Гиперболическая геометрия

Прямые, проходящие через заданную точку P и асимптотические к прямой R

В математике гиперболическая геометрия (также называемая геометрией Лобачевского или геометрией Бойяи - Лобачевского ) является неевклидовой геометрией . Постулат параллельности евклидовой геометрии заменяется на:

Для любой заданной прямой R и точки P, не лежащих на прямой R , в плоскости, содержащей как прямую R, так и точку P, существуют по крайней мере две различные прямые, проходящие через P , которые не пересекают R.

(Сравните вышесказанное с аксиомой Плейфера , современной версией постулата Евклида о параллельных прямых .)

Гиперболическая плоскость — это плоскость , где каждая точка является седловой . Геометрия гиперболической плоскости — это также геометрия псевдосферических поверхностей , поверхностей с постоянной отрицательной гауссовой кривизной . Седловые поверхности имеют отрицательную гауссову кривизну по крайней мере в некоторых областях, где они локально напоминают гиперболическую плоскость.

Гиперболоидная модель гиперболической геометрии обеспечивает представление событий на одну временную единицу в будущем в пространстве Минковского , основе специальной теории относительности . Каждое из этих событий соответствует быстроте в некотором направлении.

Когда геометры впервые поняли, что они работают с чем-то, отличным от стандартной евклидовой геометрии, они описали свою геометрию под многими разными названиями; Феликс Клейн, наконец, дал предмету название гиперболическая геометрия , чтобы включить его в редко используемую последовательность эллиптической геометрии ( сферическая геометрия ), параболической геометрии ( евклидова геометрия ) и гиперболической геометрии. В бывшем Советском Союзе ее обычно называют геометрией Лобачевского, по имени одного из ее первооткрывателей, русского геометра Николая Лобачевского .

Характеристики

Связь с евклидовой геометрией

Гиперболическая геометрия более тесно связана с евклидовой геометрией, чем кажется: единственное аксиоматическое отличие — это постулат о параллельности . Если из евклидовой геометрии удалить постулат о параллельности, то получится абсолютная геометрия . Существует два вида абсолютной геометрии: евклидова и гиперболическая. Все теоремы абсолютной геометрии, включая первые 28 предложений первой книги « Начал » Евклида , справедливы в евклидовой и гиперболической геометрии. Предложения 27 и 28 первой книги « Начал » Евклида доказывают существование параллельных/непересекающихся прямых.

Это различие также имеет много последствий: концепции, которые эквивалентны в евклидовой геометрии, не эквивалентны в гиперболической геометрии; необходимо ввести новые концепции. Кроме того, из-за угла параллельности гиперболическая геометрия имеет абсолютную шкалу , отношение между измерениями расстояния и угла.

Линии

Отдельные линии в гиперболической геометрии имеют точно такие же свойства, как отдельные прямые линии в евклидовой геометрии. Например, две точки однозначно определяют линию, а отрезки линий могут быть бесконечно расширены.

Две пересекающиеся прямые имеют те же свойства, что и две пересекающиеся прямые в евклидовой геометрии. Например, две различные прямые могут пересекаться не более чем в одной точке, пересекающиеся прямые образуют равные противолежащие углы, а смежные углы пересекающихся прямых являются дополнительными .

Когда вводится третья линия, то могут быть свойства пересекающихся линий, которые отличаются от пересекающихся линий в евклидовой геометрии. Например, если даны две пересекающиеся линии, то существует бесконечно много линий, которые не пересекают ни одну из данных линий.

Все эти свойства не зависят от используемой модели, даже если линии могут выглядеть совершенно по-разному.

Непересекающиеся/параллельные линии

Непересекающиеся прямые в гиперболической геометрии также обладают свойствами, которые отличаются от свойств непересекающихся прямых в евклидовой геометрии :

Для любой прямой R и любой точки P , которая не лежит на R , в плоскости, содержащей прямую R и точку P, существуют по крайней мере две различные прямые, проходящие через P , которые не пересекают R.

Это означает, что через точку P проходит бесконечное число копланарных прямых , не пересекающих R.

Эти непересекающиеся линии делятся на два класса:

Две из линий ( x и y на диаграмме) являются предельными параллелями (иногда называемыми критически параллельными, хоропараллельными или просто параллельными): по одной в направлении каждой из идеальных точек на «концах» R , асимптотически приближаясь к R , всегда приближаясь к R , но никогда не встречаясь с ним.
Все остальные непересекающиеся прямые имеют точку минимального расстояния и расходятся по обе стороны от этой точки и называются ультрапараллельными , расходящимися параллельными или иногда непересекающимися.

Некоторые геометры просто используют фразу « параллельные прямые» для обозначения « предельно параллельных прямых», а ультрапараллельные прямые означают просто непересекающиеся .

Эти предельные параллели образуют угол θ с PB ; этот угол зависит только от гауссовой кривизны плоскости и расстояния PB и называется углом параллельности .

Для ультрапараллельных прямых теорема об ультрапараллельности утверждает, что в гиперболической плоскости существует единственная прямая, перпендикулярная каждой паре ультрапараллельных прямых.

Круги и диски

В гиперболической геометрии длина окружности радиуса r больше . $2\pi r$

Пусть , где — гауссова кривизна плоскости. В гиперболической геометрии отрицательно, поэтому квадратный корень — положительное число. $R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}$ $K$ $K$

Тогда длина окружности радиуса r равна:

2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}\,.

А площадь замкнутого диска равна:

4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{2R}}=2\pi R^{2}\left(\cosh {\frac {r}{R}}-1\right)\,.

Таким образом, в гиперболической геометрии отношение длины окружности к ее радиусу всегда строго больше, чем , хотя его можно сделать сколь угодно близким, выбрав достаточно малую окружность. $2\pi$

Если гауссова кривизна плоскости равна −1, то геодезическая кривизна окружности радиуса r равна: ^[1] ${\frac {1}{\tanh(r)}}$

Гиперциклы и гороциклы

В гиперболической геометрии нет прямой, все точки которой равноудалены от другой прямой. Вместо этого точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от данной прямой, лежат на кривой, называемой гиперциклом .

Другой особой кривой является орицикл , нормальные радиусы которого ( перпендикулярные линии) все предельно параллельны друг другу (все асимптотически сходятся в одном направлении к одной и той же идеальной точке — центру орицикла).

Через каждую пару точек проходят два орицикла. Центры орициклов являются идеальными точками перпендикуляра к отрезку между ними.

Если взять любые три различные точки, то все они лежат либо на одной прямой, либо на гиперцикле, либо на орицикле , либо на окружности.

Длина отрезка — это наименьшая длина между двумя точками .

Длина дуги гиперцикла, соединяющего две точки, длиннее, чем длина отрезка прямой, и короче, чем длина дуги орицикла, соединяющего те же две точки.

Длины дуг обоих орициклов, соединяющих две точки, равны. И длиннее длины дуги любого гиперцикла, соединяющего точки, и короче дуги любой окружности, соединяющей две точки.

Если гауссова кривизна плоскости равна −1, то геодезическая кривизна орицикла равна 1, а кривизна гиперцикла находится в диапазоне от 0 до 1. ^[1]

Треугольники

В отличие от евклидовых треугольников, где углы всегда в сумме составляют π радиан (180°, прямой угол ), в гиперболическом пространстве сумма углов треугольника всегда строго меньше π радиан (180°). Разность называется дефектом . Обычно дефект выпуклого гиперболического многоугольника со сторонами равен сумме его углов, вычитаемой из . $n$ $(n-2)\cdot 180^{\circ }$

Площадь гиперболического треугольника определяется его дефектом в радианах, умноженным на R ² , что также верно для всех выпуклых гиперболических многоугольников. ^[2] Поэтому все гиперболические треугольники имеют площадь, меньшую или равную R ² π. Площадь гиперболического идеального треугольника , в котором все три угла равны 0°, равна этому максимуму.

Как и в евклидовой геометрии , каждый гиперболический треугольник имеет вписанную окружность . В гиперболическом пространстве, если все три его вершины лежат на орицикле или гиперцикле , то треугольник не имеет описанной окружности .

Как и в сферической и эллиптической геометрии , в гиперболической геометрии, если два треугольника подобны, они должны быть конгруэнтны.

Правильный апейрогон и псевдогон

Специальные многоугольники в гиперболической геометрии — это правильные апейрогоны и псевдогоны, однородные многоугольники с бесконечным числом сторон.

В евклидовой геометрии единственный способ построить такой многоугольник — это сделать так, чтобы длины сторон стремились к нулю, и апейрогон стал неотличим от окружности, или сделать так, чтобы внутренние углы стремились к 180°, и апейрогон приблизился к прямой линии.

Однако в гиперболической геометрии правильный апейрогон или псевдогон имеет стороны любой длины (т.е. он остается многоугольником с заметными сторонами).

Биссектрисы сторон и углов будут, в зависимости от длины стороны и угла между сторонами, ограничивающими или расходящимися параллельными. Если биссектрисы ограничивающие параллельные, то это апейрогон и может быть вписан и описан концентрическими орициклами .

Если биссектрисы расходятся параллельно, то это псевдогон, который может быть вписан и описан гиперциклами (все вершины находятся на одинаковом расстоянии от прямой, оси, а также середины боковых отрезков равноудалены от одной и той же оси).

Тесселяции

Подобно евклидовой плоскости, гиперболическую плоскость можно разбить на мозаику, используя в качестве граней правильные многоугольники .

Существует бесконечное число равномерных мозаик, основанных на треугольниках Шварца ( p q r ), где 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1, где p , q , r — каждый из порядков симметрии отражения в трех точках фундаментального треугольника домена , группа симметрии — это группа гиперболического треугольника . Существует также бесконечное число равномерных мозаик, которые не могут быть получены из треугольников Шварца, некоторые, например, требуют четырехугольников в качестве фундаментальных доменов. ^[3]

Стандартизированная гауссова кривизна

Хотя гиперболическая геометрия применима к любой поверхности с постоянной отрицательной гауссовой кривизной , обычно предполагается масштаб, в котором кривизна K равна −1.

Это приводит к упрощению некоторых формул. Вот несколько примеров:

Площадь треугольника равна дефекту его угла в радианах .
Площадь орициклического сектора равна длине его орициклической дуги.
Дуга орицикла , в которой прямая, касательная в одной конечной точке, является предельной и параллельной радиусу, проходящему через другую конечную точку, имеет длину 1. ^[4]
Отношение длин дуг между двумя радиусами двух концентрических орициклов , находящихся на расстоянии 1 друг от друга, равно e : 1. ^[4]

Системы координат, подобные декартовым

По сравнению с евклидовой геометрией, гиперболическая геометрия представляет множество трудностей для системы координат: сумма углов четырехугольника всегда меньше 360°; не существует равноудаленных линий, поэтому правильный прямоугольник должен быть заключен между двумя линиями и двумя гиперциклами; параллельный перенос отрезка прямой вокруг четырехугольника приводит к его вращению при возвращении в начало координат и т. д.

Однако существуют различные системы координат для гиперболической плоской геометрии. Все они основаны на выборе точки (начала координат) на выбранной направленной линии ( ось x ), и после этого существует множество вариантов.

Координаты Лобачевского x и y находятся путем опускания перпендикуляра на ось x . x будет меткой основания перпендикуляра. y будет расстоянием вдоль перпендикуляра к данной точке от его основания (положительным с одной стороны и отрицательным с другой).

Другая система координат измеряет расстояние от точки до орицикла через начало координат с центром вокруг и длину вдоль этого орицикла. ^[5] $(0,+\infty )$

Другие системы координат используют модель Клейна или модель диска Пуанкаре, описанную ниже, и принимают евклидовы координаты как гиперболические.

Расстояние

Декартовоподобная ^{[ требуется ссылка ]} система координат ( x, y ) на ориентированной гиперболической плоскости строится следующим образом. Выбираем прямую в гиперболической плоскости вместе с ориентацией и началом o на этой прямой. Затем:

Координата x точки — это знаковое расстояние ее проекции на прямую (основание перпендикулярного отрезка к прямой из этой точки) до начала координат;
Координата y — это знаковое расстояние от точки до прямой, причем знак зависит от того, находится ли точка на положительной или отрицательной стороне ориентированной прямой.

Расстояние между двумя точками, представленными как ( x_i, y_i ), i=1,2 в этой системе координат, равно ^{[ требуется ссылка ]} $\operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} \left(\cosh y_{1}\cosh(x_{2}-x_{1})\cosh y_{2}-\sinh y_{1}\sinh y_{2}\right)\,.$

Эту формулу можно вывести из формул гиперболических треугольников .

Соответствующее метрическое тензорное поле: . $(\mathrm {d} s)^{2}=\cosh ^{2}y\,(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}$

В этой системе координат прямые линии принимают одну из следующих форм (( x , y ) — точка на линии; x0 , _y0 , A и α — параметры) _:

ультрапараллельно оси x

\tanh(y)=\tanh(y_{0})\cosh(x-x_{0})

асимптотически параллельно на отрицательной стороне

\tanh(y)=A\exp(x)

асимптотически параллельно на положительной стороне

\tanh(y)=A\exp(-x)

пересекающиеся перпендикулярно

x=x_{0}

пересекающиеся под углом α

\tanh(y)=\tan(\alpha )\sinh(x-x_{0})

В общем случае эти уравнения будут справедливы только в ограниченной области ( значений x ). На краю этой области значение y увеличивается до ±бесконечности.

История

Со времени публикации «Начал» Евклида около 300 г. до н. э. многие геометры пытались доказать постулат о параллельных линиях . Некоторые пытались доказать его, предполагая его отрицание и пытаясь вывести противоречие . Наиболее выдающимися среди них были Прокл , Ибн аль-Хайтам (Альхасен), Омар Хайям , ^[6] Насир ад-Дин ат-Туси , Витело , Герсонид , Альфонсо , а позже Джованни Джероламо Саккери , Джон Уоллис , Иоганн Генрих Ламберт и Лежандр . ^[7] Их попытки были обречены на неудачу (как мы теперь знаем, постулат о параллельных линиях не доказуем из других постулатов), но их усилия привели к открытию гиперболической геометрии.

Теоремы Альхасена, Хайяма и ат-Туси о четырехугольниках , включая четырехугольник Ибн аль-Хайтама–Ламберта и четырехугольник Хайяма–Саккери , были первыми теоремами о гиперболической геометрии. Их работы по гиперболической геометрии оказали значительное влияние на ее развитие среди более поздних европейских геометров, включая Витело, Герсонида, Альфонсо, Джона Уоллиса и Саккери. ^[8]

В 18 веке Иоганн Генрих Ламберт ввел гиперболические функции ^[9] и вычислил площадь гиперболического треугольника . ^[10]

События 19-го века

В 19 веке гиперболическая геометрия была широко исследована Николаем Лобачевским , Яношем Бойяи , Карлом Фридрихом Гауссом и Францем Тауринусом . В отличие от своих предшественников, которые просто хотели исключить постулат параллельности из аксиом евклидовой геометрии, эти авторы поняли, что они открыли новую геометрию. ^[11]^[12]

В письме 1824 года к Францу Тауринусу Гаусс написал, что он построил ее, но Гаусс не опубликовал свою работу. Гаусс назвал ее « неевклидовой геометрией » ^[13], заставив нескольких современных авторов продолжать считать «неевклидову геометрию» и «гиперболическую геометрию» синонимами. Тауринус опубликовал результаты по гиперболической тригонометрии в 1826 году, утверждал, что гиперболическая геометрия является самосогласованной, но все еще верил в особую роль евклидовой геометрии. Полная система гиперболической геометрии была опубликована Лобачевским в 1829/1830 годах, в то время как Бойяи открыл ее независимо и опубликовал в 1832 году.

В 1868 году Эудженио Бельтрами предложил модели гиперболической геометрии и использовал их для доказательства того, что гиперболическая геометрия непротиворечива тогда и только тогда, когда непротиворечива евклидова геометрия.

Термин «гиперболическая геометрия» был введен Феликсом Клейном в 1871 году. ^[14] Клейн последовал инициативе Артура Кэли использовать преобразования проективной геометрии для создания изометрий . Идея использовала коническое сечение или квадрику для определения области и использовала перекрестное отношение для определения метрики . Проективные преобразования, которые оставляют коническое сечение или квадрику устойчивыми, являются изометриями. «Клейн показал, что если абсолют Кэли является действительной кривой, то часть проективной плоскости в ее внутренней части изометрична гиперболической плоскости...» ^[15]

Философские последствия

Открытие гиперболической геометрии имело важные философские последствия. До ее открытия многие философы (например, Гоббс и Спиноза ) рассматривали философскую строгость в терминах «геометрического метода», ссылаясь на метод рассуждения, используемый в « Началах» Евклида .

Кант в «Критике чистого разума» пришел к выводу, что пространство (в евклидовой геометрии ) и время не открываются людьми как объективные характеристики мира, а являются частью неизбежной систематической структуры для организации нашего опыта. ^[16]

Говорят, что Гаусс ничего не публиковал о гиперболической геометрии из-за страха перед «шумом беотийцев » (стереотипно представленных древними афинянами как тупицы ^[17] ), который разрушил бы его статус princeps mathematicorum (лат. «Князя математиков»). ^[18] «Шум беотийцев» пришел и ушел, и дал толчок к большим улучшениям в математической строгости , аналитической философии и логике . Гиперболическая геометрия была наконец доказана непротиворечивой и, следовательно, является еще одной допустимой геометрией.

Геометрия Вселенной (только пространственные измерения)

Поскольку евклидова, гиперболическая и эллиптическая геометрии непротиворечивы, возникает вопрос: какова истинная геометрия пространства, и если оно гиперболическое или эллиптическое, какова его кривизна?

Лобачевский уже пытался измерить кривизну Вселенной, измеряя параллакс Сириуса и рассматривая Сириус как идеальную точку угла параллелизма . Он понял, что его измерения недостаточно точны, чтобы дать определенный ответ, но он пришел к выводу, что если геометрия Вселенной гиперболическая, то абсолютная длина по крайней мере в миллион раз больше диаметра орбиты Земли (2 000 000 а.е. , 10 парсек ). ^[19] Некоторые утверждают, что его измерения были методологически ошибочными. ^[20]

Анри Пуанкаре с помощью своего мысленного эксперимента со сферическим миром пришел к выводу, что повседневный опыт не обязательно исключает другие геометрии.

Гипотеза геометризации дает полный список из восьми возможностей для фундаментальной геометрии нашего пространства. Проблема в определении того, какой из них применим, заключается в том, что для достижения окончательного ответа нам нужно иметь возможность рассматривать чрезвычайно большие формы — намного большие, чем что-либо на Земле или, возможно, даже в нашей галактике. ^[21]

Геометрия Вселенной (специальная теория относительности)

Специальная теория относительности ставит пространство и время на равные позиции, так что рассматривается геометрия единого пространства-времени, а не пространство и время по отдельности. ^[22]^[23] Геометрия Минковского заменяет галилеевскую геометрию (которая представляет собой трехмерное евклидово пространство со временем галилеевской теории относительности ). ^[24]

В теории относительности вместо евклидовой, эллиптической и гиперболической геометрии уместными геометриями для рассмотрения являются пространство Минковского , пространство де Ситтера и антиде Ситтера ^[25]^[26] , соответствующие нулевой, положительной и отрицательной кривизне соответственно.

Гиперболическая геометрия входит в специальную теорию относительности через быстроту , которая заменяет скорость , и выражается гиперболическим углом . Изучение этой геометрии скорости было названо кинематической геометрией . Пространство релятивистских скоростей имеет трехмерную гиперболическую геометрию, где функция расстояния определяется из относительных скоростей «близлежащих» точек (скоростей). ^[27]

Физические реализации гиперболической плоскости

«Гиперболический футбольный мяч» — бумажная модель, которая аппроксимирует (часть) гиперболической плоскости так же, как усеченный икосаэдр аппроксимирует сферу.

В евклидовом пространстве существуют различные псевдосферы , имеющие конечную площадь постоянной отрицательной гауссовой кривизны.

По теореме Гильберта невозможно изометрически погрузить полную гиперболическую плоскость (полную регулярную поверхность постоянной отрицательной гауссовой кривизны ) в трехмерное евклидово пространство.

Другие полезные модели гиперболической геометрии существуют в евклидовом пространстве, в котором метрика не сохраняется. Особенно известная бумажная модель, основанная на псевдосфере, принадлежит Уильяму Терстону .

Искусство вязания крючком использовалось для демонстрации гиперболических плоскостей, и первая такая демонстрация была сделана Дайной Тайминей . ^[28]

В 2000 году Кит Хендерсон продемонстрировал быстро изготавливаемую бумажную модель, названную « гиперболическим футбольным мячом » (точнее, усеченную треугольную мозаику порядка 7 ). ^[29]^[30]

Инструкции по изготовлению гиперболического одеяла, разработанные Хеламаном Фергюсоном ^[31], были предоставлены Джеффом Уиксом ^[32] .

Модели гиперболической плоскости

Различные псевдосферы — поверхности с постоянной отрицательной гауссовой кривизной — могут быть встроены в трехмерное пространство под стандартной евклидовой метрикой и, таким образом, могут быть превращены в осязаемые модели. Из них наиболее известен трактоид (или псевдосфера); использование трактоида в качестве модели гиперболической плоскости аналогично использованию конуса или цилиндра в качестве модели евклидовой плоскости. Однако всю гиперболическую плоскость нельзя встроить в евклидово пространство таким образом, и различные другие модели более удобны для абстрактного исследования гиперболической геометрии.

Существует четыре модели , обычно используемые для гиперболической геометрии: модель Клейна , модель диска Пуанкаре , модель полуплоскости Пуанкаре и модель Лоренца или гиперболоида . Эти модели определяют гиперболическую плоскость, которая удовлетворяет аксиомам гиперболической геометрии. Несмотря на свои названия, первые три упомянутые выше были введены как модели гиперболического пространства Бельтрами , а не Пуанкаре или Клейном . Все эти модели можно расширить до большего количества измерений.

Модель Бельтрами–Клейна

Модель Бельтрами–Клейна , также известная как модель проективного диска, модель диска Клейна и модель Клейна , названа в честь Эухенио Бельтрами и Феликса Клейна .

Для двух измерений эта модель использует внутреннюю часть единичной окружности для полной гиперболической плоскости , а хорды этой окружности являются гиперболическими прямыми.

Для более высоких измерений эта модель использует внутреннюю часть единичного шара , а хорды этого n -шара являются гиперболическими линиями.

Преимущество этой модели в том, что линии прямые, но недостаток в том, что углы искажены (отображение не является конформным ), а также окружности не представлены в виде окружностей.
Расстояние в этой модели равно половине логарифма двойственного отношения , которое было введено Артуром Кэли в проективной геометрии .

Модель диска Пуанкаре

Модель диска Пуанкаре , также известная как модель конформного диска, также использует внутреннюю часть единичной окружности , но линии представлены дугами окружностей, которые ортогональны граничной окружности, плюс диаметры граничной окружности.

Эта модель сохраняет углы и, таким образом, является конформной . Все изометрии в этой модели являются, следовательно, преобразованиями Мёбиуса .
Окружности, полностью находящиеся внутри диска, остаются окружностями, хотя евклидов центр окружности находится ближе к центру диска, чем гиперболический центр окружности.
Орициклы — это окружности внутри диска, которые касаются граничной окружности за вычетом точки контакта.
Гиперциклы — это открытые хорды и дуги окружностей внутри диска, которые заканчиваются на граничной окружности под неортогональными углами.

Модель полуплоскости Пуанкаре

Модель полуплоскости Пуанкаре берет половину евклидовой плоскости, ограниченную линией B плоскости, в качестве модели гиперболической плоскости. Линия B не включена в модель.

Евклидову плоскость можно принять за плоскость с декартовой системой координат , ось x принять за линию B , а полуплоскость — за верхнюю половину ( y > 0) этой плоскости.

Тогда гиперболические линии представляют собой либо полуокружности, ортогональные точке B , либо лучи , перпендикулярные точке B.
Длина интервала на луче задается логарифмической мерой , поэтому она инвариантна относительно гомотетического преобразования. $(x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y),\quad \lambda >0.$
Как и модель диска Пуанкаре, эта модель сохраняет углы и, таким образом, является конформной . Все изометрии в этой модели являются, следовательно, преобразованиями Мёбиуса плоскости.
Модель полуплоскости является пределом модели диска Пуанкаре, граница которой касается B в той же точке, а радиус модели диска стремится к бесконечности.

Модель гиперболоида

Модель гиперболоида или модель Лоренца использует 2-мерный гиперболоид вращения (из двух листов, но с использованием одного), встроенный в 3-мерное пространство Минковского . Эта модель обычно приписывается Пуанкаре, но Рейнольдс ^[33] говорит, что Вильгельм Киллинг использовал эту модель в 1885 году

Эта модель имеет прямое применение в специальной теории относительности , поскольку 3-пространство Минковского является моделью для пространства-времени , подавляя одно пространственное измерение. Можно взять гиперболоид для представления событий (положений в пространстве-времени), которых различные инерциально движущиеся наблюдатели, начиная с общего события, достигнут за фиксированное собственное время .
Гиперболическое расстояние между двумя точками гиперболоида затем можно определить по относительной скорости между двумя соответствующими наблюдателями.
Модель напрямую обобщается на дополнительное измерение: трехмерная гиперболическая геометрия трехмерного гиперболического пространства соответствует четырехмерному пространству Минковского.

Модель полушария

Модель полушария нечасто используется как самостоятельная модель, но она служит полезным инструментом для визуализации преобразований между другими моделями.

Модель полушария использует верхнюю половину единичной сферы : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,z>0.$

Гиперболические линии представляют собой полуокружности, ортогональные границе полушария.

Модель полушария является частью сферы Римана , а различные проекции дают различные модели гиперболической плоскости:

Стереографическая проекция на плоскость проецирует соответствующие точки на модель диска Пуанкаре $(0,0,-1)$ $z=0$
Стереографическая проекция на поверхность проецирует соответствующие точки на модель гиперболоида $(0,0,-1)$ $x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1,z>0$
Стереографическая проекция на плоскость проецирует соответствующие точки на модель полуплоскости Пуанкаре $(-1,0,0)$ $x=1$
Ортографическая проекция на плоскость проецирует соответствующие точки на модель Бельтрами–Клейна . $z=C$
Центральная проекция из центра сферы на плоскость проецирует соответствующие точки на модель Ганса. $z=1$

Модель Ганса

В 1966 году Дэвид Ганс предложил модель сплющенного гиперболоида в журнале American Mathematical Monthly . ^[34] Это ортографическая проекция модели гиперболоида на плоскость xy. Эта модель не так широко используется, как другие модели, но тем не менее весьма полезна для понимания гиперболической геометрии.

В отличие от моделей Клейна или Пуанкаре, эта модель использует всю евклидову плоскость .
Линии в этой модели представлены как ветви гиперболы . [ ^35]

Модель группы

Модель полосы использует часть евклидовой плоскости между двумя параллельными прямыми. ^[36] Расстояние сохраняется вдоль одной прямой через середину полосы. Предполагая, что полоса задана как , метрика задается как . $\{z\in \mathbb {C} :|\operatorname {Im} z|<\pi /2\}$ $|dz|\sec(\operatorname {Im} z)$

Связь между моделями

Модели диска Пуанкаре, полусферы и гиперболоида связаны стереографической проекцией от −1. Модель Бельтрами–Клейна является ортографической проекцией полусферической модели. Модель полуплоскости Пуанкаре здесь спроецирована из полусферической модели лучами с левого конца модели диска Пуанкаре.

Все модели по сути описывают одну и ту же структуру. Разница между ними в том, что они представляют собой разные координатные карты, наложенные на одно и то же метрическое пространство , а именно гиперболическую плоскость. Характерной чертой самой гиперболической плоскости является то, что она имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну , которая безразлична к используемой координатной карте. Геодезические также инвариантны: то есть геодезические отображаются в геодезические при преобразовании координат. Гиперболическая геометрия обычно вводится в терминах геодезических и их пересечений на гиперболической плоскости. ^[37]

Как только мы выбираем координатную карту (одну из «моделей»), мы всегда можем встроить ее в евклидово пространство той же размерности, но вложение явно не изометрично (так как кривизна евклидова пространства равна 0). Гиперболическое пространство может быть представлено бесконечным количеством различных карт; но вложения в евклидово пространство благодаря этим четырем конкретным картам показывают некоторые интересные характеристики.

Поскольку четыре модели описывают одно и то же метрическое пространство, каждая из них может быть преобразована в другую.

См., например:

Изометрии гиперболической плоскости

Каждая изометрия ( преобразование или движение ) гиперболической плоскости к самой себе может быть реализована как композиция не более трех отражений . В n -мерном гиперболическом пространстве может потребоваться до n +1 отражений. (Это также верно для евклидовой и сферической геометрий, но приведенная ниже классификация отличается.)

Все изометрии гиперболической плоскости можно разделить на следующие классы:

Сохранение ориентации
- тождественная изометрия — ничто не движется; ноль отражений; ноль степеней свободы .
- инверсия относительно точки (полуповорот) — два отражения относительно взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через данную точку, т. е. поворот на 180 градусов вокруг точки; две степени свободы .
- вращение вокруг нормальной точки — два отражения относительно прямых, проходящих через данную точку (включая инверсию как частный случай); точки движутся по окружностям вокруг центра; три степени свободы.
- «вращение» вокруг идеальной точки (гороскопия) — два отражения относительно прямых, ведущих в идеальную точку; точки движутся по орициклам с центром в идеальной точке; две степени свободы.
- перенос по прямой — два отражения относительно прямых, перпендикулярных данной прямой; точки вне данной прямой движутся по гиперциклам; три степени свободы.
Изменение ориентации
- отражение через линию — одно отражение; две степени свободы.
- комбинированное отражение относительно прямой и перенос вдоль той же прямой — отражение и перенос коммутируют; требуется три отражения; три степени свободы. ^{[ необходима цитата ]}

Гиперболическая геометрия в искусстве

Знаменитые гравюры М. К. Эшера Circle Limit III и Circle Limit IV достаточно хорошо иллюстрируют модель конформного диска ( модель диска Пуанкаре ). Белые линии в III не совсем геодезические (это гиперциклы ), но близки к ним. Также можно довольно ясно увидеть отрицательную кривизну гиперболической плоскости через ее влияние на сумму углов в треугольниках и квадратах.

Например, в Circle Limit III каждая вершина принадлежит трем треугольникам и трем квадратам. В евклидовой плоскости их углы в сумме составят 450°; т. е. окружность и четверть. Из этого мы видим, что сумма углов треугольника в гиперболической плоскости должна быть меньше 180°. Другое видимое свойство — экспоненциальный рост . В Circle Limit III , например, можно увидеть, что количество рыб на расстоянии n от центра растет экспоненциально. Рыбы имеют одинаковую гиперболическую площадь, поэтому площадь шара радиуса n должна расти экспоненциально в n .

Искусство вязания крючком использовалось для демонстрации гиперболических плоскостей (на фото выше), и первая из них была создана Дайной Тайминей ^[28] , чья книга Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes выиграла премию Bookseller/Diagram Prize за самое странное название года 2009 года . ^[38]

HyperRogue — игра в жанре «рогалик», действие которой разворачивается на различных участках гиперболической плоскости .

Более высокие измерения

Гиперболическая геометрия не ограничивается двумя измерениями; гиперболическая геометрия существует для любого большего числа измерений.

Однородная структура

Гиперболическое пространство размерности n является частным случаем риманова симметрического пространства некомпактного типа, так как оно изоморфно факторпространству

\mathrm {O} (1,n)/(\mathrm {O} (1)\times \mathrm {O} (n)).

Ортогональная группа O(1, n ) действует посредством сохраняющих норму преобразований на пространстве Минковского R ^{1, n} , и действует транзитивно на двухполостном гиперболоиде векторов нормы 1. Времениподобные прямые (т. е. с касательными положительной нормы), проходящие через начало координат, проходят через антиподальные точки в гиперболоиде, поэтому пространство таких прямых дает модель гиперболического n -пространства. Стабилизатор любой конкретной прямой изоморфен произведению ортогональных групп O( n ) и O(1), где O( n ) действует на касательное пространство точки в гиперболоиде, а O(1) отражает прямую через начало координат. Многие элементарные концепции гиперболической геометрии можно описать в терминах линейной алгебры : геодезические пути описываются пересечениями с плоскостями, проходящими через начало координат, двугранные углы между гиперплоскостями можно описать с помощью внутренних произведений нормальных векторов, а гиперболическим группам отражений можно задать явные матричные реализации.

В малых размерностях существуют исключительные изоморфизмы групп Ли , которые дают дополнительные способы рассмотрения симметрий гиперболических пространств. Например, в размерности 2 изоморфизмы SO ⁺ (1, 2) ≅ PSL(2, R ) ≅ PSU(1, 1) позволяют интерпретировать модель верхней полуплоскости как фактор SL(2, R )/SO(2) , а модель диска Пуанкаре — как фактор SU(1, 1)/U(1) . В обоих случаях группы симметрии действуют посредством дробно-линейных преобразований, поскольку обе группы являются сохраняющими ориентацию стабилизаторами в PGL(2, C ) соответствующих подпространств сферы Римана. Преобразование Кэли не только переводит одну модель гиперболической плоскости в другую, но и реализует изоморфизм групп симметрии как сопряжение в большей группе. В размерности 3 дробно-линейное действие PGL(2, C ) на сфере Римана отождествляется с действием на конформной границе гиперболического 3-пространства, индуцированным изоморфизмом O ⁺ (1, 3) ≅ PGL(2, C ) . Это позволяет изучать изометрии гиперболического 3-пространства, рассматривая спектральные свойства представительных комплексных матриц. Например, параболические преобразования сопряжены жестким трансляциям в модели верхнего полупространства, и они являются именно теми преобразованиями, которые могут быть представлены унипотентными верхними треугольными матрицами.

Смотрите также

Примечания

^ ab "Кривизна кривых на гиперболической плоскости". math stackexchange . Получено 24 сентября 2017 г. .
^ Торгейрссон, Сверрир (2014). Гиперболическая геометрия: история, модели и аксиомы.
^ Хайд, СТ; Рамсден, С. (2003). «Некоторые новые трехмерные евклидовы кристаллические сети, полученные из двумерных гиперболических мозаик». The European Physical Journal B . 31 (2): 273–284. Bibcode :2003EPJB...31..273H. CiteSeerX 10.1.1.720.5527 . doi :10.1140/epjb/e2003-00032-8. S2CID 41146796.
^ ab Sommerville, DMY (2005). Элементы неевклидовой геометрии (Неизданное и неизмененное переиздание). Mineola, NY: Dover Publications. стр. 58. ISBN 0-486-44222-5.
^ Рамсей, Арлан; Рихтмайер, Роберт Д. (1995). Введение в гиперболическую геометрию . Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 97–103. ISBN 0387943390.
↑ См., например, «Омар Хайям 1048–1131». Архивировано из оригинала 2007-09-28 . Получено 2008-01-05 .
^ "Семинар по неевклидовой геометрии". Math.columbia.edu . Получено 21 января 2018 г. .
↑ Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1996), «Геометрия», в Roshdi Rashed, ред., Encyclopedia of the History of Arabic Science , т. 2, стр. 447–494 [470], Routledge , Лондон и Нью-Йорк:
«Три ученых, Ибн аль-Хайсам, Хайям и ат-Туси, внесли наиболее значительный вклад в эту отрасль геометрии, важность которой была полностью признана только в XIX веке. По сути, их предложения относительно свойств четырехугольников, которые они рассматривали, предполагая, что некоторые из углов этих фигур были острыми или тупыми, воплощали в себе первые несколько теорем гиперболической и эллиптической геометрий. Другие их предложения показали, что различные геометрические утверждения эквивалентны постулату Евклида V. Чрезвычайно важно, что эти ученые установили взаимную связь между этим постулатом и суммой углов треугольника и четырехугольника. Своими работами по теории параллельных прямых арабские математики оказали непосредственное влияние на соответствующие исследования своих европейских коллег. Первая европейская попытка доказать постулат о параллельных прямых — предпринятая Витело, польским ученым XIII века, при переработке « Книги о «Оптика» ( Kitab al-Manazir ) – несомненно, была подсказана арабскими источниками. Доказательства, выдвинутые в XIV веке еврейским ученым Леви бен Герсоном , жившим на юге Франции, и вышеупомянутым Альфонсо из Испании, непосредственно граничат с доказательством Ибн аль-Хайтама. Выше мы показали, что « Изложение Эвклида» Псевдо-Туси стимулировало исследования теории параллельных линий как Дж. Уоллиса, так и Дж. Саккери».
^ Ивс, Ховард (2012), Основы и основные концепции математики, Courier Dover Publications, стр. 59, ISBN 9780486132204Мы также обязаны Ламберту первой систематической разработкой теории гиперболических функций и, по сути, нашими современными обозначениями для этих функций.
^ Рэтклифф, Джон (2006), Основы гиперболических многообразий, Graduate Texts in Mathematics, т. 149, Springer, стр. 99, ISBN 9780387331973То , что площадь гиперболического треугольника пропорциональна дефекту его угла, впервые появилось в монографии Ламберта «Теория параллельных» , опубликованной посмертно в 1786 году.
^ Бонола, Р. (1912). Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития. Чикаго: Open Court.
^ Гринберг, Марвин Джей (2003). Евклидова и неевклидова геометрии: развитие и история (3-е изд.). Нью-Йорк: Freeman. С. 177. ISBN 0716724464. Из ничего я создал странную новую вселенную. ЯНОШ БОЛЬЯИ
↑ Феликс Кляйн, Элементарная математика с продвинутой точки зрения: геометрия , Дувр, 1948 (переиздание английского перевода 3-го издания, 1940. Первое издание на немецком языке, 1908) стр. 176
^ Ф. Кляйн. «Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometry». Математика. Энн. 4, 573–625 (также в Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, 244–350).
^ Розенфельд, BA (1988) История неевклидовой геометрии , стр. 236, Springer-Verlag ISBN 0-387-96458-4
^ Лукас, Джон Рэндольф (1984). Пространство, время и причинность . стр. 149. ISBN 0-19-875057-9.
↑ Вуд, Дональд (апрель 1959 г.). «Некоторые греческие стереотипы о других народах». Раса . 1 (2): 65–71. doi :10.1177/030639685900100207.
^ Торретти, Роберто (1978). Философия геометрии от Римана до Пуанкаре . Дордрехт, Голландия: Reidel. С. 255.
^ Бонола, Роберто (1955). Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития (Несокращенное и неизмененное переиздание 1-го английского перевода 1912 г. ред.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Довер. стр. 95. ISBN 0486600270.
^ Рихтмайер, Арлан Рамсей, Роберт Д. (1995). Введение в гиперболическую геометрию. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 118–120. ISBN 0387943390.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ "Mathematics Illuminated - Unit 8 - 8.8 Geometrization Conjecture". Learner.org . Получено 21 января 2018 г. .
^ Л. Д. Ландау; Е. М. Лифшиц (1973). Классическая теория полей . Курс теоретической физики . Т. 2 (4-е изд.). Butterworth Heinemann. С. 1–4. ISBN 978-0-7506-2768-9.
^ RP Feynman; RB Leighton; M. Sands (1963). Feynman Lectures on Physics . Том 1. Addison Wesley. стр. (17-1)–(17-3). ISBN 0-201-02116-1.
^ JR Forshaw ; AG Smith (2008). Динамика и теория относительности . Серия физики Манчестера. Wiley. С. 246–248. ISBN 978-0-470-01460-8.
^ Мизнер; Торн; Уилер (1973). Гравитация . С. 21, 758.
^ Джон К. Бим; Пол Эрлих; Кевин Изли (1996). Глобальная лоренцева геометрия (второе изд.).
^ Л. Д. Ландау; Е. М. Лифшиц (1973). Классическая теория полей . Курс теоретической физики . Т. 2 (4-е изд.). Баттерворт Хайнеман. С. 38. ISBN 978-0-7506-2768-9.
^ ab "Гиперболическое пространство". Институт Фигуринга . 21 декабря 2006 г. Получено 15 января 2007 г.
^ "Как построить свой собственный гиперболический футбольный мяч" (PDF) . Theiff.org . Получено 21 января 2018 г. .
^ "Гиперболический футбол". Math.tamu.edu . Получено 21 января 2018 г. .
^ "Helaman Ferguson, Hyperbolic Quilt". Архивировано из оригинала 2011-07-11.
^ "Как сшить гиперболическое одеяло". Geometrygames.org . Получено 21 января 2018 г. .
^ Рейнольдс, Уильям Ф. , (1993) Гиперболическая геометрия на гиперболоиде , American Mathematical Monthly 100:442–455.
↑ Ганс Дэвид (март 1966 г.). «Новая модель гиперболической плоскости». American Mathematical Monthly . 73 (3): 291–295. doi :10.2307/2315350. JSTOR 2315350.
^ vcoit (8 мая 2015 г.). «Кафедра компьютерных наук» (PDF) .
^ "2" (PDF) . Теория Тейхмюллера и ее применение в геометрии, топологии и динамике. Хаббард, Джон Хамал. Итака, Нью-Йорк: Matrix Editions. 2006–2016. стр. 25. ISBN 9780971576629. OCLC 57965863.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
^ Арлан Рамсей, Роберт Д. Рихтмайер, Введение в гиперболическую геометрию , Springer; 1-е издание (16 декабря 1995 г.)
^ Блоксхэм, Энди (26 марта 2010 г.). «Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes» получает награду за самое странное название книги». The Telegraph .

Библиография

A'Campo, Norbert и Papadopoulos, Athanase, (2012) Заметки о гиперболической геометрии , в: Страсбургский мастер-класс по геометрии, стр. 1–182, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, т. 18, Цюрих: Европейское математическое общество (EMS), 461 страница, SBN ISBN 978-3-03719-105-7 , DOI 10.4171–105.
Коксетер, HSM , (1942) Неевклидова геометрия , Издательство Торонтского университета, Торонто
Фенхель, Вернер (1989). Элементарная геометрия в гиперболическом пространстве . De Gruyter Studies in Mathematics. Том 11. Берлин-Нью-Йорк: Walter de Gruyter & Co.
Фенхель, Вернер ; Нильсен, Якоб (2003). Асмус Л. Шмидт (ред.). Разрывные группы изометрий в гиперболической плоскости . De Gruyter Studies in Mathematics. Том 29. Берлин: Walter de Gruyter & Co.
Лобачевский, Николай И., (2010) Пангеометрия , под редакцией и переводом Атанаса Пападопулоса, Наследие европейской математики, т. 4. Цюрих: Европейское математическое общество (EMS). xii, 310~p, ISBN 978-3-03719-087-6 /hbk
Милнор, Джон В. , (1982) Гиперболическая геометрия: первые 150 лет , Bull. Amer. Math. Soc. (NS) Том 6, Номер 1, стр. 9–24.
Рейнольдс, Уильям Ф., (1993) Гиперболическая геометрия на гиперболоиде , American Mathematical Monthly 100:442–455.
Стиллвелл, Джон (1996). Источники гиперболической геометрии. История математики. Т. 10. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0529-9. МР 1402697.
Сэмюэлс, Дэвид, (март 2006 г.) Журнал Knit Theory Discover, том 27, номер 3.
Джеймс У. Андерсон, Гиперболическая геометрия , Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9
Джеймс У. Кэннон, Уильям Дж. Флойд, Ричард Кеньон и Уолтер Р. Парри (1997) Гиперболическая геометрия , MSRI Publications, том 31.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Гиперболическая геометрия» .

Бесплатное программное обеспечение Javascript для создания эскизов в модели диска Пуанкаре гиперболической геометрии Университета Нью-Мексико
«Песня о гиперболической геометрии» Короткий музыкальный клип об основах гиперболической геометрии, доступный на YouTube.
«Геометрия Лобачевского», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Пространство Гаусса–Бойяи–Лобачевского». MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболическая геометрия». MathWorld .
Подробнее о гиперболической геометрии, включая фильмы и уравнения для преобразования между различными моделями. Иллинойсский университет в Урбане-Шампейне
Гиперболические диаграммы Вороного стали проще, Фрэнк Нильсен
Стозерс, Уилсон (2000). «Гиперболическая геометрия». maths.gla.ac.uk . Университет Глазго ., интерактивный обучающий сайт.
Гиперболические плоские мозаики
Модели гиперболической плоскости