В обработке сигналов и смежных дисциплинах наложение спектров — это наложение частотных компонентов, возникающее из-за частоты дискретизации ниже частоты Найквиста . Это наложение приводит к искажению или артефактам при восстановлении сигнала из выборок, что приводит к тому, что восстановленный сигнал отличается от исходного непрерывного сигнала. Наложение спектров, которое происходит в сигналах, дискретизированных во времени, например, в цифровом аудио или стробоскопическом эффекте , называется временным наложением спектров . Наложение спектров в пространственно дискретизированных сигналах (например, муаровые узоры в цифровых изображениях ) называется пространственным наложением спектров .
Наложение спектров обычно избегается путем применения низкочастотных фильтров или фильтров сглаживания (AAF) к входному сигналу перед дискретизацией и при преобразовании сигнала с более высокой частоты дискретизации в более низкую. Затем следует использовать подходящую фильтрацию реконструкции при восстановлении дискретизированного сигнала в непрерывную область или преобразовании сигнала с более низкой частоты дискретизации в более высокую. Для пространственного сглаживания типы сглаживания включают быстрое приблизительное сглаживание (FXAA), многовыборочное сглаживание и суперсэмплинг .
При просмотре цифрового изображения реконструкция выполняется устройством отображения или печати, а также глазами и мозгом. Если данные изображения обрабатываются неправильно во время выборки или реконструкции, реконструированное изображение будет отличаться от исходного изображения, и будет виден псевдоним.
Примером пространственного сглаживания является муаровый узор , наблюдаемый на плохо пикселизированном изображении кирпичной стены. Методы пространственного сглаживания позволяют избежать таких плохих пикселизаций. Сглаживание может быть вызвано либо этапом выборки, либо этапом реконструкции; их можно различить, назвав сглаживание выборки преалиасинг и реконструкция алиасинга посталиасинг. [1]
Временное наложение спектров является основной проблемой при сэмплировании видео- и аудиосигналов. Например, музыка может содержать высокочастотные компоненты, которые не слышны человеку. Если музыкальное произведение сэмплируется с частотой 32 000 сэмплов в секунду (Гц), любые частотные компоненты на уровне или выше 16 000 Гц ( частота Найквиста для этой частоты дискретизации) вызовут наложение спектров при воспроизведении музыки цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП). Высокие частоты в аналоговом сигнале будут отображаться как более низкие частоты (неправильный наложение спектров) в записанном цифровом сэмпле и, следовательно, не могут быть воспроизведены ЦАП. Чтобы предотвратить это, используется фильтр сглаживания для удаления компонентов выше частоты Найквиста перед сэмплированием.
В видео или кинематографии временной алиасинг возникает из-за ограниченной частоты кадров и вызывает эффект колеса телеги , при котором колесо со спицами кажется вращающимся слишком медленно или даже в обратном направлении. Алиасинг изменил свою кажущуюся частоту вращения. Изменение направления можно описать как отрицательную частоту . Временные частоты алиасинга в видео и кинематографии определяются частотой кадров камеры, но относительная интенсивность частот алиасинга определяется временем срабатывания затвора (временем экспозиции) или использованием фильтра уменьшения временного алиасинга во время съемки. [2] [ ненадежный источник? ]
Как и видеокамера, большинство схем выборки являются периодическими; то есть они имеют характерную частоту выборки во времени или в пространстве. Цифровые камеры обеспечивают определенное количество выборок ( пикселей ) на градус или на радиан, или выборок на мм в фокальной плоскости камеры. Аудиосигналы выборки ( оцифровываются ) с помощью аналого-цифрового преобразователя , который производит постоянное количество выборок в секунду. Некоторые из наиболее драматичных и тонких примеров наложения спектров возникают, когда выборочный сигнал также имеет периодическое содержимое.
Фактические сигналы имеют конечную длительность, а их частотное содержимое, определяемое преобразованием Фурье , не имеет верхней границы. Некоторое количество наложения спектров всегда возникает при выборке таких функций. Функции, частотное содержимое которых ограничено ( bandlimited ), имеют бесконечную длительность во временной области. Если выборка выполняется с достаточно высокой частотой, определяемой полосой пропускания , исходная функция может быть, в теории, идеально восстановлена из бесконечного набора выборок.
Иногда наложение спектров используется намеренно для сигналов без низкочастотного содержимого, называемых полосовыми сигналами. Недостаточная выборка , которая создает низкочастотные наложения спектров, может дать тот же результат, с меньшими усилиями, что и сдвиг частоты сигнала на более низкие частоты перед выборкой с более низкой скоростью. Некоторые цифровые канализаторы используют наложение спектров таким образом для вычислительной эффективности. [3] (См. Выборка (обработка сигнала) , Скорость Найквиста (относительно выборки) и Банк фильтров .)
Синусоиды являются важным типом периодической функции, поскольку реалистичные сигналы часто моделируются как сумма многих синусоид разных частот и разных амплитуд (например, с помощью ряда Фурье или преобразования ). Понимание того, что наложение делает с отдельными синусоидами, полезно для понимания того, что происходит с их суммой.
При дискретизации функции с частотой f s (интервалы 1/ f s ) следующие функции времени ( t ) дают идентичные наборы выборок: {sin(2π( f+Nf s ) t + φ), N = 0, ±1, ±2, ±3,... }. Частотный спектр выборок дает одинаково сильные отклики на всех этих частотах. Без дополнительной информации частота исходной функции неоднозначна. Поэтому говорят, что функции и их частоты являются псевдонимами друг друга. Отмечая тригонометрическое тождество :
мы можем записать все частоты псевдонимов как положительные значения: . Например, снимок нижнего правого кадра рис. 2 показывает компонент на фактической частоте и другой компонент на псевдониме . По мере увеличения во время анимации уменьшается. Точка, в которой они равны, является осью симметрии, называемой частотой сворачивания , также известной как частота Найквиста .
Наложение имеет значение, когда кто-то пытается восстановить исходную форму волны из ее образцов. Наиболее распространенный метод реконструкции создает наименьшую из частот. Поэтому обычно важно, чтобы был уникальный минимум. Необходимое и достаточное условие для этого называется условием Найквиста . Нижний левый кадр на рис. 2 изображает типичный результат реконструкции доступных образцов. Пока не будет превышена частота Найквиста, реконструкция соответствует фактической форме волны (верхний левый кадр). После этого это низкочастотный псевдоним верхнего кадра.
Рисунки ниже предлагают дополнительные изображения наложения, вызванного выборкой. График амплитуды в зависимости от частоты (не времени) для одной синусоиды на частоте 0,6 f s и некоторых ее наложений на 0,4 f s , 1,4 f s и 1,6 f s будет выглядеть как 4 черные точки на рис. 3. Красные линии изображают пути (местоположения) 4 точек, если бы мы отрегулировали частоту и амплитуду синусоиды вдоль сплошного красного сегмента (между f s /2 и f s ). Независимо от того, какую функцию мы выберем для изменения амплитуды в зависимости от частоты, график будет демонстрировать симметрию между 0 и f s . Складывание часто наблюдается на практике при просмотре частотного спектра вещественных выборок, таких как рис. 4.
Комплексные синусоиды — это формы волн, выборки которых являются комплексными числами , и для их различения необходимо понятие отрицательной частоты . В этом случае частоты псевдонимов задаются просто : f N ( f ) = f + N f s . Поэтому, когда f увеличивается от 0 до f s , f −1 ( f ) также увеличивается (от – f s до 0). Следовательно, комплексные синусоиды не демонстрируют сворачивания .
Когда условие f s /2 > f выполняется для компонента самой высокой частоты исходного сигнала, то оно выполняется для всех частотных компонентов, условие, называемое критерием Найквиста . Это обычно аппроксимируется путем фильтрации исходного сигнала для ослабления высокочастотных компонентов перед его выборкой. Эти ослабленные высокочастотные компоненты все еще генерируют низкочастотные псевдонимы, но обычно с достаточно низкими амплитудами, чтобы они не вызывали проблем. Фильтр, выбранный в ожидании определенной частоты выборки, называется фильтром сглаживания .
Отфильтрованный сигнал может быть впоследствии реконструирован с помощью алгоритмов интерполяции без существенных дополнительных искажений. Большинство дискретизированных сигналов не просто сохраняются и реконструируются. Но точность теоретической реконструкции (через формулу интерполяции Уиттекера-Шеннона ) является общепринятой мерой эффективности дискретизации.
Исторически термин наложение частот появился в радиотехнике из-за действия супергетеродинных приемников . Когда приемник смещает несколько сигналов вниз на более низкие частоты, с РЧ на ПЧ путем гетеродинирования , нежелательный сигнал с частоты РЧ, равноудалённой от частоты гетеродина (LO), как и желаемый сигнал, но на неправильной стороне LO, может оказаться на той же частоте ПЧ, что и желаемый. Если он достаточно сильный, он может помешать приёму желаемого сигнала. Этот нежелательный сигнал известен как изображение или псевдоним желаемого сигнала.
Первое письменное использование терминов «alias» и «aliasing» в обработке сигналов, по-видимому, относится к неопубликованному техническому меморандуму Bell Laboratories [4] 1949 года , написанному Джоном Тьюки и Ричардом Хэммингом . В этой статье приводится пример частотного наложения, датируемый 1922 годом. Первое опубликованное использование термина «aliasing» в этом контексте принадлежит Блэкману и Тьюки в 1958 году. [5] В своем предисловии к переизданию этой статьи в Дувре [6] они указывают, что идея наложения была графически проиллюстрирована Штумпфом [7] десятью годами ранее.
В техническом отчете Bell 1949 года говорится о наложении спектров так, как будто это общеизвестная концепция, но не приводится источник этого термина. Гвилим Дженкинс и Морис Пристли приписывают Тьюки введение его в этом контексте [8] , хотя аналогичная концепция наложения спектров была введена несколькими годами ранее [9] в дробных факторных планах . Хотя Тьюки проделал значительную работу в факторных экспериментах [10] и, безусловно, знал о наложении спектров в дробных планах [11], невозможно определить, было ли его использование «наложения спектров» в обработке сигналов сознательно вдохновлено такими планами.
Наложение спектров происходит всякий раз, когда использование дискретных элементов для захвата или создания непрерывного сигнала приводит к неоднозначности частоты.
Пространственное наложение, в частности угловой частоты, может возникать при воспроизведении светового поля или звукового поля с дискретными элементами, как в 3D-дисплеях или синтезе волнового поля звука. [12]
Такое наложение спектров заметно на таких изображениях, как постеры с лентикулярной печатью : если они имеют низкое угловое разрешение, то при перемещении мимо них, скажем, слева направо, двухмерное изображение изначально не изменяется (поэтому кажется, что оно движется влево), а затем при переходе к следующему угловому изображению изображение внезапно меняется (поэтому оно перескакивает вправо) — а частота и амплитуда этого перемещения из стороны в сторону соответствуют угловому разрешению изображения (и, в случае частоты, скорости бокового перемещения зрителя), что является угловым наложением спектров светового поля 4D.
Отсутствие параллакса при движении зрителя в 2D-изображениях и в 3D-фильмах, создаваемое стереоскопическими очками (в 3D-фильмах этот эффект называется « рысканием », поскольку изображение кажется вращающимся вокруг своей оси), можно аналогичным образом рассматривать как потерю углового разрешения, поскольку все угловые частоты сводятся к 0 (константе).
Качественные эффекты наложения спектров можно услышать в следующей аудиодемонстрации. Шесть пилообразных волн воспроизводятся последовательно, причем первые две пилообразные волны имеют основную частоту 440 Гц (A4), вторые две имеют основную частоту 880 Гц (A5), а последние две — 1760 Гц (A6). Пилообразные волны чередуются между пилообразными волнами с ограниченной полосой пропускания (без наложения спектров) и пилообразными волнами с наложением спектров, а частота дискретизации составляет 22050 Гц. Пилообразные волны с ограниченной полосой пропускания синтезируются из ряда Фурье пилообразной волны таким образом, что гармоники выше частоты Найквиста отсутствуют.
Наложение искажений на низких частотах становится все более очевидным с повышением основных частот, и хотя пилообразная характеристика с ограниченной полосой пропускания все еще четкая на частоте 1760 Гц, наложенная пилообразная характеристика становится более искажённой и резкой, а на частотах ниже основных слышно жужжание.
Форма пространственного наложения может также возникать в антенных решетках или микрофонных решетках, используемых для оценки направления прибытия волнового сигнала, как в геофизической разведке с помощью сейсмических волн. Волны должны быть отобраны более плотно, чем две точки на длину волны , или направление прибытия волны становится неоднозначным. [13]
