые невозможно описать с помощью линейной алгебры .
Этот период в геометрии опередил исследования общей алгебраической кривой Клебша , Римана , Макса Нётера и других, которые расширили существующие методы, а затем теория инвариантов . К концу века итальянская школа алгебраической геометрии ( Энрикес , Сегре , Севери ) вырвалась из традиционного предмета в область, требующую более глубоких техник.
Во второй половине XIX века детальное изучение проективной геометрии стало менее модным, хотя литература по этому поводу обширна. Некоторые важные работы были сделаны в перечислительной геометрии , в частности, Шубертом, которые теперь считаются предвосхищающими теорию классов Чженя , рассматриваемых как представление алгебраической топологии грассманианов .
Проективная геометрия позже оказалась ключом к изобретению Полем Дираком квантовой механики . На фундаментальном уровне открытие того, что квантовые измерения могут не коммутировать, встревожило и отговорило Гейзенберга , но прошлые исследования проективных плоскостей над некоммутативными кольцами, вероятно, снизили чувствительность Дирака. В более продвинутых работах Дирак использовал обширные рисунки по проективной геометрии, чтобы понять интуитивное значение своих уравнений, прежде чем описать свою работу исключительно в алгебраическом формализме. [13]
Проективная геометрия менее ограничительна, чем евклидова геометрия или аффинная геометрия . Это по своей сути неметрическая геометрия , а это означает, что факты не зависят от какой-либо метрической структуры. При проективных преобразованиях структура инцидентности и отношение проективных гармонических сопряжений сохраняются. Проективный диапазон является одномерным фундаментом. Проективная геометрия формализует один из центральных принципов перспективного искусства: параллельные линии встречаются в бесконечности и, следовательно, рисуются таким образом. По сути, проективную геометрию можно рассматривать как расширение евклидовой геометрии, в которой «направление» каждой линии рассматривается внутри линии как дополнительная «точка» и в которой «горизонт» направлений, соответствующий копланарным линиям, рассматривается как «линия». Таким образом, две параллельные линии встречаются на линии горизонта, поскольку они имеют одно и то же направление.
Идеализированные направления называются точками, уходящим в бесконечность, а идеализированные горизонты называются линиями, уходящим в бесконечность. В свою очередь, все эти линии лежат в плоскости на бесконечности. Однако бесконечность — это метрическое понятие, поэтому чисто проективная геометрия не выделяет в этом отношении никаких точек, линий или плоскостей — точки, находящиеся на бесконечности, рассматриваются так же, как и любые другие.
Поскольку евклидова геометрия содержится в проективной геометрии (а проективная геометрия имеет более простую основу), общие результаты евклидовой геометрии могут быть получены более прозрачным образом, когда отдельные, но похожие теоремы евклидовой геометрии могут рассматриваться коллективно в рамках проективной геометрии. геометрия. Например, параллельные и непараллельные линии не обязательно рассматривать как отдельные случаи; скорее произвольная проективная плоскость выделяется как идеальная плоскость и располагается «на бесконечности» с использованием однородных координат .
Дополнительные свойства фундаментальной важности включают теорему Дезарга и теорему Паппа . В проективных пространствах размерности 3 и более существует конструкция, позволяющая доказать теорему Дезарга . А вот для измерения 2 его нужно постулировать отдельно.
Используя теорему Дезарга в сочетании с другими аксиомами, можно определить основные арифметические операции геометрически. Полученные операции удовлетворяют аксиомам поля – за исключением того, что коммутативность умножения требует теоремы Паппа о шестиугольнике . В результате точки каждой линии находятся во взаимно однозначном соответствии с заданным полем F , дополненным дополнительным элементом ∞, таким, что r ⋅ ∞ = ∞ , −∞ = ∞ , r + ∞ = ∞ , r /0 = ∞ , r /∞ = 0 , ∞ − r = r − ∞ = ∞ , за исключением того, что 0/0 , ∞/∞ , ∞ + ∞ , ∞ − ∞ , 0 ⋅ ∞ и ∞ ⋅ 0 остаются неопределенными .
Проективная геометрия также включает полную теорию конических сечений — предмет, также широко развитый в евклидовой геометрии. Есть преимущества в мысли о гиперболе и эллипсе , различающихся только тем, как гипербола лежит поперек линии в бесконечности ; и что парабола отличается только тем, что касается одной и той же линии. Все семейство окружностей можно рассматривать как коники, проходящие через две заданные точки на бесконечной прямой — ценой необходимости использования сложных координат. Поскольку координаты не являются «синтетическими», их заменяют, фиксируя линию и две точки на ней и рассматривая в качестве основного объекта изучения линейную систему всех коник, проходящих через эти точки. Этот метод оказался очень привлекательным для талантливых геометров, и тема была тщательно изучена. Примером такого метода является многотомный трактат Х. Ф. Бейкера .
Существует множество проективных геометрий, которые можно разделить на дискретные и непрерывные: дискретная геометрия включает в себя набор точек, число которых может быть конечным , а может и нет, тогда как непрерывная геометрия имеет бесконечное количество точек без промежутков между ними.
Единственная проективная геометрия размера 0 — это одна точка. Проективная геометрия размерности 1 состоит из одной линии, содержащей не менее 3 точек. Геометрическое построение арифметических действий невозможно осуществить ни в одном из этих случаев. Для размерности 2 существует богатая структура в силу отсутствия теоремы Дезарга .
Наименьшая двумерная проективная геометрия (с наименьшим количеством точек) — это плоскость Фано , имеющая по 3 точки на каждой прямой, всего 7 точек и 7 прямых, имеющая следующие коллинеарности:
с однородными координатами A = (0,0,1) , B = (0,1,1) , C = (0,1,0) , D = (1,0,1) , E = (1,0, 0) , F = (1,1,1) , G = (1,1,0) или, в аффинных координатах, A = (0,0) , B = (0,1) , C = (∞) , D = (1,0) , E = (0) , F = (1,1) и G = (1) . Аффинные координаты на дезарговой плоскости для точек, обозначенных как точки, находящиеся на бесконечности (в данном примере: C, E и G), могут быть определены несколькими другими способами.
В стандартных обозначениях конечная проективная геометрия записывается PG( a , b ), где:
Таким образом, пример, имеющий всего 7 точек, записывается PG(2, 2) .
Термин «проективная геометрия» используется иногда для обозначения обобщенной базовой абстрактной геометрии, а иногда для обозначения конкретной геометрии, представляющей широкий интерес, такой как метрическая геометрия плоского пространства, которую мы анализируем с помощью однородных координат и в которой евклидовы геометрия может быть встроена (отсюда и ее название — расширенная евклидова плоскость ).
Фундаментальным свойством , выделяющим все проективные геометрии, является свойство эллиптической инцидентности : любые две различные прямые L и M на проективной плоскости пересекаются ровно в одной точке P. Особый случай аналитической геометрии параллельных прямых включает в себя более гладкую форму бесконечной линии, на которой лежит P. Таким образом, линия на бесконечности — это такая же линия, как и любая другая линия в теории: она никоим образом не является чем-то особенным или выдающимся. (В более позднем духе программы Эрлангена можно было бы указать на то, как группа преобразований может переместить любую линию на линию, находящуюся на бесконечности ).
Параллельные свойства эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрий контрастируют следующим образом:
Свойство параллельности эллиптической геометрии — это ключевая идея, которая приводит к принципу проективной двойственности, возможно, самому важному свойству, общим для всех проективных геометрий.
В 1825 году Жозеф Жергонн заметил принцип двойственности , характеризующий геометрию проективной плоскости: учитывая любую теорему или определение этой геометрии, замена точки на линию , лежащей на проходе , коллинеарной на параллельной , пересечения на соединении или наоборот, приводит к другому теорема или действительное определение, «двойственное» первому. Точно так же в трех измерениях отношение двойственности сохраняется между точками и плоскостями, позволяя преобразовать любую теорему путем замены точки и плоскости, содержится в и содержит. В более общем смысле, для проективных пространств размерности N существует двойственность между подпространствами размерности R и размерности N - R - 1 . Для N = 2 это специализируется на наиболее широко известной форме двойственности — между точками и линиями. Принцип двойственности был также открыт независимо Жаном-Виктором Понселе .
Чтобы установить двойственность, необходимо лишь установить теоремы, которые являются двойственными версиями аксиом для рассматриваемого измерения. Таким образом, для трехмерных пространств необходимо показать, что (1*) каждая точка лежит в трех различных плоскостях, (2*) каждые две плоскости пересекаются по единственной линии и двойственная версия (3*) с эффектом: если пересечение плоскостей P и Q компланарно с пересечением плоскостей R и S, то такими же являются и соответствующие пересечения плоскостей P и R, Q и S (при условии, что плоскости P и S отличны от Q и R).
На практике принцип двойственности позволяет установить двойственное соответствие между двумя геометрическими конструкциями. Самым известным из них является полярность или взаимность двух фигур на конической кривой (в 2-х измерениях) или на квадратичной поверхности (в 3-х измерениях). Обычный пример - возвратно-поступательное движение симметричного многогранника в концентрической сфере с получением двойственного многогранника.
Другой пример — теорема Брианшона , двойственная уже упомянутой теореме Паскаля , и одно из доказательств которой просто состоит в применении принципа двойственности к теореме Паскаля. Вот сравнительные формулировки этих двух теорем (в обоих случаях в рамках проективной плоскости):
Любая данная геометрия может быть выведена из соответствующего набора аксиом . Проективные геометрии характеризуются аксиомой «эллиптической параллельности», согласно которой любые две плоскости всегда встречаются только в одной прямой , или на плоскости любые две прямые всегда встречаются только в одной точке. Другими словами, в проективной геометрии не существует таких вещей, как параллельные линии или плоскости.
Было предложено множество альтернативных наборов аксиом проективной геометрии (см., например, Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980).
Эти аксиомы основаны на книге Уайтхеда «Аксиомы проективной геометрии». Существует два типа: точки и линии, а также одно отношение «инцидентности» между точками и линиями. Три аксиомы:
Причина, по которой предполагается, что каждая линия содержит не менее 3 точек, заключается в исключении некоторых вырожденных случаев. Пространства, удовлетворяющие этим трем аксиомам, либо имеют не более одной прямой, либо являются проективными пространствами некоторой размерности над телом , либо являются недесарговыми плоскостями .
Можно добавить дополнительные аксиомы, ограничивающие размерность или координатное кольцо. Например, «Проективная геометрия» Коксетера [14] ссылается на Веблена [15] в трех приведенных выше аксиомах вместе с еще пятью аксиомами, которые делают размерность 3 и координатное кольцо коммутативным полем с характеристикой, отличной от 2.
Можно продолжить аксиоматизацию, постулируя троичное отношение [ABC], обозначающее, когда три точки (не обязательно разные) лежат на одной прямой. В терминах этого соотношения также можно записать аксиоматизацию:
Для двух разных точек A и B линия AB определяется как состоящая из всех точек C, для которых [ABC]. Тогда аксиомы C0 и C1 обеспечивают формализацию G2; C2 для G1 и C3 для G3.
Понятие линии распространяется на плоскости и подпространства более высокой размерности. Таким образом, подпространство AB...XY может быть рекурсивно определено в терминах подпространства AB...X как подпространства, содержащего все точки всех линий YZ, поскольку Z пробегает AB...X. Затем коллинеарность обобщается до отношения «независимости». Множество точек {A, B, ..., Z} является независимым, [AB...Z], если {A, B, ..., Z} — минимальное порождающее подмножество подпространства AB...Z. .
Проективные аксиомы могут быть дополнены дальнейшими аксиомами, постулирующими пределы размерности пространства. Минимальная размерность определяется наличием независимого набора необходимого размера. Для наименьших размеров соответствующие условия могут быть сформулированы в эквивалентной форме следующим образом. Проективное пространство состоит из:
Максимальный размер также может быть определен аналогичным образом. Для низших размеров они принимают следующие формы. Проективное пространство состоит из:
и так далее. Это общая теорема (следствие аксиомы (3)), что все компланарные прямые пересекаются - тот самый принцип, который изначально была призвана воплотить проективная геометрия. Следовательно, свойство (M3) можно эквивалентно сформулировать: все прямые пересекаются друг с другом.
Обычно предполагается, что проективные пространства имеют размерность не менее 2. В некоторых случаях, если основное внимание уделяется проективным плоскостям, можно постулировать вариант M3. Например, аксиомы (Eves 1997: 111) включают (1), (2), (L3) и (M3). Аксиома (3) становится бессмысленной истинной при (M3) и поэтому не нужна в этом контексте.
В геометрии инцидентности большинство авторов [16] дают трактовку, которая рассматривает плоскость Фано PG(2, 2) как наименьшую конечную проективную плоскость. Система аксиом, которая достигает этого, выглядит следующим образом:
Во «Введении в геометрию» Коксетера [17] приведен список из пяти аксиом для более ограничительного понятия проективной плоскости, приписываемого Бахману, с добавлением теоремы Паппуса к приведенному выше списку аксиом (который исключает недесарговы плоскости ) и исключением проективных плоскостей над поля характеристики 2 (не удовлетворяющие аксиоме Фано). Заданные таким образом ограниченные плоскости больше напоминают реальную проективную плоскость .
Учитывая три неколлинеарные точки , есть три соединяющие их линии, но если точки четыре, а не три, то есть шесть соединяющих линий и три дополнительные «диагональные точки», определяемые их пересечениями. Наука проективная геометрия улавливает этот излишек, определяемый четырьмя точками, посредством четверичного отношения и проективностей, которые сохраняют полную конфигурацию четырехугольника .
Гармоническая четверка точек на прямой возникает, когда существует полный четырехугольник, две диагональные точки которого находятся в первой и третьей позициях четверки, а две другие позиции являются точками на прямых, соединяющих две точки четырехугольника через третью диагональную точку. . [18]
Пространственная перспективность проективной конфигурации в одной плоскости порождает такую же конфигурацию в другой, причем это относится и к конфигурации полного четырехугольника. Таким образом, гармонические четверки сохраняют перспективность. Если одна перспектива следует за другой, конфигурации следуют за ней. Композиция двух перспектив — это уже не перспектива, а проективность .
Хотя все соответствующие точки перспективы сходятся в одной точке, эта сходимость неверна для проективности, которая не является перспективой. В проективной геометрии особый интерес представляют пересечения линий, образованных соответствующими точками проективности на плоскости. Множество таких пересечений называется проективной коникой , а в знак признания работы Якоба Штайнера — коикой Штейнера .
Предположим, что проективность образована двумя перспективами с центрами в точках A и B , связывающими x с X посредством посредника p :
Проективность тогда Тогда, учитывая проективность, индуцированная коника равна
Учитывая конику C и точку P, не лежащую на ней, две различные секущие линии, проходящие через P , пересекают C в четырех точках. Эти четыре точки определяют четырехугольник, диагональной точкой которого является P. Линия, проходящая через две другие диагональные точки, называется полярой P , а P — полюсом этой линии. [19] Альтернативно, полярная линия P представляет собой набор проективных гармонических сопряжений P на переменной секущей линии, проходящей через P и C .
