Флюксия

Флюксия — это мгновенная скорость изменения , или градиент , флюента ( изменяющейся во времени величины или функции ) в заданной точке. ^[1]Флюксии были введены Исааком Ньютоном для описания его формы производной по времени ( производной по времени). Ньютон ввел эту концепцию в 1665 году и подробно изложил ее в своем математическом трактате «Метод флюксий» . ^{[2] Флюксии и флюенты составили раннее}исчисление Ньютона . ^[3]

История

Флюксии были центральными в споре Лейбница-Ньютона по исчислению , когда Ньютон отправил письмо Готфриду Вильгельму Лейбницу, объясняя их, но скрывая свои слова в коде из-за своих подозрений. Он написал: ^[4]

Я не могу сейчас приступить к объяснению флюксий, я предпочел скрыть это так: 6accdæ13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12vx.

Строка тарабарщины на самом деле была хэш-кодом (обозначающим частоту каждой буквы) латинской фразы Data æqvatione qvotcvnqve flventes qvantitates engagementnte, flvxiones invenire: et vice versa , что означает: «Для данного уравнения, состоящего из любого числа текущих величин, найти флюксии: и наоборот». ^[5]

Пример

Если флюэнт ⁠ ⁠ $y$ определяется как (где ⁠ ⁠ — время), то флюксия (производная) при равна: $y=t^{2}$ $t$ $t=2$

{\dot {y}}={\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {(2+o)^{2}-2^{2}}{(2+o)-2}}={\frac {4+4o+o^{2}-4}{2+o-2}}={\frac {4o+o^{2}}{o}}

Здесь ⁠ ⁠ $o$ — бесконечно малое количество времени. ^[6] Итак, член ⁠ ⁠ $o^{2}$ является бесконечно малым членом второго порядка и, согласно Ньютону, мы теперь можем игнорировать ⁠ ⁠ $o^{2}$ из-за его бесконечной малости второго порядка по сравнению с бесконечной малостью первого порядка ⁠ ⁠ $o$ . ^[7] Итак, окончательное уравнение приобретает вид:

{\dot {y}}={\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {4o}{o}}=4

Он обосновал использование ⁠ ⁠ $o$ как ненулевой величины, заявив, что флюксии являются следствием движения объекта.

Критика

Епископ Джордж Беркли , выдающийся философ того времени, осудил флюксии Ньютона в своем эссе «Аналитик» , опубликованном в 1734 году. ^[8] Беркли отказывался верить в их точность из-за использования бесконечно малых величин ⁠ ⁠ $o$ . Он не верил, что их можно игнорировать, и указывал, что если бы они были равны нулю, то следствием было бы деление на ноль . Беркли называл их «призраками ушедших величин», утверждение, которое нервировало математиков того времени и привело к окончательному отказу от использования бесконечно малых величин в исчислении.

К концу своей жизни Ньютон пересмотрел свою интерпретацию ⁠ ⁠ $o$ как бесконечно малого , предпочитая определять его как приближающееся к нулю , используя определение, похожее на концепцию предела . ^[9] Он считал, что это вернуло флюксии на безопасную почву. К этому времени производная Лейбница (и его обозначения) в значительной степени заменила флюксии и флюэнты Ньютона и остается в употреблении и по сей день.

Смотрите также

История исчисления
Обозначения Ньютона
Гипердействительное число : современная формализация действительных чисел, включающая бесконечность и бесконечно малые числа.
Нестандартный анализ

Ссылки

↑ Ньютон, сэр Исаак (1736). Метод флюксий и бесконечных рядов: с его применением к геометрии кривых линий. Генри Вудфолл; и продан Джоном Норсом . Получено 6 марта 2017 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Fluxion». MathWorld .
^ Fluxion в Британской энциклопедии
^ Тернбулл, Исаак Ньютон. Ред. HW (2008). Переписка Исаака Ньютона (цифровая печатная версия, переиздание pbk. ред.). Кембридж [ua]: Univ. Press. ISBN 9780521737821.
^ Клегг, Брайан (2003). Краткая история бесконечности: поиски немыслимого . Лондон: Констебль. ISBN 9781841196503.
^ Бакмайр, Рон. "История математики" (PDF) . Получено 28 января 2017 г.
^ "Исаак Ньютон (1642-1727)". www.mhhe.com . Получено 6 марта 2017 г. .
^ Беркли, Джордж (1734). Аналитик: рассуждение, адресованное неверующему математику . Лондон. стр. 25 – через Викиресурс .
^ Китчер, Филип (март 1973 г.). «Флюксии, пределы и бесконечная малость. Исследование ньютоновского представления исчисления». Isis . 64 (1): 33–49. doi :10.1086/351042. S2CID 121774892.