В механике сплошной среды напряжение – это физическая величина , описывающая силы , присутствующие во время деформации . Например, растягиваемый объект, например растянутая резинка, подвергается растягивающему напряжению и может удлиниться . Сталкиваемый объект, например скомканная губка, подвергается сжимающему напряжению и может укорачиваться. [1] [2] Чем больше сила и чем меньше площадь поперечного сечения тела, на которое она действует, тем больше напряжение. Напряжение имеет размерность силы на площадь, в единицах СИ : ньютоны на квадратный метр (Н/м 2 ) или паскаль (Па).
Напряжение выражает внутренние силы, которые соседние частицы сплошного материала оказывают друг на друга, а деформация является мерой относительной деформации материала. [3] Например, когда сплошной вертикальный стержень поддерживает верхний груз , каждая частица в стержне толкает частицы, расположенные непосредственно под ним. Когда жидкость находится в закрытом контейнере под давлением , каждая частица сталкивается со всеми окружающими частицами. Стенки контейнера и поверхность, создающая давление (например, поршень), давят на них в результате (ньютоновской) реакции . Эти макроскопические силы на самом деле являются конечным результатом очень большого количества межмолекулярных сил и столкновений между частицами в этих молекулах . Ударение часто обозначается строчной греческой буквой сигма ( σ ).
Деформация внутри материала может возникать под действием различных механизмов, таких как напряжение , приложенное внешними силами к объемному материалу (например, гравитация ) или к его поверхности (например, контактные силы , внешнее давление или трение ). Любая деформация (деформация) твердого материала порождает внутреннее упругое напряжение , аналогичное силе реакции пружины , которое стремится вернуть материал в исходное недеформированное состояние. В жидкостях и газах только деформации, изменяющие объем, создают постоянные упругие напряжения. Если деформация постепенно меняется со временем, даже в жидкостях обычно возникает некоторое вязкое напряжение , противодействующее этому изменению. Упругие и вязкие напряжения обычно объединяют под названием механические напряжения .
Значительное напряжение может существовать даже тогда, когда деформация незначительна или отсутствует (обычное предположение при моделировании потока воды). Стресс может существовать при отсутствии внешних сил; такое встроенное напряжение важно, например, в предварительно напряженном бетоне и закаленном стекле . Напряжение также может быть приложено к материалу без приложения чистых сил , например, из-за изменений температуры или химического состава или из-за внешних электромагнитных полей (как в пьезоэлектрических и магнитострикционных материалах).
Связь между механическим напряжением, деформацией и скоростью деформации может быть весьма сложной, хотя на практике может быть достаточно линейного приближения, если величины достаточно малы. Напряжение, превышающее определенные пределы прочности материала, приведет к необратимой деформации (например, пластическому течению , разрушению , кавитации ) или даже к изменению его кристаллической структуры и химического состава .
Люди знали о напряжении внутри материалов с древних времен. До 17 века это понимание было во многом интуитивным и эмпирическим, хотя это не мешало развитию относительно передовых технологий, таких как композитный лук и выдувание стекла . [4]
В частности, за несколько тысячелетий архитекторы и строители научились соединять деревянные балки и каменные блоки тщательной формы, чтобы выдерживать, передавать и распределять нагрузку наиболее эффективным образом, с помощью таких изобретательных устройств, как капители , арки , купола , фермы и аркбутаны готических соборов . _
Древние и средневековые архитекторы разработали некоторые геометрические методы и простые формулы для расчета правильных размеров колонн и балок, но научное понимание напряжения стало возможным только после того, как в 17 и 18 веках были изобретены необходимые инструменты: строгие эксперименты Галилео Галилея . метод , координаты и аналитическая геометрия Рене Декарта , законы движения и равновесия Ньютона и исчисление бесконечно малых . [5] С помощью этих инструментов Огюстен-Луи Коши смог создать первую строгую и общую математическую модель деформированного упругого тела, введя понятия напряжения и деформации. [6] Коши заметил, что сила, действующая на воображаемую поверхность, является линейной функцией ее вектора нормали; и, более того, это должна быть симметричная функция (с нулевым полным импульсом). Понимание напряжения в жидкостях началось с Ньютона, который предложил дифференциальную формулу для сил трения (напряжения сдвига) в параллельном ламинарном потоке .
Напряжение определяется как сила, действующая на небольшую границу на единицу площади этой границы для всех ориентаций границы. [7] Напряжение, полученное из фундаментальной физической величины (силы) и чисто геометрической величины (площади), также является фундаментальной величиной, такой как скорость, крутящий момент или энергия , которую можно определить количественно и проанализировать без явного рассмотрения природы материала. или его физических причин.
Согласно основным положениям механики сплошной среды, напряжение является макроскопической концепцией. А именно, частицы, рассматриваемые в его определении и анализе, должны быть достаточно малы, чтобы их можно было считать однородными по составу и состоянию, но при этом достаточно большими, чтобы игнорировать квантовые эффекты и детальные движения молекул. Таким образом, сила между двумя частицами на самом деле представляет собой среднее значение очень большого числа атомных сил между их молекулами; а физические величины, такие как масса, скорость и силы, действующие через объем трехмерных тел, например гравитация, считаются плавно распределенными по ним. [8] : 90–106 В зависимости от контекста можно также предположить, что частицы достаточно велики, чтобы можно было усреднить другие микроскопические особенности, такие как зерна металлического стержня или волокна куска дерева .
Количественно напряжение выражается вектором тяги Коши T , определяемым как сила тяги F между соседними частями материала через воображаемую разделяющую поверхность S , разделенную на площадь S. [9] : 41–50 В покоящейся жидкости сила перпендикулярна поверхности и представляет собой известное давление . В твердом теле или в потоке вязкой жидкости сила F может быть не перпендикулярна S ; следовательно, напряжение на поверхности следует рассматривать как векторную величину, а не скалярную величину. Более того, направление и величина обычно зависят от ориентации S. Таким образом, напряженное состояние материала должно описываться тензором , называемым тензором напряжений (Коши) ; которая представляет собой линейную функцию , которая связывает вектор нормали n поверхности S с вектором тяги T через S . По отношению к любой выбранной системе координат тензор напряжений Коши можно представить в виде симметричной матрицы действительных чисел 3×3. Даже внутри однородного тела тензор напряжений может меняться от места к месту и меняться со временем; следовательно, напряжение внутри материала, как правило, представляет собой изменяющееся во времени тензорное поле .
В общем, напряжение T , которое частица P прикладывает к другой частице Q по поверхности S , может иметь любое направление относительно S. Вектор Т можно рассматривать как сумму двух компонентов: нормального напряжения ( сжатия или растяжения ), перпендикулярного поверхности, и напряжения сдвига , параллельного поверхности.
Если нормальный единичный вектор n поверхности (направленный от Q к P ) предполагается фиксированным, нормальная составляющая может быть выражена одним числом, скалярным произведением T · n . Это число будет положительным, если P «тянет» Q (растягивающее напряжение), и отрицательным, если P «толкает» Q (сжимающее напряжение). Тогда компонент сдвига представляет собой вектор T − ( T · n ) n .
Размерностью напряжения является размерность давления , и поэтому его координаты измеряются в тех же единицах, что и давление: а именно, в паскалях (Па, то есть ньютонах на квадратный метр ) в Международной системе или фунтах на квадратный дюйм (psi) в Имперская система . Поскольку механические напряжения легко превышают миллион Паскалей, общепринятой единицей измерения напряжения является МПа, что означает мегапаскаль.
Напряжение в материальном теле может быть вызвано множеством физических причин, включая внешние воздействия и внутренние физические процессы. Некоторые из этих агентов (например, гравитация, изменения температуры и фазы , а также электромагнитные поля) действуют на большую часть материала, непрерывно меняясь в зависимости от положения и времени. Другие агенты (например, внешние нагрузки и трение, давление окружающей среды и контактные силы) могут создавать напряжения и силы, которые концентрируются на определенных поверхностях, линиях или точках; и, возможно, также на очень коротких интервалах времени (как в импульсах от столкновений). В активной материи самодвижение микроскопических частиц порождает макроскопические профили напряжений. [11] В общем, распределение напряжений в теле выражается как кусочно- непрерывная функция пространства и времени.
И наоборот, напряжение обычно коррелирует с различными воздействиями на материал, возможно, включая изменения физических свойств, таких как двойное лучепреломление , поляризация и проницаемость . Воздействие внешнего воздействия обычно создает некоторую деформацию (деформацию) материала, даже если она слишком мала, чтобы ее можно было обнаружить. В твердом материале такая деформация, в свою очередь, создаст внутреннее упругое напряжение, аналогичное силе реакции растянутой пружины , стремящееся вернуть материал в исходное недеформированное состояние. Жидкие материалы (жидкости, газы и плазма ) по определению могут противодействовать только деформациям, изменяющим их объем. Если деформация меняется со временем, даже в жидкостях обычно возникает некоторое вязкое напряжение, противодействующее этому изменению. Такие напряжения могут носить как сдвиговой, так и нормальный характер. Молекулярная природа сдвиговых напряжений в жидкостях рассмотрена в статье о вязкости . То же самое для нормальных вязких напряжений можно найти у Шармы (2019). [12]
Связь между напряжением, его последствиями и причинами, включая деформацию и скорость изменения деформации, может быть довольно сложной (хотя на практике может быть достаточно линейного приближения , если величины достаточно малы). Напряжение, превышающее определенные пределы прочности материала, приведет к необратимой деформации (например, пластическому течению , разрушению , кавитации ) или даже к изменению его кристаллической структуры и химического состава .
В некоторых ситуациях напряжение внутри тела можно адекватно описать одним числом или одним вектором (числом и направлением). Три таких простых стрессовых ситуации, которые часто встречаются при инженерном проектировании, — это одноосное нормальное напряжение , простое напряжение сдвига и изотропное нормальное напряжение . [13]
Обычная ситуация с простой картиной напряжений — это когда прямой стержень из однородного материала и поперечного сечения подвергается растяжению сил противоположной величины вдоль своей оси. Если система находится в равновесии и не изменяется во времени, а весом стержня можно пренебречь, то через каждое поперечное сечение стержня верхняя часть должна тянуть нижнюю часть с одинаковой силой F с непрерывностью через всю площадь поперечного сечения , А. Следовательно, напряжение σ во всем стержне, на любой горизонтальной поверхности, может быть просто выражено одним числом σ, рассчитанным просто с учетом величины этих сил F и площади поперечного сечения A.
В этом анализе предполагается, что напряжение равномерно распределено по всему поперечному сечению. На практике, в зависимости от того, как стержень крепится на концах и как он был изготовлен, это предположение может быть неверным. В этом случае значение = F / A будет только средним напряжением, называемым инженерным напряжением или номинальным напряжением . Если длина стержня L во много раз превышает его диаметр D и он не имеет грубых дефектов или внутренних напряжений, то можно предположить, что напряжение равномерно распределено по любому поперечному сечению, размер которого с обоих концов более чем в несколько раз превышает D. . (Это наблюдение известно как принцип Сен-Венана ).
Нормальное напряжение возникает во многих других ситуациях, помимо осевого растяжения и сжатия. Если упругий стержень с однородным и симметричным поперечным сечением согнуть в одной из плоскостей симметрии, результирующее напряжение изгиба все равно будет нормальным (перпендикулярным поперечному сечению), но будет меняться по поперечному сечению: внешняя часть будет находиться под растягивающим напряжением, тогда как внутренняя часть будет сжата. Другим вариантом нормального напряжения является кольцевое напряжение , возникающее на стенках цилиндрической трубы или сосуда , наполненного жидкостью под давлением.
Другой простой тип напряжения возникает, когда слой эластичного материала одинаковой толщины, такого как клей или резина, прочно прикреплен к двум жестким телам, которые тянутся в противоположных направлениях силами, параллельными слою; или часть прутка из мягкого металла, разрезаемая губками инструмента, похожего на ножницы . Пусть F — величина этих сил, а M — средняя плоскость этого слоя. Как и в случае нормального напряжения, часть слоя по одну сторону от M должна тянуть другую часть с той же силой F. Предполагая, что направление сил известно, напряжение поперек M можно выразить просто одним числом , рассчитанным просто с учетом величины этих сил F и площади поперечного сечения A.
Как и в случае с стержнем, нагруженным по оси, на практике напряжение сдвига может быть распределено по слою неравномерно; так что, как и прежде, соотношение F / A будет лишь средним («номинальным», «техническим») напряжением. Этого среднего значения часто бывает достаточно для практических целей. [14] : 292 Напряжение сдвига наблюдается также тогда, когда цилиндрический стержень, такой как вал , подвергается воздействию противоположных крутящих моментов на своих концах. В этом случае касательное напряжение в каждом поперечном сечении параллельно поперечному сечению, но ориентировано тангенциально относительно оси и увеличивается по мере удаления от оси. Значительное напряжение сдвига возникает в средней пластине («стенке») двутавровых балок при изгибающих нагрузках из-за того, что стенка ограничивает концевые пластины («полки»).
Другой простой тип напряжения возникает, когда материальное тело испытывает одинаковое сжатие или растяжение во всех направлениях. Так обстоит дело, например, с частью покоящейся жидкости или газа, заключенной ли в каком-либо контейнере или как часть большей массы жидкости; или внутри куба из эластичного материала, который сжимается или тянется на все шесть граней равными перпендикулярными силами - при условии, что в обоих случаях материал однороден, без внутренних напряжений и что влияние силы тяжести и других внешних сил можно пренебречь.
В этих ситуациях напряжение на любой воображаемой внутренней поверхности оказывается равным по величине и всегда направленным перпендикулярно поверхности, независимо от ее ориентации. Этот тип напряжения можно назвать изотропным нормальным или просто изотропным ; если оно сжимающее, то его называют гидростатическим давлением или просто давлением . Газы по определению не могут выдерживать растягивающие напряжения, но некоторые жидкости при некоторых обстоятельствах могут выдерживать очень большие изотропные растягивающие напряжения. см. Z-трубку .
Детали с вращательной симметрией , такие как колеса, оси, трубы и колонны, очень распространены в технике. Часто структуры напряжений, возникающие в таких деталях, имеют вращательную или даже цилиндрическую симметрию . При анализе таких напряжений в цилиндре можно использовать преимущество симметрии для уменьшения размерности области и/или тензора напряжений.
Часто механические тела испытывают одновременно несколько типов напряжений; это называется комбинированным стрессом . При нормальном и касательном напряжении величина напряжения максимальна для поверхностей, перпендикулярных определенному направлению , и равна нулю для любых поверхностей, параллельных . Когда напряжение сдвига равно нулю только на поверхностях, перпендикулярных одному конкретному направлению, напряжение называется двухосным и его можно рассматривать как сумму двух нормальных или касательных напряжений. В самом общем случае, называемом трехосным напряжением , напряжение не равно нулю на каждом элементе поверхности.
Комбинированные напряжения не могут быть описаны одним вектором. Даже если материал испытывает одинаковое напряжение по всему объему тела, напряжение на любой воображаемой поверхности будет нетривиальным образом зависеть от ориентации этой поверхности.
Коши заметил, что вектор напряжения на поверхности всегда будет линейной функцией вектора нормали к поверхности , вектора единичной длины, перпендикулярного ему. То есть , где функция удовлетворяет
Как и любая линейная карта между векторами, тензор напряжений может быть представлен в любой выбранной декартовой системе координат матрицей действительных чисел 3×3. В зависимости от того, пронумерованы или названы координаты , матрица может быть записана как
Линейная связь между и вытекает из фундаментальных законов сохранения поступательного движения и статического равновесия сил и, следовательно, математически точна для любого материала и любой напряженной ситуации. Компоненты тензора напряжений Коши в каждой точке материала удовлетворяют уравнениям равновесия ( уравнениям движения Коши при нулевом ускорении). Кроме того, из принципа сохранения углового момента следует, что тензор напряжений симметричен , то есть , , и . Поэтому напряженное состояние среды в любой точке и моменте времени можно задать только шестью независимыми параметрами, а не девятью. Они могут быть написаны
Тензор напряжений Коши подчиняется закону преобразования тензора при изменении системы координат. Графическим представлением этого закона трансформации является круг распределения напряжений Мора .
Как симметричная действительная матрица 3×3, тензор напряжений имеет три взаимно ортогональных собственных вектора единичной длины и три вещественных собственных значения , такие что . Следовательно, в системе координат с осями тензор напряжений представляет собой диагональную матрицу и имеет только три нормальные компоненты . лямбда _{3}} главные напряжения . Если три собственных значения равны, напряжение представляет собой изотропное сжатие или растяжение, всегда перпендикулярное любой поверхности, напряжение сдвига отсутствует, а тензор представляет собой диагональную матрицу в любой системе координат.
В общем, напряжение неравномерно распределяется по материальному телу и может меняться со временем. Следовательно, тензор напряжений должен быть определен для каждой точки и каждого момента, рассматривая бесконечно малую частицу среды, окружающей эту точку, и принимая средние напряжения в этой частице как напряжения в этой точке.
Объекты, созданные человеком, часто изготавливаются из заготовок из различных материалов с помощью операций, не меняющих их по существу двумерного характера, таких как резка, сверление, плавный изгиб и сварка по краям. Описание напряжения в таких телах можно упростить, моделируя эти части как двумерные поверхности, а не как трехмерные тела.
С этой точки зрения «частицу» переопределяют как бесконечно малый участок поверхности пластины, так что граница между соседними частицами становится бесконечно малым линейным элементом; оба неявно расширены в третьем измерении, перпендикулярно (прямо) пластине. Затем «напряжение» переопределяется как мера внутренних сил между двумя соседними «частицами» поперек их общего линейного элемента, деленная на длину этой линии. Некоторые компоненты тензора напряжений можно игнорировать, но поскольку частицы не являются бесконечно малыми в третьем измерении, больше нельзя игнорировать крутящий момент, который частица прикладывает к своим соседям. Этот крутящий момент моделируется как изгибающее напряжение , которое имеет тенденцию изменять кривизну пластины. Эти упрощения могут не соблюдаться при сварных швах, при резких изгибах и складках (где радиус кривизны сравним с толщиной пластины).
Значительно упростить анализ напряжений можно и для тонких стержней, балок или проволоки однородного (или плавно меняющегося) состава и сечения, подвергающихся умеренному изгибу и скручиванию. Для этих тел можно рассматривать только сечения, перпендикулярные оси стержня, и переопределить «частицу» как кусок проволоки с бесконечно малой длиной между двумя такими сечениями. Обычное напряжение затем сводится к скалярному (растяжение или сжатие стержня), но необходимо учитывать также напряжение изгиба (которое пытается изменить кривизну стержня в некотором направлении, перпендикулярном оси) и напряжение кручения ( который пытается повернуть или развернуть его вокруг своей оси).
Анализ напряжений — это раздел прикладной физики , который занимается определением внутреннего распределения внутренних сил в твердых объектах. Это важный инструмент в инженерии для исследования и проектирования таких конструкций, как туннели, плотины, механические детали и каркасы конструкций, подвергающихся предписанным или ожидаемым нагрузкам. Это также важно во многих других дисциплинах; например, в геологии — для изучения таких явлений, как тектоника плит , вулканизм и лавины ; и в биологии, чтобы понять анатомию живых существ.
Анализ напряжений обычно касается объектов и конструкций, которые, как можно предположить, находятся в макроскопическом статическом равновесии . По законам движения Ньютона любые внешние силы, приложенные к такой системе, должны быть уравновешены внутренними силами реакции [15] :97 , которые почти всегда представляют собой силы поверхностного контакта между соседними частицами, то есть напряжения. [9] Поскольку каждая частица должна находиться в равновесии, это реакционное напряжение обычно распространяется от частицы к частице, создавая распределение напряжения по всему телу. Типичная проблема анализа напряжений заключается в определении этих внутренних напряжений с учетом внешних сил, действующих на систему. Последние могут представлять собой объемные силы (например, гравитацию или магнитное притяжение), действующие во всем объеме материала; [16] : 42–81 или сосредоточенные нагрузки (например, трение между осью и подшипником или вес колеса поезда на рельсе), которые, как предполагается, действуют на двумерную область или вдоль линии, или в одной точке.
При анализе напряжений обычно игнорируют физические причины возникновения сил или точную природу материалов. Вместо этого предполагается, что напряжения связаны с деформацией (а в нестатических задачах - со скоростью деформации) материала известными определяющими уравнениями . [17]
Анализ напряжений можно проводить экспериментально, применяя нагрузки к реальному артефакту или масштабной модели и измеряя возникающие напряжения любым из нескольких доступных методов. Этот подход часто используется для сертификации и мониторинга безопасности. Большая часть стресса анализируется математическими методами, особенно во время проектирования. Основная проблема анализа напряжений может быть сформулирована с помощью уравнений движения Эйлера для сплошных тел (которые являются следствием законов Ньютона о сохранении линейного момента и углового момента ) и принципа напряжения Эйлера-Коши вместе с соответствующими определяющими уравнениями. Таким образом, получается система уравнений в частных производных , включающая поле тензора напряжений и поле тензора деформаций в качестве неизвестных функций, подлежащих определению. Внешние объемные силы появляются как независимый («правая часть») член в дифференциальных уравнениях, а сосредоточенные силы появляются как граничные условия. Таким образом, основная задача анализа напряжений является краевой задачей .
Анализ напряжений упругих конструкций основан на теории упругости и теории бесконечно малых деформаций . Когда приложенные нагрузки вызывают остаточную деформацию, необходимо использовать более сложные материальные уравнения, которые могут учитывать задействованные физические процессы ( пластическое течение , разрушение , фазовый переход и т. д.). Инженерные конструкции обычно проектируются таким образом, чтобы максимальные ожидаемые напряжения находились в пределах диапазона линейной упругости (обобщение закона Гука для сплошных сред); т. е. деформации, вызванные внутренними напряжениями, связаны с ними линейно. В этом случае дифференциальные уравнения, определяющие тензор напряжений, являются линейными, и задача становится значительно проще. Во-первых, напряжение в любой точке также будет линейной функцией нагрузок. При достаточно малых напряжениях даже нелинейные системы обычно можно считать линейными.
Анализ напряжений упрощается, когда физические размеры и распределение нагрузок позволяют рассматривать конструкцию как одно- или двухмерную. Например, при анализе ферм поле напряжений можно считать однородным и одноосным по каждому элементу. Тогда дифференциальные уравнения сводятся к конечному набору уравнений (обычно линейных) с конечным числом неизвестных. В других контекстах можно свести трехмерную задачу к двумерной и/или заменить общие тензоры напряжений и деформаций более простыми моделями, такими как одноосное растяжение/сжатие, простой сдвиг и т. д.
Тем не менее, для двух- или трехмерных случаев необходимо решить задачу уравнения в частных производных. Аналитические решения дифференциальных уравнений или решения в замкнутой форме могут быть получены, если геометрия, определяющие соотношения и граничные условия достаточно просты. В противном случае обычно приходится прибегать к численным приближениям, таким как метод конечных элементов , метод конечных разностей и метод граничных элементов .
Другие полезные меры напряжения включают первый и второй тензоры напряжений Пиолы-Кирхгофа , тензор напряжений Био и тензор напряжений Кирхгофа .
