Людвиг Больцман

Австрийский физик и философ (1844–1906)

Людвиг Эдуард Больцман ( / ˈ b ɒ l t s m ə n / , ^[2] США также / ˈ b oʊ l -, ˈ b ɔː l -/ , ^{[2] [3]} австрийский немец: [ˈluːdvɪɡ ˈbɔltsman] ; 20 февраля 1844 — 5 сентября 1906) был австрийским физиком и философом . Его величайшими достижениями были разработка статистической механики , и статистическое объяснение второго закона термодинамики . В 1877 году он предоставил современное определение энтропии , , где Ω — число микросостояний, энергия которых равна энергии системы, интерпретируемой как мера статистического беспорядка системы. ^[4] Макс Планк назвал константу k _B постоянной Больцмана . ^[5] ${\displaystyle S=k_{\rm {B}}\ln \Omega }$

Статистическая механика является одним из столпов современной физики . Она описывает, как макроскопические наблюдения (такие как температура и давление ) связаны с микроскопическими параметрами, которые колеблются вокруг среднего значения. Она связывает термодинамические величины (такие как теплоемкость ) с микроскопическим поведением, тогда как в классической термодинамике единственным доступным вариантом было бы измерение и табулирование таких величин для различных материалов. ^[6]

Биография

Детство и образование

Больцман родился в Эрдберге, пригороде Вены , в католической семье. Его отец, Людвиг Георг Больцман, был налоговым чиновником. Его дед, переехавший в Вену из Берлина, был производителем часов, а мать Больцмана, Катарина Пауэрнфайнд, была родом из Зальцбурга . Больцман обучался дома до десяти лет, ^[7] а затем поступил в среднюю школу в Линце , Верхняя Австрия . Когда Больцману было 15, его отец умер. ^[8]

Начиная с 1863 года, Больцман изучал математику и физику в Венском университете . Он получил докторскую степень в 1866 году и venia legendi в 1869 году. Больцман тесно сотрудничал с Йозефом Стефаном , директором института физики. Именно Стефан познакомил Больцмана с работами Максвелла . ^[8]

Академическая карьера

В 1869 году в возрасте 25 лет, благодаря рекомендательному письму, написанному Йозефом Стефаном , ^[9] Больцман был назначен штатным профессором математической физики в Университете Граца в провинции Штирия . В 1869 году он провел несколько месяцев в Гейдельберге, работая с Робертом Бунзеном и Лео Кёнигсбергером , а в 1871 году — с Густавом Кирхгофом и Германом фон Гельмгольцем в Берлине. В 1873 году Больцман присоединился к Венскому университету в качестве профессора математики и оставался там до 1876 года.

Людвиг Больцман и его коллеги в Граце, 1887 год: (стоят, слева) Нернст , Штрейнц , Аррениус , Хикке, (сидят, слева) Аулингер, Эттингсгаузен , Больцман, Клеменчич , Хаусманнингер

В 1872 году, задолго до того, как женщины были допущены в австрийские университеты, он встретил Генриетту фон Айгентлер, начинающую преподавательницу математики и физики в Граце. Ей было отказано в разрешении на неофициальное прослушивание лекций. Больцман поддержал ее решение подать апелляцию, которая была успешной. 17 июля 1876 года Людвиг Больцман женился на Генриетте; у них было три дочери: Генриетта (1880), Ида (1884) и Эльза (1891); и сын Артур Людвиг (1881). ^[10] Больцман вернулся в Грац, чтобы занять кафедру экспериментальной физики. Среди его учеников в Граце были Сванте Аррениус и Вальтер Нернст . ^{[11] [12]} Он провел 14 счастливых лет в Граце, и именно там он разработал свою статистическую концепцию природы.

В 1890 году Больцман был назначен на кафедру теоретической физики Мюнхенского университета в Баварии , Германия.

В 1894 году Больцман сменил своего учителя Йозефа Стефана на посту профессора теоретической физики в Венском университете.

Последние годы и смерть

Больцман потратил много усилий в последние годы своей жизни на защиту своих теорий. ^[13] Он не ладил с некоторыми своими коллегами в Вене, особенно с Эрнстом Махом , который стал профессором философии и истории наук в 1895 году. В том же году Георг Гельм и Вильгельм Оствальд представили свою позицию по энергетике на встрече в Любеке . Они считали энергию, а не материю, главным компонентом вселенной. Позиция Больцмана одержала верх среди других физиков, поддержавших его атомные теории в дебатах. ^[14] В 1900 году Больцман отправился в Лейпцигский университет по приглашению Вильгельма Оствальда . Оствальд предложил Больцману профессорскую кафедру физики, которая стала вакантной после смерти Густава Генриха Видемана . После того, как Мах вышел на пенсию из-за плохого здоровья, Больцман вернулся в Вену в 1902 году. ^[13] В 1903 году Больцман вместе с Густавом фон Эшерихом и Эмилем Мюллером основал Австрийское математическое общество . Среди его учеников были Карл Пршибрам , Пауль Эренфест и Лиза Мейтнер . ^[13]

В Вене Больцман преподавал физику, а также читал лекции по философии. Лекции Больцмана по натуральной философии были очень популярны и привлекли значительное внимание. Его первая лекция имела огромный успех. Несмотря на то, что для нее был выбран самый большой лекционный зал, люди стояли на всем пути вниз по лестнице. Из-за большого успеха философских лекций Больцмана император пригласил его на прием ^{[ когда? ]} во Дворец. ^[15]

В 1905 году он прочитал приглашенный курс лекций на летней сессии в Калифорнийском университете в Беркли , который он описал в популярном эссе « Поездка немецкого профессора в Эльдорадо» . ^[16]

В мае 1906 года ухудшающееся психическое состояние Больцмана, описанное в письме декана как «серьёзная форма неврастении » , заставило его уйти в отставку, и его симптомы указывают на то, что он пережил то, что сегодня диагностировали бы как биполярное расстройство . ^{[13] [17]} Четыре месяца спустя он умер от самоубийства 5 сентября 1906 года, повесившись во время отпуска с женой и дочерью в Дуино , недалеко от Триеста (тогда Австрия). ^{[18] [19] [20] [17]} Он похоронен в венском Zentralfriedhof . На его надгробии высечена формула энтропии Больцмана : . ^[13] ${\displaystyle S=k\cdot \log W}$

Философия

Кинетическая теория газов Больцмана, казалось, предполагала реальность атомов и молекул , но почти все немецкие философы и многие ученые, такие как Эрнст Мах и физико-химик Вильгельм Оствальд, не верили в их существование. ^[21] Больцман познакомился с молекулярной теорией из статьи атомиста Джеймса Клерка Максвелла под названием «Иллюстрации динамической теории газов», в которой описывалась температура как зависящая от скорости молекул, тем самым вводя статистику в физику. Это вдохновило Больцмана принять атомизм и расширить теорию. ^[22]

Больцман написал трактаты по философии, такие как «К вопросу об объективном существовании процессов в неживой природе» (1897). Он был реалистом. ^[23] В своей работе «О тезисе Шопенгауэра» Больцман называет свою философию материализмом и говорит далее: «Идеализм утверждает, что существует только эго, различные идеи, и стремится объяснить материю из них. Материализм исходит из существования материи и стремится объяснить ощущения из нее». ^[24]

Физика

Наиболее важный научный вклад Больцмана был сделан в кинетическую теорию газов , основанную на Втором законе термодинамики . Это было важно, поскольку механика Ньютона не различала прошлое и будущее движение , но изобретение Рудольфа Клаузиуса энтропии для описания второго закона основывалось на дисгрегации или дисперсии на молекулярном уровне, так что будущее было однонаправленным. Больцману было двадцать пять лет, когда он наткнулся на работу Джеймса Клерка Максвелла по кинетической теории газов, в которой предполагалось, что температура вызывается столкновением молекул. Максвелл использовал статистику для создания кривой распределения молекулярной кинетической энергии, из которой Больцман прояснил и развил идеи кинетической теории и энтропии, основанные на статистической атомной теории, создав распределение Максвелла–Больцмана как описание скоростей молекул в газе. ^[25] Именно Больцман вывел первое уравнение для моделирования динамической эволюции распределения вероятностей, которое он и Максвелл создали. ^[26] Ключевое понимание Больцмана состояло в том, что дисперсия происходит из-за статистической вероятности возросших молекулярных «состояний». Больцман пошел дальше Максвелла, применив свое уравнение распределения не только к газам, но также к жидкостям и твердым телам. Больцман также расширил свою теорию в своей статье 1877 года за пределы Карно, Рудольфа Клаузиуса , Джеймса Клерка Максвелла и лорда Кельвина, показав, что энтропия обусловлена ​​теплом, пространственным разделением и излучением. ^[27] Статистика Максвелла–Больцмана и распределение Больцмана остаются центральными в основах классической статистической механики. Они также применимы к другим явлениям , которые не требуют квантовой статистики и дают представление о значении температуры .

Он предпринял множество попыток объяснить второй закон термодинамики, причем попытки охватывали многие области. Он пробовал модель моноцикла Гельмгольца, [ ^{28] [29]} чистый ансамблевый подход, как у Гиббса, чистый механический подход, как у эргодической теории, комбинаторный аргумент, Stoßzahlansatz и т. д. ^[30]

_{Диаграмма молекулы I 2} Больцмана 1898 года, показывающая перекрытие атомных «чувствительных областей» (α, β)

Большинство химиков , начиная с открытий Джона Дальтона в 1808 году, Джеймса Клерка Максвелла в Шотландии и Джозайи Уилларда Гиббса в Соединенных Штатах, разделяли веру Больцмана в атомы и молекулы , но большая часть физического истеблишмента не разделяла эту веру до десятилетий спустя. Больцман имел давний спор с редактором выдающегося немецкого физического журнала своего времени, который отказывался позволить Больцману ссылаться на атомы и молекулы как на что-либо иное, кроме удобных теоретических конструкций. Всего через пару лет после смерти Больцмана исследования Перрена коллоидных суспензий (1908–1909), основанные на теоретических исследованиях Эйнштейна 1905 года, подтвердили значения постоянной Авогадро и постоянной Больцмана , убедив мир в том, что мельчайшие частицы действительно существуют .

Цитируя Планка , « Логарифмическая связь между энтропией и вероятностью была впервые сформулирована Л. Больцманом в его кинетической теории газов ». ^[31] Эта знаменитая формула для энтропии S есть ^[32] Альтернативой является определение информационной энтропии, введенное в 1948 году Клодом Шенноном . ^[33] Оно было предназначено для использования в теории связи, но применимо во всех областях. Оно сводится к выражению Больцмана, когда все вероятности равны, но, конечно, может использоваться, когда они не равны. Его достоинство в том, что оно дает немедленные результаты, не прибегая к факториалам или приближению Стирлинга . Однако подобные формулы встречаются еще в работах Больцмана, а явно у Гиббса (см. ссылку). где k _B — постоянная Больцмана , а ln — натуральный логарифм . W (от Wahrscheinlichkeit , немецкого слова, означающего « вероятность ») — вероятность возникновения макросостояния [ ^34] или, точнее, число возможных микросостояний, соответствующих макроскопическому состоянию системы — число (ненаблюдаемых) «способов» в (наблюдаемом) термодинамическом состоянии системы, которые могут быть реализованы путем присвоения различных положений и импульсов различным молекулам. Парадигма Больцмана представляла собой идеальный газ из N идентичных частиц, из которых N _i находятся в i- м микроскопическом состоянии (диапазоне) положения и импульса. W  можно подсчитать с помощью формулы для перестановок , где i пробегает все возможные молекулярные состояния, а где обозначает факториал . «Поправка» в знаменателе учитывает неразличимые частицы в одном и том же состоянии. $${\displaystyle S=k_{\mathrm {B} }\ln W}$$ $${\displaystyle W=N!\prod _{i}{\frac {1}{N_{i}!}}}$$ ${\displaystyle !}$

Больцмана также можно считать одним из предшественников квантовой механики из-за его предположения в 1877 году, что уровни энергии физической системы могут быть дискретными, хотя Больцман использовал это как математический прием, не имеющий физического смысла. ^[35]

Уравнение Больцмана

Бюст Больцмана в аркаде двора главного здания Венского университета

Уравнение Больцмана было разработано для описания динамики идеального газа. где ƒ представляет собой функцию распределения положения и импульса отдельной частицы в данный момент времени (см. распределение Максвелла–Больцмана ), F — сила, m — масса частицы, t — время, а v — средняя скорость частиц. $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+v{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {F}{m}}{\frac {\partial f}{\partial v}}={\frac {\partial f}{\partial t}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{\mathrm {collision} }}$$

Это уравнение описывает временное и пространственное изменение распределения вероятностей для положения и импульса плотности распределения облака точек в одночастичном фазовом пространстве . (См. Гамильтонову механику .) Первый член в левой части представляет явное изменение во времени функции распределения, тогда как второй член дает пространственное изменение, а третий член описывает эффект любой силы, действующей на частицы. Правая часть уравнения представляет эффект столкновений.

В принципе, приведенное выше уравнение полностью описывает динамику ансамбля частиц газа при соответствующих граничных условиях . Это дифференциальное уравнение первого порядка имеет обманчиво простой вид, поскольку f может представлять произвольную функцию распределения одной частицы . Кроме того, сила, действующая на частицы, напрямую зависит от функции распределения скоростей  f . Уравнение Больцмана, как известно, трудно интегрировать . Дэвид Гильберт потратил годы, пытаясь решить его, но без особого успеха.

Форма члена столкновения, принятая Больцманом, была приближенной. Однако для идеального газа стандартное решение Чепмена–Энскога уравнения Больцмана является высокоточным. Ожидается, что оно приведет к неверным результатам для идеального газа только в условиях ударной волны .

Больцман много лет пытался «доказать» второй закон термодинамики, используя свое газодинамическое уравнение – его знаменитую H-теорему . Однако ключевым предположением, которое он сделал при формулировке термина столкновения, был « молекулярный хаос », предположение, которое нарушает симметрию обращения времени, как это необходимо для всего , что могло бы подразумевать второй закон. Только из вероятностного предположения вытекал очевидный успех Больцмана, поэтому его долгий спор с Лошмидтом и другими по поводу парадокса Лошмидта в конечном итоге закончился его неудачей.

Наконец, в 1970-х годах Э. Г. Д. Коэн и Дж. Р. Дорфман доказали, что систематическое (степенной ряд) расширение уравнения Больцмана до высоких плотностей математически невозможно. Следовательно, неравновесная статистическая механика для плотных газов и жидкостей фокусируется на соотношениях Грина–Кубо , теореме о флуктуации и других подходах.

Второй закон термодинамики как закон беспорядка

Могила Больцмана в Центральном кладбище в Вене, с бюстом и формулой энтропии

Идея о том, что второй закон термодинамики или «закон энтропии» является законом беспорядка (или что динамически упорядоченные состояния «бесконечно маловероятны»), возникла из взгляда Больцмана на второй закон термодинамики.

В частности, это была попытка Больцмана свести его к стохастической функции столкновений, или закону вероятности, вытекающему из случайных столкновений механических частиц. Следуя Максвеллу, ^[36] Больцман моделировал молекулы газа как сталкивающиеся бильярдные шары в ящике, отмечая, что с каждым столкновением неравновесные распределения скоростей (группы молекул, движущихся с одинаковой скоростью и в одном направлении) будут становиться все более беспорядочными, что приведет к конечному состоянию макроскопической однородности и максимального микроскопического беспорядка или состоянию максимальной энтропии (где макроскопическая однородность соответствует уничтожению всех потенциалов или градиентов поля). ^[37] Второй закон, утверждал он, был, таким образом, просто результатом того факта, что в мире механически сталкивающихся частиц неупорядоченные состояния являются наиболее вероятными. Поскольку существует гораздо больше возможных неупорядоченных состояний, чем упорядоченных, система почти всегда будет находиться либо в состоянии максимального беспорядка — макросостоянии с наибольшим числом доступных микросостояний, например, газ в ящике в равновесии — либо движущейся к нему. Больцман пришел к выводу, что динамически упорядоченное состояние, в котором молекулы движутся «с одинаковой скоростью и в одном направлении», является «наиболее невероятным случаем из всех мыслимых... бесконечно невероятной конфигурацией энергии». ^[38]

Больцман совершил подвиг, показав, что второй закон термодинамики является лишь статистическим фактом. Постепенное разупорядочение энергии аналогично разупорядочению изначально упорядоченной колоды карт при многократном перетасовывании, и так же, как карты в конце концов вернутся к своему первоначальному порядку, если их перетасовать гигантское количество раз, так и вся вселенная должна когда-нибудь по чистой случайности вернуться в состояние, из которого она изначально вышла. (Эта оптимистичная кода к идее умирающей вселенной становится несколько приглушенной, когда кто-то пытается оценить временную линию, которая, вероятно, пройдет до того, как это произойдет спонтанно.) ^[39] Тенденция к увеличению энтропии, по-видимому, вызывает трудности у новичков в термодинамике, но ее легко понять с точки зрения теории вероятности. Рассмотрим два обычных игральных кубика , обе шестерки которых лежат лицом вверх. После того, как кости встряхнуты, вероятность обнаружить эти две шестерки лицом вверх мала (1 из 36); Таким образом, можно сказать, что случайное движение (перемешивание) игральных костей, подобно хаотическим столкновениям молекул из-за тепловой энергии, приводит к изменению менее вероятного состояния на более вероятное. При миллионах игральных костей, подобно миллионам атомов, участвующих в термодинамических расчетах, вероятность того, что все они окажутся шестерками, становится настолько исчезающе малой, что система должна перейти в одно из более вероятных состояний. ^[40]

Наследие и влияние на современную науку

Вклад Людвига Больцмана в физику и философию оказал неизгладимое влияние на современную науку. Его новаторская работа в области статистической механики и термодинамики заложила основу для некоторых из самых фундаментальных концепций в физике. Например, Макс Планк при квантовании резонаторов в своей теории излучения черного тела использовал постоянную Больцмана для описания энтропии системы, чтобы прийти к своей формуле в 1900 году. ^[41] Однако работа Больцмана не всегда была легко принята при его жизни, и он столкнулся с противодействием со стороны некоторых современников, особенно в отношении существования атомов и молекул. Тем не менее, обоснованность и важность его идей в конечном итоге были признаны, и с тех пор они стали краеугольными камнями современной физики. Здесь мы углубимся в некоторые аспекты наследия Больцмана и его влияния на различные области науки.

Атомная теория и существование атомов и молекул

Кинетическая теория газов Больцмана была одной из первых попыток объяснить макроскопические свойства, такие как давление и температура, с точки зрения поведения отдельных атомов и молекул. Хотя многие химики уже признавали существование атомов и молекул, более широкому физическому сообществу потребовалось некоторое время, чтобы принять эту точку зрения. Длительный спор Больцмана с редактором известного немецкого физического журнала по поводу принятия атомов и молекул подчеркивает первоначальное сопротивление этой идее.

Только после того, как эксперименты, такие как исследования Жана Перрена коллоидных суспензий, подтвердили значения постоянной Авогадро и постоянной Больцмана, существование атомов и молекул получило более широкое признание. Кинетическая теория Больцмана сыграла решающую роль в демонстрации реальности атомов и молекул и объяснении различных явлений в газах, жидкостях и твердых телах.

Статистическая механика и постоянная Больцмана

Статистическая механика, пионером которой был Больцман, связывает макроскопические наблюдения с микроскопическим поведением. Его статистическое объяснение второго закона термодинамики было значительным достижением, и он дал современное определение энтропии ( ), где k _B — постоянная Больцмана, а Ω — число микросостояний, соответствующих данному макросостоянию. ${\displaystyle S=k_{\rm {B}}\ln \Omega }$

Макс Планк позже назвал константу k _B постоянной Больцмана в честь вклада Больцмана в статистическую механику. Постоянная Больцмана играет центральную роль в связи термодинамических величин с микроскопическими свойствами, и теперь она является фундаментальной константой в физике, появляясь в различных уравнениях во многих научных дисциплинах.

Уравнение Больцмана и его современное применение

Поскольку уравнение Больцмана практично при решении задач в разреженных или разбавленных газах, оно использовалось во многих различных областях техники. Оно используется для расчета возвращения космического челнока в верхнюю атмосферу. ^[42] Оно является основой для теории переноса нейтронов и переноса ионов в полупроводниках . ^{[43] [44]}

Влияние на квантовую механику

Работа Больцмана в области статистической механики заложила основу для понимания статистического поведения частиц в системах с большим числом степеней свободы. В своей статье 1877 года он использовал дискретные уровни энергии физических систем в качестве математического устройства и продолжил показывать, что то же самое можно применить к непрерывным системам, которые можно рассматривать как предшественников развития квантовой механики. ^[45] Один биограф Больцмана говорит, что подход Больцмана «проложил путь для Планка». ^[46]

Концепция квантования уровней энергии стала фундаментальным постулатом в квантовой механике, что привело к появлению таких новаторских теорий, как квантовая электродинамика и квантовая теория поля . Таким образом, ранние идеи Больцмана о квантовании уровней энергии оказали глубокое влияние на развитие квантовой физики.

Работы

• Verhältniss zur Fernwirkungstheorie, Specielle Fälle der Elektrostatik, Stationären Strömung und Induction (на немецком языке). Том. 2. Лейпциг: Иоганн Амброзиус Барт. 1893.
• Теория ван дер Ваальса, Gase mit zusammengesetzten Molekülen, Gasdissociation, Schlussbemerkungen (на немецком языке). Том. 2. Лейпциг: Иоганн Амброзиус Барт. 1896.
• Theorie der Gase mit einatomigen Molekülen, deren Dimensionen gegen die mittlere Weglänge verschwinden (на немецком языке). Том. 1. Лейпциг: Иоганн Амброзиус Барт. 1896.
• Abteilung der Grundgleichungen für ruhende, homogene, изотропный Körper (на немецком языке). Том. 1. Лейпциг: Иоганн Амброзиус Барт. 1908.
• Vorlesungen über Gastheorie (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. 1922 год.

• 
  Тома I и II Vorlesungen über Gastheorie (1896–1898)
• 
  Титульный лист I и II томов Vorlesungen über Gastheorie (1896–1898)
• 
  Оглавление томов I и II Vorlesungen über Gastheorie (1896–1898)
• 
  Введение к томам I и II Vorlesungen über Gastheorie (1896–1898)

Награды и почести

В 1885 году он стал членом Императорской австрийской академии наук , а в 1887 году — президентом Грацского университета . В 1888 году он был избран членом Королевской шведской академии наук , а в 1899 году — иностранным членом Королевского общества (ForMemRS) . ^[1] В его честь названо множество вещей .

Смотрите также

• Термодинамика
• Статистическая механика

Ссылки

1. "Fellows of the Royal Society". Лондон: Royal Society . Архивировано из оригинала 16 марта 2015 г.
2. "Boltzmann" . Оксфордский словарь английского языка (Электронная правка). Oxford University Press . doi :10.1093/OED/6830903157. (Требуется подписка или членство в участвующем учреждении.)
3. "Постоянная Больцмана". Словарь Merriam-Webster.com . Merriam-Webster.
4. Кляйн, Мартин (1970) [1768]. "Больцман, Людвиг". В Присе, Уоррен Э. (ред.). Encyclopaedia Britannica (твердая обложка). Том 3 (Памятное издание для Expo 70 ред.). Чикаго: Уильям Бентон. стр. 893a. ISBN 0-85229-135-3.
5. Партингтон, Дж. Р. (1949), Расширенный трактат по физической химии , т. 1, Основные принципы , Свойства газов , Лондон: Longmans, Green and Co. , стр. 300
6. Гиббс, Джозайя Уиллард (1902). Элементарные принципы статистической механики . Нью-Йорк: Charles Scribner's Sons .
7. Симмонс, Джон; Симмонс, Линда (2000). The Scientific 100. Кенсингтон. стр. 123. ISBN 978-0-8065-3678-1.
8. Джеймс, Иоан (2004). Замечательные физики: от Галилея до Юкавы . Cambridge University Press. стр. 169. ISBN 978-0-521-01706-0.
9. Южнич, Станислав (декабрь 2001 г.). «Людвиг Больцманн in prva študentka fizike in matematike slovenskega rodu» [Людвиг Больцман и первый студент-физик-математик словенского происхождения]. Кваркадабра (на словенском языке) (12) . Проверено 17 февраля 2012 г.
10. Фасоль, Герхард. "Биография Людвига Больцмана (20 февраля 1844 г. - 5 сентября 1906 г.)". Людвиг Больцман . Получено 20 мая 2024 г. .
11. Jäger, Gustav; Nabl, Josef; Meyer, Stephan (апрель 1999 г.). «Three Assistants on Boltzmann». Synthese . 119 (1–2): 69–84. doi :10.1023/A:1005239104047. S2CID  30499879. Пауль Эренфест (1880–1933) наряду с Нернстом, Аррениусом и Мейтнер следует считать одними из самых выдающихся учеников Больцмана.
12. "Вальтер Герман Нернст". Архивировано из оригинала 12 июня 2008 г. Вальтер Герман Нернст посетил лекции Людвига Больцмана
13. Черчиньяни, Карло (1998). Людвиг Больцман: Человек, который доверял атомам . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850154-1 
14. Макс Планк (1896). «Gegen die Neure Energetik». Аннален дер Физик . 57 (1): 72–78. Бибкод : 1896АнП...293...72П. дои : 10.1002/andp.18962930107.
15. Уравнение Больцмана: теория и приложения , EGD Cohen, W. Thirring, ред., Springer Science & Business Media, 2012
16. Больцман, Людвиг (1 января 1992 г.). «Путешествие немецкого профессора в Эльдорадо». Physics Today . 45 (1): 44–51. Bibcode : 1992PhT....45a..44B. doi : 10.1063/1.881339. ISSN  0031-9228.
17. Нина Баусек и Стефан Вашитл (13 февраля 2018 г.). «Трагические смерти в науке: Людвиг Больцман – разум в беспорядке». Paperpile . Получено 26 апреля 2020 г. .
18. Мьюир, Хейзел, Эврика! Величайшие мыслители науки и их ключевые прорывы , стр. 152, ISBN 1-78087-325-5 
19. Больцман, Людвиг (1995). «Выводы». В Блэкморе, Джон Т. (ред.). Людвиг Больцман: его поздняя жизнь и философия, 1900–1906 . Том 2. Springer. С. 206–207. ISBN 978-0-7923-3464-4.
20. После смерти Больцмана Фридрих («Фриц») Хазенёрль стал его преемником на профессорской кафедре физики в Вене.
21. Броновски, Якоб (1974). «Мир внутри мира». Восхождение человека . Little Brown & Co. стр. 265. ISBN 978-0-316-10930-7.
22. Нэнси Форбс, Бэзил Махон (2019). Фарадей, Максвелл и электромагнитное поле . Глава 11. ISBN 978-1633886070 . ^{[ необходима полная цитата ]} 
23. Черчиньяни, Карло. Людвиг Больцман: Человек, который доверял атомам . ISBN 978-0198570646 . ^{[ необходима полная цитата ]} 
24. Черчиньяни, Карло (2008). Людвиг Больцман: человек, который доверял атомам (переиздание). Оксфорд: Oxford Univ. Press. стр. 176. ISBN 978-0-19-850154-1.
25. Людвиг Больцман, Лекции по теории газов , перевод Стивена Г. Браша, «Введение переводчика», 1968.
26. Пенроуз, Роджер. «Предисловие». В Черчиньяни, Карло, Людвиг Больцман: Человек, который доверял атомам , ISBN 978-0198570646 . 
27. Больцманн, Людвиг (1877). Перевод Шарпа К.; Мачинский Ф. «О связи между второй фундаментальной теоремой механической теории теплоты и вероятностными расчетами условий теплового равновесия». Sitzungberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften. Mathematich-Naturwissen Classe . Часть II, LXXVI. 76:373–435. Вена. Перепечатано в Wissenschaftliche Abhandlungen , Vol. II, перепечатка 42, стр. 164–223, Барт, Лейпциг, 1909. Энтропия 2015, 17, 1971–2009. дои : 10.3390/e17041971
28. Príncipe, João (2014), de Paz, María; DiSalle, Robert (ред.), "Henri Poincaré: The Status of Mechanical Explanations and the Foundations of Statistical Mechanics", Poincaré, Philosopher of Science: Problems and Perspectives , Dordrecht: Springer Netherlands, стр. 127–151, doi : 10.1007/978-94-017-8780-2_8, hdl : 10174/13352 , ISBN 978-94-017-8780-2, получено 28 мая 2024 г.
29. Кляйн, Мартин Дж. (1974), Сигер, Рэймонд Дж.; Коэн, Роберт С. (ред.), «Больцман, моноциклы и механическое объяснение», Философские основы науки , т. 11, Дордрехт: Springer Netherlands, стр. 155–175, doi :10.1007/978-94-010-2126-5_8, ISBN 978-90-277-0376-7, получено 28 мая 2024 г.
30. Uffink, Jos (2022), Zalta, Edward N. (ред.), «Работа Больцмана в статистической физике», The Stanford Encyclopedia of Philosophy (лето 2022 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , дата обращения 28 мая 2024 г.
31. Макс Планк, стр. 119.
32. Понятие энтропии было введено Рудольфом Клаузиусом в 1865 году. Он первым сформулировал второй закон термодинамики , заявив, что «энтропия всегда возрастает».
33. "Математическая теория связи Клода Э. Шеннона". cm.bell-labs.com . Архивировано из оригинала 3 мая 2007 г.
34. Паули, Вольфганг (1973). Статистическая механика . Кембридж: MIT Press. ISBN 978-0-262-66035-8., стр. 21
35. Больцманн, Людвиг (1877). Перевод Шарпа К.; Мачинский, Ф. «О связи между второй фундаментальной теоремой механической теории тепла и вероятностными расчетами условий теплового равновесия». Sitzungberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften. Mathematich-Naturwissen Classe . Часть II, LXXVI, 76:373-435. Вена. Перепечатано в Wissenschaftliche Abhandlungen , Vol. II, перепечатка 42, с. 164–223, Барт, Лейпциг, 1909. Энтропия 2015, 17, 1971–2009. дои : 10.3390/e17041971.
36. Максвелл, Дж. (1871). Теория тепла. Лондон: Longmans, Green & Co.
37. Больцман, Л. (1974). Второй закон термодинамики. Populare Schriften, Эссе 3, выступление на официальном собрании Императорской академии наук, 29 мая 1886 г., перепечатано в Ludwig Boltzmann, Theoretical physics and philosophy problem, SG Brush (Trans.). Boston: Reidel. (Оригинальная работа опубликована в 1886 г.)
38. Больцман, Л. (1974). Второй закон термодинамики. стр. 20
39. " Энциклопедия Кольера ", том 19 Файф Рени, "Физика", Дэвид Парк, стр. 15
40. "Энциклопедия Кольера", том 22, Сильт-Уругвай, Термодинамика, Лео Питерс, стр. 275
41. А. Дуглас Стоун, «Эйнштейн и квант», Глава 1 «Акт отчаяния». 2015.
42. Neunzert, H., Gropengießer, F., Struckmeier, J. (1991). Вычислительные методы для уравнения Больцмана. В: Spigler, R. (ред.) Applied and Industrial Mathematics. Mathematics and Its Applications, т. 56. Springer, Dordrecht. doi :10.1007/978-94-009-1908-2_10
43. Расширенная теория полупроводников и полупроводниковых приборов. Численные методы и моделирование / Умберто Равайоли http://transport.ece.illinois.edu/ECE539S12-Lectures/Chapter2-DriftDiffusionModels.pdf
44. ОБЗОР РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА БОЛЬЦМАНА ДЛЯ НЕЙТРОНОВ, ФОТОНОВ И ЭЛЕКТРОНОВ В ДЕКАРТОВОЙ ГЕОМЕТРИИ, Барбара Д. ду Амарал Родригес, Марко Туллио Вильена, 2009 Международная ядерная атлантическая конференция - INAC 2009 Рио-де-Жанейро, RJ, Бразилия, 27 сентября - 2 октября 2009 г. ASSOCIAC ̧A ̃OBRASILEIRADEENERGIANUCLEAR-ABEN ISBN 978-85-99141-03-8 
45. Шарп, К.; Мачинский, Ф. Перевод статьи Людвига Больцмана «О связи между второй фундаментальной теоремой механической теории тепла и вероятностными расчетами относительно условий теплового равновесия» Sitzungberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften. Mathematich-Naturwissen Classe. ок. II, LXXVI 1877, стр. 373–435 (Wien. Ber. 1877, 76:373–435). Перепечатано в Виссе. Абхандлунген, Vol. II, перепечатка 42, с. 164–223, Барт, Лейпциг, 1909. Энтропия 2015, 17, 1971–2009. https://doi.org/10.3390/e17041971 https://www.mdpi.com/1099-4300/17/4/1971
46. Карло Черчиньяни, «Людвиг Больцман: человек, который доверял атомам», Глава 12.3 Излучение черного тела, 2006, ISBN 978-0198570646 . 

Дальнейшее чтение

• Роман Сексл и Джон Блэкмор (редакторы), «Людвиг Больцманн – Ausgewahlte Abhandlungen», (Ludwig Boltzmann Gesamtausgabe, Band 8), Vieweg, Брауншвейг, 1982.
• Джон Блэкмор (ред.), «Людвиг Больцман – его поздняя жизнь и философия, 1900–1906, книга первая: документальная история», Kluwer, 1995. ISBN 978-0-7923-3231-2 
• Джон Блэкмор, «Людвиг Больцман – его поздняя жизнь и философия, 1900–1906, книга вторая: Философ», Kluwer, Дордрехт, Нидерланды, 1995. ISBN 978-0-7923-3464-4 
• Джон Блэкмор (ред.), «Людвиг Больцман – беспокойный гений как философ», в Synthese, том 119, №№ 1 и 2, 1999, стр. 1–232.
• Бланделл, Стивен; Бланделл, Кэтрин М. (2006). Концепции в тепловой физике. Oxford University Press. стр. 29. ISBN 978-0-19-856769-1.
• Больцманн, Людвиг Больцманн – Leben und Briefe , изд., Вальтер Хёфлехнер, Akademische Druck- u. Верлагсанштальт. Грац, Австрия, 1994 г.
• Браш, Стивен Г. (ред. и пер.), Больцман, Лекции по теории газа , Беркли, Калифорния: U. of California Press, 1964
• Браш, Стивен Г. (ред.), Кинетическая теория , Нью-Йорк: Pergamon Press, 1965
• Браш, Стивен Г. (1970). "Больцман" . В Чарльз Коулстон Джиллиспи (ред.). Словарь научной биографии . Нью-Йорк: Scribner. ISBN 978-0-684-16962-0.
• Браш, Стивен Г. (1986). Вид движения, который мы называем теплом: история кинетической теории газов . Амстердам: Северная Голландия. ISBN 978-0-7204-0370-1.
• Черчиньяни, Карло (1998). Людвиг Больцман: Человек, который доверял атомам . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850154-1.
• Дарригол, Оливье (2018). Атомы, механика и вероятность: статистико-механика Людвига Больцмана. Oxford University Press . ISBN 978-0-19-881617-1.
• Эренфест, П. и Эренфест, Т. (1911) «Begriffliche Grundlagen der statistischen Auffassung in der Mechanik», в Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen Band IV, 2. Teil (Ф. Кляйн и К. Мюллер (ред.) Лейпциг: Тойбнер, стр. 3–90. В переводе « Концептуальные основы статистического подхода в механике» . Нью-Йорк: Издательство Корнельского университета, 1959. ISBN 0-486-49504-3. 
• Эверделл, Уильям Р. (1988). «Проблема преемственности и истоки модернизма: 1870–1913». История европейских идей . 9 (5): 531–552. doi :10.1016/0191-6599(88)90001-0.
• Эверделл, Уильям Р. (1997). Первые модернисты . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 9780226224800.
• Гиббс, Джозайя Уиллард (1902). Элементарные принципы статистической механики, разработанные с особым упором на рациональные основы термодинамики . Нью-Йорк: Charles Scribner's Sons.
• Джонсон, Эрик (2018).Тревога и уравнение: понимание энтропии Больцмана. Издательство MIT. ISBN 978-0-262-03861-4.
• Кляйн, Мартин Дж. (1973). «Развитие статистических идей Больцмана». В EGD Cohen ; W. Thirring (ред.). Уравнение Больцмана: теория и приложения . Acta physica Austriaca Suppl. 10. Wien: Springer. стр. 53–106. ISBN 978-0-387-81137-6.
• Линдли, Дэвид (2001). Атом Больцмана: Великие дебаты, которые положили начало революции в физике. Нью-Йорк: Free Press. ISBN 978-0-684-85186-0.
• Лотка, А. Дж. (1922). «Вклад в энергетику эволюции». Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 8 (6): 147–51. Bibcode :1922PNAS....8..147L. doi : 10.1073/pnas.8.6.147 . PMC  1085052 . PMID  16576642.
• Мейер, Стефан (1904). Festschrift Людвига Больцмана gewidmet zum sechzigsten Geburtstage 20 февраля 1904 г. (на немецком языке). Дж. А. Барт.
• Планк, Макс (1914). Теория теплового излучения. P. Blakiston Son & Co.Перевод на английский язык 2-го издания Waermestrahlung , выполненный Мортоном Масиусом . Переиздано Dover (1959) и (1991). ISBN 0-486-66811-8 
• Шарп, Ким (2019). Энтропия и дао подсчета: краткое введение в статистическую механику и второй закон термодинамики (SpringerBriefs in Physics). Springer Nature. ISBN 978-3030354596 
• Толмен, Ричард К. (1938). Принципы статистической механики . Oxford University Press.Переиздано: Довер (1979). ISBN 0-486-63896-0 

Внешние ссылки

• Uffink, Jos (2004). «Работа Больцмана в статистической физике». Стэнфордская энциклопедия философии . Получено 11 июня 2007 г.
• Людвиг Больцман - Гений беспорядка (Youtube)
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Людвиг Больцман», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
• Рут Левин Сайм , «Лиз Мейтнер: Жизнь в физике». Глава первая: Детство в Вене. В книге Лизы Мейтнер представлен рассказ Лизы Мейтнер об преподавании и карьере Больцмана.
• Эфтехари, Али, «Людвиг Больцман (1844–1906)». Обсуждает философские взгляды Больцмана с многочисленными цитатами.
• Раджасекар, С.; Атаван, Н. (7 сентября 2006 г.). «Людвиг Эдвард Больцман». arXiv : физика/0609047 .
• Людвиг Больцман в проекте «Генеалогия математики»
• Вайсштейн, Эрик Вольфганг (ред.). «Больцман, Людвиг (1844–1906)». Мир Науки .