Квантовая неопределенность

Очевидное отсутствие определенного состояния перед измерением квантовых систем

Квантовая неопределенность — это кажущаяся необходимая неполнота в описании физической системы , которая стала одной из характеристик стандартного описания квантовой физики . До квантовой физики считалось, что

1. физическая система имела определенное состояние , которое однозначно определяло все значения ее измеримых свойств, и
2. Наоборот , значения его измеримых свойств однозначно определяют состояние.

Квантовая неопределенность может быть количественно охарактеризована распределением вероятностей на множестве результатов измерений наблюдаемой . Распределение однозначно определяется состоянием системы, и, более того, квантовая механика дает рецепт для расчета этого распределения вероятностей .

Неопределенность в измерении не была нововведением квантовой механики, поскольку экспериментаторы давно установили, что ошибки в измерении могут приводить к неопределенным результатам. Ко второй половине XVIII века ошибки измерения были хорошо изучены, и было известно, что их можно либо уменьшить с помощью лучшего оборудования, либо учесть с помощью статистических моделей ошибок. Однако в квантовой механике неопределенность имеет гораздо более фундаментальную природу, не имея ничего общего с ошибками или помехами.

Измерение

Адекватное описание квантовой неопределенности требует теории измерения. С момента возникновения квантовой механики было предложено множество теорий , и квантовое измерение продолжает оставаться активной областью исследований как в теоретической, так и в экспериментальной физике. ^[1] Возможно, первая систематическая попытка создания математической теории была разработана Джоном фон Нейманом . Виды измерений, которые он исследовал, теперь называются проективными измерениями. Эта теория, в свою очередь, основывалась на теории проекционно-значных мер для самосопряженных операторов , которые были недавно разработаны (фон Нейманом и независимо Маршаллом Стоуном ) и формулировке квантовой механики в гильбертовом пространстве (приписываемой фон Нейманом Полю Дираку ).

В этой формулировке состояние физической системы соответствует вектору длины 1 в гильбертовом пространстве H над комплексными числами . Наблюдаемая представлена ​​самосопряженным (т. е. эрмитовым ) оператором A на H. Если H конечномерен , по спектральной теореме A имеет ортонормированный базис собственных векторов . Если система находится в состоянии ψ , то сразу после измерения система займет состояние, которое является собственным вектором e для A , а наблюдаемое значение λ будет соответствующим собственным значением уравнения Ae = λe . Из этого сразу следует, что измерение в общем случае будет недетерминированным. Более того, квантовая механика дает рецепт вычисления распределения вероятностей Pr для возможных результатов, если начальное состояние системы равно ψ . Вероятность равна где E ( λ ) — проекция на пространство собственных векторов A с собственным значением λ . $${\displaystyle \operatorname {Pr} (\lambda )=\langle \operatorname {E} (\lambda )\psi \mid \psi \rangle }$$

Пример

Сфера Блоха, показывающая собственные векторы для матриц Паули-Спина. Сфера Блоха — это двумерная поверхность, точки которой соответствуют пространству состояний частицы со спином 1/2. В состоянии ψ значения σ ₁ равны +1, тогда как значения σ ₂ и σ ₃ принимают значения +1, −1 с вероятностью 1/2.

В этом примере мы рассматриваем одну частицу со спином 1/2 (например, электрон), в которой мы рассматриваем только спиновую степень свободы. Соответствующее гильбертово пространство — это двумерное комплексное гильбертово пространство C ² , в котором каждое квантовое состояние соответствует единичному вектору в C ² (уникальному с точностью до фазы). В этом случае пространство состояний можно геометрически представить как поверхность сферы, как показано на рисунке справа.

Матрицы спина Паули являются самосопряженными и соответствуют измерениям спина вдоль трех координатных осей. $${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$$

Все матрицы Паули имеют собственные значения +1, −1.

• Для σ ₁ эти собственные значения соответствуют собственным векторам $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,1),{\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,-1)}$$
• Для σ ₃ они соответствуют собственным векторам $${\displaystyle (1,0),(0,1)}$$

Таким образом, в состоянии σ ₁ имеет определенное значение +1, в то время как измерение σ ₃ может дать либо +1, либо −1 с вероятностью 1/2. Фактически, не существует состояния, в котором измерение как σ ₁ , так и σ ₃ имеет определенные значения. $${\displaystyle \psi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,1),}$$

По поводу приведенного выше утверждения о неопределенности можно задать различные вопросы.

1. Можно ли кажущуюся неопределенность истолковать как фактически детерминированную, но зависящую от величин, не моделируемых в текущей теории, которая, следовательно, была бы неполной? Точнее, существуют ли скрытые переменные , которые могли бы объяснить статистическую неопределенность полностью классическим способом?
2. Можно ли понимать неопределенность как нарушение измеряемой системы?

Фон Нейман сформулировал вопрос 1) и привел аргумент, почему ответ должен быть отрицательным, если принять предложенный им формализм. Однако, по словам Белла, формальное доказательство фон Неймана не оправдывало его неформального заключения. ^[2] Окончательный, но частичный отрицательный ответ на вопрос 1) был установлен экспериментально: поскольку неравенства Белла нарушаются, любая такая скрытая переменная(ые) не может быть локальной (см. тестовые эксперименты Белла ).

Ответ на 2) зависит от того, как понимается возмущение, особенно потому, что измерение влечет за собой возмущение (однако следует отметить, что это эффект наблюдателя , который отличается от принципа неопределенности). Тем не менее, в наиболее естественной интерпретации ответ также будет «нет». Чтобы увидеть это, рассмотрим две последовательности измерений: (A), которая измеряет исключительно σ ₁ и (B), которая измеряет только σ ₃ спиновой системы в состоянии ψ . Результаты измерений (A) все +1, в то время как статистическое распределение измерений (B) по-прежнему делится между +1, −1 с равной вероятностью.

Другие примеры неопределенности

Квантовую неопределенность можно также проиллюстрировать в терминах частицы с определенно измеренным импульсом, для которой должен быть фундаментальный предел того, насколько точно может быть указано ее местоположение. Этот квантовый принцип неопределенности можно выразить в терминах других переменных, например, частица с определенно измеренной энергией имеет фундаментальный предел того, насколько точно можно указать, как долго она будет обладать этой энергией. Величина, вовлеченная в квантовую неопределенность, имеет порядок постоянной Планка (6,626 070 15 × 10 ⁻³⁴  Дж⋅Гц ⁻¹ ‍ [ ^3] ).

Неопределенность и неполнота

Квантовая неопределенность — это утверждение, что состояние системы не определяет уникальный набор значений для всех ее измеримых свойств. Действительно, согласно теореме Кохена–Шпеккера , в формализме квантовой механики невозможно, чтобы для данного квантового состояния каждое из этих измеримых свойств ( наблюдаемых ) имело определенное (точное) значение. Значения наблюдаемой будут получены недетерминированным образом в соответствии с распределением вероятностей, которое однозначно определяется состоянием системы. Обратите внимание, что состояние разрушается измерением, поэтому, когда мы ссылаемся на набор значений, каждое измеренное значение в этом наборе должно быть получено с использованием свежеприготовленного состояния.

Эту неопределенность можно рассматривать как своего рода существенную неполноту в нашем описании физической системы. Однако следует отметить, что неопределенность, как указано выше, применима только к значениям измерений, а не к квантовому состоянию. Например, в примере со спином 1/2, рассмотренном выше, система может быть подготовлена ​​в состоянии ψ , используя измерение σ ₁ в качестве фильтра , который удерживает только те частицы, что σ ₁ дает +1. Согласно (так называемым) постулатам фон Неймана, сразу после измерения система гарантированно находится в состоянии ψ .

Однако Альберт Эйнштейн считал, что квантовое состояние не может быть полным описанием физической системы, и, как принято считать, никогда не примирялся с квантовой механикой. Фактически, Эйнштейн, Борис Подольский и Натан Розен показали, что если квантовая механика верна, то классический взгляд на то, как работает реальный мир (по крайней мере, после специальной теории относительности), больше не является обоснованным. Этот взгляд включал следующие две идеи:

1. Измеримое свойство физической системы, значение которого можно предсказать с уверенностью, на самом деле является элементом (локальной) реальности (такая терминология использовалась в ЭПР ).
2. Эффекты локальных воздействий имеют конечную скорость распространения.

Эта неудача классического взгляда была одним из выводов мысленного эксперимента ЭПР, в котором два удаленных наблюдателя , теперь обычно называемые Алисой и Бобом , выполняют независимые измерения спина на паре электронов, подготовленных в источнике в особом состоянии, называемом спиновым синглетным состоянием. Это был вывод ЭПР, использующий формальный аппарат квантовой теории, что как только Алиса измерила спин в направлении x , измерение Боба в направлении x было определено с уверенностью, тогда как непосредственно перед измерением Алисы результат Боба был определен только статистически. Из этого следует, что либо значение спина в направлении x не является элементом реальности, либо что эффект измерения Алисы имеет бесконечную скорость распространения.

Неопределенность для смешанных состояний

Мы описали неопределенность для квантовой системы, которая находится в чистом состоянии . Смешанные состояния являются более общим видом состояния, полученным статистической смесью чистых состояний. Для смешанных состояний «квантовый рецепт» для определения распределения вероятностей измерения определяется следующим образом:

Пусть A — наблюдаемая квантово-механической системы. A задается плотно определенным самосопряженным оператором на H. Спектральная мера A — это проекционно-значная мера , определяемая условием

${\displaystyle \operatorname {E} _{A}(U)=\int _{U}\lambda \,d\operatorname {E} (\lambda ),}$

для каждого борелевского подмножества U из R. Учитывая смешанное состояние S , мы вводим распределение A при S следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {D} _{A}(U)=\operatorname {Tr} (\operatorname {E} _{A}(U)S).}$

Это вероятностная мера, определенная на борелевских подмножествах R , которая представляет собой распределение вероятностей, полученное путем измерения A в S.

Логическая независимость и квантовая случайность

Квантовая неопределенность часто понимается как информация (или ее отсутствие), существование которой мы предполагаем, происходящей в отдельных квантовых системах, до измерения. Квантовая случайность является статистическим проявлением этой неопределенности, наблюдаемым в результатах экспериментов, повторяемых многократно. Однако связь между квантовой неопределенностью и случайностью тонка и может рассматриваться по-разному. ^[4]

В классической физике эксперименты со случайностью, такие как подбрасывание монеты и игральных костей, являются детерминированными в том смысле, что идеальное знание начальных условий сделало бы результаты совершенно предсказуемыми. «Случайность» проистекает из незнания физической информации при начальном подбрасывании или броске. В диаметрально противоположном случае, в случае квантовой физики , теоремы Кохена и Шпеккера ^[5], неравенства Джона Белла ^[6] и экспериментальные доказательства Алена Аспекта ^[7] [ ^8] указывают на то, что квантовая случайность не проистекает из какой-либо такой физической информации .

В 2008 году Томаш Патерек и др. дали объяснение в математической информации . Они доказали, что квантовая случайность является исключительно результатом измерительных экспериментов, входные параметры которых вводят логическую независимость в квантовые системы. ^{[9] [10]}

Логическая независимость — хорошо известное явление в математической логике . Она относится к нулевой логической связности, которая существует между математическими предложениями (на одном языке), которые не доказывают и не опровергают друг друга. ^[11]

В работе Патерек и др. исследователи демонстрируют связь, соединяющую квантовую случайность и логическую независимость в формальной системе булевых предложений. В экспериментах по измерению поляризации фотона Патерек и др. демонстрируют статистику, коррелирующую предсказуемые результаты с логически зависимыми математическими предложениями, а случайные результаты — с предложениями, которые логически независимы. ^{[12] [13]}

В 2020 году Стив Фолкнер сообщил о работе, которая следует за открытиями Томаша Патерека и др.; показывая, что означает логическая независимость в булевых предложениях Патерека в области собственно матричной механики. Он показал, как неопределенность неопределенности возникает в развитых операторах плотности, представляющих смешанные состояния, где процессы измерения сталкиваются с необратимой «потерянной историей» и проникновением неоднозначности. ^[14]

Смотрите также

• Физический портал

• Дополнительность (физика)
• Контрфактуальная определенность
• ЭПР-парадокс
• Интерпретации квантовой механики : Сравнительная таблица
• Квантовая контекстуальность
• Квантовая запутанность
• Квантовое измерение
• Квантовая механика
• Принцип неопределенности

Примечания

1. В. Брагинский и Ф. Халили, Квантовые измерения , Cambridge University Press, 1992.
2. Дж. С. Белл, Выразимое и невыразимое в квантовой механике , Cambridge University Press, 2004, стр. 5.
3. "2022 CODATA Value: Planck constant". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . Май 2024. Получено 2024-05-18 .
4. Грегг Йегер, «Квантовая случайность и непредсказуемость» Философские труды Лондонского королевского общества A doi/10.1002/prop.201600053 (2016)|Online=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/prop.201600053/epdf PDF
5. S Kochen и EP Specker, Проблема скрытых переменных в квантовой механике , Журнал математики и механики 17 (1967), 59–87.
6. Джон Белл, О парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена , Физика 1 (1964), 195–200.
7. Ален Аспект, Жан Далибар и Жерар Роже, Экспериментальная проверка неравенств Белла с использованием анализаторов, изменяющихся во времени , Physical Revue Letters 49 (1982), № 25, 1804–1807.
8. Ален Аспект, Филипп Гранжье и Жерар Роже, Экспериментальная реализация мысленного эксперимента Эйнштейна–Подольского–Розена–Бома: новое нарушение неравенств Белла , Physical Review Letters 49 (1982), № 2, 91–94.
9. Томаш Патерек, Йоханнес Кофлер, Роберт Преведель, Питер Климек, Маркус Аспельмейер, Антон Цайлингер и Часлав Брукнер, «Логическая независимость и квантовая случайность», New Journal of Physics 12 (2010), вып. 013019, 1367–2630.
10. Томаш Патерек, Йоханнес Кофлер, Роберт Преведель, Питер Климек, Маркус Аспельмейер, Антон Цайлингер и Часлав Брукнер, «Логическая независимость и квантовая случайность - с экспериментальными данными», https://arxiv.org/pdf/0811.4542.pdf (2010). ).
11. Эдвард Рассел Стэблер, Введение в математическую мысль , Addison-Wesley Publishing Company Inc., Рединг, Массачусетс, США, 1948.
12. Томаш Патерек, Йоханнес Кофлер, Роберт Преведель, Питер Климек, Маркус Аспельмейер, Антон Цайлингер и Часлав Брукнер, «Логическая независимость и квантовая случайность», New Journal of Physics 12 (2010), вып. 013019, 1367–2630.
13. Томаш Патерек, Йоханнес Кофлер, Роберт Преведель, Питер Климек, Маркус Аспельмейер, Антон Цайлингер и Часлав Брукнер, «Логическая независимость и квантовая случайность - с экспериментальными данными», https://arxiv.org/pdf/0811.4542.pdf (2010). ).
14. Стив Фолкнер, Базовый механизм квантовой неопределенности (2020). [1]

Ссылки

• А. Аспект, Тест на неравенство Белла: идеальнее, чем когда-либо , Nature 398 189 (1999). [2]
• G. Bergmann, The Logic of Quanta , American Journal of Physics, 1947. Перепечатано в Readings in the Philosophy of Science, Ed. H. Feigl and M. Brodbeck, Appleton-Century-Crofts, 1953. Обсуждает измерение, точность и детерминизм.
• Дж. С. Белл, О парадоксе Эйнштейна–Полдольского–Розена , Физика 1 195 (1964).
• А. Эйнштейн, Б. Подольский и Н. Розен, Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным? Phys. Rev. 47 777 (1935). [3] Архивировано 2006-02-08 в Wayback Machine
• Г. Макки, Математические основы квантовой механики , WA Benjamin, 1963 (переиздание в мягкой обложке Dover 2004).
• J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , Princeton University Press, 1955. Переиздано в мягкой обложке. Первоначально опубликовано на немецком языке в 1932 году.
• Р. Омнес, Понимание квантовой механики , Princeton University Press, 1999.

Внешние ссылки

• Распространенные заблуждения относительно квантовой механики. См. особенно часть III «Заблуждения относительно измерений».