Полная мера

Пространство меры, в котором каждое подмножество множества с нулевой мерой измеримо (и имеет нулевую меру)

В математике полная мера ( или, точнее, полное мерное пространство ) — это мерное пространство , в котором каждое подмножество каждого нулевого множества измеримо (имеет меру ноль ). Более формально, мерное пространство ( X , Σ,  μ ) является полным тогда и только тогда, когда ^{[1] [2]}

${\displaystyle S\subseteq N\in \Sigma {\mbox{ and }}\mu (N)=0\ \Rightarrow \ S\in \Sigma .}$

Мотивация

Необходимость рассмотрения вопросов полноты можно проиллюстрировать на примере проблемы пространств продуктов.

Предположим, что мы уже построили меру Лебега на вещественной прямой : обозначим это пространство мер через Теперь мы хотим построить некоторую двумерную меру Лебега на плоскости как меру произведения . Наивно, мы бы взяли 𝜎-алгебру на как наименьшую 𝜎-алгебру, содержащую все измеримые «прямоугольники» для ${\displaystyle (\mathbb {R} ,B,\lambda ).}$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle B\otimes B,}$ ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2}\in B.}$

Хотя этот подход и определяет мерное пространство , у него есть недостаток. Поскольку каждое одноэлементное множество имеет одномерную меру Лебега нулевую, для любого подмножества Однако предположим, что это неизмеримое подмножество действительной прямой, такое как множество Витали . Тогда -мера не определена, но и это большее множество имеет -меру нулевую. Таким образом, эта "двумерная мера Лебега", как только что определено, не является полной, и требуется некоторая процедура завершения. $${\displaystyle \lambda ^{2}(\{0\}\times A)\leq \lambda (\{0\})=0}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ ${\displaystyle \{0\}\times A}$ $${\displaystyle \{0\}\times A\subseteq \{0\}\times \mathbb {R} ,}$$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$

Строительство полной меры

Если задано (возможно, неполное) мерное пространство ( X , Σ,  μ ), то существует расширение ( X , Σ ₀ ,  μ ₀ ) этого мерного пространства, которое является полным. ^[3] Наименьшее такое расширение (т. е. наименьшая σ -алгебра Σ ₀ ) называется пополнением мерного пространства.

Завершение может быть выполнено следующим образом:

• пусть Z будет множеством всех подмножеств подмножеств X с нулевой мерой μ (интуитивно, те элементы Z , которые еще не находятся в Σ, являются теми, которые препятствуют выполнению полноты);
• пусть Σ ₀ будет σ -алгеброй, порожденной Σ и Z (т.е. наименьшей σ -алгеброй, содержащей каждый элемент Σ и Z );
• µ имеет расширение µ ₀ до Σ ₀ (которое уникально, если µ является σ -конечным ), называемое внешней мерой µ и задаваемое инфимумом

${\displaystyle \mu _{0}(C):=\inf\{\mu (D)\mid C\subseteq D\in \Sigma _{0}\}.}$

_Тогда ( X , Σ0 _, μ0  ) является полным мерным пространством и является пополнением ( X , Σ,  μ ).

В приведенной выше конструкции можно показать, что каждый элемент Σ ₀ имеет вид A  ∪  B для некоторого A  ∈ Σ и некоторого B  ∈  Z , и

${\displaystyle \mu _{0}(A\cup B)=\mu (A).}$

Примеры

• Мера Бореля , определенная на σ -алгебре Бореля, порожденной открытыми интервалами действительной прямой, не является полной, и поэтому для определения полной меры Лебега должна использоваться указанная выше процедура завершения. Это иллюстрируется тем фактом, что множество всех множеств Бореля над действительными числами имеет ту же мощность, что и действительные числа. В то время как множество Кантора является множеством Бореля, имеет меру нулевую, а его множество мощности имеет мощность строго большую, чем у действительных чисел. Таким образом, существует подмножество множества Кантора, которое не содержится в множествах Бореля. Следовательно, мера Бореля не является полной.
• n -мерная мера Лебега является пополнением n -кратного произведения одномерного пространства Лебега с самим собой. Она также является пополнением меры Бореля, как и в одномерном случае.

Характеристики

Теорема Махарама утверждает, что каждое полное мерное пространство разложимо на меры на континуумах и конечную или счетную меру подсчета .

Смотрите также

• Внутренняя мера
• Измеримое по Лебегу множество  – Концепция площади в любой размерностиPages displaying short descriptions of redirect targets

Ссылки

• Терехин, А.П. (2001) [1994], «Полная мера», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС

1. Халмош, Пол Р. (1950). Теория меры. Graduate Texts in Mathematics. Том 18. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. С. 31. doi : 10.1007/978-1-4684-9440-2. ISBN 978-1-4684-9442-6.
2. де Барра, Г. (2003). Теория меры и интегрирование. Woodhead Publishing Limited. стр. 94. doi :10.1533/9780857099525. ISBN 978-1-904275-04-6.
3. Рудин, Уолтер (2013). Действительный и комплексный анализ . Международные издания McGraw-Hill Математическая серия (3-е изд., междунар. изд., [Nachdr.] изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 27–28. ISBN 978-0-07-054234-1.