Векторное пространство

Алгебраическая структура в линейной алгебре

Сложение векторов и скалярное умножение: вектор v (синий) добавляется к другому вектору w (красный, верхний рисунок). Ниже w растянуто в 2 раза, что дает сумму v + 2 w .

В математике и физике векторное пространство (также называемое линейным пространством ) — это набор , элементы которого, часто называемые векторами , могут складываться вместе и умножаться («масштабироваться») на числа, называемые скалярами . Скаляры часто являются действительными числами , но могут быть и комплексными числами или, в более общем плане, элементами любого поля . Операции сложения векторов и скалярного умножения должны удовлетворять определенным требованиям, называемым векторными аксиомами . Реальное векторное пространство и комплексное векторное пространство — это виды векторных пространств, основанные на различных видах скаляров: действительное координатное пространство или комплексное координатное пространство .

Векторные пространства обобщают евклидовы векторы , которые позволяют моделировать физические величины , такие как силы и скорость , которые имеют не только величину , но и направление . Концепция векторных пространств является фундаментальной для линейной алгебры вместе с концепцией матриц , которая позволяет выполнять вычисления в векторных пространствах. Это обеспечивает краткий и синтетический способ манипулирования и изучения систем линейных уравнений .

Векторные пространства характеризуются своей размерностью , которая, грубо говоря, задает количество независимых направлений в пространстве. Это означает, что для двух векторных пространств над данным полем и одинаковой размерности свойства, которые зависят только от структуры векторного пространства, совершенно одинаковы (технически векторные пространства изоморфны ) . Векторное пространство является конечномерным, если его размерность является натуральным числом . В противном случае оно бесконечномерно , а его размерность — бесконечный кардинал . Конечномерные векторные пространства естественным образом встречаются в геометрии и смежных областях. Бесконечномерные векторные пространства встречаются во многих областях математики. Например, кольца многочленов представляют собой счетно -бесконечномерные векторные пространства, а многие функциональные пространства имеют мощность континуума в качестве размерности.

Многие векторные пространства, рассматриваемые в математике, наделены и другими структурами . Это случай алгебр , которые включают расширения полей , кольца многочленов, ассоциативные алгебры и алгебры Ли . Это также относится к топологическим векторным пространствам , которые включают функциональные пространства, пространства внутреннего произведения , нормированные пространства , гильбертовы пространства и банаховые пространства .

Определение и основные свойства

В этой статье векторы выделены жирным шрифтом, чтобы отличить их от скаляров. ^{[номер 1] [1]}

Векторное пространство над полем F — это непустое множество  V вместе с бинарной операцией и бинарной функцией , которые удовлетворяют восьми аксиомам, перечисленным ниже. В этом контексте элементы V обычно называются векторами , а элементы  F называются скалярами . ^[2]

• Бинарная операция, называемая сложением векторов или просто сложением , присваивает любым двум векторам  v и w в V третий вектор из V , который обычно записывается как v + w и называется суммой этих двух векторов.

• Бинарная функция, называемая скалярным умножением , присваивает любому скаляру  a из F и любому вектору  v из V другой вектор из V , который обозначается  как v . ^{[номер 2]}

Чтобы иметь векторное пространство, восемь следующих аксиом должны выполняться для всех u , v и w в V , а также a и b в F. ^[3]

Когда скалярное поле представляет собой действительные числа , векторное пространство называется действительным векторным пространством , а когда скалярное поле представляет собой комплексные числа , векторное пространство называется комплексным векторным пространством . ^[4] Эти два случая являются наиболее распространенными, но также часто рассматриваются векторные пространства со скалярами в произвольном поле F. Такое векторное пространство называется F - векторным пространством или векторным пространством над F. ^[5]

Можно дать эквивалентное определение векторного пространства, которое гораздо более краткое, но менее элементарное: первые четыре аксиомы (относящиеся к сложению векторов) говорят, что векторное пространство представляет собой абелеву группу при сложении, а четыре оставшиеся аксиомы (относящиеся к сложению векторов) скалярное умножение) говорят, что эта операция определяет гомоморфизм колец из поля F в кольцо эндоморфизмов этой группы. ^[6]

Вычитание двух векторов можно определить как

$${\displaystyle \mathbf {v} -\mathbf {w} =\mathbf {v} +(-\mathbf {w} ).}$$

Прямые следствия аксиом заключаются в том, что, поскольку каждый имеет ${\displaystyle s\in F}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in V,}$

• ${\displaystyle 0\mathbf {v} =\mathbf {0} ,}$
• ${\displaystyle s\mathbf {0} =\mathbf {0} ,}$
• ${\displaystyle (-1)\mathbf {v} =-\mathbf {v} ,}$
• ${\displaystyle s\mathbf {v} =\mathbf {0} }$подразумевает или ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} .}$

Если говорить еще более кратко, векторное пространство — это модуль над полем . ^[7]

Базисы, векторные координаты и подпространства

Вектор v в R ² (синий), выраженный в различных базисах: с использованием стандартного базиса R 2 ^: v = x e 1 ₊ y e 2 ₍ черный) и с использованием другого, неортогонального базиса : v = f ₁ + f ₂ (красный).

Линейная комбинация

Учитывая набор G элементов F -векторного пространства V , линейная комбинация элементов G является элементом V вида

$${\displaystyle a_{1}\mathbf {g} _{1}+a_{2}\mathbf {g} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {g} _{k},}$$

где и Скаляры называются коэффициентами линейной комбинации. ^[8] ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}\in F}$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{1},\ldots ,\mathbf {g} _{k}\in G.}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$

Линейная независимость

Элементы подмножества G F - векторного пространства V называются линейно независимыми, если ни один элемент G не может быть записан как линейная комбинация других элементов G . Эквивалентно, они линейно независимы, если две линейные комбинации элементов G определяют один и тот же элемент V тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые коэффициенты. Аналогичным образом, они линейно независимы, если линейная комбинация приводит к нулевому вектору тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю. ^[9]

Линейное подпространство

Линейное подпространство или векторное подпространство W векторного пространства V — это непустое подмножество V , замкнутое относительно векторного сложения и скалярного умножения; то есть сумма двух элементов W и произведение элемента W на скаляр принадлежат W . ^[10] Это означает, что каждая линейная комбинация элементов W принадлежит W . Линейное подпространство — это векторное пространство для индуцированного сложения и скалярного умножения; это означает, что свойство замыкания подразумевает, что аксиомы векторного пространства выполняются. ^[11]
Свойство замыкания также подразумевает, что каждое пересечение линейных подпространств является линейным подпространством. ^[11]

Линейный пролет

Учитывая подмножество G векторного пространства V , линейная оболочка или просто оболочка G является наименьшим линейным подпространством V , которое содержит G , в том смысле, что это пересечение всех линейных подпространств, содержащих G. Пространство G также является множеством всех линейных комбинаций элементов G . Если W является промежутком G , говорят, что G охватывает или порождает W и что G является охватывающим множеством или порождающим набором W. ^[12]

Основа и размерность

Подмножество векторного пространства является базисом , если его элементы линейно независимы и охватывают векторное пространство. ^[13] . Каждое векторное пространство имеет хотя бы один базис или вообще много (см. Базис (линейная алгебра) § Доказательство того, что каждое векторное пространство имеет базис ). ^[14] Более того, все базы векторного пространства имеют одинаковую мощность , которая называется размерностью векторного пространства (см. Теорему о размерности для векторных пространств ). ^[15] Это фундаментальное свойство векторных пространств, которое подробно описано в оставшейся части раздела.

Базисы — фундаментальный инструмент для изучения векторных пространств, особенно когда размерность конечна. В бесконечномерном случае существование бесконечных базисов, часто называемых базами Гамеля , зависит от выбранной аксиомы . Отсюда следует, что, вообще говоря, ни одна база не может быть описана явно. ^[16] Например, действительные числа образуют бесконечномерное векторное пространство над рациональными числами , для которого неизвестен конкретный базис.

Рассмотрим базис векторного пространства V размерности n над полем F . Из определения базиса следует, что каждый может быть записан ${\displaystyle (\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$

$${\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {b} _{n},}$$

Fкоординатами. коэффициентамиvnкортежкоординатным векторомна-Fпокомпонентногоn ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle F^{n}}$

Соответствие «один к одному» между векторами и их координатными векторами отображает сложение векторов в сложение векторов и скалярное умножение в скалярное умножение. Таким образом, это изоморфизм векторного пространства , который позволяет переводить рассуждения и вычисления над векторами в рассуждения и вычисления над их координатами. ^[17] Если, в свою очередь, эти координаты оформить в виде матриц , то эти рассуждения и вычисления по координатам можно кратко выразить как рассуждения и вычисления по матрицам. При этом линейное уравнение, связывающее матрицы, можно разложить в систему линейных уравнений и, наоборот, каждую такую ​​систему можно уплотнить в линейное уравнение на матрицах.

Линейное подпространство или векторное подпространство W векторного пространства V — это непустое подмножество V , замкнутое относительно векторного сложения и скалярного умножения; то есть сумма двух элементов W и произведение элемента W на скаляр принадлежат W . ^[10] Это означает, что каждая линейная комбинация элементов W принадлежит W . Линейное подпространство — это векторное пространство для индуцированного сложения и скалярного умножения; это означает, что свойство замыкания подразумевает, что аксиомы векторного пространства выполняются. Свойство замыкания также подразумевает, что каждое пересечение линейных подпространств является линейным подпространством. ^[11]

История

Векторные пространства происходят из аффинной геометрии путем введения координат в плоском или трехмерном пространстве. Около 1636 года французские математики Рене Декарт и Пьер де Ферма основали аналитическую геометрию , находя решения уравнения двух переменных с точками на плоской кривой . ^[18] Для достижения геометрических решений без использования координат Больцано ввел в 1804 году определенные операции над точками, линиями и плоскостями, которые являются предшественниками векторов. ^[19] Мёбиус (1827) ввёл понятие барицентрических координат . ^[20] Беллавитис (1833) ввел отношение эквивалентности на направленных отрезках прямой, которые имеют одинаковую длину и направление, которое он назвал равновесием . ^[21] Тогда евклидов вектор является классом эквивалентности этого отношения. ^[22]

Векторы были пересмотрены с представлением комплексных чисел Арганом и Гамильтоном и появлением последним кватернионов . ^[23] Они являются элементами R ² и R ⁴ ; обработка их с помощью линейных комбинаций восходит к Лагерру в 1867 году, который также определил системы линейных уравнений .

В 1857 году Кэли ввёл матричную запись , позволяющую унифицировать и упростить линейные карты . Примерно в то же время Грассман изучал барицентрическое исчисление, начатое Мёбиусом. Он представлял себе наборы абстрактных объектов, наделенных операциями. ^[24] В его работах присутствуют понятия линейной независимости и размерности , а также скалярных произведений . Работа Грассмана 1844 года также выходит за рамки векторных пространств, поскольку рассмотрение умножения привело его к тому, что сегодня называется алгебрами . Итальянский математик Пеано был первым, кто дал современное определение векторных пространств и линейных отображений в 1888 году ^[25] , хотя он называл их «линейными системами». ^[26] Аксиоматизация Пеано допускала векторные пространства с бесконечной размерностью, но Пеано не развивал эту теорию дальше. В 1897 году Сальваторе Пинчерле принял аксиомы Пеано и сделал первые шаги в теории бесконечномерных векторных пространств. ^[27]

Важным развитием векторных пространств стало создание функциональных пространств Анри Лебегом . Позднее это было формализовано Банахом и Гильбертом примерно в 1920 году. ^[28] В то время алгебра и новая область функционального анализа начали взаимодействовать, особенно с такими ключевыми понятиями, как пространства p -интегрируемых функций и гильбертовы пространства . ^[29]

Примеры

Стрелки в самолете

Первый пример векторного пространства состоит из стрелок в фиксированной плоскости , начинающихся в одной фиксированной точке. Это используется в физике для описания сил или скоростей . ^[30] Учитывая любые две такие стрелки, v и w , параллелограмм , охватываемый этими двумя стрелками, содержит одну диагональную стрелку, которая также начинается в начале координат. Эта новая стрелка называется суммой двух стрелок и обозначается v + w . В частном случае двух стрелок на одной линии их суммой является стрелка на этой линии, длина которой равна сумме или разности длин в зависимости от того, имеют ли стрелки одинаковое направление. Другая операция, которую можно выполнять со стрелками, — это масштабирование: для любого положительного действительного числа a стрелка, имеющая то же направление, что и v , но расширяющаяся или сжимающаяся в результате умножения ее длины на a , называется умножением v на a . Он обозначается v . Когда a отрицательно, v определяется как стрелка, указывающая в противоположном направлении . ^[31]

Ниже показано несколько примеров: если a = 2 , результирующий вектор a w имеет то же направление, что и w , но растягивается до двойной длины w (второе изображение). Эквивалентно, 2 w — это сумма w + w . Более того, (−1) v = − v имеет противоположное направление и ту же длину, что и v (синий вектор, направленный вниз на втором изображении).

Упорядоченные пары чисел

Второй ключевой пример векторного пространства — пары действительных чисел x и y . Порядок компонентов x и y имеет значение, поэтому такую ​​пару еще называют упорядоченной парой . Такая пара записывается как ( x , y ) . Сумма двух таких пар и умножение пары на число определяется следующим образом: ^[32]

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})&=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),\\a(x,y)&=(ax,ay).\end{aligned}}}$$

Первый пример выше сводится к этому примеру, если стрелка представлена ​​парой декартовых координат ее конечной точки.

Координатное пространство

Простейшим примером векторного пространства над полем F является само поле F (поскольку оно является абелевой группой для сложения, частью требований быть полем ) , снабженное его сложением (оно становится векторным сложением.) и умножением. (Это становится скалярным умножением.). В более общем смысле, все n -кортежи (последовательности длины n )

$${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$$

aiF^Fn _и называетсяпространством^[33]n = 1FF = Rn = 2R ²

Комплексные числа и другие расширения полей

Набор комплексных чисел C , чисел, которые можно записать в виде x + iy для действительных чисел x и y , где i — мнимая единица , образуют векторное пространство над действительными числами с обычным сложением и умножением: ( x + iy ) + ( a + ib ) знак равно ( x + a ) + я ( y + b ) и c ⋅ ( x + iy ) знак равно ( c ⋅ x ) + я ( c ⋅ y ) для действительных чисел x , y , a , b и с . Различные аксиомы векторного пространства следуют из того факта, что одни и те же правила справедливы для арифметики комплексных чисел. Пример комплексных чисел по существу такой же, как (то есть, он изоморфен ) векторному пространству упорядоченных пар действительных чисел, упомянутому выше: если мы думаем о комплексном числе x + i y как о представлении упорядоченной пары ( x , y ) в комплексной плоскости , то мы видим, что правила сложения и скалярного умножения точно соответствуют правилам в предыдущем примере.

В более общем смысле, расширения полей предоставляют другой класс примеров векторных пространств, особенно в алгебре и теории алгебраических чисел : поле F , содержащее меньшее поле E , является E -векторным пространством в соответствии с заданными операциями умножения и сложения F . ^[34] Например, комплексные числа представляют собой векторное пространство над R , а расширение поля — это векторное пространство над Q. ${\displaystyle \mathbf {Q} (i{\sqrt {5}})}$

Функциональные пространства

Сложение функций: сумма синуса и показательной функции с . ${\displaystyle \sin +\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)}$

Функции из любого фиксированного множества Ω в поле F также образуют векторные пространства, выполняя поточечное сложение и скалярное умножение. То есть сумма двух функций f и g представляет собой функцию, заданную формулой ${\displaystyle (f+g)}$

$${\displaystyle (f+g)(w)=f(w)+g(w),}$$

— действительная,илиподмножестванепрерывностьинтегрируемостьдифференцируемость^[35]функциональному анализу

Линейные уравнения

Системы однородных линейных уравнений тесно связаны с векторными пространствами. ^[36] Например, решения

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}&&a\,&&+\,3b\,&\,+&\,&c&\,=0\\4&&a\,&&+\,2b\,&\,+&\,2&c&\,=0\\\end{alignedat}}}$$

Матрицы ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b=a/2,}$ ${\displaystyle c=-5a/2.}$

$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} ,}$$

где – матрица, содержащая коэффициенты данных уравнений, – вектор обозначает произведение матрицы , – нулевой вектор. Аналогичным образом решения однородных линейных дифференциальных уравнений образуют векторные пространства. Например, ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1\\4&2&2\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle (a,b,c),}$ ${\displaystyle A\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0)}$

$${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)+2f^{\prime }(x)+f(x)=0}$$

дает где и — произвольные константы, а — естественная экспоненциальная функция . ${\displaystyle f(x)=ae^{-x}+bxe^{-x},}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle e^{x}}$

Линейные карты и матрицы

Отношения двух векторных пространств могут быть выражены линейным отображением или линейным преобразованием . Это функции , отражающие структуру векторного пространства, то есть сохраняющие суммы и скалярное умножение:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=f(\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} ),\\f(a\cdot \mathbf {v} )&=a\cdot f(\mathbf {v} )\end{aligned}}}$$

^[37] ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F.}$

Изоморфизм — это линейное отображение f  : V → W такое, что существует обратное отображение g  : W → V , которое является отображением таким , что две возможные композиции f ∘ g  : W → W и g ∘ f  : V → V равны карты личности . Эквивалентно, f является одновременно взаимно однозначным ( инъективным ) и на ( сюръективным ). ^[38] Если существует изоморфизм между V и W , то эти два пространства называются изоморфными ; тогда они по существу идентичны как векторные пространства, поскольку все тождества, содержащиеся в V , через f переносятся в аналогичные в W и наоборот через g .

Описание вектора стрелки v его координатами x и y дает изоморфизм векторных пространств.

Например, стрелки на плоскости и упорядоченные пары векторных пространств чисел во введении выше (см. § Примеры) изоморфны: плоская стрелка v, выходящая из начала некоторой (фиксированной) системы координат , может быть выражена как упорядоченная пара рассматривая компоненты x и y стрелки, как показано на изображении справа. И наоборот, для пары ( x , y ) стрелка, идущая вдоль x вправо (или влево, если x отрицательный) и y вверх (вниз, если y отрицательный), поворачивает стрелку v назад .

Линейные отображения V → W между двумя векторными пространствами образуют векторное пространство Hom _F ( V , W ) , также обозначаемое L( V , W ) или 𝓛( V , W ) . ^[39] Пространство линейных отображений из V в F называется двойственным векторным пространством и обозначается V ^∗ . ^[40] С помощью инъективного естественного отображения V → V ^∗∗ любое векторное пространство можно вложить в его бидуальное пространство ; отображение является изоморфизмом тогда и только тогда, когда пространство конечномерно. ^[41]

После выбора базиса V линейные отображения f  : V → W полностью определяются путем указания образов базисных векторов, поскольку любой элемент V однозначно выражается как их линейная комбинация. ^[42] Если dim V = dim W , соответствие 1 к 1 между фиксированными базисами V и W приводит к линейному отображению, которое отображает любой базисный элемент V в соответствующий базисный элемент W . Это изоморфизм по самому своему определению. ^[43] Следовательно, два векторных пространства над данным полем изоморфны, если их размерности совпадают, и наоборот. Другой способ выразить это состоит в том, что любое векторное пространство над данным полем полностью классифицируется ( с точностью до изоморфизма) по своей размерности, одному числу. В частности, любое n -мерное ^F - векторное пространство V изоморфно Fn . Однако не существует «канонического» или предпочтительного изоморфизма; изоморфизм φ  : Fn → V эквивалентен выбору базиса V путем отображения стандартного базиса Fn в ^V через φ ^.

Матрицы

Типичная матрица

Матрицы — полезное понятие для кодирования линейных карт. ^[44] Они записываются в виде прямоугольного массива скаляров, как на изображении справа. Любая матрица размером m x n приводит к линейному отображению из F ⁿ в F ^m следующим образом: ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\ldots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right),}$$

суммированиематричного умножения ${\textstyle \sum }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

$${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto A\mathbf {x} .}$$

Более того, после выбора базисов V и W любое линейное отображение f :  V → W однозначно представляется матрицей с помощью этого присваивания. ^[45]

Объем этого параллелепипеда является абсолютным значением определителя матрицы 3х3, образованной векторами r ₁ , r ₂ и r ₃ .

Определитель det ( A ) квадратной матрицы A является скаляром, который сообщает, является ли связанное отображение изоморфизмом или нет: для этого достаточно и необходимо, чтобы определитель был ненулевым. ^[46] Линейное преобразование R ⁿ , соответствующее вещественной матрице размера n x n , сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда его определитель положителен.

Собственные значения и собственные векторы

Эндоморфизмы , линейные отображения f  : V → V , особенно важны, поскольку в этом случае векторы v можно сравнить с их образом при f , f ( v ) . Любой ненулевой вектор v, удовлетворяющий λ v = f ( v ) , где λ — скаляр, называется собственным вектором f с собственным значением λ . ^[47] Эквивалентно, v является элементом ядра разности f − λ · Id (где Id — тождественное отображение V → V ) . Если V конечномерно, это можно перефразировать с помощью определителей: f , имеющее собственное значение λ , эквивалентно

$${\displaystyle \det(f-\lambda \cdot \operatorname {Id} )=0.}$$

λхарактеристическимf^[48]FF алгебраически замкнутогоF = CVсобственный базисканонической формой^[49]f,собственное пространствоf ).

Основные конструкции

Помимо приведенных выше конкретных примеров, существует ряд стандартных линейных алгебраических конструкций, дающих векторные пространства, связанные с заданными.

Подпространства и факторпространства

Линия, проходящая через начало координат (синяя, толстая) в R 3 , является линейным подпространством. Это пересечение двух плоскостей (зеленой и желтой).

Непустое подмножество векторного пространства , которое замкнуто относительно сложения и скалярного умножения (и, следовательно, содержит -вектор ) , называется линейным подпространством или просто подпространством , когда объемлющее пространство однозначно является векторным пространством. ^{[50] [nb 4]} Подпространства являются векторными пространствами (над тем же полем) сами по себе. Пересечение всех подпространств, содержащих данный набор векторов, называется его промежутком , и это наименьшее подпространство, содержащее этот набор . Выраженный в терминах элементов, интервал представляет собой подпространство, состоящее из всех линейных комбинаций элементов . ^[51] ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Линейные подпространства размерности 1 и 2 называются линией и плоскостью соответственно. Линейное подпространство, содержащее все элементы объемлющего пространства, кроме одного, является гиперплоскостью . Таким образом, в векторном пространстве конечной размерности векторная гиперплоскость является подпространством размерности . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$

Аналогом подпространств являются факторвекторные пространства . ^[52] Учитывая любое подпространство , факторпространство (« по модулю ») определяется следующим образом: как множество оно состоит из ${\displaystyle W\subseteq V}$ ${\displaystyle V/W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

$${\displaystyle \mathbf {v} +W=\{\mathbf {v} +\mathbf {w} :\mathbf {w} \in W\},}$$

тогда и только тогда, когда^{[nb 5]} ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+W}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}+W}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}\right)+W}$ ${\displaystyle a\cdot (\mathbf {v} +W)=(a\cdot \mathbf {v} )+W}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+W=\mathbf {v} _{2}+W}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

Ядро линейного отображения состоит из векторов , которые отображаются в . ^[53] Ядро и образ являются подпространствами и соответственно. ^[54] ${\displaystyle \ker(f)}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f)=\{f(\mathbf {v} ):\mathbf {v} \in V\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Важным примером является ядро ​​линейного отображения для некоторой фиксированной матрицы . Ядром этого отображения является подпространство векторов таких, что , которое и есть множество решений системы однородных линейных уравнений, принадлежащих . Эта концепция распространяется и на линейные дифференциальные уравнения. ${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto A\mathbf {x} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle a_{0}f+a_{1}{\frac {df}{dx}}+a_{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+\cdots +a_{n}{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}=0,}$$

${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle x,}$

$${\displaystyle f\mapsto D(f)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}},}$$

функциилинейным дифференциальным операторомRC ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)^{2}}$ ${\displaystyle (f+g)^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }}$ ${\displaystyle (c\cdot f)^{\prime }=c\cdot f^{\prime }}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle D(f)=0}$

Существование ядер и изображений является частью утверждения о том, что категория векторных пространств (над фиксированным полем ) является абелевой категорией , то есть корпусом математических объектов и сохраняющих структуру отображений между ними (категория ) , которая ведет себя во многом как категория абелевых групп . ^[55] Из-за этого многие утверждения, такие как первая теорема об изоморфизме (также называемая теоремой о ранге-нулевости в терминах, связанных с матрицами), ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle V/\ker(f)\;\equiv \;\operatorname {im} (f)}$$

групп

Прямой продукт и прямая сумма

Прямое произведение векторных пространств и прямая сумма векторных пространств — это два способа объединения индексированного семейства векторных пространств в новое векторное пространство.

Прямое произведение семейства векторных пространств состоит из набора всех кортежей , которые определяют для каждого индекса в некотором наборе индексов элемент ^[56] Сложение и скалярное умножение выполняются покомпонентно. Вариантом этой конструкции является прямая сумма (также называемая копродукцией и обозначаемая ), где допускаются только кортежи с конечным числом ненулевых векторов. Если набор индексов конечен, две конструкции согласуются, но в целом они различны. ${\displaystyle \textstyle {\prod _{i\in I}V_{i}}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {v} _{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ ${\displaystyle V_{i}.}$ ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}}$ ${\textstyle \coprod _{i\in I}V_{i}}$ ${\displaystyle I}$

Тензорное произведение

Тензорное произведение или просто двух векторных пространств является одним из центральных понятий полилинейной алгебры , которая занимается расширением таких понятий, как линейные отображения, на несколько переменных. Отображение из декартова произведения называется билинейным , если оно линейно по обеим переменным и То есть при фиксированном отображении линейно в указанном выше смысле, а также при фиксированном ${\displaystyle V\otimes _{F}W,}$ ${\displaystyle V\otimes W,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle g:V\times W\to X}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {w} .}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$ ${\displaystyle \mathbf {v} .}$

Коммутативная диаграмма , изображающая универсальное свойство тензорного произведения

Тензорное произведение представляет собой особое векторное пространство, которое является универсальным получателем билинейных отображений следующим образом. Оно определяется как векторное пространство, состоящее из конечных (формальных) сумм символов, называемых тензорами. ${\displaystyle g,}$

$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {w} _{1}+\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {w} _{2}+\cdots +\mathbf {v} _{n}\otimes \mathbf {w} _{n},}$$

^[57]

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{6}a\cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )~&=~(a\cdot \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} ~=~\mathbf {v} \otimes (a\cdot \mathbf {w} ),&&~~{\text{ where }}a{\text{ is a scalar}}\\(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})\otimes \mathbf {w} ~&=~\mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {w} +\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {w} &&\\\mathbf {v} \otimes (\mathbf {w} _{1}+\mathbf {w} _{2})~&=~\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} _{1}+\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} _{2}.&&\\\end{alignedat}}}$$

кортеж,любоголюбогосостав^58]универсальным свойством ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g:V\times W\to X,}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g:}$ ${\displaystyle u(\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} ).}$

Векторные пространства с дополнительной структурой

С точки зрения линейной алгебры векторные пространства понимаются вполне постольку, поскольку любое векторное пространство над данным полем характеризуется с точностью до изоморфизма своей размерностью. Однако векторные пространства сами по себе не предлагают основу для решения крайне важного для анализа вопроса: сходится ли последовательность функций к другой функции. Точно так же линейная алгебра не приспособлена для работы с бесконечными рядами , поскольку операция сложения позволяет добавлять только конечное число членов. Поэтому потребности функционального анализа требуют рассмотрения дополнительных структур.

Векторному пространству можно придать частичный порядок , при котором можно сравнивать некоторые векторы. ^[59] Например, -мерное реальное пространство можно упорядочить, сравнивая его векторы покомпонентно. Упорядоченные векторные пространства , например пространства Рисса , являются фундаментальными для интегрирования Лебега , которое основано на способности выражать функцию как разность двух положительных функций. ${\displaystyle \,\leq ,\,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

$${\displaystyle f=f^{+}-f^{-}.}$$

^[60] ${\displaystyle f^{+}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-}}$

Нормированные векторные пространства и пространства внутренних произведений

«Измерение» векторов осуществляется путем указания нормы , базы данных, которая измеряет длину векторов, или внутреннего продукта , который измеряет углы между векторами. Нормы и внутренние продукты обозначаются и соответственно. Данные внутреннего продукта подразумевают, что длины векторов также могут быть определены путем определения соответствующей нормы. Векторные пространства, наделенные такими данными, известны как нормированные векторные пространства и пространства внутреннего продукта соответственно. ^[61] ${\displaystyle |\mathbf {v} |}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle ,}$ ${\textstyle |\mathbf {v} |:={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}.}$

Координатное пространство может быть снабжено стандартным скалярным произведением : ${\displaystyle F^{n}}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}.}$$

косинусов ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2},}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} ,}$

$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\cos \left(\angle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\right)\cdot |\mathbf {x} |\cdot |\mathbf {y} |.}$$

ортогональнымиВ пространстве Минковского^[62] ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}.}$$

положительно определеннымсоответствующей времениспециальных относительность ${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(0,0,0,1).}$

Топологические векторные пространства

Вопросы сходимости рассматриваются путем рассмотрения векторных пространств, несущих совместимую топологию , структуру, которая позволяет говорить о близости элементов друг к другу . ^{[63] [64]} Здесь совместимость означает, что сложение и скалярное умножение должны быть непрерывными отображениями . Грубо говоря, если и in и in изменяются на ограниченную величину, то так же делайте и ^{[nb 6]} Чтобы иметь смысл указывать величину изменения скаляра, поле также должно нести топологию в этом контексте; общий выбор — действительные или комплексные числа. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} }$ ${\displaystyle a\mathbf {x} .}$ ${\displaystyle F}$

В таких топологических векторных пространствах можно рассматривать серии векторов. Бесконечная сумма

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }f_{i}~=~\lim _{n\to \infty }f_{1}+\cdots +f_{n}}$$

пределфункциональному пространству,функциональным рядомсходимостипоточечнаяравномерная сходимость ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle V,}$

Единичные «сферы» состоят из плоских векторов нормы 1. Изображены единичные сферы в разных -нормах , для и Больший ромб изображает точки 1-нормы, равные 2. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=1,2,}$ ${\displaystyle \infty .}$

Способ гарантировать существование пределов некоторых бесконечных серий — это ограничить внимание пространствами, где любая последовательность Коши имеет предел; такое векторное пространство называется полным . Грубо говоря, векторное пространство является полным, если оно содержит все необходимые пределы. Например, векторное пространство полиномов на единичном интервале, снабженное топологией равномерной сходимости, не является полным, поскольку любая непрерывная функция на может быть равномерно аппроксимирована последовательностью полиномов по аппроксимационной теореме Вейерштрасса . ^[65] Напротив, пространство всех непрерывных функций с одной и той же топологией является полным. ^[66] Норма порождает топологию, определяя, что последовательность векторов сходится к тогда и только тогда, когда ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\mathbf {v} _{n}-\mathbf {v} |=0.}$$

функционального анализа^[67] ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}:}$

С концептуальной точки зрения все понятия, связанные с топологическими векторными пространствами, должны соответствовать топологии. Например, вместо того, чтобы рассматривать все линейные карты (также называемые функционалами ), карты между топологическими векторными пространствами должны быть непрерывными. ^[68] В частности, (топологическое) дуальное пространство состоит из непрерывных функционалов (или к ). Фундаментальная теорема Хана – Банаха касается разделения подпространств соответствующих топологических векторных пространств непрерывными функционалами. ^[69] ${\displaystyle V\to W,}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Банаховы пространства

Банаховы пространства , введенные Стефаном Банахом , являются полными нормированными векторными пространствами. ^[70]

Первым примером является векторное пространство ${\displaystyle \ell ^{p}}$ , состоящее из бесконечных векторов с вещественными элементами, чья -норма определяется формулой ${\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots \right)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (1\leq p\leq \infty )}$

$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\sup _{i}|x_{i}|\qquad {\text{ for }}p=\infty ,{\text{ and }}}$$

$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}:=\left(\sum _{i}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\qquad {\text{ for }}p<\infty .}$$

Топологии в бесконечномерном пространстве неэквивалентны для разных. Например, последовательность векторов, в которой первые компоненты и последующие - сходится к нулевому вектору для , но не для ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{n}=\left(2^{-n},2^{-n},\ldots ,2^{-n},0,0,\ldots \right),}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{-n}}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle p=\infty ,}$ ${\displaystyle p=1:}$

$${\displaystyle \|\mathbf {x} _{n}\|_{\infty }=\sup(2^{-n},0)=2^{-n}\to 0,}$$

$${\displaystyle \|\mathbf {x} _{n}\|_{1}=\sum _{i=1}^{2^{n}}2^{-n}=2^{n}\cdot 2^{-n}=1.}$$

В более общем смысле, чем последовательности действительных чисел, функции наделены нормой, которая заменяет указанную выше сумму интегралом Лебега. ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \|f\|_{p}:=\left(\int _{\Omega }|f(x)|^{p}\,{d\mu (x)}\right)^{\frac {1}{p}}.}$$

Пространство интегрируемых функций на данной области (например, интервале), удовлетворяющих этой норме и снабженных этой нормой, называется пространством Лебега и обозначается ^{[nb 7]} ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \|f\|_{p}<\infty ,}$ ${\displaystyle L^{\;\!p}(\Omega ).}$

Эти пространства полны. ^[71] (Если вместо этого использовать интеграл Римана , пространство будет неполным , что можно рассматривать как обоснование теории интегрирования Лебега. ^{[nb 8]} ). Конкретно это означает, что для любой последовательности интегрируемых по Лебегу функций , удовлетворяющих состояние ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n},\ldots }$ ${\displaystyle \|f_{n}\|_{p}<\infty ,}$

$${\displaystyle \lim _{k,\ n\to \infty }\int _{\Omega }\left|f_{k}(x)-f_{n}(x)\right|^{p}\,{d\mu (x)}=0}$$

${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L^{\;\!p}(\Omega )}$

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{\Omega }\left|f(x)-f_{k}(x)\right|^{p}\,{d\mu (x)}=0.}$$

Наложение условий ограниченности не только на функцию, но и на ее производные приводит к пространствам Соболева . ^[72]

гильбертовы пространства

На следующих снимках показано суммирование от 1 до 5 членов при аппроксимации периодической функции (синий) конечной суммой синусоидальных функций (красный).

Полные пространства внутреннего произведения известны как гильбертовы пространства , в честь Дэвида Гильберта . ^[73] Гильбертово пространство со скалярным произведением, заданным формулой ${\displaystyle L^{2}(\Omega ),}$

$${\displaystyle \langle f\ ,\ g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,dx,}$$

комплексно-сопряженное число^{74] [nb 9]} ${\displaystyle {\overline {g(x)}}}$ ${\displaystyle g(x),}$

По определению, в гильбертовом пространстве любая последовательность Коши сходится к пределу. И наоборот, не менее важно найти последовательность функций с желаемыми свойствами, аппроксимирующую заданную предельную функцию. Ранний анализ под видом аппроксимации Тейлора установил аппроксимацию дифференцируемых функций полиномами. ^[75] По теореме Стоуна-Вейерштрасса каждая непрерывная функция на может быть сколь угодно близко аппроксимирована полиномом. ^[76] Подобный метод аппроксимации тригонометрическими функциями обычно называется расширением Фурье и широко применяется в технике. В более общем и концептуальном плане теорема дает простое описание того, какие «базовые функции» или, в абстрактных гильбертовых пространствах, какие базовые векторы достаточны для создания гильбертова пространства в том смысле, что замыкание их промежутка (т. е. конечного линейные комбинации и пределы тех) — это всё пространство. Такой набор функций называется базисом его мощности, известным как размерность гильбертова пространства . ^{[nb 10]} Теорема не только демонстрирует подходящие базисные функции, достаточные для целей аппроксимации, но также вместе с процессом Грама – Шмидта она позволяет построить базис ортогональных векторов . ^[77] Такие ортогональные базисы являются обобщением координатных осей в гильбертовом пространстве в конечномерном евклидовом пространстве . ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H,}$

Решения различных дифференциальных уравнений можно интерпретировать в терминах гильбертовых пространств. Например, очень многие области физики и техники приводят к таким уравнениям, и часто решения с определенными физическими свойствами используются в качестве базисных функций, часто ортогональных. ^[78] В качестве примера из физики, зависящее от времени уравнение Шредингера в квантовой механике описывает изменение физических свойств во времени с помощью уравнения в частных производных , решения которого называются волновыми функциями . ^[79] Определенные значения физических свойств, таких как энергия или импульс, соответствуют собственным значениям определенного (линейного) дифференциального оператора , а соответствующие волновые функции называются собственными состояниями . Спектральная теорема разлагает линейный компактный оператор , действующий на функции, через эти собственные функции и их собственные значения. ^[80]

Алгебры над полями

Гипербола , заданная уравнением. Координатное кольцо функций на этой гиперболе задается бесконечномерным векторным пространством над ${\displaystyle x\cdot y=1.}$ ${\displaystyle \mathbf {R} [x,y]/(x\cdot y-1),}$ ${\displaystyle \mathbf {R} .}$

Общие векторные пространства не обладают умножением между векторами. Векторное пространство, снабженное дополнительным билинейным оператором , определяющим умножение двух векторов, является алгеброй над полем (или F -алгеброй, если поле F задано). ^[81]

Например, набор всех многочленов образует алгебру, известную как кольцо многочленов : используя то, что сумма двух многочленов является многочленом, они образуют векторное пространство; они образуют алгебру, поскольку произведение двух многочленов снова является многочленом. Кольца многочленов (от нескольких переменных) и их частных составляют основу алгебраической геометрии , поскольку они являются кольцами функций алгебро-геометрических объектов . ^[82] ${\displaystyle p(t)}$

Другим важным примером являются алгебры Ли , которые не являются ни коммутативными, ни ассоциативными, но неспособность быть таковой ограничивается ограничениями ( обозначает произведение и ): ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

• ${\displaystyle [x,y]=-[y,x]}$( антикоммутативность ) и
• ${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$( тождество Якоби ). ^[83]

Примеры включают векторное пространство -матриц с коммутатором двух матриц и наделенным векторным произведением . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [x,y]=xy-yx,}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3},}$

Тензорная алгебра — это формальный способ добавления произведений в любое векторное пространство для получения алгебры. ^[84] Как векторное пространство, оно состоит из символов, называемых простыми тензорами. ${\displaystyle \operatorname {T} (V)}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {v} _{n},}$$

степеньзакона распределениясимметричной алгебревнешнюю алгебру^[85] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {v} _{1}.}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}=-\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {v} _{1}}$

Связанные структуры

Векторные пучки

Лента Мёбиуса. Локально это выглядит как U × R.

Векторное расслоение — это семейство векторных пространств, непрерывно параметризованных топологическим пространством X. ^[86] Точнее, векторное расслоение над X — это топологическое пространство E, снабженное непрерывным отображением

$${\displaystyle \pi :E\to X}$$

xX− ¹xV = 1линейным расслоениемVX × V → XX × V«тривиальное» векторное расслоениеXлокальноXVxXокрестность Uтакая⁻¹U^{[nb 11]}U × V → UXX × Vленту МёбиусаS ¹отождествления открытых интервалов с реальной линиейцилиндра S ¹ × Rориентируемым^[87]

Свойства определенных векторных расслоений предоставляют информацию о базовом топологическом пространстве. Например, касательное расслоение состоит из совокупности касательных пространств , параметризованных точками дифференцируемого многообразия. Касательное расслоение окружности S1 глобально изоморфно S1 × R ^{, поскольку} на S1 существует глобальное ненулевое ^{векторное} поле . ^{[nb 12]} Напротив, по теореме о волосатом шаре на 2-сфере S ² не существует (касательного) векторного поля, которое всюду ненулевое. ^[88] K-теория изучает классы изоморфизма всех векторных расслоений над некоторым топологическим пространством. ^[89] Помимо углубления топологического и геометрического понимания, он имеет чисто алгебраические последствия, такие как классификация конечномерных вещественных алгебр с делением : R , C , кватернионов H и октонионов O.

Кокасательное расслоение дифференцируемого многообразия состоит в каждой точке многообразия из двойственного к касательному пространству — кокасательного пространства . Секции этого расслоения известны как дифференциальные одноформы .

Модули

Модули для колец — то же самое, что векторные пространства для полей: те же аксиомы, примененные к кольцу R вместо поля F , дают модули. ^[90] Теория модулей по сравнению с теорией векторных пространств усложняется наличием кольцевых элементов, не имеющих мультипликативных обратных . Например, модулям не обязательно иметь основания, как показывает Z -модуль (т. е. абелева группа ) Z /2 Z ; те модули, которые это делают (включая все векторные пространства), известны как свободные модули . Тем не менее, векторное пространство можно компактно определить как модуль над кольцом , которое является полем , элементы которого называются векторами. Некоторые авторы используют термин «векторное пространство» для обозначения модулей над телом . ^[91] Алгебро-геометрическая интерпретация коммутативных колец через их спектр позволяет развивать такие понятия, как локально свободные модули , алгебраический аналог векторных расслоений.

Аффинные и проективные пространства

Аффинная плоскость (голубой цвет) в R ³ . Это двумерное подпространство, сдвинутое на вектор x (красный).

Грубо говоря, аффинные пространства — это векторные пространства, происхождение которых не указано. ^[92] Точнее, аффинное пространство — это множество со свободным транзитивным действием в векторном пространстве . В частности, векторное пространство является аффинным пространством над самим собой по отображению

$${\displaystyle V\times V\to W,\;(\mathbf {v} ,\mathbf {a} )\mapsto \mathbf {a} +\mathbf {v} .}$$

WWVx ∈ Wx + Vсмежным классомв)x + vv ∈ V .

$${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {b} }$$

^[93]x + VxVнулевое пространство) ${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {0} }$

Набор одномерных подпространств фиксированного конечномерного векторного пространства V известен как проективное пространство ; его можно использовать для формализации идеи параллельных линий, пересекающихся на бесконечности. ^[94] Грассманианы и многообразия флагов обобщают это путем параметризации линейных подпространств фиксированной размерности k и флагов подпространств соответственно.

Примечания

1. Также распространено, особенно в физике, обозначать векторы стрелкой вверху: Также распространено, особенно в высшей математике, не использовать типографский метод для различения векторов от других математических объектов. ${\displaystyle {\vec {v}}.}$
2. Скалярное умножение не следует путать со скалярным произведением , которое является дополнительной операцией над некоторыми конкретными векторными пространствами, называемыми пространствами внутреннего произведения . Скалярное умножение — это умножение вектора на скаляр, дающее вектор, а скалярное произведение — это умножение двух векторов, дающее скаляр.
3. Эта аксиома не является ассоциативным свойством , поскольку она относится к двум разным операциям: скалярному умножению и умножению полей. Таким образом, оно не зависит от ассоциативности умножения полей, которая предполагается аксиомами поля.
4. Обычно это тот случай, когда векторное пространство также считается аффинным пространством . В этом случае линейное подпространство содержит нулевой вектор , а аффинное подпространство не обязательно содержит его.
5. Некоторые авторы, такие как Роман (2005), предпочитают начать с этого отношения эквивалентности и вывести из него конкретную форму . ${\displaystyle V/W}$
6. Это требование подразумевает, что топология порождает однородную структуру , Бурбаки 1989, гл. II
7. Неравенство треугольника для обеспечивается неравенством Минковского . По техническим причинам в контексте функций необходимо выявить функции, которые согласуются почти всюду , чтобы получить норму, а не только полунорму . ${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$
8. «Многие функции в мере Лебега, будучи неограниченными, не могут быть проинтегрированы с классическим интегралом Римана. Таким образом, пространства интегрируемых функций Римана не были бы полными по норме , и ортогональное разложение к ним неприменимо. Это показывает одну из преимущества интеграции Лебега». Дадли 1989, §5.3, с. 125 ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$
9. For не является гильбертовым пространством. ${\displaystyle p\neq 2,}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$
10. Базис гильбертова пространства — это не то же самое, что базис в смысле линейной алгебры, описанном выше. ^{[ необходимы разъяснения ]} Для различия последний тогда называется базисом Гамеля .
11. То есть существует гомеоморфизм от π ⁻¹ ( U ) до V × U , который ограничивается линейными изоморфизмами между слоями.
12. Линейное расслоение, такое как касательное расслоение к S ¹ , тривиально тогда и только тогда, когда существует сечение , которое никуда не обращается в нуль, см. Husemoller 1994, следствие 8.3. Сечения касательного расслоения представляют собой просто векторные поля .

Цитаты

1. Ланг 2002.
2. Браун 1991, с. 86.
3. Роман 2005, гл. 1, с. 27.
4. Браун 1991, с. 87.
5. Спрингер 2000, стр. 185; Браун 1991, с. 86.
6. Атья и Макдональд 1969, стр. 17.
7. Бурбаки 1998, §1.1, Определение 2.
8. Браун 1991, с. 94.
9. Браун 1991, стр. 99–101.
10. Браун 1991, с. 92.
11. Столл и Вонг 1968, с. 14.
12. Роман 2005, стр. 41–42.
13. Ланг 1987, с. 10–11; Антон и Роррес 2010, с. 212.
14. Бласс 1984.
15. Джоши 1989, с. 450.
16. Хайль 2011, с. 126.
17. Халмос 1948, с. 12.
18. Бурбаки 1969, гл. «Линейная и многолинейная алгебра», стр. 78–91.
19. Больцано 1804.
20. Мёбиус 1827.
21. Беллавитис 1833.
22. Дорье 1995.
23. Гамильтон 1853.
24. Грассманн 2000.
25. Пеано 1888, гл. IX.
26. Го 2021.
27. Мур 1995, стр. 268–271.
28. Банах 1922.
29. Дорье 1995; Мур 1995.
30. Крейциг 2020, с. 355.
31. Крейциг 2020, с. 358–359.
32. Джайн 2001, с. 11.
33. Ланг 1987, гл. И.1.
34. Ланг 2002, гл. В.1.
35. Ланг 1993, гл. XII.3., с. 335.
36. Ланг 1987, гл. VI.3..
37. Роман 2005, гл. 2, с. 45.
38. Ланг 1987, гл. IV.4, Следствие, с. 106.
39. Ланг 1987, Пример IV.2.6.
40. Ланг 1987, гл. VI.6.
41. Халмош 1974, с. 28, упр. 9.
42. Ланг 1987, Теорема IV.2.1, с. 95.
43. Роман 2005, Четверг. 2.5 и 2.6, с. 49.
44. Ланг 1987, гл. В.1.
45. Ланг 1987, гл. Т.3., Следствие, с. 106.
46. Ланг 1987, Теорема VII.9.8, стр. 198.
47. Роман 2005, гл. 8, с. 135–156.
48. & Ланг 1987, гл. IX.4.
49. Роман 2005, гл. 8, с. 140.
50. Роман 2005, гл. 1, с. 29.
51. Роман 2005, гл. 1, с. 35.
52. Роман 2005, гл. 3, с. 64.
53. Ланг 1987, гл. IV.3..
54. Роман 2005, гл. 2, с. 48.
55. Мак Лейн 1998.
56. Роман 2005, гл. 1, стр. 31–32.
57. Ланг 2002, гл. XVI.1
58. Роман 2005, Четверг. 14.3. См. также лемму Йонеды .
59. Шефер и Вольф 1999, стр. 204–205.
60. Бурбаки 2004, гл. 2, с. 48
61. Роман 2005, гл. 9
62. Набер 2003, гл. 1.2
63. Тревес 1967
64. Бурбаки 1987
65. Крейциг 1989, §4.11-5
66. Крейциг 1989, §1.5-5
67. Шоке 1966, Предложение III.7.2
68. Тревес 1967, с. 34–36
69. Ланг 1983, Кор. 4.1.2, с. 69
70. Тревес 1967, гл. 11
71. Тревес 1967, Теорема 11.2, с. 102
72. Эванс 1998, гл. 5
73. Тревес 1967, гл. 12
74. Деннери и Кшивицкий 1996, стр.190.
75. Ланг 1993, Th. XIII.6, с. 349
76. Ланг 1993, Th. III.1.1
77. Шоке 1966, Лемма III.16.11
78. Крейциг 1999, Глава 11
79. Гриффитс 1995, Глава 1
80. Ланг 1993, гл. XVII.3
81. Ланг 2002, гл. III.1, с. 121
82. Эйзенбуд 1995, гл. 1,6
83. Варадараджан 1974 г.
84. Ланг 2002, гл. XVI.7
85. Ланг 2002, гл. XVI.8
86. Спивак 1999, гл. 3
87. Крейциг 1991, §34, с. 108
88. Айзенберг и Гай 1979
89. Атья 1989
90. Артин 1991, гл. 12
91. Грийе, Пьер Антуан. Абстрактная алгебра. Том. 242. Springer Science & Business Media, 2007.
92. Мейер 2000, пример 5.13.5, с. 436
93. Мейер 2000, Упражнение 5.13.15–17, стр. 442
94. Коксетер 1987

Рекомендации

Алгебра

• Антон, Ховард; Роррес, Крис (2010), Элементарная линейная алгебра: версия приложений (10-е изд.), John Wiley & Sons
• Артин, Майкл (1991), Алгебра , Прентис Холл , ISBN 978-0-89871-510-1
• Браун, Уильям А. (1991), Матрицы и векторные пространства , Нью-Йорк: М. Деккер, ISBN 978-0-8247-8419-5
• Халмош, Пол Р. (1948), Конечномерные векторные пространства , том. 7, Издательство Принстонского университета
• Хайль, Кристофер (2011), Учебник по базовой теории: расширенное издание , Прикладной и численный гармонический анализ, Биркхойзер, номер документа : 10.1007/978-0-8176-4687-5, ISBN 978-0-8176-4687-5
• Джайн, MC (2001), Векторные пространства и матрицы в физике, CRC Press, ISBN 978-0-8493-0978-6
• Джоши, К.Д. (1989), Основы дискретной математики , John Wiley & Sons
• Крейциг, Эрвин (2020), Высшая инженерная математика, John Wiley & Sons, ISBN 978-1-119-45592-9
• Ланг, Серж (1987), Линейная алгебра , Тексты для бакалавров по математике (3-е изд.), Springer, doi : 10.1007/978-1-4757-1949-9, ISBN 978-1-4757-1949-9
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4, МР  1878556
• Мак Лейн, Сондерс (1999), Алгебра (3-е изд.), Американское математическое общество, стр. 193–222, ISBN 978-0-8218-1646-2
• Мейер, Карл Д. (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8
• Роман, Стивен (2005), Продвинутая линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике, том. 135 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-24766-3
• Шпиндлер, Карлхайнц (1993), Абстрактная алгебра с приложениями: Том 1: Векторные пространства и группы , CRC, ISBN 978-0-8247-9144-5
• Спрингер, Т. А. (2000), Линейные алгебраические группы, Спрингер
• Столл, РР; Вонг, ET (1968), Линейная алгебра , Academic Press
• ван дер Варден, Бартель Леендерт (1993), Алгебра (на немецком языке) (9-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56799-8

Анализ

• Бурбаки, Николя (1987), Топологические векторные пространства , Элементы математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-13627-9
• Бурбаки, Николя (2004), Интеграция I , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41129-1
• Браун, Мартин (1993), Дифференциальные уравнения и их приложения: введение в прикладную математику , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97894-9
• BSE-3 (2001) [1994], «Касательная плоскость», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Шоке, Гюстав (1966), Топология , Бостон, Массачусетс: Academic Press
• Деннери, Филипп; Крживицкий, Андре (1996), Математика для физиков , Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-69193-0
• Дадли, Ричард М. (1989), Реальный анализ и вероятность , Серия по математике Уодсворта и Брукса/Коула, Пасифик Гроув, Калифорния: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, ISBN 978-0-534-10050-6
• Данэм, Уильям (2005), Галерея исчисления , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09565-3
• Эванс, Лоуренс К. (1998), Уравнения в частных производных , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0772-9
• Фолланд, Джеральд Б. (1992), Анализ Фурье и его приложения , Брукс-Коул, ISBN 978-0-534-17094-3
• Гаске, Клод; Витомски, Патрик (1999), Анализ Фурье и приложения: фильтрация, численные вычисления, вейвлеты , тексты по прикладной математике, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98485-8
• Ифичор, Эммануэль К.; Джервис, Барри В. (2001), Цифровая обработка сигналов: практический подход (2-е изд.), Харлоу, Эссекс, Англия: Прентис-Холл (опубликовано в 2002 г.), ISBN 978-0-201-59619-9
• Кранц, Стивен Г. (1999), Панорама гармонического анализа , Математические монографии Каруса, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0-88385-031-2
• Крейциг, Эрвин (1988), Высшая инженерная математика (6-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-85824-9
• Крейциг, Эрвин (1989), Вводный функциональный анализ с приложениями , Wiley Classics Library, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50459-7, МР  0992618
• Ланг, Серж (1983), Реальный анализ , Аддисон-Уэсли , ISBN 978-0-201-14179-5
• Ланг, Серж (1993), Реальный и функциональный анализ , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94001-4
• Лумис, Линн Х. (2011) [1953], Введение в абстрактный гармонический анализ , Дувр, hdl : 2027/uc1.b4250788 , ISBN 978-0-486-48123-4, OCLC  702357363
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Тревес, Франсуа (1967), Топологические векторные пространства, распределения и ядра , Бостон, Массачусетс: Academic Press

Исторические справки

• Банах, Стефан (1922), «Sur les opérations dans les ансамбли abstraits et leur application aux équations intégrales (Об операциях в абстрактных множествах и их применении к интегральным уравнениям)» (PDF) , Fundamenta Mathematicae (на французском языке), 3 : 133– 181, номер документа : 10.4064/fm-3-1-133-181, ISSN  0016-2736.
• Больцано, Бернар (1804 г.), Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrice (Соображения некоторых аспектов элементарной геометрии) (на немецком языке)
• Беллавитис, Джузо (1833), «Sopra alcune applicazioni di un nuovo metodo di geometria analitica», Il poligrafo giornale di science, lettre ed arti , Верона, 13 : 53–61.
• Бурбаки, Николя (1969), Éléments d'histoire des mathématiques (Элементы истории математики) (на французском языке), Париж: Герман
• Дорье, Жан-Люк (1995), «Общий очерк возникновения теории векторного пространства», Historia Mathematica , 22 (3): 227–261, doi : 10.1006/hmat.1995.1024 , MR  1347828
• Фурье, Жан Батист Жозеф (1822), Аналитическая теория (на французском языке), Chez Firmin Didot, père et fils
• Грассманн, Герман (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (на немецком языке), О. Виганд, перепечатка: Грассманн, Герман (2000), Канненберг, LC (ред.), Теория расширения , перевод Канненберга, Ллойда К., Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2031-5
• Го, Хунъюй (16 июня 2021 г.), Что такое тензоры? , World Scientific, ISBN 978-981-12-4103-1
• Гамильтон, Уильям Роуэн (1853), Лекции по кватернионам, Королевская ирландская академия
• Мёбиус, Август Фердинанд (1827), Der Barycentrische Calcul: ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Барицентрическое исчисление: новая утилита для аналитической обработки геометрии) (на немецком языке), заархивировано из оригинала 23 ноября 2006 г.
• Мур, Грегори Х. (1995), «Аксиоматизация линейной алгебры: 1875–1940», Historia Mathematica , 22 (3): 262–303, doi : 10.1006/hmat.1995.1025
• Пеано, Джузеппе (1888), Calcolo Geometrico Secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (на итальянском языке), Турин{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Пеано, Г. (1901) Formulario mathematico : аксиомы vct, через Интернет-архив

Дальнейшие ссылки

• Эшкрофт, Нил ; Мермин, Н. Дэвид (1976), Физика твердого тела , Торонто: Thomson Learning, ISBN 978-0-03-083993-1
• Атья, Майкл Фрэнсис (1989), K-теория , Advanced Book Classics (2-е изд.), Аддисон-Уэсли , ISBN 978-0-201-09394-0, МР  1043170
• Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, Ян Грант (1969), Введение в коммутативную алгебру , Классическая книга для продвинутых, Аддисон-Уэсли
• Бласс, Андреас (1984), «Существование базисов подразумевает аксиому выбора» (PDF) , Аксиоматическая теория множеств , Современная математика, том 31, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 31–33, ISBN 978-0-8218-5026-8, МР  0763890
• Бурбаки, Николя (1998), Элементы математики: Алгебра I, главы 1–3 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-64243-5
• Бурбаки, Николя (1989), Общая топология. Главы 1–4 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-64241-1
• Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1987), Проективная геометрия (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96532-1
• Айзенберг, Мюррей; Гай, Роберт (1979), «Доказательство теоремы о волосатом шаре», The American Mathematical Monthly , 86 (7): 572–574, doi : 10.2307/2320587, JSTOR  2320587
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике, том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-94269-8, МР  1322960
• Голдрей, Дерек (1996), Классическая теория множеств: независимое исследование под руководством руководства (1-е изд.), Лондон: Чепмен и Холл , ISBN 978-0-412-60610-6
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1995), Введение в квантовую механику , Аппер-Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Прентис-Холл , ISBN 978-0-13-124405-4
• Халмош, Пол Р. (1974), Конечномерные векторные пространства , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90093-3
• Халперн, Джеймс Д. (июнь 1966 г.), «Базы в векторных пространствах и аксиома выбора», Proceedings of the American Mathematical Society , 17 (3): 670–673, doi : 10.2307/2035388 , JSTOR  2035388
• Хьюз-Халлетт, Дебора; МакКаллум, Уильям Г.; Глисон, Эндрю М. (2013), Исчисление: одномерные и многомерные (6-е изд.), John Wiley & Sons , ISBN 978-0470-88861-2
• Хуземоллер, Дейл (1994), Fiber Bundles (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94087-8
• Йост, Юрген (2005), Риманова геометрия и геометрический анализ (4-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-25907-7
• Крейциг, Эрвин (1991), Дифференциальная геометрия , Нью-Йорк: Dover Publications , стр. xiv+352, ISBN 978-0-486-66721-8
• Крейциг, Эрвин (1999), Высшая инженерная математика (8-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-15496-9
• Люенбергер, Дэвид (1997), Оптимизация методами векторного пространства , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-18117-0
• Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98403-2
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип ; Уилер, Джон Арчибальд (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
• Набер, Грегори Л. (2003), Геометрия пространства-времени Минковского , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43235-9, МР  2044239
• Шёнхаге, А .; Штрассен, Фолькер (1971), «Schnelle Multiplikation großer Zahlen (Быстрое умножение больших чисел)», Computing (на немецком языке), 7 (3–4): 281–292, doi : 10.1007/bf02242355, ISSN  0010-485X, S2CID  9738629
• Спивак, Майкл (1999), Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию (том второй) , Хьюстон, Техас: опубликуй или погибни
• Стюарт, Ян (1975), Теория Галуа , Серия математики Чепмена и Холла , Лондон: Чепмен и Холл , ISBN 978-0-412-10800-6
• Варадараджан, В.С. (1974), Группы Ли, алгебры Ли и их представления , Прентис Холл , ISBN 978-0-13-535732-3
• Уоллес, Г. К. (февраль 1992 г.), «Стандарт сжатия неподвижных изображений JPEG» (PDF) , IEEE Transactions on Consumer Electronics , 38 (1): xviii–xxxiv, CiteSeerX  10.1.1.318.4292 , doi : 10.1109/30.125072, ISSN  0098 -3063, заархивировано из оригинала (PDF) 13 января 2007 г. , получено 25 октября 2017 г.
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. МР  1269324. OCLC  36131259.

Внешние ссылки

• «Векторное пространство», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]