Конформная карта

Математическая функция, сохраняющая углы

Прямоугольная сетка (вверху) и ее изображение под конформной картой (внизу). Видно, что отображает пары линий, пересекающихся под углом 90°, в пары кривых, все еще пересекающихся под углом 90°. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

В математике конформное отображение — это функция , которая локально сохраняет углы , но не обязательно длины.

Более формально, пусть и будут открытыми подмножествами . Функция называется конформной (или сохраняющей углы ) в точке , если она сохраняет углы между направленными кривыми через , а также сохраняет ориентацию. Конформные отображения сохраняют как углы, так и формы бесконечно малых фигур, но не обязательно их размер или кривизну . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle u_{0}\in U}$ ${\displaystyle u_{0}}$

Конформное свойство может быть описано в терминах матрицы производной Якобиана преобразования координат . Преобразование является конформным, когда Якобиан в каждой точке является положительным скаляром, умноженным на матрицу вращения ( ортогональной с детерминантом 1). Некоторые авторы определяют конформность, включая отображения, меняющие ориентацию, якобианы которых могут быть записаны как любой скаляр, умноженный на любую ортогональную матрицу. ^[1]

Для отображений в двух измерениях (сохраняющие ориентацию) конформные отображения являются в точности локально обратимыми комплексными аналитическими функциями. В трех и более измерениях теорема Лиувилля резко ограничивает конформные отображения несколькими типами.

Понятие конформности естественным образом обобщается на отображения между римановыми или полуримановыми многообразиями .

В двух измерениях

Если — открытое подмножество комплексной плоскости , то функция конформна тогда и только тогда, когда она голоморфна и ее производная всюду отлична от нуля на . Если — антиголоморфна ( сопряжена голоморфной функции), то она сохраняет углы, но меняет их ориентацию на противоположную. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$

В литературе есть еще одно определение конформного: отображение , которое является взаимно-однозначным и голоморфным на открытом множестве в плоскости. Теорема об открытом отображении заставляет обратную функцию (определенную на образе ) быть голоморфной. Таким образом, согласно этому определению, отображение является конформным тогда и только тогда, когда оно биголоморфно. Два определения для конформных отображений не эквивалентны. Быть взаимно-однозначным и голоморфным означает иметь ненулевую производную. Фактически, мы имеем следующее соотношение, теорему об обратной функции : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (f^{-1}(z_{0}))'={\frac {1}{f'(z_{0})}}}$

где . Однако экспоненциальная функция является голоморфной функцией с ненулевой производной, но не является взаимно однозначной, поскольку она периодическая. ^[2] ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$

Теорема об отображении Римана , один из основополагающих результатов комплексного анализа , утверждает, что любое непустое открытое односвязное собственное подмножество допускает биективное конформное отображение на открытый единичный круг в . Неформально это означает, что любой блоб может быть преобразован в идеальный круг некоторым конформным отображением. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Глобальные конформные отображения на сфере Римана

Отображение сферы Римана на себя является конформным тогда и только тогда, когда оно является преобразованием Мёбиуса .

Комплексное сопряжение преобразования Мёбиуса сохраняет углы, но меняет ориентацию. Например, инверсии окружностей .

Конформность относительно трех типов углов

В плоской геометрии есть три типа углов, которые могут быть сохранены в конформной карте. ^[3] Каждый из них управляется своей собственной действительной алгеброй, обычными комплексными числами , расщепленными комплексными числами и дуальными числами . Конформные карты описываются линейными дробными преобразованиями в каждом случае. ^[4]

В трех или более измерениях

Риманова геометрия

В римановой геометрии две римановы метрики и на гладком многообразии называются конформно эквивалентными, если для некоторой положительной функции на . Функция называется конформным множителем . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g=uh}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u}$

Диффеоморфизм между двумя римановыми многообразиями называется конформным отображением, если оттянутая метрика конформно эквивалентна исходной. Например, стереографическая проекция сферы на плоскость , дополненную точкой в ​​бесконечности, является конформным отображением.

Можно также определить конформную структуру на гладком многообразии как класс конформно эквивалентных римановых метрик .

Евклидово пространство

Классическая теорема Джозефа Лиувилля показывает , что в высших измерениях существует гораздо меньше конформных отображений, чем в двух измерениях. Любое конформное отображение из открытого подмножества евклидова пространства в то же самое евклидово пространство размерности три или больше может быть составлено из трех типов преобразований: гомотетии , изометрии и специального конформного преобразования . Для линейных преобразований конформное отображение может быть составлено только из гомотетии и изометрии и называется конформным линейным преобразованием .

Приложения

Конформное картирование применяется в аэрокосмической технике ^[5] , в биомедицинских науках ^[6] (включая картирование мозга ^[7] и генетическое картирование ^{[8] [9] [10]} ), в прикладной математике (для геодезии ^[11] и геометрии ^[12] ), в науках о Земле (включая геофизику, ^[13] географию ^[14] и картографию), ^[15] в машиностроении ^{[16] [17]} и в электронике ^{[18] .}

Картография

В картографии несколько названных проекций карт , включая проекцию Меркатора и стереографическую проекцию, являются конформными. Сохранение направлений компаса делает их полезными в морской навигации.

Физика и техника

Конформные отображения бесценны для решения задач в области техники и физики, которые могут быть выражены в терминах функций комплексной переменной, но демонстрируют неудобную геометрию. Выбрав соответствующее отображение, аналитик может преобразовать неудобную геометрию в гораздо более удобную. Например, может возникнуть желание вычислить электрическое поле, возникающее из точечного заряда, расположенного вблизи угла двух проводящих плоскостей, разделенных определенным углом (где — комплексная координата точки в 2-пространстве). Эта задача сама по себе довольно неуклюжа для решения в замкнутой форме. Однако, используя очень простое конформное отображение, неудобный угол отображается в один из точно радиан, что означает, что угол двух плоскостей преобразуется в прямую линию. В этой новой области задача (задача вычисления электрического поля, создаваемого точечным зарядом, расположенным вблизи проводящей стенки) решается довольно легко. Решение получено в этой области, , а затем отображено обратно в исходную область, отметив, что было получено как функция ( а именно , композиция и ) от , откуда можно рассматривать как , которая является функцией от , исходного базиса координат. Обратите внимание, что это применение не противоречит тому факту, что конформные отображения сохраняют углы, они делают это только для точек внутри своей области, а не на границе. Другим примером является применение техники конформного отображения для решения краевой задачи плескания жидкости в резервуарах. ^[19] ${\displaystyle E(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E(w)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle E(w)}$ ${\displaystyle E(w(z))}$ ${\displaystyle z}$

Если функция является гармонической (то есть удовлетворяет уравнению Лапласа ) над плоской областью (которая является двумерной) и преобразуется посредством конформного отображения в другую плоскую область, преобразование также является гармоническим. По этой причине любая функция, которая определяется потенциалом, может быть преобразована посредством конформного отображения и по-прежнему оставаться управляемой потенциалом. Примерами в физике уравнений, определяемых потенциалом, являются электромагнитное поле , гравитационное поле и, в гидродинамике , потенциальный поток , который является приближением к потоку жидкости, предполагающим постоянную плотность , нулевую вязкость и безвихревой поток . Одним из примеров применения конформного отображения в гидродинамике является преобразование Жуковского , которое можно использовать для исследования поля потока вокруг аэродинамического профиля Жуковского. ${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$

Конформные отображения также полезны при решении нелинейных уравнений в частных производных в некоторых конкретных геометриях. Такие аналитические решения обеспечивают полезную проверку точности численного моделирования основного уравнения. Например, в случае очень вязкого течения со свободной поверхностью вокруг полубесконечной стенки домен может быть отображен в полуплоскость, в которой решение является одномерным и простым для вычисления. ^[20]

Для дискретных систем Нури и Янг представили способ преобразования корневого года дискретных систем в непрерывный корневой год посредством хорошо известного конформного отображения в геометрии (также известного как отображение инверсии ). ^[21]

Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла сохраняются преобразованиями Лоренца , которые образуют группу, включающую круговые и гиперболические вращения . Последние иногда называют усилениями Лоренца, чтобы отличать их от круговых вращений. Все эти преобразования являются конформными, поскольку гиперболические вращения сохраняют гиперболический угол (называемый быстротой ), а другие вращения сохраняют круговой угол . Введение трансляций в группу Пуанкаре снова сохраняет углы.

Большая группа конформных отображений для связи решений уравнений Максвелла была идентифицирована Эбенезером Каннингемом (1908) и Гарри Бейтманом (1910). Их обучение в Кембриджском университете дало им возможность работать с методом зарядов изображения и связанными с ним методами изображений для сфер и инверсии. Как рассказал Эндрю Уорвик (2003) Masters of Theory : ^[22]

Каждое четырехмерное решение можно инвертировать в четырехмерной гиперсфере псевдорадиуса, чтобы получить новое решение. ${\displaystyle K}$

Уорвик выделяет эту «новую теорему относительности» как ответ Кембриджа Эйнштейну и как основанную на упражнениях, использующих метод инверсии, например, из учебника Джеймса Хопвуда Джинса «Математическая теория электричества и магнетизма» .

Общая теория относительности

В общей теории относительности конформные отображения являются простейшим и, следовательно, наиболее распространенным типом причинных преобразований. Физически они описывают различные вселенные, в которых все те же события и взаимодействия все еще (каузально) возможны, но для этого необходима новая дополнительная сила (то есть, воспроизведение всех тех же траекторий потребовало бы отступлений от геодезического движения, поскольку метрический тензор отличается). Его часто используют, чтобы попытаться сделать модели поддающимися расширению за пределы сингулярностей кривизны , например, чтобы разрешить описание вселенной даже до Большого взрыва .

Смотрите также

• Биголоморфное отображение
• Теорема Каратеодори – Конформное отображение непрерывно продолжается до границы
• Диаграмма Пенроуза
• Отображение Шварца–Кристоффеля – конформное преобразование верхней полуплоскости на внутреннюю часть простого многоугольника
• Специальная линейная группа – преобразования, сохраняющие объем (в отличие от углов) и ориентацию

Ссылки

1. Блэр, Дэвид (2000-08-17). Теория инверсии и конформное отображение . Студенческая математическая библиотека. Том 9. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. doi :10.1090/stml/009. ISBN 978-0-8218-2636-2. S2CID  118752074.
2. Ричард М. Тимони (2004), Теорема об отображении Римана из Тринити-колледжа в Дублине
3. Геометрия/Единые углы в Wikibooks
4. Цурусабуро Такасу (1941) Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, Hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometry, 2, Proceedings of the Imperial Academy 17(8): 330–8, ссылка из Project Euclid , MR 14282
5. Селиг, Майкл С.; Момер, Марк Д. (1992-05-01). «Метод проектирования многоточечного обратного профиля на основе конформного отображения». Журнал AIAA . 30 (5): 1162–1170. Bibcode : 1992AIAAJ..30.1162S. doi : 10.2514/3.11046. ISSN  0001-1452.
6. Кортихо, Ванесса; Алонсо, Елена Р.; Мата, Сантьяго; Алонсо, Хосе Л. (2018-01-18). «Конформационная карта фенольных кислот». Журнал физической химии A. 122 ( 2): 646–651. Bibcode : 2018JPCA..122..646C. doi : 10.1021/acs.jpca.7b08882. ISSN  1520-5215. PMID  29215883.
7. «Свойства конформного отображения».
8. "7.1 ГЕНЕТИЧЕСКИЕ КАРТЫ СУЩЕСТВУЮТ В РАЗЛИЧНЫХ ФОРМАХ". www.informatics.jax.org . Получено 22.08.2022 .
9. Алим, Карен; Армон, Шахаф; Шрайман, Борис И.; Будауд, Арезки (2016). «Рост листьев конформен». Физическая биология . 13 (5): 05LT01. arXiv : 1611.07032 . Bibcode : 2016PhBio..13eLT01A. doi : 10.1088/1478-3975/13/5/05lt01. PMID  27597439. S2CID  9351765. Получено 22.08.2022 .
10. Гонсалес-Матесанц, Ф. Дж.; Мальпика, Дж. А. (2006-11-01). «Квазиконформное отображение с генетическими алгоритмами, применяемыми к преобразованиям координат». Компьютеры и науки о Земле . 32 (9): 1432–1441. Bibcode :2006CG.....32.1432G. doi :10.1016/j.cageo.2006.01.002. ISSN  0098-3004.
11. Березовский, Владимир; Черевко Евгений; Рыпарова, Ленка (август 2019 г.). «Конформные и геодезические отображения некоторых особых пространств». Математика . 7 (8): 664. doi : 10.3390/math7080664 . hdl : 11012/188984 . ISSN  2227-7390.
12. Gronwall, TH (июнь 1920 г.). «Конформное отображение семейства вещественных конических сечений на другое». Труды Национальной академии наук . 6 (6): 312–315. Bibcode :1920PNAS....6..312G. doi : 10.1073/pnas.6.6.312 . ISSN  0027-8424. PMC 1084530 . PMID  16576504. 
13. "Отображение в предложении (особенно в хорошем предложении, таком как цитата, пословица...)". sentencedict.com . Получено 22.08.2022 .
14. "EAP - Труды Эстонской академии наук – Публикации" . Получено 2022-08-22 .
15. Лопес-Васкес, Карлос (2012-01-01). «Повышение точности позиционирования с использованием эмпирических аналитических функций». Картография и географическая информатика . 39 (3): 133–139. doi :10.1559/15230406393133. ISSN  1523-0406. S2CID  123894885.
16. Каликсто, Уэсли Пачеко; Альваренга, Бернардо; да Мота, Хесус Карлос; Брито, Леонардо да Кунья; Ву, Марсель; Алвес, Айлтон Хосе; Нето, Лучано Мартинс; Антунес, Карлос Ф.Р. Лемос (15 февраля 2011 г.). «Решение электромагнитных задач методом конформного отображения: математический оператор для оптимизации». Математические проблемы в технике . 2010 : e742039. дои : 10.1155/2010/742039 . hdl : 10316/110197 . ISSN  1024-123Х.
17. Леонхардт, Ульф (2006-06-23). ​​«Оптическое конформное отображение». Science . 312 (5781): 1777–1780. Bibcode :2006Sci...312.1777L. doi : 10.1126/science.1126493 . ISSN  0036-8075. PMID  16728596. S2CID  8334444.
18. Сингх, Арун К.; Аутон, Грегори; Хилл, Эрни; Сонг, Аймин (2018-07-01). «Оценка внутренних и внешних емкостей графенового самопереключающегося диода с использованием метода конформного отображения». 2D Materials . 5 (3): 035023. Bibcode : 2018TDM.....5c5023S. doi : 10.1088/2053-1583/aac133. ISSN  2053-1583. S2CID  117531045.
19. Колаи, Амир; Ракхея, Субхаш; Ричард, Марк Дж. (2014-01-06). «Область применимости линейной теории плескания жидкости для прогнозирования переходного бокового плескания и устойчивости к качке танковых транспортных средств». Журнал звука и вибрации . 333 (1): 263–282. Bibcode : 2014JSV...333..263K. doi : 10.1016/j.jsv.2013.09.002.
20. Хинтон, Эдвард; Хогг, Эндрю; Хапперт, Герберт (2020). «Неглубокое течение Стокса со свободной поверхностью вокруг угла». Philosophical Transactions of the Royal Society A. 378 ( 2174). Bibcode : 2020RSPTA.37890515H. doi : 10.1098/rsta.2019.0515. PMC 7287310. PMID  32507085 . 
21. Нури, Кейван; Янг, Бинген (2020). «Псевдо-S-плоскостное отображение корневого места Z-плоскости». Международный конгресс и выставка по машиностроению ASME 2020. Американское общество инженеров-механиков. doi : 10.1115/IMECE2020-23096. ISBN 978-0-7918-8454-6. S2CID  234582511.
22. Уорик, Эндрю (2003). Мастера теории: Кембридж и подъем математической физики . Издательство Чикагского университета . С. 404–424. ISBN 978-0226873756.

Дальнейшее чтение

• Альфорс, Ларс В. (1973), Конформные инварианты: темы геометрической теории функций , Нью-Йорк: McGraw–Hill Book Co., MR  0357743
• Константин Каратеодори (1932) Конформное представление , Кембриджские трактаты по математике и физике
• Шансон, Х. (2009), Прикладная гидродинамика: Введение в идеальные и реальные потоки жидкости, CRC Press, Taylor & Francis Group, Лейден, Нидерланды, 478 страниц, ISBN 978-0-415-49271-3
• Черчилль, Руэль В. (1974), Комплексные переменные и их применение , Нью-Йорк: McGraw–Hill Book Co., ISBN 978-0-07-010855-4
• Е.П. Долженко (2001) [1994], "Конформное отображение", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Рудин, Уолтер (1987), Действительный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw–Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, МР  0924157
• Вайсштейн, Эрик В. «Конформное отображение». MathWorld .

Внешние ссылки

• Интерактивные визуализации множества конформных карт
• Конформные карты Майкла Тротта, проект Wolfram Demonstrations .
• Конформные изображения тока в различных геометриях без магнитного поля и с ним, полученные Герхардом Брунталером.
• Конформное преобразование: из круга в квадрат.
• Онлайн-график конформных карт.
• Интерактивное веб-приложение Joukowski Transform