Численные методы для уравнений в частных производных — это раздел численного анализа , изучающий численное решение уравнений в частных производных (ЧДУ). [1] [2]
В принципе, существуют специализированные методы для гиперболических , [3], параболических [4] или эллиптических уравнений в частных производных [5] . [6] [7]
В этом методе функции представлены их значениями в определенных точках сетки, а производные аппроксимируются через разности этих значений.
Метод линий (MOL, NMOL, NUMOL [8] [9] [10] ) — это метод решения уравнений в частных производных (ЧДУ), в котором все измерения, кроме одного, дискретизированы. MOL позволяет использовать стандартные методы и программное обеспечение общего назначения, разработанные для численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ). За прошедшие годы на многих различных языках программирования было разработано большое количество процедур интеграции, а некоторые из них были опубликованы как ресурсы с открытым исходным кодом . [11]
Метод линий чаще всего относится к построению или анализу численных методов для уравнений в частных производных, который предполагает сначала дискретизацию только пространственных производных и оставление переменной времени непрерывной. Это приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой можно применить численный метод для начальных обыкновенных уравнений. Метод линий в этом контексте восходит как минимум к началу 1960-х годов. [12]
Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод поиска приближенных решений краевых задач для дифференциальных уравнений . Он использует вариационные методы ( вариационное исчисление ) для минимизации функции ошибок и получения устойчивого решения. Аналогично идее о том, что соединение множества крошечных прямых линий может аппроксимировать больший круг, FEM включает в себя все методы соединения множества простых уравнений элементов во многих небольших подобластях, называемых конечными элементами, для аппроксимации более сложного уравнения в большей области .
Метод градиентной дискретизации (GDM) — это численный метод , который включает в себя несколько стандартных или новейших методов. Он основан на раздельной аппроксимации функции и ее градиента. Основные свойства обеспечивают сходимость метода для ряда линейных и нелинейных задач, и поэтому все методы, входящие в структуру GDM (соответствующие и несоответствующие конечные элементы, смешанные конечные элементы, миметические конечные разности...), наследуют эти свойства сходимости.
Метод конечного объема представляет собой численный метод представления и оценки уравнений в частных производных в форме алгебраических уравнений [LeVeque, 2002; Торо, 1999]. Подобно методу конечных разностей или методу конечных элементов , значения вычисляются в дискретных местах сетчатой геометрии. «Конечный объем» относится к небольшому объему, окружающему каждую узловую точку сетки. В методе конечных объемов объемные интегралы в уравнении в частных производных, которые содержат член дивергенции , преобразуются в поверхностные интегралы с использованием теоремы о дивергенции . Эти члены затем оцениваются как потоки на поверхностях каждого конечного объема. Поскольку поток, входящий в данный объем, идентичен потоку, выходящему из соседнего объема, эти методы являются консервативными . Еще одним преимуществом метода конечных объемов является то, что его легко сформулировать для учета неструктурированных сеток. Этот метод используется во многих пакетах вычислительной гидродинамики .
Спектральные методы — это методы, используемые в прикладной математике и научных вычислениях для численного решения некоторых дифференциальных уравнений , часто с использованием быстрого преобразования Фурье . Идея состоит в том, чтобы записать решение дифференциального уравнения в виде суммы определенных «базисных функций» (например, в виде ряда Фурье , который представляет собой сумму синусоид ), а затем выбрать в сумме коэффициенты, которые наилучшим образом удовлетворяют дифференциальному уравнению. уравнение.
Спектральные методы и методы конечных элементов тесно связаны и построены на одних и тех же идеях; Основное различие между ними состоит в том, что спектральные методы используют базисные функции, отличные от нуля во всей области, тогда как методы конечных элементов используют базисные функции, которые отличны от нуля только в небольших подобластях. Другими словами, спектральные методы используют глобальный подход , тогда как методы конечных элементов используют локальный подход . Частично по этой причине спектральные методы обладают отличными свойствами погрешностей, причем так называемая «экспоненциальная сходимость» является наиболее быстрой из возможных, когда решение является гладким . Однако неизвестны результаты трехмерного однодоменного спектрального захвата ударов . [13] В сообществе конечных элементов метод, в котором степень элементов очень высока или увеличивается по мере уменьшения параметра сетки h до нуля, иногда называется методом спектральных элементов .
Бессеточные методы не требуют сетки, соединяющей точки данных области моделирования. [14] Бессеточные методы позволяют моделировать некоторые сложные типы задач за счет дополнительного вычислительного времени и усилий по программированию.
Методы декомпозиции области решают краевую задачу путем разделения ее на более мелкие краевые задачи в подобластях и повторения для координации решения между соседними подобластями. Грубая задача с одним или несколькими неизвестными на каждый поддомен используется для дальнейшей глобальной координации решения между поддоменами. Задачи в поддоменах независимы, что делает методы декомпозиции доменов пригодными для параллельных вычислений . Методы декомпозиции области обычно используются в качестве предварительных условий для итерационных методов пространства Крылова , таких как метод сопряженных градиентов или GMRES .
В методах декомпозиции перекрывающихся доменов поддомены перекрываются больше, чем интерфейс. Методы декомпозиции перекрывающихся областей включают альтернативный метод Шварца и аддитивный метод Шварца . Многие методы декомпозиции области могут быть написаны и проанализированы как частный случай абстрактного аддитивного метода Шварца .
В непересекающихся методах поддомены пересекаются только на своем интерфейсе. В основных методах, таких как балансирующая декомпозиция домена и BDDC , непрерывность решения через интерфейс субдомена обеспечивается путем представления значения решения на всех соседних субдоменах одним и тем же неизвестным. В двойных методах, таких как FETI , непрерывность решения по интерфейсу субдомена обеспечивается множителями Лагранжа . Метод FETI-DP представляет собой гибрид двойного и первичного метода.
Методы декомпозиции непересекающихся областей также называются итерационными методами подструктурирования .
Методы раствора — это методы дискретизации уравнений в частных производных, которые используют отдельную дискретизацию в непересекающихся подобластях. Сетки в подобластях не совпадают на интерфейсе, а равенство решения обеспечивается множителями Лагранжа, разумно выбранными для сохранения точности решения. В инженерной практике в методе конечных элементов непрерывность решений между несовпадающими подобластями реализуется многоточечными ограничениями.
Моделирование моделей среднего размера методом конечных элементов требует решения линейных систем с миллионами неизвестных. Несколько часов на один временной шаг — это среднее время последовательной работы, поэтому параллельные вычисления необходимы. Методы декомпозиции области содержат большой потенциал для распараллеливания методов конечных элементов и служат основой для распределенных параллельных вычислений.
Многосеточные (МГ) методы в численном анализе представляют собой группу алгоритмов решения дифференциальных уравнений с использованием иерархии дискретизаций . Они являются примером класса методов, называемых методами множественного разрешения , которые очень полезны (но не ограничиваются ими) в задачах, демонстрирующих множественные масштабы поведения. Например, многие базовые методы релаксации демонстрируют разные скорости сходимости для коротковолновых и длинноволновых компонентов, что предполагает различное отношение к этим различным масштабам, как в подходе анализа Фурье к многосеточным методам. [15] Методы MG могут использоваться как в качестве решателей, так и в качестве предобуславливателей .
Основная идея многосеточного подхода заключается в ускорении сходимости базового итерационного метода путем время от времени глобальной коррекции, достигаемой путем решения грубой задачи . Этот принцип аналогичен интерполяции между более грубой и более мелкой сеткой. Типичным применением многосеточного метода является численное решение эллиптических уравнений в частных производных в двух или более измерениях. [16]
Многосеточные методы могут применяться в сочетании с любыми распространенными методами дискретизации. Например, метод конечных элементов можно преобразовать в многосеточный метод. [17] В этих случаях многосеточные методы являются одними из самых быстрых методов решения, известных сегодня. В отличие от других методов, многосеточные методы являются общими, поскольку они могут обрабатывать произвольные области и граничные условия . Они не зависят от разделимости уравнений или других специальных свойств уравнения. Они также широко использовались для более сложных несимметричных и нелинейных систем уравнений, таких как система упругости Ламе или уравнения Навье – Стокса . [18]
Метод конечных разностей часто считается самым простым для изучения и использования методом. Методы конечных элементов и конечных объемов широко используются в технике и вычислительной гидродинамике и хорошо подходят для решения задач сложной геометрии. Спектральные методы, как правило, являются наиболее точными при условии, что решения достаточно гладкие.
{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )