Гиперболоидная модель

Модель n-мерной гиперболической геометрии

Красная дуга является геодезической в ​​модели диска Пуанкаре ; он проецируется на коричневую геодезическую на зеленом гиперболоиде.

Анимация частичного гиперболического мозаики {7,3} гиперболоида, повернутого в перспективу Пуанкаре.

В геометрии модель гиперболоида , также известная как модель Минковского в честь Германа Минковского , представляет собой модель n -мерной гиперболической геометрии , в которой точки представлены точками на переднем листе S ⁺ двухполостного гиперболоида в ( n +1 )-мерного пространства Минковского или векторами смещений от начала координат к этим точкам, а m -плоскости представляются пересечениями ( m +1)-плоскостей, проходящих через начало координат в пространстве Минковского, с S + ^или клиновыми произведениями m векторы. Гиперболическое пространство изометрически вложено в пространство Минковского; то есть функция гиперболического расстояния наследуется от пространства Минковского, аналогично тому, как сферическое расстояние наследуется от евклидова расстояния, когда n -сфера вложена в ( n +1)-мерное евклидово пространство.

Другие модели гиперболического пространства можно рассматривать как проекции карты S + ^: модель Бельтрами-Клейна представляет собой проекцию S ⁺ через начало координат на плоскость, перпендикулярную вектору от начала координат до конкретной точки в S ⁺ , аналогичную гномонической проекция сферы; модель диска Пуанкаре представляет ^собой проекцию S ⁺ через точку на другом листе S− на перпендикулярную плоскость, аналогичную стереографической проекции сферы; модель Ганса представляет собой ортогональную проекцию S ⁺ на плоскость, перпендикулярную определенной точке S ⁺ , аналогичную ортогональной проекции ; ленточная модель гиперболической плоскости представляет собой конформную «цилиндрическую» проекцию, аналогичную меркаторской проекции сферы; Координаты Лобачевского представляют собой цилиндрическую проекцию, аналогичную равноугольной проекции (долготы, широты) сферы.

квадратичная форма Минковского

Если ( x ₀ , x ₁ , ..., x _n ) является вектором в ( n + 1) -мерном координатном пространстве R ^{n +1} , квадратичная форма Минковского определяется как

${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}.}$

Векторы v ∈ Rn ^{+ 1} такие, что Q ( v ) = -1, _{образуют} n - мерный гиперболоид S , состоящий из двух компонент связности , или листов : прямого, или будущего, листа S ⁺ , где x0 >0 и назад или мимо листа S ⁻ , где x ₀ <0. Точками n -мерной модели гиперболоида являются точки на переднем листе S ⁺ .

Метрика на гиперболоиде равна Билинейная форма Минковского B является поляризацией квадратичной формы Минковского Q , $${\displaystyle ds^{2}=Q(dx_{0},dx_{1},\ldots ,dx_{n})=-dx_{0}^{2}+dx_{1}^{2}+\ldots +dx_{n}^{2}.}$$

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(Q(\mathbf {u} +\mathbf {v} )-Q(\mathbf {u} )-Q(\mathbf {v} ))/2.}$

(Иногда это также записывается с использованием обозначения скалярного произведения .) Явно: ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} .}$

${\displaystyle B((x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}))=-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}.}$

Гиперболическое расстояние между двумя точками u и v из S ⁺ определяется формулой

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {arcosh} (-B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )),}$

где arcosh — обратная функция гиперболического косинуса .

Выбор подписи метрики

Билинейная форма также действует как метрический тензор в пространстве. В n +1-мерном пространстве Минковского есть два выбора метрики с противоположной сигнатурой : в трехмерном случае либо (+, −, −), либо (−, +, +). ${\displaystyle B}$

Если выбрана сигнатура (-, +, +), то скалярный квадрат хорд между различными точками на одном листе гиперболоида будет положительным, что более точно соответствует традиционным определениям и ожиданиям в математике. Тогда n -мерное гиперболическое пространство является римановым пространством , а расстояние или длину можно определить как квадратный корень из скалярного квадрата. Если выбрана сигнатура (+, -, -), скалярный квадрат между различными точками гиперболоида будет отрицательным, поэтому необходимо скорректировать различные определения основных терминов, что может быть неудобно. Тем не менее, сигнатура (+, −, −, −) также часто используется для описания пространства-времени в физике. (См. Соглашение о знаках # Метрическая подпись .)

Прямые линии

Прямая линия в гиперболическом n -пространстве моделируется геодезической на гиперболоиде. Геодезическая на гиперболоиде — это (непустое) пересечение гиперболоида с двумерным линейным подпространством (включая начало координат) n +1-мерного пространства Минковского. Если мы возьмем u и v в качестве базисных векторов этого линейного подпространства с

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=1}$

${\displaystyle B(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=-1}$

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0}$

и используйте w как действительный параметр для точек на геодезической, тогда

${\displaystyle \mathbf {u} \sinh w+\mathbf {v} \cosh w}$

будет точкой на геодезической. ^[1]

В более общем смысле, k -мерная «плоскость» в гиперболическом n -пространстве будет моделироваться (непустым) пересечением гиперболоида с k +1-мерным линейным подпространством (включая начало координат) пространства Минковского.

Изометрии

Неопределенная ортогональная группа O(1, n ), также называемая ( n +1)-мерной группой Лоренца , представляет собой группу Ли действительных ( n +1) × ( n +1) матриц , сохраняющих билинейную форму Минковского. На другом языке это группа линейных изометрий пространства Минковского . В частности, эта группа сохраняет гиперболоид S . Напомним, что неопределенные ортогональные группы имеют четыре компонента связности, соответствующие изменению или сохранению ориентации в каждом подпространстве (здесь 1-мерном и n -мерном), и образуют четырехгруппу Клейна . Подгруппа O(1, n ), сохраняющая знак первой координаты, является ортохронной группой Лоренца , обозначаемой O ⁺ (1, n ), и имеет два компонента, соответствующие сохранению или изменению ориентации пространственного подпространства. Ее подгруппа SO ⁺ (1, n ), состоящая из матриц с определителем единица, представляет собой связную группу Ли размерности n ( n +1)/2, действующую на S ⁺ линейными автоморфизмами и сохраняющую гиперболическое расстояние. Это действие транзитивно и стабилизатор вектора (1,0,...,0) состоит из матриц вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&&&\\[-4mu]\vdots &&A&\\0&&&\\\end{pmatrix}}}$

Где принадлежит компактной специальной ортогональной группе SO( n ) (обобщающей группу вращений SO(3) для n = 3 ). Отсюда следует, что n -мерное гиперболическое пространство может быть представлено как однородное пространство и риманово симметрическое пространство ранга 1: ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}=\mathrm {SO} ^{+}(1,n)/\mathrm {SO} (n).}$

Группа SO ⁺ (1, n ) представляет собой полную группу сохраняющих ориентацию изометрий n -мерного гиперболического пространства.

Говоря более конкретно, SO ⁺ (1, n ) можно разделить на n ( n -1)/2 вращений (сформированных с помощью обычной евклидовой матрицы вращения в правом нижнем блоке) и n гиперболических сдвигов, которые принимают форму

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cosh \alpha &\sinh \alpha &0&\cdots \\[2mu]\sinh \alpha &\cosh \alpha &0&\cdots \\[2mu]0&0&1&\\[-7mu]\vdots &\vdots &&\ddots \\\end{pmatrix}}}$

где расстояние перенесено (в данном случае вдоль оси x ), а 2-я строка/столбец может быть заменена другой парой, чтобы перейти к перемещению по другой оси. Общий вид трехмерного перемещения вдоль вектора : ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (w,x,y,z)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w&x&y&z\\[2mu]x&\ {\dfrac {x^{2}}{w+1}}+1&{\dfrac {yx}{w+1}}&{\dfrac {zx}{w+1}}\\[2mu]y&{\dfrac {xy}{w+1}}&\,{\dfrac {y^{2}}{w+1}}+1&{\dfrac {zy}{w+1}}\\[2mu]z&{\dfrac {xz}{w+1}}&{\dfrac {yz}{w+1}}&{\dfrac {z^{2}}{w+1}}+1\end{pmatrix}}_{\vphantom {|}},}$

где . Это естественным образом распространяется на большее количество измерений, а также является упрощенной версией повышения Лоренца, если вы удалите члены, специфичные для теории относительности. ${\displaystyle \textstyle w={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}}$

Примеры групп изометрий

Группа всех изометрий модели гиперболоида равна O ⁺ (1, n ). Любая группа изометрий является ее подгруппой.

Размышления

Для двух точек существует уникальное отражение, меняющее их. ${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} \in \mathbb {H} ^{n},\mathbf {p} \neq \mathbf {q} }$

Позволять . Обратите внимание, что и, следовательно , . ${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {p} -\mathbf {q} }{\sqrt {Q(\mathbf {p} -\mathbf {q} )}}}}$ ${\displaystyle Q(\mathbf {u} )=1}$ ${\displaystyle u\notin \mathbb {H} ^{n}}$

Затем

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {x} -2B(\mathbf {x} ,\mathbf {u} )\mathbf {u} }$

это отражение, которое меняет и . Это эквивалентно следующей матрице: ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$

${\displaystyle R=I-2\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\operatorname {T} }{\begin{pmatrix}-1&0\\0&I\\\end{pmatrix}}}$

(обратите внимание на использование обозначения блочной матрицы ).

Тогда – группа изометрий. Все такие подгруппы сопряжены . ${\displaystyle \{I,R\}}$

Вращения и отражения

${\displaystyle S=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&A\\\end{pmatrix}}:A\in O(n)\right\}}$

— это группа вращений и отражений, сохраняющих . Функция является изоморфизмом O ( n ) в эту группу. Для любой точки , если это изометрия, которая отображается в , то это группа вращений и отражений, которые сохраняют . ${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$ ${\displaystyle A\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&A\\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle XSX^{-1}}$ ${\displaystyle p}$

Переводы

Для любого действительного числа существует перевод ${\displaystyle t}$

${\displaystyle L_{t}={\begin{pmatrix}\cosh t&\sinh t&0\\\sinh t&\cosh t&0\\0&0&I\\\end{pmatrix}}}$

Это перевод расстояния в положительном направлении x if или расстояния в отрицательном направлении x if . Любой перевод расстояния сопряжен с и . Множество представляет собой группу перемещений по оси X, и группа изометрий сопряжена с ним тогда и только тогда, когда это группа изометрий через прямую. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle -t}$ ${\displaystyle t\leq 0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle L_{t}}$ ${\displaystyle L_{-t}}$ ${\displaystyle \left\{L_{t}:t\in \mathbb {R} \right\}}$

Например, допустим, мы хотим найти группу переводов по строке . Позвольте быть изометрией, которая отображается в и пусть быть изометрией, которая фиксирует и отображает в . Примером такого является обмен отражений и (при условии, что они разные), поскольку они оба находятся на одинаковом расстоянии от . Тогда — отображение изометрии в и точка на положительной оси x в . это перевод через линию расстояния . Если , то в направлении. Если , то в направлении. это группа переводов через . ${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle XL_{d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}[1,0,\dots ,0]^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle XL_{d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}[1,0,\dots ,0]^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle YX}$ ${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (YX)L_{t}(YX)^{-1}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$ ${\displaystyle |t|}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$ ${\displaystyle t\leq 0}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {q} \mathbf {p} }}}$ ${\displaystyle \left\{(YX)L_{t}(YX)^{-1}:t\in \mathbb {R} \right\}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$

Симметрии орисфер

Пусть H — некоторая орисфера такая, что точки формы находятся внутри нее при сколь угодно больших x . Для любого вектора b из ${\displaystyle (w,x,0,\dots ,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&-{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\[2mu]{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&1-{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\[2mu]\mathbf {b} &-\mathbf {b} &I\end{pmatrix}}}$

- это вращение, которое отображает H в себя. Множество таких хорротаций представляет собой группу хорротаций, сохраняющих H . Все хорортации сопряжены друг с другом.

Для любого из O( n -1) ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&A\\\end{pmatrix}}}$

— это вращение или отражение, которое сохраняет H и ось X. Эти вращения, повороты и отражения порождают группу симметрий H . Группа симметрии любой орисферы ей сопряжена. Они изоморфны евклидовой группе E( n -1).

История

В нескольких статьях между 1878-1885 годами Вильгельм Киллинг ^{[2] [3] [4]} использовал представление, которое он приписывал Карлу Вейерштрассу для геометрии Лобачевского . В частности, он обсуждал квадратичные формы, такие как или в произвольных измерениях , где — обратная мера кривизны, обозначает евклидову геометрию , эллиптическую геометрию и гиперболическую геометрию. ${\displaystyle k^{2}t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=k^{2}}$ ${\displaystyle k^{2}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=k^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{2}=\infty }$ ${\displaystyle k^{2}>0}$ ${\displaystyle k^{2}<0}$

По словам Джереми Грея (1986), ^[5] Пуанкаре использовал модель гиперболоида в своих личных заметках в 1880 году. Пуанкаре опубликовал свои результаты в 1881 году, в которых он обсуждал инвариантность квадратичной формы . ^[6] Грей показывает, где гиперболоидная модель неявно присутствует в более поздних работах Пуанкаре. ^[7] ${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}-\zeta ^{2}=-1}$

Также Хомершам Кокс в 1882 году ^{[8] [9]} использовал координаты Вейерштрасса (без использования этого названия), удовлетворяющие соотношению, а также . ${\displaystyle z^{2}-x^{2}-y^{2}=1}$ ${\displaystyle w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1}$

Дальнейшее раскрытие модели было дано Альфредом Клебшем и Фердинандом Линдеманном в 1891 году, обсуждая соотношение и . ^[10] ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4k^{2}x_{3}^{2}=-4k^{2}}$ ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2}}$

Координаты Вейерштрасса также использовались Жераром (1892 г.), ^[11] Феликсом Хаусдорфом (1899 г.), ^[12] Фредериком С. Вудсом (1903 г.)], ^[13] Генрихом Либманом (1905 г.). ^[14]

Гиперболоид был исследован как метрическое пространство Александром Макфарлейном в его «Записках по космическому анализу» (1894). Он отметил, что точки на гиперболоиде можно записать как

${\displaystyle \cosh A+\alpha \sinh A,}$

где α — базисный вектор, ортогональный оси гиперболоида. Например, он получил гиперболический закон косинусов , используя свою алгебру физики . ^[1]

Х. Янсен сделал модель гиперболоида основным предметом внимания своей статьи 1909 года «Представление гиперболической геометрии на двухполостном гиперболоиде». ^[15] В 1993 году У. Ф. Рейнольдс рассказал о некоторых аспектах ранней истории модели в своей статье в American Mathematical Monthly . ^[16]

Будучи распространенной моделью в двадцатом веке, она была отождествлена ​​с Geschwindigkeitsvectoren (векторами скорости) Германа Минковского в его Геттингенской лекции 1907 года «Принцип относительности». Скотт Уолтер в своей статье 1999 года «Неевклидов стиль относительности Минковского» ^[17] вспоминает об осведомленности Минковского, но прослеживает происхождение модели от Германа Гельмгольца , а не от Вейерштрасса и Киллинга.

В первые годы теории относительности модель гиперболоида использовалась Владимиром Варичаком для объяснения физики скорости. В своей речи перед Немецким математическим союзом в 1912 году он упомянул координаты Вейерштрасса. ^[18]

Смотрите также

• Модель диска Пуанкаре
• Гиперболические кватернионы

Примечания и ссылки

1. Александр Макфарлейн (1894) Статьи по космическому анализу , Б. Вестерман, Нью-Йорк, веб-ссылка с archive.org
2. Киллинг, В. (1878) [1877]. «Ueber zwei Raumformen mit Constanter Positiver Krümmung». Журнал для королевы и математики . 86 : 72–83.
3. Киллинг, В. (1880) [1879]. «Die Rechnung in den Nicht-Euklidischen Raumformen». Журнал для королевы и математики . 89 : 265–287.
4. Киллинг, В. (1885). Die nicht-euklidischen Raumformen. Лейпциг.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. Линейные дифференциальные уравнения и теория групп от Римана до Пуанкаре (страницы 271,2)
6. Пуанкаре, Х. (1881). «Приложения неевклидовой геометрии в теории квадратных форм» (PDF) . Французская ассоциация за развитие наук . 10 : 132–138.
7. См. также Пуанкаре: Об основных гипотезах геометрии 1887 г. Собрание сочинений, том 11, 71–91, ссылки на которые имеются в книге Б. А. Розенфельда «История неевклидовой геометрии», стр. 266 в английской версии (Springer 1988).
8. Кокс, Х. (1881). «Однородные координаты в воображаемой геометрии и их применение к системам сил». Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики . 18 (70): 178–192.
9. Кокс, Х. (1882) [1881]. «Однородные координаты в воображаемой геометрии и их применение к системам сил (продолжение)». Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики . 18 (71): 193–215.
10. Линдеманн, Ф. (1891) [1890]. Vorlesungen über Geometry von Clebsch II. Лейпциг. п. 524.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
11. Жерар, Л. (1892). Sur la geométrie неевклидийская. Париж: Готье-Виллар.
12. Хаусдорф, Ф. (1899). «Аналитическая работа по никтеуклидиской геометрии». Лейпцигерская математика-физ. Берихте . 51 : 161–214. hdl :2027/hvd.32044092889328.
13. Вудс, Ф.С. (1905) [1903]. «Формы неевклидова пространства». Бостонский коллоквиум: лекции по математике за 1903 год : 31–74.
14. Либманн, Х. (1905) [1904]. Никтеуклидская геометрия. Лейпциг: Гёшен.
15. Abbildung Hyperbolische Geometry auf ein zweischaliges Hyperboloid Mitt. Математика. Gesellsch Hamburg 4: 409–440.
16. Рейнольдс, Уильям Ф. (1993) «Гиперболическая геометрия на гиперболоиде», American Mathematical Monthly 100:442–55, ссылка Jstor
17. Уолтер, Скотт А. (1999), «Неевклидов стиль относительности Минковского», в Дж. Грее (редактор), Символическая Вселенная: геометрия и физика 1890-1930 , Oxford University Press, стр. 91–127
18. Варичак, В. (1912), «О неевклидовой интерпретации теории относительности»  , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 21 : 103–127

• Алексеевский, Д.В.; Винберг, Е.Б .; Солодовников А.С. (1993), Геометрия пространств постоянной кривизны , Энциклопедия математических наук, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52000-9
• Андерсон, Джеймс (2005), Гиперболическая геометрия , Серия студентов по математике Springer (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-1-85233-934-0
• Рэтклифф, Джон Г. (1994), Основы гиперболических многообразий , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94348-0, Глава 3
• Майлз Рид и Балаж Сзендрой (2005) Геометрия и топология , рисунок 3.10, стр. 45, Cambridge University Press , ISBN 0-521-61325-6 , MR 2194744. 
• Райан, Патрик Дж. (1986), Евклидова и неевклидова геометрия: аналитический подход , Кембридж, Лондон, Нью-Йорк, Нью-Рошель, Мельбурн, Сидней: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-25654-4
• Паркконен, Йоуни. «ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (PDF) . Проверено 5 сентября 2020 г.