Режиссерский набор

Математическое упорядочение с верхними границами

В математике направленный набор (или направленный предварительный порядок , или фильтрованный набор ) — это непустое множество вместе с рефлексивным и транзитивным бинарным отношением (то есть предварительным порядком ), с дополнительным свойством, заключающимся в том, что каждая пара элементов имеет верхнюю границу . ^[1] Другими словами, для любого и в должна существовать в с и Предварительный порядок направленного множества называется направлением . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle b\leq c.}$

Определенное выше понятие иногда называютнаправленный вверх набор . АМножество, направленное вниз , определяется аналогично^[2]и означает, что каждая пара элементов ограничена снизу. ^[3] Некоторые авторы (и данная статья) предполагают, что направленное множество направлено вверх, если не указано иное. Другие авторы называют множество направленным тогда и только тогда, когда оно направлено и вверх, и вниз. ^[4]

Направленные множества являются обобщением непустых вполне упорядоченных множеств . То есть все полностью упорядоченные множества являются направленными (в отличие от частично упорядоченных множеств , которые не обязательно должны быть направленными). Соединяющиеся полурешетки (которые представляют собой частично упорядоченные множества) также являются направленными множествами, но не наоборот. Аналогично решетки направлены множествами как вверх, так и вниз.

В топологии направленные множества используются для определения сетей , которые обобщают последовательности и объединяют различные понятия предела , используемые в анализе . Направленные множества также приводят к прямым пределам в абстрактной алгебре и (в более общем плане) теории категорий .

Эквивалентное определение

Помимо определения, приведенного выше, существует эквивалентное определение. Направленное множество — это множество с таким предпорядком , что каждое конечное подмножество имеет верхнюю границу. В этом определении из существования верхней границы пустого подмножества следует, что оно непусто. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Примеры

Набор натуральных чисел обычного порядка — один из важнейших примеров ориентированного множества. Всякое полностью упорядоченное множество является направленным множеством, включая и ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq ),}$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\geq ),}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq ),}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq ).}$

(Тривиальным) примером частично упорядоченного множества, которое не является направленным, является набор , в котором единственными отношениями порядка являются и Менее тривиальный пример похож на предыдущий пример «действительных чисел, направленных к », но в котором правило упорядочения применяется только пары элементов на одной стороне (т. е. если взять элемент слева и справа от него, то и не сравнимы, и подмножество не имеет верхней границы). ${\displaystyle \{a,b\},}$ ${\displaystyle a\leq a}$ ${\displaystyle b\leq b.}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$

Произведение направленных множеств

Пусть и – направленные множества. Тогда набор декартовых продуктов можно превратить в ориентированный набор, определив тогда и только тогда, когда и По аналогии с порядком продукта это направление продукта в декартовом продукте. Например, набор пар натуральных чисел можно превратить в ориентированный набор, определив тогда и только тогда, когда и ${\displaystyle \mathbb {D} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{1}\times \mathbb {D} _{2}}$ ${\displaystyle \left(n_{1},n_{2}\right)\leq \left(m_{1},m_{2}\right)}$ ${\displaystyle n_{1}\leq m_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}\leq m_{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left(n_{0},n_{1}\right)\leq \left(m_{0},m_{1}\right)}$ ${\displaystyle n_{0}\leq m_{0}}$ ${\displaystyle n_{1}\leq m_{1}.}$

Направлен в точку

Если это действительное число , то набор можно превратить в направленный набор, определив if (так что «большие» элементы будут ближе к ). Затем мы говорим, что действительные объекты были направлены туда. Это пример направленного множества, которое не является ни частично упорядоченным , ни полностью упорядоченным . Это происходит потому, что антисимметрия нарушается для каждой пары и равноудалена от где и находятся на противоположных сторонах . Явно это происходит, когда для некоторого реального в этом случае , и даже если бы этот предварительный порядок был определен вместо этого, он все равно формировал бы направленный набор, но теперь у него будет (уникальный) величайший элемент , в частности ; однако он все равно не будет частично заказан. Этот пример можно обобщить на метрическое пространство , определив on или предварительный порядок тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle I:=\mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace }$ ${\displaystyle a\leq _{I}b}$ ${\displaystyle \left|a-x_{0}\right|\geq \left|b-x_{0}\right|}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle \{a,b\}=\left\{x_{0}-r,x_{0}+r\right\}}$ ${\displaystyle r\neq 0,}$ ${\displaystyle a\leq _{I}b}$ ${\displaystyle b\leq _{I}a}$ ${\displaystyle a\neq b.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus \left\{x_{0}\right\}}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle d\left(a,x_{0}\right)\geq d\left(b,x_{0}\right).}$

Максимальные и величайшие элементы

Элемент предупорядоченного множества является максимальным, если для каждого следует ^[5] Он является наибольшим элементом, если для каждого ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle j\in I,}$ ${\displaystyle m\leq j}$ ${\displaystyle j\leq m.}$ ${\displaystyle j\in I,}$ ${\displaystyle j\leq m.}$

Любой предупорядоченный набор с наибольшим элементом является ориентированным множеством с тем же предварительным порядком. Например, в частично упорядоченном наборе каждое нижнее замыкание элемента; то есть каждое подмножество формы, где находится фиксированный элемент, является направленным. ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle \{a\in P:a\leq x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P,}$

Каждый максимальный элемент направленного предупорядоченного множества является наибольшим элементом. Действительно, направленное предупорядоченное множество характеризуется равенством (возможно, пустого) множеств максимальных и наибольших элементов.

Включение подмножества

Отношение включения подмножества вместе с его двойственным отношением определяют частичный порядок в любом заданном семействе множеств . Непустое семейство множеств является направленным множеством относительно частичного порядка (соответственно ) тогда и только тогда, когда пересечение (соответственно объединение) любых двух его членов содержит в качестве подмножества (соответственно содержится в качестве подмножества о) какой-то третий член. В символах семейство множеств направлено относительно (соответственно ) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \,\subseteq ,\,}$ ${\displaystyle \,\supseteq ,\,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$

для всех существуют такие, что и (соответственно и ) ${\displaystyle A,B\in I,}$ ${\displaystyle C\in I}$ ${\displaystyle A\supseteq C}$ ${\displaystyle B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq C}$ ${\displaystyle B\subseteq C}$

или эквивалентно,

для всех существует такое, что (соответственно ). ${\displaystyle A,B\in I,}$ ${\displaystyle C\in I}$ ${\displaystyle A\cap B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$

Многие важные примеры направленных множеств можно определить с помощью этих частичных порядков. Например, по определению префильтр или база фильтра — это непустое семейство множеств , которое является направленным множеством относительно частичного порядка и которое также не содержит пустого множества (это условие предотвращает тривиальность, поскольку в противном случае пустое множество тогда это был бы величайший элемент по отношению к ). Каждая π -система , представляющая собой непустое семейство множеств , замкнутое относительно пересечения любых двух своих членов, является направленным множеством относительно. Каждая λ-система является направленным множеством относительно каждого фильтра , топологии , и σ-алгебра является ориентированным множеством как относительно, так и ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,.}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,.}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,.}$

Хвосты сетей

По определению сеть — это функция направленного множества, а последовательность — функция натуральных чисел. Любая последовательность канонически становится сетью, если наделить ее ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \,\leq .\,}$

Если это какая-либо сеть из ориентированного множества, то для любого индекса этот набор называется хвостом, начинающимся с . Семейство всех хвостов является направленным множеством по отношению к тому, что фактически является даже префильтром. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle x_{\geq i}:=\left\{x_{j}:j\geq i{\text{ with }}j\in I\right\}}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right):=\left\{x_{\geq i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \,\supseteq ;\,}$

Районы

If является топологическим пространством и является точкой в ​​множестве всех окрестностей можно превратить в ориентированное множество, написав тогда и только тогда, когда содержит Foreach и  : ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle U\leq V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle W}$

• ${\displaystyle U\leq U}$поскольку содержит себя. ${\displaystyle U}$
• если и то и что подразумевает Таким образом ${\displaystyle U\leq V}$ ${\displaystyle V\leq W,}$ ${\displaystyle U\supseteq V}$ ${\displaystyle V\supseteq W,}$ ${\displaystyle U\supseteq W.}$ ${\displaystyle U\leq W.}$
• потому что и так как и у нас есть и ${\displaystyle x_{0}\in U\cap V,}$ ${\displaystyle U\supseteq U\cap V}$ ${\displaystyle V\supseteq U\cap V,}$ ${\displaystyle U\leq U\cap V}$ ${\displaystyle V\leq U\cap V.}$

Конечные подмножества

Множество всех конечных подмножеств набора направлено относительно, поскольку для любых двух их объединение является верхней границей и в. Этот конкретный направленный набор используется для определения суммы обобщенного ряда -индексированного набора чисел (или в более общем смысле, сумма элементов абелевой топологической группы (например, векторов в топологическом векторном пространстве ) как предел сети частичных сумм, то есть: ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle A,B\in \operatorname {Finite} (I),}$ ${\displaystyle A\cup B\in \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I).}$ ${\displaystyle {\textstyle \sum \limits _{i\in I}}r_{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle F\in \operatorname {Finite} (I)\mapsto {\textstyle \sum \limits _{i\in F}}r_{i};}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}~:=~\lim _{F\in \operatorname {Finite} (I)}\ \sum _{i\in F}r_{i}~=~\lim \left\{\sum _{i\in F}r_{i}\,:F\subseteq I,F{\text{ finite }}\right\}.}$$

Логика

Пусть — формальная теория , представляющая собой набор предложений с определёнными свойствами (подробности о которых можно прочитать в статье по теме ). Например, это может быть теория первого порядка (например, теория множеств Цермело–Френкеля ) или более простая теория нулевого порядка . Предварительно упорядоченный набор является направленным набором, потому что if и if обозначает предложение, образованное логическим союзом then , а где If — алгебра Линденбаума-Тарского, связанная с then , — это частично упорядоченный набор, который также является ориентированным набором. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (S,\Leftarrow )}$ ${\displaystyle A,B\in S}$ ${\displaystyle C:=A\wedge B}$ ${\displaystyle \,\wedge ,\,}$ ${\displaystyle A\Leftarrow C}$ ${\displaystyle B\Leftarrow C}$ ${\displaystyle C\in S.}$ ${\displaystyle S/\sim }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(S/\sim ,\Leftarrow \right)}$

В отличие от полурешеток

Пример ориентированного множества, не являющегося объединенной полурешеткой.

Направленный набор - это более общая концепция, чем полурешетка (объединения): каждая полурешетка соединения представляет собой направленный набор, поскольку желаемым является соединение или наименьшая верхняя граница двух элементов . Однако обратное неверно, свидетельством чему является направленный набор {1000,0001, 1101,1011,1111} упорядочено побитно (например , выполняется, но не выполняется, поскольку в последнем бите 1 > 0), где {1000,0001} имеет три верхние границы, но не имеет младшей верхней границы, ср. картина. (Также обратите внимание, что без 1111 набор не направлен.) ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle 1000\leq 1011}$ ${\displaystyle 0001\leq 1000}$

Направленные подмножества

Отношение порядка в направленном множестве не обязательно должно быть антисимметричным , и поэтому направленные множества не всегда являются частичными порядками . Однако термин «направленный набор» также часто используется в контексте частично упорядоченных множеств. В этом случае подмножество частично упорядоченного множества называется направленным подмножеством , если оно является направленным множеством в соответствии с тем же частичным порядком: другими словами, это не пустое множество , и каждая пара элементов имеет верхнюю границу. Здесь отношение порядка элементов наследуется от ; по этой причине рефлексивность и транзитивность не обязательно требуются явно. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$

Направленное подмножество ЧУМ не обязательно должно быть замкнутым вниз ; подмножество частичного множества является направленным тогда и только тогда, когда его замыкание вниз является идеалом . Хотя определение направленного набора относится к набору, «направленному вверх» (каждая пара элементов имеет верхнюю границу), также возможно определить набор, направленный вниз, в котором каждая пара элементов имеет общую нижнюю границу. Подмножество частичного множества направлено вниз тогда и только тогда, когда его верхнее замыкание является фильтром .

Направленные подмножества используются в теории предметной области , которая изучает направленно-полные частичные порядки . ^[6] Это упорядоченные множества, в которых каждое направленное вверх множество должно иметь наименьшую верхнюю границу . В этом контексте направленные подмножества снова обеспечивают обобщение сходящихся последовательностей. ^{[ нужны дальнейшие объяснения ]}

Смотрите также

• Центрированное множество  - Теория порядка
• Отфильтрованная категория
• Фильтры в топологии  . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Связанное множество  - математическая концепция, касающаяся частично упорядоченных множеств в теории (частичного) порядка.
• Сеть (математика)  - обобщение последовательности точек.

Примечания

1. Келли, с. 65.
2. Роберт С. Борден (1988). Курс углубленного исчисления . Курьерская корпорация. п. 20. ISBN 978-0-486-15038-3.
3. Арлен Браун; Карл Пирси (1995). Введение в анализ . Спрингер. п. 13. ISBN 978-1-4612-0787-0.
4. Зигфрид Карл; Сеппо Хейккиля (2010). Теория неподвижной точки в упорядоченных множествах и ее приложения: от дифференциальных и интегральных уравнений к теории игр . Спрингер. п. 77. ИСБН 978-1-4419-7585-0.
5. Это подразумевает , что это частично упорядоченный набор . ${\displaystyle j=m}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$
6. Гирц, с. 2.

Рекомендации

• Дж. Л. Келли (1955), Общая топология .
• Гирц, Хофманн, Кеймель и др. (2003), Непрерывные решетки и области , Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-80338-1 .