Нелинейные приливы

Нелинейные приливы

Нелинейные приливы порождаются гидродинамическими искажениями приливов . Приливная волна называется нелинейной, если ее форма отличается от чистой синусоидальной волны. С математической точки зрения, волна обязана своей нелинейностью из-за нелинейной адвекции и трения в основных уравнениях. Они становятся более важными в мелководных регионах, например в устьях рек . Нелинейные приливы изучаются в области прибрежной морфодинамики , береговой инженерии и физической океанографии . Нелинейность приливов имеет важные последствия для переноса наносов .

Рамки

С математической точки зрения, нелинейность приливов возникает из-за нелинейных членов, присутствующих в уравнениях Навье-Стокса . Для анализа приливов и приливов более практично рассматривать усредненные по глубине уравнения мелкой воды : ^[1]

$${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}[(D_{0}+\eta )u]+{\frac {\partial }{\partial y}}[(D_{0}+\eta )v]=0,}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}-{\frac {\tau _{b,x}}{\rho (D_{0}+\eta )}},}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial y}}-{\frac {\tau _{b,y}}{\rho (D_{0}+\eta )}}.}$$

ускорение свободного падения ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \tau _{b,x}}$ ${\displaystyle \tau _{b,y}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle D_{0}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Эти уравнения следуют из предположений, что вода несжимаема, что вода не пересекает дно или поверхность и что изменения давления над поверхностью незначительны. Последнее позволяет заменить члены градиента давления в стандартных уравнениях Навье-Стокса градиентами . Кроме того, в приведенных выше уравнениях опущены члены Кориолиса и молекулярного смешивания , поскольку они относительно малы во временном и пространственном масштабе приливов на мелководье. ${\displaystyle \eta }$

В дидактических целях оставшаяся часть этой статьи рассматривает только одномерный поток с приливной волной, распространяющейся в положительном -направлении. Это означает, что ноль и все характеристики однородны в -направлении. Следовательно, все члены равны нулю, а последнее из приведенных выше уравнений является произвольным. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \partial /\partial y}$

Нелинейные вклады

В этом одномерном случае нелинейные приливы вызываются тремя нелинейными членами. То есть член дивергенции , член адвекции и член трения . Последняя нелинейна в двух отношениях. Во-первых, потому что (почти) квадратичен по . Во-вторых, из-за в знаменателе. Отдельно анализируется влияние члена адвекции и дивергенции, а также члена трения. Кроме того, нелинейные эффекты топографии бассейна , такие как приливная зона и кривизна потока, могут вызывать определенные виды нелинейности. Кроме того, средний расход, например, за счет речного стока, может изменить последствия процессов приливной деформации. ${\displaystyle \partial (\eta u)/\partial x}$ ${\displaystyle u\;\partial u/\partial x}$ ${\displaystyle \tau _{b}/(D_{0}+\eta )}$ ${\displaystyle \tau _{b}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \eta }$

Гармонический анализ

Приливную волну часто можно описать как сумму гармонических волн . Основной прилив (1-я гармоника) относится к волне, вызванной приливной силой, например суточным или полусуточным приливом . Последний часто называют приливом , и в оставшейся части статьи он будет использоваться как основной прилив. Высшие гармоники приливного сигнала генерируются нелинейными эффектами. Таким образом, гармонический анализ используется как инструмент для понимания эффекта нелинейной деформации. Можно сказать, что деформация рассеивает энергию от главного прилива к его высшим гармоникам. Для единообразия высшие гармоники, имеющие частоту, кратную четному или нечетному кратному основному приливу, могут называться четными или нечетными высшими гармониками соответственно. ${\displaystyle M_{2}}$

Дивергенция и адвекция

Чтобы понять нелинейность, вызванную дивергенцией , можно рассмотреть скорость распространения волны на мелкой воде. ^[2] Пренебрегая трением, скорость волны определяется как: ^[3]

$${\displaystyle c_{0}\approx {\sqrt {g(D_{0}+\eta )}}}$$

При сравнении уровней низкой воды (LW) и высокой воды (HW) ( ), сквозная волна (LW) волны на мелководье движется медленнее, чем гребень (HW). В результате гребень «догоняет» впадину и приливная волна становится асимметричной. ^[4] ${\displaystyle \eta _{LW}<\eta _{HW}}$

Чтобы понять нелинейность, вызванную адвекцией, можно рассмотреть амплитуду приливного течения. ^[2] Пренебрегая трением, амплитуда приливного течения определяется как:

$${\displaystyle U_{0}\approx c_{0}{\frac {\eta }{D_{0}}}}$$

Когда диапазон приливов не мал по сравнению с глубиной воды, т.е. значителен, скорость потока не является пренебрежимо малой по отношению к . Таким образом, скорость распространения волны на гребне равна , а на впадине скорость волны равна . Подобно деформации, вызванной дивергенцией, это приводит к тому, что гребень «догоняет» впадину, так что приливная волна становится асимметричной. ${\displaystyle \eta /D_{0}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle c_{0}+u}$ ${\displaystyle c_{0}-u}$

Как для нелинейной дивергенции, так и для члена адвекции деформация асимметрична. Это означает, что генерируются еще более высокие гармоники, асимметричные относительно узла главного прилива.

Математический анализ

Линеаризованные уравнения мелкой воды основаны на предположении, что амплитуда колебаний уровня моря намного меньше общей глубины. ^[1] Это предположение не обязательно справедливо в мелководных регионах. Если пренебречь трением, нелинейные одномерные уравнения мелкой воды будут выглядеть следующим образом:

$${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+\underbrace {u{\frac {\partial \eta }{\partial x}}} _{i}+(D_{0}+\underbrace {\eta ){\frac {\partial u}{\partial x}}} _{i}=0,}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\underbrace {u{\frac {\partial u}{\partial x}}} _{ii}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}.}$$

нелинейных дифференциальных уравнений вбезразмерную формуамплитудойрадианской частотойволновым числом ${\displaystyle D_{0}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ii}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}x={\frac {1}{k}}{\tilde {x}}\\\eta =H_{0}{\tilde {\eta }}\\t={\frac {1}{\omega }}{\tilde {t}}\\u=H_{0}{\sqrt {\frac {g}{D_{0}}}}{\tilde {u}}\end{array}}\right.}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {u}}{\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {x}}}}+(1+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {\eta }}){\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {u}}{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {x}}}}=-{\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {x}}}}}$$

анализ линейных возмущений ${\textstyle {\frac {H_{0}}{D_{0}}}}$ ${\displaystyle H_{0}/D_{0}<<1}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\tilde {\eta }}={\tilde {\eta }}_{0}+\epsilon {\tilde {\eta }}_{1}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\\{\tilde {u}}={\tilde {u}}_{0}+\epsilon {\tilde {u}}_{1}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\end{array}}\right.}$$

${\displaystyle \epsilon =H_{0}/D_{0}}$

При вставке этого линейного ряда в безразмерные основные уравнения члены нулевого порядка определяются следующим образом:

$${\displaystyle {\frac {\partial {{\tilde {\eta }}_{0}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$

волновое уравнение

$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\tilde {\eta }}_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=\cos({\tilde {x}}-{\tilde {t}})\\{\tilde {u}}_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=\cos({\tilde {x}}-{\tilde {t}})\end{array}}\right.}$$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon }$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}_{1}}{\partial {\tilde {x}}}}+{\tilde {\eta }}_{0}{\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}+{\tilde {u}}_{0}{\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}_{1}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\tilde {u}}_{0}{\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=-{\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {x}}}}}$$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\tilde {t}}}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {t}}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}{\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {x}}^{2}}}=-3\cos(2({\tilde {x}}-{\tilde {t}}))}$$

Это линейное неоднородное уравнение в частных производных подчиняется следующему решению в виде частиц:

$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\tilde {\eta }}_{1}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=-{\frac {3}{4}}{\tilde {x}}\sin(2({\tilde {x}}-{\tilde {t}}))\\{\tilde {u}}_{1}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=-{\frac {3}{4}}{\tilde {x}}\sin(2({\tilde {x}}-{\tilde {t}}))\end{array}}\right.}$$

Возвращаясь к размерному решению возвышения морской поверхности:

$${\displaystyle \eta =H_{0}\cos(kx-\omega t)-{\frac {3}{4}}{\frac {H_{0}^{2}kx}{D_{0}}}\sin(2(kx-\omega t))}$$

Анимация приливной деформации с помощью нелинейных условий адвекции. Верхняя панель показывает основной прилив, средняя панель — сгенерированную высшую гармонику, а нижняя панель — сумму двух вышеуказанных.

Это решение справедливо для возмущения первого порядка. Нелинейные члены ответственны за создание более высокого гармонического сигнала с двойной частотой основного прилива. Кроме того, член высшей гармоники масштабируется в зависимости от , и . Следовательно, форма волны будет все больше и больше отклоняться от своей первоначальной формы при распространении в -направлении , для относительно большого приливного диапазона и для более коротких длин волн. При рассмотрении общего основного прилива нелинейные члены уравнения приводят к генерации гармоники . При рассмотрении членов более высокого порядка можно также обнаружить высшие гармоники. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle H_{0}/D_{0}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M2}$ ${\displaystyle M_{4}}$ ${\displaystyle \epsilon }$

Трение

Член трения в уравнениях мелкой воды нелинейен как по скорости, так и по глубине воды.

Чтобы понять последнее, можно сделать вывод , что трение наиболее сильное при более низких уровнях воды. Таким образом, гребень «догоняет» впадину, потому что он испытывает меньше трения, замедляющего его. Подобно нелинейности, вызванной дивергенцией и адвекцией, это вызывает асимметричную приливную волну. ${\displaystyle \tau _{b}/(D_{0}+\eta )}$

Чтобы понять нелинейный эффект скорости, следует учитывать, что донное напряжение часто параметризуется квадратично:

$${\displaystyle \tau _{b}=\rho C_{d}u|u|}$$

аэродинамического сопротивления ${\displaystyle C_{d}}$ ${\displaystyle C_{d}=0.0025}$

Дважды за приливный цикл, во время пика прилива и пика отлива, достигает максимума. Однако для этих двух моментов знак противоположный. При этом течение изменяется симметрично вокруг волнового узла. Это приводит к выводу, что эта нелинейность приводит к появлению нечетных высших гармоник, симметричных относительно узла главного прилива. ${\displaystyle |u|}$ ${\displaystyle u|u|}$

Математический анализ

Нелинейность по скорости

Параметризация содержит произведение вектора скорости на его величину. В фиксированном месте рассматривается основной прилив со скоростью течения: ${\displaystyle \tau _{b}}$

$${\displaystyle u=U_{0}cos(\omega t)}$$

Здесь – амплитуда скорости потока, – угловая частота. Чтобы исследовать влияние донного трения на скорость, параметризацию трения можно преобразовать в ряд Фурье : ${\displaystyle U_{0}}$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle \tau _{b}=\rho C_{d}U_{0}^{2}\left({\frac {2}{\pi }}\cos(\omega t)+{\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{a}{\frac {\left(-1\right)^{n}}{1-4n^{2}}}(\cos \left(\omega t(2n+1))+\cos(\omega t(2n-1))\right)\right)=\rho C_{d}U_{0}^{2}({\frac {8}{3\pi }}cos(\omega t)+{\frac {8}{15\pi }}cos(3\omega t)+...)}$$

Это показывает, что это можно описать как ряд Фурье, содержащий только нечетные кратные главному приливу с частотой . Следовательно, сила трения вызывает диссипацию энергии главного прилива в сторону высших гармоник. В двумерном случае возможны и четные гармоники. ^[5] Из приведенного выше уравнения для следует, что величина трения пропорциональна амплитуде скорости . Это означает, что более сильные течения испытывают большее трение и, следовательно, большую приливную деформацию. На мелководье требуются более сильные течения, чтобы приспособиться к изменению высоты морской поверхности, что приводит к большему рассеиванию энергии на нечетные высшие гармоники основного прилива. ${\displaystyle \tau _{b}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{b}}$ ${\displaystyle U_{0}^{2}}$

Нелинейность по глубине воды

Хотя это и не очень точно, можно использовать линейную параметризацию донного напряжения: ^[6]

${\displaystyle \tau _{b}=\rho \;{\hat {r}}u}$

Вот коэффициент трения, который представляет собой первую компоненту Фурье более точной квадратичной параметризации. Если пренебречь адвекционным членом и использовать линейную параметризацию в термине трения, безразмерные основные уравнения гласят: ${\displaystyle {\hat {r}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {t}}}}=-{\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {x}}}}-{\frac {{\hat {r}}{\tilde {u}}}{\omega D_{0}(1+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {\eta }})}}}$$

анализ линейных возмущений ${\displaystyle D_{0}+\eta }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\eta _{0}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial u_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial u_{0}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial \eta _{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=-{\frac {{\hat {r}}u_{0}}{\omega D_{0}}}}$$

${\displaystyle {\tilde {t}}}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle u_{0}}$ ${\textstyle {\frac {\hat {r}}{\omega D_{0}}}=\lambda }$ ${\displaystyle \eta _{0}}$

$${\displaystyle -\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial {\tilde {t}}^{2}}}+\lambda {\frac {\partial }{\partial {\tilde {t}}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial {\tilde {x}}^{2}}}\right)\eta _{0}=0}$$

$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}\eta _{0}(0,{\tilde {t}})=\cos({\tilde {t}})\\{\frac {\partial \eta _{0}}{\partial {\tilde {x}}}}(kL,{\tilde {t}})=0\end{array}}\right.}$$

разделения переменных ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x=L}$ ${\textstyle \eta _{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})={\mathfrak {Re}}({\hat {\eta }}_{0}({\tilde {x}})e^{-it})}$

$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\hat {\eta }}_{0}({\tilde {x}})={\frac {\cos(\mu ({\tilde {x}}-kL))}{\cos({\mu kL})}}\\{\hat {u}}_{0}({\tilde {x}})=-i{\frac {\sin(\mu ({\tilde {x}}-kL))}{\cos({\mu kL})}}\end{array}}\right.}$$

${\displaystyle \mu ={\sqrt {1+i\lambda }}}$

Аналогичным образом можно определить уравнения: ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\eta _{1}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial u_{1}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial \eta _{1}}{\partial {\tilde {x}}}}+{\frac {{\hat {r}}u_{1}}{\omega D_{0}}}={\frac {{\hat {r}}u_{0}\eta _{0}}{\omega D_{0}}}}$$

ряд Тейлора ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \eta _{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})}$ ${\displaystyle u_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})}$

$${\displaystyle \eta _{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})={\frac {1}{2}}{\hat {\eta }}_{0}e^{-it}+{\frac {1}{2}}{\hat {\eta }}_{0}^{*}e^{it}}$$

$${\displaystyle u_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})={\frac {1}{2}}{\hat {u}}_{0}e^{-it}+{\frac {1}{2}}{\hat {u}}_{0}^{*}e^{it}}$$

${\displaystyle *}$

$${\displaystyle {\frac {{\hat {r}}u_{0}\eta _{0}}{\omega D_{0}}}={\frac {\hat {r}}{4\omega D_{0}}}({\hat {u}}_{0}^{*}{\hat {\eta }}_{0}+{\hat {u}}_{0}{\hat {\eta }}_{0}^{*})+{\frac {\hat {r}}{4\omega D_{0}}}({\hat {u}}_{0}{\hat {\eta }}_{0}e^{-2it}+{\hat {u}}_{0}^{*}{\hat {\eta }}_{0}^{*}e^{2it})}$$

дрейф Стокса ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle M_{4}}$

Приливная зона

Схематическое изображение поперечных сечений эстуария и соответствующей приливной асимметрии. В эстуарии (i) изменение глубины русла , преобладает над изменением ширины эстуария , . Следовательно, скорость волны прилива (HT) больше, чем скорость волны отлива (LT). Это вызывает приливную асимметрию с относительно быстрым ростом прилива. В эстуарии (ii) изменение ширины устья , преобладает над изменением глубины русла , . Следовательно, скорость волны прилива меньше, чем скорость волны отлива. Это вызывает приливную асимметрию с относительно медленным ростом прилива. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$

В мелководном устье нелинейные условия играют важную роль и могут вызвать приливную асимметрию. Это можно интуитивно понять, если учесть, что если глубина воды меньше, трение сильнее замедляет приливную волну. Для эстуария с небольшой приливной зоной (случай i) средняя глубина воды обычно увеличивается во время прилива. Следовательно, гребень приливной волны испытывает меньшее трение, замедляющее ее, и она догоняет впадину. Это вызывает приливную асимметрию с относительно быстрым ростом прилива. Для эстуария с большой приливной зоной (случай ii) глубина воды в главном русле также увеличивается во время прилива. Однако из-за приливной зоны средняя глубина воды по ширине обычно уменьшается. Таким образом, впадина приливной волны испытывает относительно небольшое трение, замедляющее ее, и она догоняет гребень. Это вызывает приливную асимметрию с относительно медленным ростом прилива. Для устья, где преобладает трение, фаза паводка соответствует приливу, а фаза отлива соответствует падающему приливу. Следовательно, случаи (i) и (ii) соответствуют приливу и отливу с преобладанием соответственно.

Чтобы найти математическое выражение для определения типа асимметрии в устье, необходимо учитывать скорость волн. После анализа нелинейных возмущений ^[7] зависящая от времени скорость волны для сходящегося эстуария определяется как: ^[8]

$${\displaystyle c(t)\sim {\frac {h(t)}{b(t)^{2}}}\approx {\frac {\langle h\rangle [1+(\eta /H_{0})(H_{0}/\langle h\rangle )]}{\langle b\rangle ^{1/2}[1+(\eta /H_{0})(\Delta b/\langle b\rangle )]^{1/2}}}}$$

При этом глубина русла, ширина устья и правая часть — это просто разложение этих величин на их приливные средние значения (обозначим через ) и их отклонения от него. Используя разложение Тейлора первого порядка, это можно упростить до: ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle b(t)}$ ${\displaystyle \langle \rangle }$

$${\displaystyle c\sim {\frac {\langle h\rangle }{\langle b\rangle ^{1/2}}}[1+\gamma (\eta /H_{0})]}$$

Здесь:

$${\displaystyle \gamma ={\frac {H_{0}}{\langle h\rangle }}-{\frac {1}{2}}{\frac {\Delta b}{\langle b\rangle }}}$$

Этот параметр представляет приливную асимметрию. Обсуждаемый случай (i), т.е. быстрый прилив, соответствует , а случай (ii), т.е. медленный прилив, соответствует . Нелинейное численное моделирование Фридрихса и Обри ^[9] воспроизводит аналогичную зависимость для . ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle \gamma <0}$ ${\displaystyle \gamma }$

Кривизна потока

Схематический вид сверху потока воды вокруг изогнутого побережья, вызванного приливной силой в направлении x. Левая сторона берега выпуклая, правая — вогнутая. Сплошные стрелки представляют линии потока воды, а пунктирные стрелки представляют силу градиента давления.

Рассмотрим приливный поток, вызванный приливной силой в направлении x, как показано на рисунке. Вдали от берега течение будет только в направлении x. Поскольку у побережья вода не может течь через берег, линии тока параллельны берегу. Поэтому течение огибает побережье. Центростремительная сила , учитывающая это изменение баланса импульса, представляет собой градиент давления, перпендикулярный линии тока. Это вызвано градиентом высоты уровня моря. ^[10] Аналоги силы тяжести, которая удерживает планеты на их орбитах, градиент высоты уровня моря для кривизны линии тока с радиусом определяется как: ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle g{\frac {\partial \eta }{\partial r}}={\frac {u^{2}}{r}}}$$

Для выпуклого берега это соответствует уменьшению высоты уровня воды при приближении к берегу. Для вогнутого берега все наоборот: высота уровня моря увеличивается по мере приближения к берегу. Эта картина та же самая, когда прилив меняет течение. Таким образом, можно обнаружить, что кривизна потока понижает или повышает высоту уровня воды дважды за приливный цикл. Следовательно, он добавляет приливную составляющую с частотой, вдвое превышающей частоту основного компонента. Эта высшая гармоника указывает на нелинейность, но это также наблюдается по квадратичному члену в приведенном выше выражении.

Средний расход

Средний поток, например, сток реки, может изменить нелинейные эффекты. Учитывая приток реки в устье, сток реки будет вызывать уменьшение скоростей паводкового стока и увеличение скоростей отливного стока. Поскольку трение квадратично пропорционально скорости потока, увеличение трения больше для скоростей приливного потока, чем уменьшение для скоростей паводкового потока. Следовательно, создается более высокая гармоника с удвоенной частотой основного прилива. Когда средний поток превышает амплитуду приливного течения, это не приведет к изменению направления потока. Таким образом, генерация нечетных высших гармоник из-за нелинейности трения будет уменьшена. Более того, увеличение среднего расхода воды может привести к увеличению средней глубины воды и, следовательно, снизить относительную значимость нелинейной деформации. ^[11]

Пример: Устье Северна

Амплитуда уровня воды и гармоник построена в зависимости от амплитуды уровня воды в 2011 году на измерительной станции недалеко от Эйвонмута. ^{[12] [13] [14]} ${\displaystyle M_{4}}$ ${\displaystyle M_{6}}$ ${\displaystyle M_{2}}$

Устье Северна относительно мелкое, а диапазон приливов и отливов относительно велик. Поэтому в этом устье заметна нелинейная приливная деформация. Используя данные GESLA [1] о высоте уровня воды на измерительной станции возле Эйвонмута, можно подтвердить наличие нелинейных приливов. Используя простой алгоритм гармонической аппроксимации со скользящим временным окном в 25 часов, можно определить амплитуду уровня воды различных приливных составляющих. В 2011 году это было сделано для , и трехсторонних участников. На рисунке амплитуда уровня воды гармоник и и соответственно изображена в зависимости от амплитуды уровня воды основного прилива . Можно заметить, что высшие гармоники, порождаемые нелинейностью, существенны по отношению к основному приливу. ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle M_{4}}$ ${\displaystyle M_{6}}$ ${\displaystyle M_{4}}$ ${\displaystyle M_{6}}$ ${\displaystyle H_{M4}}$ ${\displaystyle H_{M6}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle H_{M2}}$

Корреляция между и выглядит несколько квадратичной. Эту квадратичную зависимость можно было ожидать из математического анализа в этой статье. Во-первых, анализ дивергенции и адвекции приводит к выражению, которое при фиксированном влечет за собой: ${\displaystyle H_{M2}}$ ${\displaystyle H_{M4}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle H_{M4}\propto H_{M2}^{2}}$

Во-вторых, анализ нелинейности трения на глубине воды дает вторую высшую гармонику. Для математического анализа предполагалась линейная параметризация донного напряжения. Однако донное напряжение на самом деле масштабируется почти квадратично со скоростью потока. Это отражается в квадратичном соотношении между и . ${\displaystyle H_{M2}}$ ${\displaystyle H_{M4}}$

На графике для небольшого диапазона приливов корреляция между и примерно прямо пропорциональна. Эта связь между главным приливом и его третьей гармоникой следует из нелинейности трения скорости, что отражено в полученном выражении. Для больших диапазонов приливов начните уменьшаться. Это поведение остается неразрешенным теорией, рассмотренной в этой статье. ${\displaystyle H_{M2}}$ ${\displaystyle H_{M6}}$ ${\displaystyle H_{M6}}$

Транспортировка осадков

Деформация приливов может иметь существенное значение в переносе наносов . ^[15] Чтобы проанализировать это, очевидно, следует различать динамику взвешенных отложений и донных отложений . Перенос взвешенных отложений (в одном измерении) обычно можно определить количественно как: ^[16]

$${\displaystyle q_{s}=\int _{z_{b}+a_{r}}^{\eta }(uc-K_{b}{\frac {\partial c}{\partial z}})dz}$$

Здесь – интегрированный по глубине поток наносов, – концентрация наносов, – коэффициент горизонтальной диффузии и – эталонная высота над поверхностью . Перенос пластовой нагрузки можно оценить с помощью следующего эвристического определения: ${\displaystyle q_{s}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle K_{b}}$ ${\displaystyle a_{r}}$ ${\displaystyle z_{b}}$

$${\displaystyle q_{b}=\beta u^{3}}$$

${\displaystyle \beta }$

Скорость зонального потока можно представить в виде усеченного ряда Фурье . При рассмотрении приливного потока, состоящего только из компонентов и , течение в определенном месте определяется как: ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle M_{4}}$

$${\displaystyle u(t)=U_{M2}\cos(\omega _{M2}t-\phi _{M2})+U_{M4}\cos(\omega _{M4}t-\phi _{M4}).}$$

^[17] ${\displaystyle C=\int _{z_{b}+a_{r}}^{\eta }cdz}$

$${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial t}}=\alpha u^{2}-{\frac {W_{s}^{2}}{K_{v}}}C}$$

Здесь – скорость падения, – коэффициент вертикальной диффузии, – коэффициент эрозии. Адвекция в этой модели не учитывается. Учитывая определение и , можно получить выражение для осредненного приливно-отливного переноса дна и взвешенного груза: ${\displaystyle W_{s}}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle u(t)}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle \langle q_{s}\rangle ={\frac {K_{v}\alpha }{W_{s}^{2}}}({\frac {1}{4}}U_{M2}^{2}U_{M4}\cos(2\phi _{M2}-\phi _{M4})({\frac {2}{1+a^{2}}}+{\frac {1}{1+4a^{2}}})+{\frac {a}{2}}U_{M2}^{2}U_{M4}\sin(2\phi _{M2}-\phi _{M4})({\frac {2}{1+a^{2}}}+{\frac {1}{1+4a^{2}}}))}$$

$${\displaystyle \langle q_{b}\rangle ={\frac {3\beta }{4}}U_{M2}^{2}U_{M4}\cos(2\phi _{M2}-\phi _{M4})}$$

${\textstyle a={\frac {\omega _{M2}K_{v}^{2}}{W_{s}}}}$ ${\displaystyle \langle q_{b}\rangle }$ ${\displaystyle \langle q_{s}\rangle }$

Асимметрия скорости

Механизм асимметрии скорости основан на разнице максимальной скорости потока между пиком прилива и отлива . Количественная оценка этого механизма заключена в этом термине. Значение этого термина суммировано в таблице ниже: ${\textstyle \cos(2\phi _{M2}-\phi _{M4})}$

Асимметрия скорости и асимметрия продолжительности прилива по гармоникам. Вид асимметрии и знак определяются относительной разностью фаз ${\displaystyle M_{4}}$ ${\displaystyle \langle q\rangle }$ ${\displaystyle 2\phi _{M2}-\phi _{M4}}$

Следовательно, механизм асимметрии скорости вызывает чистый перенос, направленный на отлив, если абсолютное значение относительной разности фаз , в то время как он вызывает чистый перенос, направленный на наводнение, если . В последнем случае пиковые расходы паводков будут больше, чем пиковые отливы. Следовательно, осадки будут переноситься на большее расстояние в направлении паводка, создавая и . Противоположное справедливо для . ${\displaystyle |2\phi _{M2}-\phi _{M4}|>90^{\circ }}$ ${\displaystyle |2\phi _{M2}-\phi _{M4}|<90^{\circ }}$ ${\displaystyle \langle q_{s}\rangle >0}$ ${\displaystyle \langle q_{b}\rangle >0}$ ${\displaystyle |2\phi _{M2}-\phi _{M4}|<90^{\circ }}$

Асимметрия продолжительности

Механизм асимметрии продолжительности также может вызывать приливно-усредненный перенос взвешенных грузов. Этот механизм учитывает только приливно-усредненный поток взвешенных отложений. Количественная оценка этого механизма заключена в члене, который отсутствует в уравнении. Значение этого термина суммировано в таблице ниже: ${\textstyle \sin(2\phi _{M2}-\phi _{M4})}$ ${\displaystyle \langle q_{b}\rangle }$

Когда время от пика прилива до пика отлива больше, чем время от пика прилива до пика паводка. Это приводит к тому, что в период от пика паводка до пика отлива может осаждаться больше наносов, следовательно, во время пика отлива будет задерживаться меньше наносов, и будет чистый перенос в направлении паводка. Аналогичное, но противоположное объяснение справедливо и для . Этот механизм не влияет на перенос нагрузки слоя, поскольку этот механизм требует задержки осаждения частиц, т.е. частицам должно потребоваться время для осаждения, а концентрация постепенно адаптируется к скоростям потока. ${\displaystyle 0^{\circ }<2\phi _{M2}-\phi _{M4}<180^{\circ }}$ ${\displaystyle 180^{\circ }<2\phi _{M2}-\phi _{M4}<360^{\circ }}$

Смотрите также

• Приливный резонанс
• Приливная волна
• Волновая нелинейность
• Приливы в окраинных морях
• Транспортировка осадков

Рекомендации

1. Кушман-Руазен, Бенуа; Беккерс, Жан-Мари (2011). Введение в геофизическую гидродинамику: физические и численные аспекты (2-е изд.). Уолтем, Массачусетс: Academic Press. ISBN 978-0-12-088759-0. ОСЛК  760173075.
2. Б., Паркер, Брюс (1991). Приливная гидродинамика. Уайли. ISBN 0-471-51498-5. ОСЛК  231330044.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Пруд, Стивен (1991). Вводная динамическая океанография. Джордж Л. Пикард (Второе изд.). Оксфорд. ISBN 978-0-08-057054-9. ОСЛК  886407149.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Дронкерс, Дж. (1 августа 1986 г.). «Приливная асимметрия и морфология эстуария». Нидерландский журнал морских исследований . 20 (2): 117–131. Бибкод : 1986NJSR...20..117D. дои : 10.1016/0077-7579(86)90036-0. ISSN  0077-7579.
5. Пью, Дэвид; Вудворт, Филип (2014). Наука об уровне моря: понимание приливов, нагонов, цунами и средних изменений уровня моря. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9781139235778. ISBN 978-1-107-02819-7.
6. Фридрихс, Карл Т. (2010), Валле-Левинсон, Арнольдо (ред.), «Баротропные приливы в русловых эстуариях», Современные проблемы физики эстуаров , Кембридж: Cambridge University Press, стр. 27–61, doi : 10.1017/ cbo9780511676567.004, ISBN 978-0-511-67656-7, получено 20 марта 2022 г.
7. Фридрихс, Карл Т.; Мэдсен, Оле С. (1992). «Нелинейное распространение приливного сигнала в бухтах с преобладанием трения». Журнал геофизических исследований . 97 (C4): 5637. Бибкод : 1992JGR....97.5637F. дои : 10.1029/92jc00354. ISSN  0148-0227.
8. Современные проблемы физики эстуариев. А. Валле-Левинсон. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. 2010. ISBN 978-0-511-67776-2. OCLC  648754476.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
9. Фридрихс, Карл Т.; Обри, Дэвид Г. (ноябрь 1988 г.). «Нелинейные приливные искажения в мелких хорошо перемешанных эстуариях: синтез». Устьевые, прибрежные и шельфовые науки . 27 (5): 521–545. Бибкод : 1988ECSS...27..521F. дои : 10.1016/0272-7714(88)90082-0. ISSN  0272-7714. S2CID  51119057.
10. Пью, Дэвид (2014). Наука об уровне моря: понимание приливов, волн, цунами и средних изменений уровня моря. Филип Вудворт. Кембридж. стр. 135–136. ISBN 978-1-107-02819-7. ОСЛК  868079159.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
11. Приливная гидродинамика. Брюс Б. Паркер. Нью-Йорк: Дж. Уайли. 1991. ISBN 0-471-51498-5. ОСЛК  23766414.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
12. Хей, Иван; Маркос, Марта; Тальке, Стефан; Вудворт, Филип; Хантер, Джон; Хау, Бен; Арнс, Арне; Брэдшоу, Элизабет; Томпсон, Фил (5 ноября 2021 г.). «GESLA Версия 3: крупное обновление глобального набора высокочастотных данных об уровне моря». Препринт Eartharxiv . Бибкод : 2021EaArX...X5MP65H. дои : 10.31223/x5mp65. S2CID  243811785.
13. Вудворт, Филип Л.; Хантер, Джон Р.; Маркос Морено, Марта; Колдуэлл, Патрик С; Менендес, Мелиса; Хей, Иван Дэвид (2016), Набор высокочастотных данных об уровне моря GESLA (Глобальный анализ экстремального уровня моря) - Версия 2., Британский центр океанографических данных, Совет по исследованию природной среды, doi: 10.5285 /3b602f74-8374-1e90-e053-6c86abc08d39 , получено 21 марта 2022 г.
14. Колдуэлл, ПК; Меррифилд, Массачусетс; Томпсон, PR (2001), Уровень моря измеряется приливомерами мирового океана как часть Объединенного архива уровня моря (JASL) с 1846 года, Национальные центры экологической информации NOAA, doi: 10.7289 /v5v40s7w , получено 21 марта 2022 г.
15. Далримпл, Роберт В.; Чой, Кёнсик (1978), «Перенос отложений приливами», Седиментология , Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 993–998, doi : 10.1007/3-540-31079-7_181, ISBN 978-3-540-31079-2, получено 17 марта 2022 г.
16. де Сварт, Он; Циммерман, Jtf (1 января 2009 г.). «Морфодинамика приливных систем». Ежегодный обзор механики жидкости . 41 (1): 203–229. Бибкод : 2009AnRFM..41..203D. doi : 10.1146/annurev.fluid.010908.165159. ISSN  0066-4189.
17. Гроен, П. (1 декабря 1967). «Об остаточном переносе взвесей переменным приливным течением». Нидерландский журнал морских исследований . 3 (4): 564–574. Бибкод : 1967NJSR....3..564G. дои : 10.1016/0077-7579(67)90004-X. ISSN  0077-7579.