Неголономная система

Тип задачи оптимизации

Неголономная система в физике и математике — это физическая система , состояние которой зависит от пути, выбранного для его достижения. Такая система описывается набором параметров, подчиненных дифференциальным ограничениям и нелинейным ограничениям, таким образом, что когда система эволюционирует по пути в своем пространстве параметров (параметры непрерывно изменяются по значениям), но в конечном итоге возвращается к исходному набору значений параметров в начале пути, сама система может не вернуться в свое исходное состояние. Неголономная механика является автономным разделом ньютоновской механики . ^[1]

Подробности

Точнее, неголономная система, также называемая анголономной системой, — это система, в которой существует непрерывная замкнутая цепь управляющих параметров, с помощью которой система может быть преобразована из любого заданного состояния в любое другое состояние. ^[2] Поскольку конечное состояние системы зависит от промежуточных значений ее траектории через пространство параметров, система не может быть представлена ​​консервативной потенциальной функцией , как, например, закон обратных квадратов силы тяготения. Последний является примером голономной системы: интегралы по траектории в системе зависят только от начального и конечного состояний системы (положений в потенциале), полностью независимы от траектории перехода между этими состояниями. Поэтому говорят, что система интегрируема , в то время как неголономная система называется неинтегрируемой . Когда интеграл по траектории вычисляется в неголономной системе, значение представляет собой отклонение в некотором диапазоне допустимых значений, и это отклонение называется анголономией , произведенной конкретным рассматриваемым путем. Этот термин был введен Генрихом Герцем в 1894 году. ^[3]

Общий характер неголономных систем — это неявно зависимые параметры. Если неявную зависимость можно устранить, например, повысив размерность пространства, тем самым добавив по крайней мере один дополнительный параметр, система не является истинно неголономной, а просто не полностью моделируется пространством с меньшей размерностью. Напротив, если система по своей сути не может быть представлена ​​независимыми координатами (параметрами), то она действительно неголономная. Некоторые авторы ^{[ требуется ссылка ]} делают из этого много, создавая различие между так называемыми внутренними и внешними состояниями системы, но на самом деле все параметры необходимы для характеристики системы, независимо от того, представляют ли они «внутренние» или «внешние» процессы, поэтому это различие фактически искусственно. Однако существует вполне реальное и непримиримое различие между физическими системами, которые подчиняются принципам сохранения, и теми, которые им не подчиняются. В случае параллельного переноса на сфере различие очевидно: риманово многообразие имеет метрику, принципиально отличную от метрики евклидова пространства . Для параллельного переноса на сфере неявная зависимость является неотъемлемой частью неевклидовой метрики. Поверхность сферы представляет собой двумерное пространство. Повышая размерность, мы можем более ясно увидеть ^{[ необходимо разъяснение ]} природу метрики, но по сути это все еще двумерное пространство с параметрами, необратимо переплетенными в зависимости римановой метрикой .

Напротив, можно рассмотреть XY- плоттер как пример голономной системы, где состояние механических компонентов системы будет иметь единую фиксированную конфигурацию для любого заданного положения пера плоттера. Если перо перемещается между положениями 0,0 и 3,3, шестерни механизма будут иметь те же конечные положения независимо от того, происходит ли перемещение путем того, что механизм сначала увеличивает 3 единицы по оси x, а затем 3 единицы по оси y, сначала увеличивает положение оси Y или выполняет любую другую последовательность изменений положения, которая приводит к конечному положению 3,3. Поскольку конечное состояние машины одинаково независимо от пути, пройденного пером плоттера, чтобы достичь своего нового положения, можно сказать, что конечный результат не зависит от пути . Если мы заменим плоттер- черепаху , процесс перемещения пера из 0,0 в 3,3 может привести к тому, что шестерни механизма робота окажутся в разных положениях в зависимости от пути, пройденного для перемещения между двумя положениями. Посмотрите на этот очень похожий пример портального крана для математического объяснения того, почему такая система является голономной.

История

Н. М. Феррерс впервые предложил расширить уравнения движения с неголономными связями в 1871 году. ^[4] Он ввел выражения для декартовых скоростей через обобщенные скорости. В 1877 году Э. Раус написал уравнения с множителями Лагранжа. В третьем издании своей книги ^[5] для линейных неголономных связей твердых тел он ввел форму с множителями, которая сейчас называется уравнениями Лагранжа второго рода с множителями. Термины голономная и неголономная системы были введены Генрихом Герцем в 1894 году. ^[6] В 1897 году С. А. Чаплыгин впервые предложил составить уравнения движения без множителей Лагранжа. ^[7] При некоторых линейных связях он ввел в левую часть уравнений движения группу дополнительных членов типа оператора Лагранжа. Оставшиеся дополнительные члены характеризуют неголономность системы и обращаются в нуль, когда заданные связи интегрируемы. В 1901 году П.В.Воронец обобщил работу Чаплыгина на случаи нециклических голономных координат и нестационарных связей. ^[8]

Ограничения

Рассмотрим систему частиц с положениями для относительно заданной системы отсчета. В классической механике любое ограничение, которое не выражается как ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,N\}}$ $${\displaystyle f(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3},\ldots ,t)=0,}$$

является неголономной связью . Другими словами, неголономная связь неинтегрируема ^{[9] : 261} и в пфаффовой форме : $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{s,i}\,dq_{i}+a_{s,t}\,dt=0~~~~(s=1,2,\ldots ,k)}$$

• ${\displaystyle n}$— это количество координат.
• ${\displaystyle k}$— число уравнений ограничений.
• ${\displaystyle q_{i}}$это координаты.
• ${\displaystyle a_{s,i}}$являются коэффициентами.

Для того чтобы приведенная выше форма была неголономной, также требуется, чтобы левая часть не была полным дифференциалом и не могла быть преобразована в него, возможно, с помощью интегрирующего множителя . ^{[10] : 2–3}

Только для виртуальных перемещений дифференциальная форма ограничения имеет вид ^{[9] : 282} $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{s,i}\delta q_{i}=0~~~~(s=1,2,\ldots ,k).}$$

Не обязательно, чтобы все неголономные ограничения принимали эту форму, на самом деле, она может включать в себя высшие производные или неравенства. ^[11] Классическим примером ограничения неравенства является частица, помещенная на поверхность сферы, но которой разрешено падать с нее: $${\displaystyle r^{2}-a^{2}\geq 0.}$$

• ${\displaystyle r}$— расстояние частицы от центра сферы.
• ${\displaystyle a}$радиус сферы.

Примеры

Вращающееся колесо

Колесо (иногда изображаемое как одноколесный велосипед или катящаяся монета) является неголономной системой.

Объяснение неспециалиста

Рассмотрим колесо велосипеда, припаркованного в определенном месте (на земле). Изначально клапан накачки находится в определенном положении на колесе. Если велосипед объехать, а затем припарковать в том же самом месте, клапан почти наверняка не будет в том же положении, что и раньше. Его новое положение зависит от пройденного пути. Если бы колесо было голономным, то шток клапана всегда оказывался бы в том же положении, пока колесо всегда откатывалось бы в то же самое место на Земле. Однако очевидно, что это не так, поэтому система является неголономной.

Математическое объяснение

Человек, едущий на моторизованном моноцикле. Конфигурация моноцикла и радиус колеса обозначены. Красные и синие линии лежат на земле. ${\displaystyle r}$

Можно математически смоделировать колесо с помощью системы уравнений связей, а затем доказать, что эта система является неголономной.

Сначала мы определяем конфигурационное пространство. Колесо может менять свое состояние тремя способами: иметь разное вращение вокруг своей оси, иметь разный угол поворота и находиться в разном месте. Мы можем сказать, что - это вращение вокруг оси, - это угол поворота относительно оси, и - это определение пространственного положения. Таким образом, конфигурационное пространство - это: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x&y&\theta &\phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

Теперь мы должны связать эти переменные друг с другом. Мы замечаем, что когда колесо меняет свое вращение, оно меняет свое положение. Изменение вращения и положения, подразумевающее скорости, должно присутствовать, мы пытаемся связать угловую скорость и угол поворота с линейными скоростями, взяв простые производные по времени от соответствующих членов: Скорость в направлении равна угловой скорости, умноженной на радиус, умноженный на косинус угла поворота, и скорость подобна. Теперь мы выполняем некоторые алгебраические манипуляции, чтобы преобразовать уравнение в форму Пфаффа , чтобы можно было проверить, является ли оно голономным, начиная с: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r{\dot {\phi }}\cos \theta \\r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\dot {x}}-r{\dot {\phi }}\cos \theta \\{\dot {y}}-r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{pmatrix}}=\mathbf {0} }$$

Затем давайте отделим переменные от их коэффициентов (левая часть уравнения, полученная выше). Мы также понимаем, что можем умножить все члены на , так что в итоге получим только дифференциалы (правая часть уравнения): Правая часть уравнения теперь находится в форме Пфаффа : ${\displaystyle {\text{d}}t}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&-r\cos \theta \\0&1&0&-r\sin \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\\{\dot {\theta }}\\{\dot {\phi }}\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ={\begin{pmatrix}1&0&0&-r\cos \theta \\0&1&0&-r\sin \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\text{d}}x\\{\text{d}}y\\{\text{d}}\theta \\{\text{d}}\phi \end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle \sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}=0;\;r=1,2}$$

Теперь мы используем универсальный тест на голономные ограничения . Если бы эта система была голономной, нам, возможно, пришлось бы провести до восьми тестов. Однако мы можем использовать математическую интуицию, чтобы попытаться доказать, что система является неголономной при первом тесте. Учитывая, что тестовое уравнение имеет вид: $${\displaystyle A_{\gamma }\left({\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\beta }}}\right)+A_{\beta }\left({\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}\right)+A_{\alpha }\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}}-{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\gamma }}}\right)=0}$$

мы можем видеть, что если бы любой из членов , , или был равен нулю, то эта часть тестового уравнения была бы тривиальной для решения и была бы равна нулю. Поэтому часто лучшей практикой является то, чтобы первое тестовое уравнение имело как можно больше ненулевых членов, чтобы максимизировать вероятность того, что их сумма не будет равна нулю. Поэтому мы выбираем: ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle A_{\beta }}$ ${\displaystyle A_{\gamma }}$

${\displaystyle A_{\alpha }=1}$

${\displaystyle A_{\beta }=0}$

${\displaystyle A_{\gamma }=-r\cos \theta }$

${\displaystyle u_{\alpha }=dx}$

${\displaystyle u_{\beta }=d\theta }$

${\displaystyle u_{\gamma }=d\phi }$

Подставим в наше тестовое уравнение: $${\displaystyle -r\cos \theta \left({\frac {\partial }{\partial x}}(0)-{\frac {\partial }{\partial \theta }}(1)\right)+0\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}(1)-{\frac {\partial }{\partial x}}(-r\cos \theta )\right)+1\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}(-r\cos \theta )-{\frac {\partial }{\partial \phi }}(0)\right)=0}$$

и упростим: $${\displaystyle r\sin \theta =0}$$

Легко видеть, что эта система, как она описана, является неголономной, поскольку не всегда равна нулю. ${\displaystyle \sin \theta }$

Дополнительные выводы

Мы завершили наше доказательство того, что система неголономна, но наше тестовое уравнение дало нам некоторое представление о том, может ли система, если ее дополнительно ограничить, быть голономной. Много раз тестовые уравнения будут возвращать результат, подразумевающий, что система никогда не может быть ограничена, чтобы быть голономной, без радикального изменения системы, но в нашем результате мы можем видеть, что может быть равно нулю двумя разными способами: ${\displaystyle -1=0}$ ${\displaystyle r\sin \theta }$

• ${\displaystyle r}$, радиус колеса, может быть равен нулю. Это бесполезно, так как система на практике потеряет все свои степени свободы.
• ${\displaystyle \sin \theta }$может быть равен нулю, если приравнять его к нулю. Это означает, что если бы колесо не могло вращаться и должно было бы все время двигаться только по прямой, оно было бы голономной системой. ${\displaystyle \theta }$

Однако есть одна вещь, которую мы еще не рассмотрели, а именно, чтобы найти все такие модификации для системы, нужно выполнить все восемь тестовых уравнений (четыре из каждого уравнения ограничений) и собрать все неудачи, чтобы собрать все требования, чтобы сделать систему голономной, если это возможно. В этой системе из семи дополнительных тестовых уравнений появляется дополнительный случай: Однако это не представляет большой трудности, поскольку сложение уравнений и деление на приводит к: что с помощью некоторых простых алгебраических манипуляций становится: $${\displaystyle -r\cos \theta =0}$$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle \sin \theta -\cos \theta =0}$$ $${\displaystyle \tan \theta =1}$$

которое имеет решение (из ). ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+n\pi ;\;n\in \mathbb {Z} \;}$ ${\displaystyle \theta =\arctan(1)}$

Вернитесь к объяснению неспециалиста выше, где говорится: «Новое положение [штока клапана] зависит от выбранного пути. Если бы колесо было голономным, то шток клапана всегда оказывался бы в одном и том же положении, пока колесо всегда откатывалось бы в одно и то же место на Земле. Однако очевидно, что это не так, поэтому система является неголономной». Однако легко представить, что если бы колесу было позволено катиться только по идеально прямой линии и обратно, шток клапана оказался бы в том же положении! На самом деле, движение параллельно заданному углу на самом деле не является необходимым в реальном мире, поскольку ориентация самой системы координат произвольна. Система может стать голономной, если колесо движется только по прямой линии под любым фиксированным углом относительно заданной точки отсчета. Таким образом, мы не только доказали, что исходная система является неголономной, но и смогли найти ограничение, которое можно добавить к системе, чтобы сделать ее голономной. ${\displaystyle \pi /4}$

Однако есть нечто математически особенное в ограничении для системы, чтобы сделать ее голономной, как в декартовой сетке. Объединяя два уравнения и исключая , мы действительно видим, что и, следовательно, одна из этих двух координат полностью избыточна. Мы уже знаем, что угол поворота является константой, так что это означает, что голономная система здесь должна иметь только конфигурационное пространство . Как обсуждалось здесь , система, которая моделируется пфаффовым ограничением, должна быть голономной, если конфигурационное пространство состоит из двух или менее переменных. Модифицируя нашу исходную систему, чтобы ограничить ее только двумя степенями свободы и, таким образом, требуя описания только двух переменных, и предполагая, что ее можно описать в пфаффовой форме (что в этом примере, как мы уже знаем, верно), мы уверены, что она голономная. ${\displaystyle \theta =\arctan(1)}$ ${\displaystyle \theta =\arctan(y/x)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x&\phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$

Катящаяся сфера

Этот пример является расширением рассмотренной выше задачи «качающегося колеса».

Рассмотрим трехмерную ортогональную декартову систему координат, например, ровную столешницу с отмеченной на ней точкой начала координат, и осями x и y, нанесенными карандашными линиями. Возьмите сферу единичного радиуса, например, шарик для пинг-понга, и отметьте одну точку B синим цветом. Этой точке соответствует диаметр сферы, а плоскость, ортогональная этому диаметру, расположенная в центре C сферы, определяет большую окружность, называемую экватором, связанную с точкой B. На этом экваторе выберите другую точку R и отметьте ее красным цветом. Расположите сферу на плоскости z  = 0 так, чтобы точка B совпадала с началом координат, C находилась в точке x  = 0, y  = 0, z  = 1, а R находилась в точке x  = 1, y  = 0 и z  = 1, т. е. R простирается в направлении положительной оси x . Это начальная или опорная ориентация сферы.

Сферу теперь можно катить по любому непрерывному замкнутому пути в плоскости z  = 0, не обязательно односвязному пути, таким образом, что она не скользит и не скручивается, так что C возвращается к x  = 0, y  = 0, z  = 1. В общем случае точка B больше не совпадает с началом координат, а точка R больше не простирается вдоль положительной оси x . Фактически, путем выбора подходящего пути сферу можно переориентировать из начальной ориентации в любую возможную ориентацию сферы с C, расположенной в x  = 0, y  = 0, z  = 1. ^[12] Таким образом, система является неголономной. Анголономия может быть представлена ​​дважды уникальным кватернионом ( q и − q ), который при применении к точкам, представляющим сферу, переносит точки B и R в их новые положения.

маятник Фуко

Дополнительным примером неголономной системы является маятник Фуко . В локальной системе координат маятник качается в вертикальной плоскости с определенной ориентацией относительно географического севера в начале пути. Неявная траектория системы — это линия широты на Земле, где расположен маятник. Несмотря на то, что маятник неподвижен в системе отсчета Земли, он движется в системе отсчета, связанной с Солнцем, и вращается синхронно со скоростью вращения Земли, так что единственным видимым движением плоскости маятника является движение, вызванное вращением Земли. Эта последняя система считается инерциальной системой отсчета, хотя она также неинерциальна в более тонких отношениях. Хорошо известно, что система отсчета Земли неинерциальна, что становится заметным благодаря кажущемуся присутствию центробежных сил и сил Кориолиса .

Движение вдоль линии широты параметризуется течением времени, и плоскость колебания маятника Фуко, по-видимому, вращается вокруг локальной вертикальной оси с течением времени. Угол поворота этой плоскости в момент времени t относительно начальной ориентации является неголономией системы. Анголономия, вызванная полным кругом широты, пропорциональна телесному углу, образуемому этим кругом широты. Путь не обязательно должен быть ограничен кругами широты. Например, маятник может быть установлен в самолете. Анголономия по-прежнему пропорциональна телесному углу, образуемому путем, который теперь может быть совершенно нерегулярным. Маятник Фуко является физическим примером параллельного переноса .

Линейно поляризованный свет в оптоволокне

Возьмите отрезок оптического волокна, скажем, три метра, и разложите его в абсолютно прямую линию. Когда вертикально поляризованный луч вводится с одного конца, он выходит с другого конца, все еще поляризованный в вертикальном направлении. Пометьте верхнюю часть волокна полосой, соответствующей ориентации вертикальной поляризации.

Теперь плотно намотайте волокно на цилиндр диаметром десять сантиметров. Теперь путь волокна описывает спираль , которая, как и окружность, имеет постоянную кривизну . Спираль также обладает интересным свойством иметь постоянное кручение . Таким образом, результатом является постепенное вращение волокна вокруг оси волокна по мере того, как центральная линия волокна продвигается вдоль спирали. Соответственно, полоска также закручивается вокруг оси спирали.

Когда линейно поляризованный свет снова вводится с одного конца, с ориентацией поляризации, выровненной с полосой, он, в общем, появится как линейно поляризованный свет, выровненный не с полосой, а под некоторым фиксированным углом к ​​полосе, зависящим от длины волокна, шага и радиуса спирали. Эта система также неголономна, поскольку мы можем легко свернуть волокно во вторую спираль и выровнять концы, вернув свет в точку его происхождения. Таким образом, неголономность представлена ​​отклонением угла поляризации с каждым контуром волокна. При соответствующей настройке параметров становится ясно, что может быть создано любое возможное угловое состояние.

Робототехника

В робототехнике неголономность изучалась в частности в области планирования движения и линеаризации обратной связи для мобильных роботов . ^[13]

Смотрите также

• Голономное ограничение
• Динамика велосипеда и мотоцикла
• Проблема падающего кота
• Горячев–Чаплыгин топ
• Проблема параллельной парковки
• Ограничение Пфаффа
• Уравнение Удвадиа–Калабы
• Интегратор группы Ли

Ссылки

1. Солтаханов Юшков Зегжда, Ш.Х. Михаил С. (Май 2009). Механика неголономных систем: новый класс систем управления. Т. 43. Springer Berlin Heidelberg. С. XXIII. ISBN 9783540858478.
2. Брайант, Роберт Л. (2006). «Геометрия многообразий со специальной голономией: «100 лет голономии»". 150 лет математики в Университете Вашингтона в Сент-Луисе . Contemporary Mathematics. Vol. 395. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 29–38. doi : 10.1090/conm/395/07414 . MR  2206889.
3. Берри, Майкл (декабрь 1990 г.). «Предвосхищения геометрической фазы». Physics Today . 43 (12): 34–40. Bibcode : 1990PhT....43l..34B. doi : 10.1063/1.881219.
4. Феррерс, Н. М. (1872). «Обобщение уравнений Лагранжа». QJ Pure Appl. Math . XII : 1–5.
5. Раут, Э. (1884). Расширенная часть трактата о динамике системы твердых тел. Лондон.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
6. Герц, Х. (1894). т.е. Prinzipien derMechanik in neuem Zusammenhange dargestellt .
7. Чаплыгин, С.А. (1897). «О движении тяжелого тела вращения по горизонтальной плоскости». антпопологии и этногпафии . 1 (IX). отделение физических наук Общества любителей естествознания: 10–16.
8. Воронец, П. (1901). «Об уравнениях движения неголономных систем». Матем. Сб. (на русском языке). 4 (22): 659–686.
9. Torby, Bruce (1984). "Энергетические методы". Advanced Dynamics for Engineers . Серия HRW по машиностроению. Соединенные Штаты Америки: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.
10. Джек Сарфатти (2000-03-26). "Неголономные связи в ньютоновской механике" (PDF) . Педагогический обзор из классики физики . stardrive.org. Архивировано из оригинала (PDF) 20-10-2007 . Получено 22-09-2007 .
11. Голдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (3-е изд.). Соединенные Штаты Америки: Addison Wesley. стр. 16. ISBN 0-201-65702-3.
12. Неголономность катящейся сферы, Броди Дилан Джонсон, The American Mathematical Monthly, июнь–июль 2007 г., т. 114, стр. 500–508.
13. Планирование и управление движением робота , Жан-Поль Ломон (ред.), 1998, Конспект лекций по управлению и информационным наукам, том 229, Springer, doi :10.1007/BFb0036069.