Модель гиперболоида

Модель n-мерной гиперболической геометрии

Красная дуга окружности является геодезической в ​​модели диска Пуанкаре ; она проецируется на коричневую геодезическую на зеленом гиперболоиде.

Анимация частичной гиперболической мозаики {7,3} гиперболоида, повернутого в перспективу Пуанкаре.

В геометрии модель гиперболоида , также известная как модель Минковского в честь Германа Минковского , является моделью n- мерной гиперболической геометрии , в которой точки представлены точками на переднем листе S ⁺ двуполостного гиперболоида в ( n +1)-мерном пространстве Минковского или векторами смещения от начала координат до этих точек, а m -плоскости представлены пересечениями ( m +1)-плоскостей, проходящих через начало координат в пространстве Минковского с S ⁺ или клиновыми произведениями m - векторов. Гиперболическое пространство изометрически вложено в пространство Минковского; то есть гиперболическая функция расстояния наследуется из пространства Минковского, аналогично тому, как сферическое расстояние наследуется от евклидова расстояния, когда n -сфера вложена в ( n +1)-мерное евклидово пространство.

Другие модели гиперболического пространства можно рассматривать как картографические проекции S ⁺ : модель Бельтрами–Клейна — это проекция S ^{+ через начало координат на плоскость} , перпендикулярную вектору из начала координат в определенную точку в S ^{+ ,} аналогично гномонической проекции сферы; модель диска Пуанкаре — это проекция S ⁺ через точку на другом листе S ⁻ на перпендикулярную плоскость, аналогично стереографической проекции сферы; модель Ганса — это ортогональная проекция S ⁺ на плоскость, перпендикулярную определенной точке в S ⁺ , аналогично ортографической проекции ; ленточная модель гиперболической плоскости — это конформная «цилиндрическая» проекция, аналогичная проекции Меркатора сферы; координаты Лобачевского — это цилиндрическая проекция, аналогичная равнопромежуточной проекции (долгота, широта) сферы.

Квадратичная форма Минковского

Если ( x ₀ , x ₁ , ..., x _n ) — вектор в ( n + 1) -мерном координатном пространстве R ^{n +1} , то квадратичная форма Минковского определяется как

${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}.}$

Векторы v ∈ R ^{n +1} такие, что Q ( v ) = -1, образуют n -мерный гиперболоид S, состоящий из двух связанных компонент , или листов : прямого, или будущего, листа S ⁺ , где x ₀ >0, и обратного, или прошлого, листа S ⁻ , где x ₀ <0. Точки n -мерной модели гиперболоида являются точками на прямом листе S ⁺ .

Метрика на гиперболоиде: Билинейная форма Минковского B является поляризацией квадратичной формы Минковского Q , $${\displaystyle ds^{2}=Q(dx_{0},dx_{1},\ldots ,dx_{n})=-dx_{0}^{2}+dx_{1}^{2}+\ldots +dx_{n}^{2}.}$$

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(Q(\mathbf {u} +\mathbf {v} )-Q(\mathbf {u} )-Q(\mathbf {v} ))/2.}$

(Иногда это также записывается с использованием записи скалярного произведения ) Явно, ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} .}$

${\displaystyle B((x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}))=-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}.}$

Гиперболическое расстояние между двумя точками u и v на S ⁺ определяется по формуле

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {arcosh} (-B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )),}$

где arcosh — обратная функция гиперболического косинуса .

Выбор метрической сигнатуры

Билинейная форма также функционирует как метрический тензор над пространством. В n +1-мерном пространстве Минковского есть два выбора для метрики с противоположной сигнатурой , в 3-мерном случае либо (+, −, −), либо (−, +, +). ${\displaystyle B}$

Если выбрана сигнатура (−, +, +), то скалярный квадрат хорд между различными точками на одном листе гиперболоида будет положительным, что более точно соответствует общепринятым определениям и ожиданиям в математике. Тогда n -мерное гиперболическое пространство является римановым пространством , а расстояние или длина могут быть определены как квадратный корень скалярного квадрата. Если выбрана сигнатура (+, −, −), скалярный квадрат между различными точками на гиперболоиде будет отрицательным, поэтому необходимо скорректировать различные определения основных терминов, что может быть неудобно. Тем не менее, сигнатура (+, −, −, −) также является общепринятой для описания пространства-времени в физике. (Ср. Соглашение о знаках#Метрическая сигнатура .)

Прямые линии

Прямая линия в гиперболическом n -пространстве моделируется геодезической на гиперболоиде. Геодезическая на гиперболоиде - это (непустое) пересечение гиперболоида с двумерным линейным подпространством (включая начало координат) n +1-мерного пространства Минковского. Если мы возьмем u и v в качестве базисных векторов этого линейного подпространства с

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=1}$

${\displaystyle B(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=-1}$

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0}$

и использовать w как действительный параметр для точек на геодезической, тогда

${\displaystyle \mathbf {u} \sinh w+\mathbf {v} \cosh w}$

будет точкой на геодезической. ^[1]

В более общем случае k -мерная «плоскость» в гиперболическом n -пространстве будет моделироваться (непустым) пересечением гиперболоида с k +1-мерным линейным подпространством (включая начало координат) пространства Минковского.

Изометрии

Неопределенная ортогональная группа O(1, n ), также называемая ( n +1)-мерной группой Лоренца , является группой Ли действительных матриц ( n +1)×( n +1) , которые сохраняют билинейную форму Минковского. На другом языке это группа линейных изометрий пространства Минковского . В частности, эта группа сохраняет гиперболоид S . Напомним, что неопределенные ортогональные группы имеют четыре связных компонента, соответствующих изменению или сохранению ориентации на каждом подпространстве (здесь 1-мерном и n -мерном), и образуют четырехмерную группу Клейна . Подгруппа O(1, n ), которая сохраняет знак первой координаты, является ортохронной группой Лоренца , обозначаемой O ⁺ (1, n ), и имеет две компоненты, соответствующие сохранению или изменению ориентации пространственного подпространства. Ее подгруппа SO ⁺ (1, n ), состоящая из матриц с определителем единица, является связной группой Ли размерности n ( n +1)/2, которая действует на S ⁺ линейными автоморфизмами и сохраняет гиперболическое расстояние. Это действие транзитивно, а стабилизатор вектора (1,0,...,0) состоит из матриц вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&&&\\[-4mu]\vdots &&A&\\0&&&\\\end{pmatrix}}}$

Где принадлежит компактной специальной ортогональной группе SO( n ) (обобщающей группу вращений SO(3) для n = 3 ). Отсюда следует, что n -мерное гиперболическое пространство может быть представлено как однородное пространство и риманово симметрическое пространство ранга 1, ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}=\mathrm {SO} ^{+}(1,n)/\mathrm {SO} (n).}$

Группа SO ⁺ (1, n ) представляет собой полную группу сохраняющих ориентацию изометрий n -мерного гиперболического пространства.

В более конкретных терминах SO ⁺ (1, n ) можно разбить на n ( n -1)/2 вращений (образованных с помощью обычной евклидовой матрицы вращения в нижнем правом блоке) и n гиперболических переносов, которые принимают вид

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cosh \alpha &\sinh \alpha &0&\cdots \\[2mu]\sinh \alpha &\cosh \alpha &0&\cdots \\[2mu]0&0&1&\\[-7mu]\vdots &\vdots &&\ddots \\\end{pmatrix}}}$

где — расстояние, перемещенное (вдоль оси x в данном случае), а 2-я строка/столбец могут быть заменены другой парой для перехода к перемещению вдоль другой оси. Общая форма перемещения в 3 измерениях вдоль вектора : ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (w,x,y,z)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w&x&y&z\\[2mu]x&\ {\dfrac {x^{2}}{w+1}}+1&{\dfrac {yx}{w+1}}&{\dfrac {zx}{w+1}}\\[2mu]y&{\dfrac {xy}{w+1}}&\,{\dfrac {y^{2}}{w+1}}+1&{\dfrac {zy}{w+1}}\\[2mu]z&{\dfrac {xz}{w+1}}&{\dfrac {yz}{w+1}}&{\dfrac {z^{2}}{w+1}}+1\end{pmatrix}}_{\vphantom {|}},}$

где ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle w={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}}$ . Это естественным образом распространяется на большее количество измерений и также является упрощенной версией усиления Лоренца , если удалить специфичные для теории относительности члены.

Примеры групп изометрий

Группа всех изометрий гиперболоидной модели есть O ⁺ (1, n ). Любая группа изометрий является ее подгруппой.

Размышления

Для двух точек существует уникальное отражение, меняющее их местами. ${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} \in \mathbb {H} ^{n},\mathbf {p} \neq \mathbf {q} }$

Пусть . Заметим, что , и поэтому . ${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {p} -\mathbf {q} }{\sqrt {Q(\mathbf {p} -\mathbf {q} )}}}}$ ${\displaystyle Q(\mathbf {u} )=1}$ ${\displaystyle u\notin \mathbb {H} ^{n}}$

Затем

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {x} -2B(\mathbf {x} ,\mathbf {u} )\mathbf {u} }$

является отражением, которое обменивает и . Это эквивалентно следующей матрице: ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$

${\displaystyle R=I-2\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\operatorname {T} }{\begin{pmatrix}-1&0\\0&I\\\end{pmatrix}}}$

(обратите внимание на использование блочно-матричной записи).

Тогда — группа изометрий. Все такие подгруппы сопряжены . ${\displaystyle \{I,R\}}$

Вращения и отражения

${\displaystyle S=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&A\\\end{pmatrix}}:A\in O(n)\right\}}$

— группа вращений и отражений, сохраняющих . Функция — изоморфизм из O( n ) в эту группу. Для любой точки , если — изометрия, отображающаяся в , то — группа вращений и отражений, сохраняющих . ${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$ ${\displaystyle A\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&A\\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle XSX^{-1}}$ ${\displaystyle p}$

Переводы

Для любого действительного числа существует перевод ${\displaystyle t}$

${\displaystyle L_{t}={\begin{pmatrix}\cosh t&\sinh t&0\\\sinh t&\cosh t&0\\0&0&I\\\end{pmatrix}}}$

Это перенос расстояния в положительном направлении x, если или расстояния в отрицательном направлении x, если . Любой перенос расстояния сопряжен и . Множество является группой переносов относительно оси x, а группа изометрий сопряжена с ним тогда и только тогда, когда это группа изометрий относительно прямой. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle -t}$ ${\displaystyle t\leq 0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle L_{t}}$ ${\displaystyle L_{-t}}$ ${\displaystyle \left\{L_{t}:t\in \mathbb {R} \right\}}$

Например, предположим, что мы хотим найти группу переносов через линию . Пусть будет изометрией , которая отображается в и пусть будет изометрией , которая фиксирует и отображается в . Примером такого является отражение, меняющее и (предполагая, что они различны), поскольку они оба находятся на одинаковом расстоянии от . Тогда — изометрия , отображающая в и точку на положительной оси x в . — перенос через линию расстояния . Если , то он находится в направлении. Если , то он находится в направлении. — группа переносов через . ${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle XL_{d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}[1,0,\dots ,0]^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle XL_{d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}[1,0,\dots ,0]^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle YX}$ ${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (YX)L_{t}(YX)^{-1}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$ ${\displaystyle |t|}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$ ${\displaystyle t\leq 0}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {q} \mathbf {p} }}}$ ${\displaystyle \left\{(YX)L_{t}(YX)^{-1}:t\in \mathbb {R} \right\}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$

Симметрии орисфер

Пусть H — некоторая орисфера, такая, что точки формы находятся внутри нее для произвольно больших x . Для любого вектора b в ${\displaystyle (w,x,0,\dots ,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&-{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\[2mu]{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&1-{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\[2mu]\mathbf {b} &-\mathbf {b} &I\end{pmatrix}}}$

является хоровращением, которое отображает H в себя. Множество таких хоровращений является группой хоровращений, сохраняющих H. Все хоровращения сопряжены друг другу.

Для любого из O( n -1) ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&A\\\end{pmatrix}}}$

является вращением или отражением, сохраняющим H и ось x. Эти хоровращения, вращения и отражения порождают группу симметрий H. Группа симметрии любой орисферы сопряжена с ней. Они изоморфны евклидовой группе E( n -1).

История

В нескольких работах между 1878 и 1885 годами Вильгельм Киллинг ^{[2] [3] [4]} использовал представление, которое он приписывал Карлу Вейерштрассу для геометрии Лобачевского . В частности, он обсуждал квадратичные формы, такие как или в произвольных размерностях , где — обратная мера кривизны, обозначает евклидову геометрию , эллиптическую геометрию и гиперболическую геометрию. ${\displaystyle k^{2}t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=k^{2}}$ ${\displaystyle k^{2}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=k^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{2}=\infty }$ ${\displaystyle k^{2}>0}$ ${\displaystyle k^{2}<0}$

По словам Джереми Грея (1986), ^[5] Пуанкаре использовал модель гиперболоида в своих личных заметках в 1880 году. Пуанкаре опубликовал свои результаты в 1881 году, в которых он обсуждал инвариантность квадратичной формы . ^[6] Грей показывает, где модель гиперболоида подразумевается в более поздних работах Пуанкаре. ^[7] ${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}-\zeta ^{2}=-1}$

Также Хомершам Кокс в 1882 году ^{[8] [9]} использовал координаты Вейерштрасса (без использования этого названия), удовлетворяющие соотношению, а также . ${\displaystyle z^{2}-x^{2}-y^{2}=1}$ ${\displaystyle w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1}$

Дальнейшее изложение модели было дано Альфредом Клебшем и Фердинандом Линдеманном в 1891 году, где обсуждалась связь и . ^[10] ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4k^{2}x_{3}^{2}=-4k^{2}}$ ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2}}$

Координаты Вейерштрасса также использовались Жераром (1892), ^[11] Феликсом Хаусдорфом (1899), ^[12] Фредериком С. Вудсом (1903)], ^[13] Генрихом Либманом (1905). ^[14]

Гиперболоид был исследован как метрическое пространство Александром Макфарлейном в его «Papers in Space Analysis» (1894). Он отметил, что точки на гиперболоиде могут быть записаны как

${\displaystyle \cosh A+\alpha \sinh A,}$

где α — базисный вектор, ортогональный оси гиперболоида. Например, он получил гиперболический закон косинусов , используя свою Алгебру физики . ^[1]

Х. Янсен сделал модель гиперболоида явным фокусом своей статьи 1909 года «Представление гиперболической геометрии на двуполостном гиперболоиде». ^[15] В 1993 году У. Ф. Рейнольдс рассказал некоторые подробности ранней истории модели в своей статье в American Mathematical Monthly . ^[16]

Будучи общепринятой моделью в двадцатом веке, она была отождествлена ​​с Geschwindigkeitsvectoren (векторами скорости) Германом Минковским в его Геттингенской лекции 1907 года «Принцип относительности». Скотт Уолтер в своей статье 1999 года «Неевклидов стиль теории относительности Минковского» ^[17] напоминает об осведомленности Минковского, но прослеживает родословную модели до Германа Гельмгольца, а не Вейерштрасса и Киллинга.

В ранние годы теории относительности модель гиперболоида использовалась Владимиром Варичаком для объяснения физики скорости. В своей речи перед Немецким математическим союзом в 1912 году он ссылался на координаты Вейерштрасса. ^[18]

Смотрите также

• Модель диска Пуанкаре
• Гиперболические кватернионы

Примечания и ссылки

1. Alexander Macfarlane (1894) Papers on Space Analysis , B. Westerman, Нью-Йорк, веб-ссылка с archive.org
2. Киллинг, В. (1878) [1877]. «Ueber zwei Raumformen mit Constanter Positiver Krümmung». Журнал для королевы и математики . 86 : 72–83.
3. Киллинг, В. (1880) [1879]. «Die Rechnung in den Nicht-Euklidischen Raumformen». Журнал для королевы и математики . 89 : 265–287.
4. Киллинг, В. (1885). Die nicht-euklidischen Raumformen. Лейпциг.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. Линейные дифференциальные уравнения и теория групп от Римана до Пуанкаре (страницы 271,2)
6. Пуанкаре, Х. (1881). «Приложения неевклидовой геометрии в теории квадратных форм» (PDF) . Французская ассоциация за развитие наук . 10 : 132–138.
7. См. также Пуанкаре: Об основных гипотезах геометрии, 1887, Собрание сочинений, т. 11, стр. 71–91, и ссылку на книгу Б. А. Розенфельда «История неевклидовой геометрии», стр. 266, в английской версии (Springer, 1988).
8. Кокс, Х. (1881). «Однородные координаты в мнимой геометрии и их применение к системам сил». The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics . 18 (70): 178–192.
9. Кокс, Х. (1882) [1881]. «Однородные координаты в мнимой геометрии и их применение к системам сил (продолжение)». The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics . 18 (71): 193–215.
10. Линдеманн, Ф. (1891) [1890]. Vorlesungen über Geometry von Clebsch II. Лейпциг. п. 524.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
11. Жерар, Л. (1892). Sur la geométrie неевклидийская. Париж: Готье-Виллар.
12. Хаусдорф, Ф. (1899). «Аналитическая работа по нихтеуклидиской геометрии». Лейпцигерская математика-физ. Берихте . 51 : 161–214. hdl :2027/hvd.32044092889328.
13. Вудс, ФС (1905) [1903]. «Формы неевклидова пространства». Бостонский коллоквиум: Лекции по математике за 1903 год : 31–74.
14. Либманн, Х. (1905) [1904]. Никтеуклидская геометрия. Лейпциг: Гёшен.
15. Abbildung Hyperbolische Geometry auf ein zweischaliges Hyperboloid Mitt. Математика. Gesellsch Hamburg 4: 409–440.
16. Рейнольдс, Уильям Ф. (1993) «Гиперболическая геометрия на гиперболоиде», American Mathematical Monthly 100:442–55, ссылка Jstor
17. Уолтер, Скотт А. (1999), «Неевклидов стиль теории относительности Минковского», в J. Gray (ред.), Символическая Вселенная: Геометрия и физика 1890-1930 , Oxford University Press, стр. 91–127
18. Варичак, В. (1912), «О неевклидовой интерпретации теории относительности»  , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 21 : 103–127

• Алексеевский, Д.В.; Винберг, Э.Б .; Солодовников, А.С. (1993), Геометрия пространств постоянной кривизны , Энциклопедия математических наук, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52000-9
• Андерсон, Джеймс (2005), Гиперболическая геометрия , Springer Undergraduate Mathematics Series (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-1-85233-934-0
• Рэтклифф, Джон Г. (1994), Основы гиперболических многообразий , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94348-0, Глава 3
• Майлз Рид и Балаж Сендрой (2005) Геометрия и топология , рисунок 3.10, стр. 45, Cambridge University Press , ISBN 0-521-61325-6 , MR 2194744. 
• Райан, Патрик Дж. (1986), Евклидова и неевклидова геометрия: аналитический подход , Кембридж, Лондон, Нью-Йорк, Нью-Рошель, Мельбурн, Сидней: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-25654-4
• Паркконен, Йоуни. «ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (PDF) . Проверено 5 сентября 2020 г.