Безразмерность

Техника математического упрощения в физических науках

Обезразмеривание — это частичное или полное удаление физических размерностей из уравнения , включающего физические величины, путем подходящей замены переменных . Этот метод может упростить и параметризовать задачи, в которых используются измеряемые единицы. Он тесно связан с анализом размерностей . В некоторых физических системах термин масштабирование используется как синоним обезразмеривания , чтобы предположить, что определенные величины лучше измеряются относительно некоторых подходящих единиц. Эти единицы относятся к величинам, присущим системе, а не к таким единицам, как единицы СИ . Обезразмеривание — это не то же самое, что преобразование обширных величин в уравнении в интенсивные величины, поскольку последняя процедура приводит к получению переменных, которые все еще содержат единицы.

Обезразмеривание также может восстановить характерные свойства системы. Например, если система имеет собственную резонансную частоту , длину или постоянную времени , обезразмеривание может восстановить эти значения. Этот метод особенно полезен для систем, которые можно описать дифференциальными уравнениями . Одним из важных применений является анализ систем управления . Одной из простейших характеристических единиц является время удвоения системы, испытывающей экспоненциальный рост , или, наоборот, период полураспада системы, испытывающей экспоненциальный распад ; более естественной парой характеристических единиц является средний возраст/ средняя продолжительность жизни , которые соответствуют базе e , а не базе 2.

Многие наглядные примеры обезразмеривания происходят из упрощения дифференциальных уравнений. Это связано с тем, что большой объем физических проблем можно сформулировать в терминах дифференциальных уравнений. Учтите следующее:

• Список тем динамических систем и дифференциальных уравнений
• Список тем, посвященных уравнениям в частных производных
• Дифференциальные уравнения математической физики

Хотя обезразмеривание хорошо приспособлено для решения этих задач, оно не ограничивается ими. Примером применения недифференциального уравнения является анализ размерностей; другой пример – нормализация в статистике .

Измерительные устройства являются практическим примером обезразмеривания, происходящего в повседневной жизни. Измерительные приборы калибруют относительно некоторой известной единицы. Последующие измерения производятся относительно этого стандарта. Затем абсолютное значение измерения восстанавливается путем масштабирования по отношению к стандарту.

Обоснование

Предположим, маятник колеблется с определенным периодом T. Для такой системы выгодно выполнять расчеты, относящиеся к раскачиванию относительно Т. В некотором смысле это нормализация измерения по периоду.

Измерения, выполненные относительно внутреннего свойства системы, будут применяться к другим системам, которые также обладают таким же внутренним свойством. Это также позволяет сравнивать общие свойства различных реализаций одной и той же системы. Обезразмеривание систематически определяет используемые характерные единицы системы, не полагаясь в значительной степени на предварительное знание внутренних свойств системы (не следует путать характерные единицы системы с естественными единицами природы ) . Фактически, обезразмеривание может указать параметры, которые следует использовать для анализа системы. Однако необходимо начать с уравнения, которое соответствующим образом описывает систему.

Шаги обезразмеривания

Чтобы обезразмерить систему уравнений, необходимо сделать следующее:

1. Определить все независимые и зависимые переменные;
2. Заменить каждую из них величиной, масштабированной относительно характерной единицы измерения, подлежащей определению;
3. Деление на коэффициент полинома высшего порядка или производного члена;
4. Подберите разумно определение характеристической единицы для каждой переменной так, чтобы коэффициенты как можно большего числа слагаемых становились равными 1;
5. Перепишем систему уравнений через их новые безразмерные величины.

Последние три шага обычно относятся к проблеме, в которой применяется обезразмеривание. Однако почти все системы требуют выполнения первых двух шагов.

Конвенции

Нет никаких ограничений на имена переменных, используемых для замены « x » и « t ». Однако их обычно выбирают так, чтобы их было удобно и интуитивно понятно использовать для решения поставленной задачи. Например, если « x » представляет массу, буква « m » может быть подходящим символом для обозначения безразмерной массы.

В этой статье были использованы следующие соглашения:

• t – представляет независимую переменную – обычно величину времени. Его безразмерный аналог — . ${\displaystyle \tau }$
• x – представляет зависимую переменную – может быть массой, напряжением или любой измеримой величиной. Его безразмерный аналог — . ${\displaystyle \chi }$

Индекс c , добавляемый к имени переменной величины, используется для обозначения характеристической единицы, используемой для масштабирования этой величины. Например, если x — величина, то x _c — характерная единица, используемая для ее масштабирования.

В качестве наглядного примера рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами :

$${\displaystyle a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).}$$

1. В этом уравнении независимая переменная здесь — t , а зависимая переменная — x .
2. Набор . Это приводит к уравнению ${\displaystyle x=\chi x_{c},\ t=\tau t_{c}}$
   $${\displaystyle a{\frac {x_{c}}{t_{c}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+bx_{c}\chi =Af(\tau t_{c})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ AF(\tau ).}$$
3. Коэффициент члена высшего порядка находится перед членом первой производной. Деление на это дает
   $${\displaystyle {\frac {d\chi }{d\tau }}+{\frac {bt_{c}}{a}}\chi ={\frac {At_{c}}{ax_{c}}}F(\tau ).}$$
4. Коэффициент перед содержит только одну характеристическую переменную t _c , поэтому проще всего сначала установить ее равным единице: ${\displaystyle \chi }$
   $${\displaystyle {\frac {bt_{c}}{a}}=1\Rightarrow t_{c}={\frac {a}{b}}.}$$
   Впоследствии
   $${\displaystyle {\frac {At_{c}}{ax_{c}}}={\frac {A}{bx_{c}}}=1\Rightarrow x_{c}={\frac {A}{b}}.}$$
5. Итоговое безразмерное уравнение в этом случае становится полностью независимым от каких-либо параметров с единицами измерения:
   $${\displaystyle {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$$

Замены

Предположим для простоты, что некоторая система характеризуется двумя переменными — зависимой переменной x и независимой переменной t , где x — функция от t . И x , и t представляют собой величины с единицами измерения. Чтобы масштабировать эти две переменные, предположим, что существуют две внутренние единицы измерения x _c и t _c с теми же единицами измерения, что и x и t соответственно, так что выполняются следующие условия:

$${\displaystyle \tau ={\frac {t}{t_{c}}}\Rightarrow t=\tau t_{c}}$$

$${\displaystyle \chi ={\frac {x}{x_{c}}}\Rightarrow x=\chi x_{c}.}$$

Эти уравнения используются для замены x и t при обезразмеривании. Если для описания исходной системы необходимы дифференциальные операторы, их масштабированные аналоги становятся безразмерными дифференциальными операторами.

Дифференциальные операторы

Рассмотрим отношения

$${\displaystyle \,\!t=\tau t_{c}\Rightarrow dt=t_{c}d\tau \Rightarrow {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{t_{c}}}.}$$

Безразмерный дифференциальный оператор по независимой переменной принимает вид

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {d\tau }{dt}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {1}{t_{c}}}{\frac {d}{d\tau }}\Rightarrow {\frac {d^{n}}{dt^{n}}}=\left({\frac {d}{dt}}\right)^{n}=\left({\frac {1}{t_{c}}}{\frac {d}{d\tau }}\right)^{n}={\frac {1}{t_{c}^{n}}}{\frac {d^{n}}{d\tau ^{n}}}.}$$

Принудительная функция

Если система имеет принудительную функцию , то ${\displaystyle \,\!f(t)}$

$${\displaystyle \,\!f(t)=f(\tau t_{c})=f(t(\tau ))=F(\tau ).}$$

Следовательно, новая силовая функция становится зависимой от безразмерной величины . ${\displaystyle \,\!F}$ ${\displaystyle \,\!\tau }$

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Система первого порядка

Рассмотрим дифференциальное уравнение системы первого порядка:

$${\displaystyle a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).}$$

Вывод характеристических единиц для этой системы дает

$${\displaystyle t_{c}={\frac {a}{b}},\ x_{c}={\frac {A}{b}}.}$$

Система второго порядка

Система второго порядка имеет вид

$${\displaystyle a{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b{\frac {dx}{dt}}+cx=Af(t).}$$

Шаг замены

Замените переменные x и t их масштабированными величинами. Уравнение становится

$${\displaystyle a{\frac {x_{c}}{t_{c}^{2}}}{\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+b{\frac {x_{c}}{t_{c}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+cx_{c}\chi =Af(\tau t_{c})=AF(\tau ).}$$

Это новое уравнение не является безразмерным, хотя все переменные с единицами изолированы в коэффициентах. При делении на коэффициент при члене высшего порядка уравнение принимает вид

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+t_{c}{\frac {b}{a}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+t_{c}^{2}{\frac {c}{a}}\chi ={\frac {At_{c}^{2}}{ax_{c}}}F(\tau ).}$$

Теперь необходимо определить величины x _c и t _c , чтобы коэффициенты стали нормированными. Поскольку имеется два свободных параметра, максимум два коэффициента могут быть равны единице.

Определение характеристических единиц

Рассмотрим переменную t _c :

1. Если член первого порядка нормирован. ${\displaystyle t_{c}={\frac {a}{b}}}$
2. Если член нулевого порядка нормирован. ${\displaystyle t_{c}={\sqrt {\frac {a}{c}}}}$

Обе замены действительны. Однако по педагогическим соображениям последняя замена используется для систем второго порядка. Выбор этой замены позволяет определить x _{c путем нормировки коэффициента вынуждающей функции:}

$${\displaystyle 1={\frac {At_{c}^{2}}{ax_{c}}}={\frac {A}{cx_{c}}}\Rightarrow x_{c}={\frac {A}{c}}.}$$

Дифференциальное уравнение становится

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+{\frac {b}{\sqrt {ac}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$$

Коэффициент при члене первого порядка безразмерен. Определять

$${\displaystyle 2\zeta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {b}{\sqrt {ac}}}.}$$

Коэффициент 2 присутствует, так что решения можно параметризовать через ζ . В контексте механических или электрических систем ζ известен как коэффициент демпфирования и является важным параметром, необходимым при анализе систем управления . 2 ζ также известна как ширина линии системы. Результатом определения является уравнение универсального осциллятора .

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$$

Системы высшего порядка

Общее линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

$${\displaystyle a_{n}{\frac {d^{n}x(t)}{dt^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}x(t)}{dt^{n-1}}}+\ldots +a_{1}{\frac {dx(t)}{dt}}+a_{0}x(t)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}{\frac {d^{k}x(t)}{dt^{k}}}=Af(t).}$$

Функция f ( t ) известна как вынуждающая функция .

Если дифференциальное уравнение содержит только вещественные (не комплексные) коэффициенты, то по свойствам такая система ведет себя как смесь систем только первого и второго порядка. Это связано с тем, что корни его характеристического многочлена либо вещественные , либо комплексно-сопряженные пары. Следовательно, понимание того, как обезразмеривание применяется к системам первого и второго порядка, позволяет определять свойства систем более высокого порядка посредством суперпозиции .

Число свободных параметров в безразмерной форме системы увеличивается с увеличением ее порядка. По этой причине обезразмеривание редко используется для дифференциальных уравнений более высокого порядка. Необходимость в этой процедуре также уменьшилась с появлением символьных вычислений .

Примеры восстановления единиц характеристик

Множество систем можно аппроксимировать как системами первого или второго порядка. К ним относятся механические, электрические, жидкостные, тепловые и крутильные системы. Это связано с тем, что фундаментальные физические величины, задействованные в каждом из этих примеров, связаны через производные первого и второго порядка.

Механические колебания

Масса, прикрепленная к пружине и демпферу.

Предположим, у нас есть масса, прикрепленная к пружине и демпферу, которые, в свою очередь, прикреплены к стене, и сила, действующая на массу по той же линии. Определять

• ${\displaystyle x}$= смещение от равновесия [м]
• ${\displaystyle t}$= время [с]
• ${\displaystyle f}$= внешняя сила или «возмущение», приложенное к системе [кг⋅м⋅с ⁻² ]
• ${\displaystyle m}$= масса блока [кг]
• ${\displaystyle B}$= константа демпфирования приборной панели [кг⋅с ⁻¹ ]
• ${\displaystyle k}$= силовая константа пружины [кг⋅с ⁻² ]

Предположим, что приложенная сила представляет собой синусоиду F = F ₀ cos( ωt ) , дифференциальное уравнение, описывающее движение блока, имеет вид

$${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+B{\frac {dx}{dt}}+kx=F_{0}\cos(\omega t)}$$

Собственная единица x _c соответствует расстоянию, на которое блок перемещается за единицу силы.

$${\displaystyle x_{c}={\frac {F_{0}}{k}}.}$$

t _c

$${\displaystyle t_{c}={\sqrt {\frac {m}{k}}}}$$

ζζкоэффициентом затухания

$${\displaystyle 2\zeta ={\frac {B}{\sqrt {mk}}}}$$

Электрические колебания

RC-цепь серии первого порядка

Для последовательного RC , подключенного к источнику напряжения

$${\displaystyle R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V(t)\Rightarrow {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau )}$$

$${\displaystyle Q=\chi x_{c},\ t=\tau t_{c},\ x_{c}=CV_{0},\ t_{c}=RC,\ F=V.}$$

Первая характеристическая единица соответствует общему заряду в цепи. Вторая характеристическая единица соответствует постоянной времени системы.

Схема RLC серии второго порядка

Для последовательной конфигурации компонентов R , C , L , где Q — заряд в системе.

$${\displaystyle L{\frac {d^{2}Q}{dt^{2}}}+R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V_{0}\cos(\omega t)\Rightarrow {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =\cos(\Omega \tau )}$$

с заменами

$${\displaystyle Q=\chi x_{c},\ t=\tau t_{c},\ \ x_{c}=CV_{0},\ t_{c}={\sqrt {LC}},\ 2\zeta =R{\sqrt {\frac {C}{L}}},\ \Omega =t_{c}\omega .}$$

Первая переменная соответствует максимальному заряду, накопленному в цепи. Резонансная частота определяется обратной величиной характерного времени. Последнее выражение представляет собой ширину линии системы. Ом можно рассматривать как нормированную частоту вынуждающей функции.

Квантовая механика

Квантовый гармонический осциллятор

Уравнение Шрёдингера для одномерного независимого от времени квантового гармонического осциллятора имеет вид

$${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}$$

Квадрат модуля волновой функции | ψ ( Икс )| ² представляет собой плотность вероятности, которая при интегрировании по x дает безразмерную вероятность. Следовательно, | ψ ( Икс )| ² имеет единицы обратной длины. Чтобы обезразмерить это, его необходимо переписать как функцию безразмерной переменной. Для этого заменим

$${\displaystyle {\tilde {x}}\equiv {\frac {x}{x_{\text{c}}}},}$$

x _c ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$

$${\displaystyle \psi (x)=\psi ({\tilde {x}}x_{\text{c}})=\psi (x(x_{\text{c}}))={\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

Дифференциальное уравнение тогда принимает вид

$${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{x_{\text{c}}^{2}}}{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{\text{c}}^{2}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E\,{\tilde {\psi }}({\tilde {x}})\Rightarrow \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\frac {2mx_{\text{c}}^{2}E}{\hbar ^{2}}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

Чтобы сделать слагаемое перед безразмерным, положим ${\displaystyle {\tilde {x}}^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}=1\Rightarrow x_{\text{c}}={\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}.}$$

Полностью обезразмеренное уравнение имеет вид

$${\displaystyle \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\tilde {E}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}),}$$

$${\displaystyle E\equiv {\frac {\hbar \omega }{2}}{\tilde {E}}.}$$

основного состояниясостояний ${\displaystyle {\tilde {E}}}$

$${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

Статистические аналоги

В статистике аналогичный процесс обычно представляет собой деление разницы (расстояния) на масштабный коэффициент (меру статистической дисперсии ), что дает безразмерное число, называемое нормализацией . Чаще всего это деление ошибок или остатков на стандартное отклонение или стандартное отклонение выборки, соответственно, с получением стандартных оценок и стьюдентизированных остатков .

Смотрите также

• Теорема Букингема о π
• Безразмерное число
• Натуральные единицы
• Системная эквивалентность
• RLC-схема
• RL-схема
• RC-цепь
• Логистическое уравнение

Внешние ссылки

• Анализ моделей дифференциальных уравнений в биологии: пример популяций меристемы клевера (Применение обезразмеривания к проблеме биологии).
• Конспекты курса по математическому моделированию и промышленной математике Джонатан Эванс, факультет математических наук, Университет Бата . (см. главу 3).
• Масштабирование дифференциальных уравнений Ханс Петтер Лангтанген, Гейр К. Педерсен, Центр биомедицинских вычислений, Исследовательская лаборатория Simula и факультет информатики, Университет Осло .