Модель диска Пуанкаре

Модель гиперболической геометрии

Диск Пуанкаре с гиперболическими параллельными прямыми

Модель диска Пуанкаре усеченной тригептагональной мозаики .

В геометрии модель диска Пуанкаре , также называемая моделью конформного диска , представляет собой модель двумерной гиперболической геометрии , в которой все точки находятся внутри единичного диска , а прямые линии представляют собой либо дуги окружностей, содержащиеся внутри диска, которые ортогональны единичной окружности, либо диаметры единичной окружности.

Группа сохраняющих ориентацию изометрий дисковой модели задается проективной специальной унитарной группой PSU(1,1) , фактором специальной унитарной группы SU(1,1) по ее центру { I , − I } .

Наряду с моделью Клейна и моделью полупространства Пуанкаре , она была предложена Эудженио Бельтрами, который использовал эти модели, чтобы показать, что гиперболическая геометрия равносогласована с евклидовой геометрией . Она названа в честь Анри Пуанкаре , потому что его повторное открытие этого представления четырнадцать лет спустя стало более известным, чем оригинальная работа Бельтрами. ^[1]

Модель шара Пуанкаре представляет собой аналогичную модель для 3-мерной или n- мерной гиперболической геометрии, в которой точки геометрии находятся в n -мерном единичном шаре .

История

Модель диска была впервые описана Бернхардом Риманом в лекции 1854 года (опубликованной в 1868 году), которая вдохновила Эудженио Бельтрами на его статью 1868 года . ^[2] Анри Пуанкаре использовал ее в своей трактовке гиперболических, параболических и эллиптических функций 1882 года, ^[3] но она стала широко известна после презентации Пуанкаре в его философском трактате 1905 года « Наука и гипотеза» . ^[4] Там он описывает мир, теперь известный как диск Пуанкаре, в котором пространство было евклидовым, но который, как казалось его обитателям, удовлетворял аксиомам гиперболической геометрии:

«Предположим, например, мир, заключенный в большую сферу и подчиняющийся следующим законам: Температура не является однородной; она наибольшая в их центре и постепенно уменьшается по мере нашего движения к окружности сферы, где она равна абсолютному нулю . Закон этой температуры следующий: Если - радиус сферы и расстояние рассматриваемой точки от центра, то абсолютная температура будет пропорциональна . Далее, я предположу, что в этом мире все тела имеют одинаковый коэффициент расширения , так что линейное расширение любого тела пропорционально его абсолютной температуре. Наконец, я предположу, что тело, перемещенное из одной точки в другую с другой температурой, мгновенно приходит в тепловое равновесии со своей новой средой. ... Если они построят геометрию, она не будет похожа на нашу, которая является изучением движений наших неизменных твердых тел; это будет изучение изменений положения, которые они таким образом выделили, и будут «неевклидовыми перемещениями», и это будет неевклидовой геометрией . Так что существа, подобные нам, воспитанные в таком мире, не будут иметь ту же геометрию, что и наша». ^[4] (стр.65-68) ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R^{2}-r^{2}}$

Диск Пуанкаре был важным доказательством гипотезы о том, что выбор пространственной геометрии является условным, а не фактическим, особенно в влиятельных философских дискуссиях Рудольфа Карнапа ^[5] и Ганса Райхенбаха ^[6] .

Линии и расстояние

Диск Пуанкаре с тремя ультрапараллельными (гиперболическими) прямыми

Гиперболические прямые линии или геодезические состоят из всех дуг евклидовых окружностей, содержащихся внутри диска, которые ортогональны границе диска, а также всех диаметров диска.

Расстояния в этой модели являются метриками Кэли–Клейна . Если заданы две различные точки p и q внутри диска, единственная гиперболическая линия, соединяющая их, пересекает границу в двух идеальных точках a и b . Обозначим их так, чтобы точки были в следующем порядке: a , p , q , b , то есть так, чтобы | aq | > | ap | и | pb | > | qb | .

Тогда гиперболическое расстояние между p и q равно ^[7]

$${\displaystyle d(p,q)=\ln {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}.}$$

Вертикальные полосы указывают евклидову длину отрезка прямой, соединяющей точки между собой в модели (не по дуге окружности); ln — натуральный логарифм .

Эквивалентно, если u и v — два вектора в действительном n -мерном векторном пространстве R ⁿ с обычной евклидовой нормой, оба из которых имеют норму меньше 1, то мы можем определить изометрический инвариант следующим образом:

${\displaystyle \delta (u,v)=2{\frac {\lVert u-v\rVert ^{2}}{(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{2})}}\,,}$

где обозначает обычную евклидову норму. Тогда функция расстояния равна ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$

${\displaystyle {\begin{aligned}d(u,v)&=\operatorname {arcosh} (1+\delta (u,v))\\&=2\operatorname {arsinh} {\sqrt {\frac {\delta (u,v)}{2}}}\\\,&=2\ln {\frac {\lVert u-v\rVert +{\sqrt {\lVert u\rVert ^{2}\lVert v\rVert ^{2}-2u\cdot v+1}}}{\sqrt {(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{2})}}}.\end{aligned}}}$

Такая функция расстояния определяется для любых двух векторов с нормой меньше единицы и превращает множество таких векторов в метрическое пространство, которое является моделью гиперболического пространства постоянной кривизны −1. Модель обладает конформным свойством, заключающимся в том, что угол между двумя пересекающимися кривыми в гиперболическом пространстве равен углу в модели.

Специализируясь на случае, когда одна из точек является началом координат, а евклидово расстояние между точками равно r , гиперболическое расстояние равно: где — обратная гиперболическая функция гиперболического тангенса . Если две точки лежат на одном радиусе и точка лежит между началом координат и точкой , их гиперболическое расстояние равно Это сводится к предыдущему частному случаю, если . $${\displaystyle \ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=2\operatorname {artanh} r}$$ ${\displaystyle \operatorname {artanh} }$ ${\displaystyle x'=(r',\theta )}$ ${\displaystyle x=(r,\theta )}$ $${\displaystyle \ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\cdot {\frac {1-r'}{1+r'}}\right)=2(\operatorname {artanh} r-\operatorname {artanh} r').}$$ ${\displaystyle r'=0}$

Метрика и кривизна

Модель Пуанкаре « шар » гиперболических правильных икосаэдрических сот , {3,5,3}

Соответствующий метрический тензор модели диска Пуанкаре определяется выражением ^[8]

${\displaystyle ds^{2}=4{\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{\left(1-\sum _{i}x_{i}^{2}\right)^{2}}}={\frac {4\,\lVert d\mathbf {x} \rVert {\vphantom {l}}^{2}}{{\bigl (}1-\lVert \mathbf {x} \rVert {\vphantom {l}}^{2}{\bigr )}^{2}}}}$

где x _i — декартовы координаты окружающего евклидова пространства.

Ортонормированный фрейм относительно этой римановой метрики задается формулой

${\displaystyle e_{i}={\frac {1}{2}}{\Bigl (}1-|\mathbf {x} |^{2}{\Bigr )}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},}$

с двойной корамой 1-формы

${\displaystyle \theta ^{i}={\frac {2}{1-|\mathbf {x} |{\vphantom {l}}^{2}}}\,dx^{i}.}$

В двух измерениях

В двух измерениях, относительно этих фреймов и связности Леви-Чивиты , формы связности задаются единственной кососимметричной матрицей 1-форм , которая не имеет кручения , т.е. удовлетворяет матричному уравнению . Решение этого уравнения для дает ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle 0=d\theta +\omega \wedge \theta }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega ={\frac {2(y\,dx-x\,dy)}{1-|\mathbf {x} |{\vphantom {l}}^{2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},}$

где матрица кривизны равна

${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega =d\omega +0={\frac {-4\,dx\wedge dy}{{\bigl (}1-|\mathbf {x} |{\vphantom {l}}^{2}{\bigr )}^{2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

Следовательно, кривизна гиперболического диска равна

${\displaystyle K=\Omega _{2}^{1}(e_{1},e_{2})=-1.}$

Строительство линий

С помощью циркуля и линейки

Единственная гиперболическая прямая, проходящая через две точки , но не через диаметр граничной окружности, может быть построена следующим образом: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

• пусть будет инверсией в граничной окружности точки ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle P}$
• пусть будет инверсией в граничной окружности точки ${\displaystyle Q'}$ ${\displaystyle Q}$
• пусть будет серединой отрезка ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle PP'}$
• пусть будет серединой отрезка ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle QQ'}$
• Проведите линию , перпендикулярную отрезку ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle PP'}$
• Проведите линию , перпендикулярную отрезку ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle QQ'}$
• пусть будет там, где пересекаются прямая и прямая . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$
• Нарисуйте окружность с центром , проходящую через (и ). ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$
• Часть окружности , находящаяся внутри диска, является гиперболической линией. ${\displaystyle c}$

Если P и Q находятся на диаметре граничной окружности, то этот диаметр является гиперболической линией.

Другой способ:

• пусть будет серединой отрезка ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle PQ}$
• Проведите линию m через перпендикуляр к отрезку ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle PQ}$
• пусть будет инверсией в граничной окружности точки ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle P}$
• пусть будет серединой отрезка ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle PP'}$
• Проведите линию , перпендикулярную отрезку ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle PP'}$
• пусть будет там, где пересекаются прямая и прямая . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$
• Нарисуйте окружность с центром , проходящую через (и ). ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$
• Часть окружности , находящаяся внутри диска, является гиперболической линией. ${\displaystyle c}$

Аналитической геометрией

Базовая конструкция аналитической геометрии — найти линию, проходящую через две заданные точки. В модели диска Пуанкаре линии на плоскости определяются частями окружностей, имеющими уравнения вида

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by+1=0\,,}$

которая является общей формой окружности, ортогональной единичной окружности, или же диаметрами. Даны две точки u = (u ₁ ,u ₂ ) и v = (v ₁ ,v ₂ ) в диске, которые не лежат на диаметре, мы можем решить для окружности этой формы, проходящей через обе точки, и получить

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&{}+{\frac {u_{2}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+1)-v_{2}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x\\[8pt]&{}+{\frac {v_{1}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+1)-u_{1}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.\end{aligned}}}$

Если точки u и v являются точками на границе диска, не лежащими на концах диаметра, то вышеизложенное упрощается до

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+{\frac {2(u_{2}-v_{2})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x+{\frac {2(v_{1}-u_{1})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.}$

Углы

Мы можем вычислить угол между дугой окружности, конечные точки ( идеальные точки ) которой заданы единичными векторами u и v , и дугой, конечные точки которой являются s и t , с помощью формулы. Поскольку идеальные точки одинаковы в модели Клейна и модели диска Пуанкаре, формулы идентичны для каждой модели.

Если линии обеих моделей являются диаметрами, так что v = − u и t = − s , то мы просто находим угол между двумя единичными векторами, а формула для угла θ имеет вид

${\displaystyle \cos(\theta )=u\cdot s\,.}$

Если v = − u , но не t = − s , то формула принимает вид, в терминах клинового произведения ( ), ${\displaystyle \wedge }$

${\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}},}$

где

${\displaystyle P=u\cdot (s-t)\,,}$

${\displaystyle Q=u\cdot u\,,}$

${\displaystyle R=(s-t)\cdot (s-t)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)\,.}$

Если обе хорды не являются диаметрами, то получается общая формула

${\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}}\,,}$

где

${\displaystyle P=(u-v)\cdot (s-t)-(u\wedge v)\cdot (s\wedge t)\,,}$

${\displaystyle Q=(u-v)\cdot (u-v)-(u\wedge v)\cdot (u\wedge v)\,,}$

${\displaystyle R=(s-t)\cdot (s-t)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)\,.}$

Используя тождество Бине–Коши и тот факт, что это единичные векторы, мы можем переписать приведенные выше выражения исключительно в терминах скалярного произведения , как

${\displaystyle P=(u-v)\cdot (s-t)+(u\cdot t)(v\cdot s)-(u\cdot s)(v\cdot t)\,.}$

${\displaystyle Q=(1-u\cdot v)^{2}\,,}$

${\displaystyle R=(1-s\cdot t)^{2}\,.}$

Циклы

На евклидовой плоскости обобщенные окружности (кривые постоянной кривизны) — это прямые и окружности. На сфере — это большие и малые окружности . На гиперболической плоскости существует 4 различных типа обобщенных окружностей или циклов : окружности, орициклы, гиперциклы и геодезические (или «гиперболические линии»). В модели диска Пуанкаре все они представлены прямыми линиями или окружностями.

Евклидова окружность:

• которая полностью находится внутри диска, является гиперболической окружностью ;
• которая находится внутри диска и касается его границы, является орициклом ;
• которая пересекает границу ортогонально, является гиперболической линией ; и
• который пересекает границу неортогонально, является гиперциклом .

Евклидова хорда граничной окружности:

• которая проходит через центр, является гиперболической линией; и
• который не проходит через центр, является гиперциклом.

Круги

Окружность (множество всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии от заданной точки, ее центра) — это окружность, полностью находящаяся внутри диска, не касающаяся и не пересекающая его границу. Гиперболический центр окружности в модели в общем случае не соответствует евклидову центру окружности, но они находятся на одном радиусе диска Пуанкаре. (Евклидов центр всегда ближе к центру диска, чем гиперболический центр.)

Гиперциклы

Гиперцикл (множество всех точек плоскости, которые находятся по одну сторону и на заданном расстоянии от заданной прямой, ее оси) — это дуга евклидовой окружности или хорда граничной окружности, которая пересекает граничную окружность под положительным, но не прямым углом . Ее ось — это гиперболическая линия, которая разделяет те же две идеальные точки . Это также известно как эквидистантная кривая.

Ороциклы

Синий орицикл в модели диска Пуанкаре и некоторые красные нормали. Нормали сходятся асимптотически к верхней центральной идеальной точке .

Орицикл (кривая, нормальные или перпендикулярные геодезические линии которой являются предельными параллелями , все из которых асимптотически сходятся к одной и той же идеальной точке ) — это окружность внутри диска, которая касается граничной окружности диска. Точка, в которой она касается граничной окружности, не является частью орицикла. Это идеальная точка и гиперболический центр орицикла. Это также точка, к которой сходятся все перпендикулярные геодезические линии.

В модели диска Пуанкаре евклидовы точки, представляющие противоположные «концы» орицикла, сходятся к его центру на граничной окружности, но в гиперболической плоскости каждая точка орицикла бесконечно далека от его центра, а противоположные концы орицикла не соединены. (Евклидова интуиция может быть обманчивой, поскольку масштаб модели увеличивается до бесконечности на граничной окружности.)

Связь с другими моделями гиперболической геометрии

модель диска Пуанкаре (линия P ) и их связь с другими моделями

Связь с моделью диска Клейна

Модель Бельтрами–Клейна (или модель диска Клейна) и диск Пуанкаре — это обе модели, которые проецируют всю гиперболическую плоскость в диск . Две модели связаны посредством проекции на модель полусферы или из нее . Модель диска Клейна является ортографической проекцией на модель полусферы, в то время как модель диска Пуанкаре является стереографической проекцией .

Преимущество модели диска Клейна заключается в том, что линии в этой модели являются евклидовыми прямыми хордами . Недостатком является то, что модель диска Клейна не является конформной (окружности и углы искажены).

При проецировании одних и тех же прямых в обеих моделях на один диск обе прямые проходят через одни и те же две идеальные точки (идеальные точки остаются на тех же местах), также полюс хорды в модели диска Клейна является центром окружности, содержащей дугу в модели диска Пуанкаре.

Точка ( x , y ) в модели диска Пуанкаре отображается в модель Клейна. ${\textstyle \left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}}\ ,\ {\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)}$

Точка ( x , y ) в модели Клейна отображается в модель диска Пуанкаре. ${\textstyle \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\ ,\ \ {\frac {y}{1+{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\right)}$

Для идеальных точек формулы становятся такими, что точки фиксируются. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle x=x\ ,\ y=y}$

Если — вектор нормы меньше единицы, представляющий точку модели диска Пуанкаре, то соответствующая точка модели диска Клейна задается выражением: ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle s={\frac {2u}{1+u\cdot u}}.}$$

Наоборот, из вектора нормы меньше единицы, представляющего точку модели Бельтрами–Клейна, соответствующая точка модели диска Пуанкаре задается выражением: ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle u={\frac {s}{1+{\sqrt {1-s\cdot s}}}}={\frac {\left(1-{\sqrt {1-s\cdot s}}\right)s}{s\cdot s}}.}$$

Связь с моделью полуплоскости Пуанкаре

Модель диска Пуанкаре и модель полуплоскости Пуанкаре названы в честь Анри Пуанкаре .

Если — комплексное число с нормой меньше единицы, представляющее точку модели диска Пуанкаре, то соответствующая точка модели полуплоскости задается обратным преобразованием Кэли: ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle s={\frac {u+i}{iu+1}}.}$$

Точка ( x , y ) в модели диска отображается в модели полуплоскости. ^[9] ${\textstyle \left({\frac {2x}{x^{2}+(1-y)^{2}}}\ ,\ {\frac {1-x^{2}-y^{2}}{x^{2}+(1-y)^{2}}}\right)\,}$

Точка ( x , y ) в модели полуплоскости отображается в модели диска. ${\textstyle \left({\frac {2x}{x^{2}+(1+y)^{2}}}\ ,\ {\frac {x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+(1+y)^{2}}}\right)\,}$

Связь с моделью гиперболоида

Модель диска Пуанкаре, как и модель Клейна , связаны с моделью гиперболоида проективно . Если у нас есть точка [ t ,  x1 , ...,  xn _] на верхнем листе гиперболоида модели гиперболоида, тем самым определяя точку в модели гиперболоида, мы можем спроецировать ее на гиперплоскость _t =  0, пересекая ее с линией, проведенной через [−1, 0, ..., 0]. Результатом является соответствующая точка модели диска Пуанкаре.

Для декартовых координат ( t ,  x _i ) на гиперболоиде и ( y _i ) на плоскости формулы преобразования следующие: $${\displaystyle y_{i}={\frac {x_{i}}{1+t}}}$$ $${\displaystyle (t,x_{i})={\frac {\left(1+\sum {y_{i}^{2}},\,2y_{i}\right)}{1-\sum {y_{i}^{2}}}}\,.}$$

Сравните формулы стереографической проекции между сферой и плоскостью.

• 
  Модель гиперболоида можно представить в виде уравнения t ² = x ₁ ² + x ₂ ² + 1 , t > 1 . Его можно использовать для построения модели диска Пуанкаре как проекции , рассматриваемой из ( t = −1, x ₁ = 0, x ₂ = 0) , проецирующей верхнюю половину гиперболоида на единичный диск в момент t = 0 . Красная геодезическая в модели диска Пуанкаре проецируется на коричневую геодезическую на зеленом гиперболоиде.
• Анимация частичной гиперболической мозаики {7,3} гиперболоида, повернутого в перспективу Пуанкаре.

Художественные реализации

Треугольная гиперболическая мозаика (6,4,2), вдохновившая М.К. Эшера

MC Escher исследовал концепцию представления бесконечности на двумерной плоскости. Обсуждения с канадским математиком HSM Coxeter около 1956 года вдохновили Эшера на интерес к гиперболическим мозаикам , которые являются правильными мозаиками гиперболической плоскости. Гравюры Эшера на дереве Circle Limit I–IV демонстрируют эту концепцию между 1958 и 1960 годами, последней из которых была Circle Limit IV: Heaven and Hell в 1960 году. ^[10] По словам Бруно Эрнста, лучшая из них — Circle Limit III .

HyperRogue — игра в жанре roguelike, в которой в качестве геометрии мира используется гиперболическая плоскость, а также модель диска Пуанкаре.

Смотрите также

• Гиперболическая геометрия
• Модель Бельтрами–Клейна
• Модель полуплоскости Пуанкаре
• Метрика Пуанкаре
• Псевдосфера
• Модель гиперболоида
• Инверсионная геометрия
• Однородные мозаики на гиперболической плоскости

Ссылки

1. Пенроуз, Роджер (2004). Дорога к реальности: Полное руководство по законам Вселенной . Великобритания: Jonathan Cape. стр. 45. ISBN 0-224-04447-8.
2. Милнор, Джон У. «Гиперболическая геометрия: первые 150 лет». Бюллетень Американского математического общества 6, № 1 (1982): 9-24.
   Б. Риман, «Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grundeliegen», Abh. КГ Висс. Геттинген 13 (из его инаугурационной речи 1854 г.).

   Эухенио Бельтрами. «Фундаментальная теория пространства косой кривизны», Annali di mat. сер. II 2, 232–255 (Op. Mat. 1, 406–429; Ann. École Norm. Sup. 6 (1869), 345–375).

3. Пуанкаре, Х. (1 декабря 1882 г.). «Теория фуксиевых групп». Acta Mathematica (на французском языке). 1 (1): 1–62. дои : 10.1007/BF02592124 . ISSN  1871-2509. S2CID  120406828.
4. Пуанкаре, Анри (1905). Наука и гипотеза. Робартс - Университет Торонто. Лондон В. Скотт.
5. Карус, AW; Фридман, Майкл; Кинцлер, Вольфганг; Ричардсон, Алан; Шлоттер, Свен (2019-06-25). Рудольф Карнап: Ранние сочинения: Собрание сочинений Рудольфа Карнапа, том 1. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-106526-2.
6. Райхенбах, Ганс (2012-03-13). Философия пространства и времени. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13803-9.
7. Бергер, Марсель (1987) [1977]. "9.6 Модель Пуанкаре". Геометрия II . Перевод Коула, М.; Леви, С. Спрингера. стр. 339.
8. "Сравнение метрических тензоров дисковых моделей Пуанкаре и Клейна гиперболической геометрии". Stack Exchange . 23 мая 2015 г.
9. "Отображение модели диска Пуанкаре в модель полуплоскости Пуанкаре" . Получено 13 декабря 2015 г. .
10. Исследование предела круга Эшера

Дальнейшее чтение

• Джеймс У. Андерсон, Гиперболическая геометрия , второе издание, Springer, 2005.
• Эудженио Бельтрами, «Фундаментальная теория пространства кривизны» , Аннали. di Mat., сер II 2 (1868), 232–255.
• Сол Шталь, «Полуплоскость Пуанкаре» , Джонс и Бартлетт, 1993.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с моделями дисков Пуанкаре на Wikimedia Commons