Необходимость и достаточность

Термины для описания условной связи между двумя утверждениями

В логике и математике необходимость и достаточность — это термины, используемые для описания условной или подразумеваемой связи между двумя утверждениями . Например, в условном утверждении : «Если P , то Q » , Q необходимо для P , поскольку истинность Q гарантируется истинностью P. (Точно так же невозможно иметь P без Q , или ложность Q гарантирует ложность P. ) ^[1] Аналогично, P достаточно для Q , потому что истинность P всегда подразумевает, что Q истинно, но P не является true не всегда означает, что Q неправда. ^[2]

В общем, необходимое условие — это одно (возможно, одно из нескольких условий), которое должно присутствовать для того, чтобы возникло другое условие, тогда как достаточное условие — это то, которое создает указанное условие. ^[3] Утверждение о том, что одно утверждение является «необходимым и достаточным» условием другого, означает, что первое утверждение истинно тогда и только тогда, когда истинно второе. То есть два утверждения должны быть либо одновременно истинными, либо одновременно ложными. ^{[4] [5] [6]}

В обычном английском (также естественном ) слова «необходимый» и «достаточный» указывают на отношения между условиями или положениями дел, а не на утверждения. Например, быть мужчиной — необходимое условие, чтобы быть братом, но этого недостаточно, тогда как быть братом мужского пола — необходимое и достаточное условие, чтобы быть братом. Любое условное утверждение состоит хотя бы из одного достаточного условия и хотя бы из одного необходимого условия.

В анализе данных необходимость и достаточность могут относиться к разным причинно-следственным логикам, ^[7] где анализ необходимых условий и качественный сравнительный анализ могут использоваться в качестве аналитических методов для изучения необходимости и достаточности условий для конкретного интересующего результата.

Определения

В условном операторе «если S , то N » выражение, представленное S , называется антецедентом , а выражение, представленное N, называется консеквентом . Это условное утверждение можно записать несколькими эквивалентными способами, например: « N , если S », « S , только если N », « S подразумевает N », « N подразумевается из S », S → N , S ⇒ N и « N». всякий раз, когда S ". ^[8]

В приведенной выше ситуации «N всякий раз, когда S», N считается необходимым условием для S. На обычном языке это эквивалентно утверждению, что если условное утверждение является истинным утверждением, то консеквент N должен быть истинным — если S должно быть истинным (см. третий столбец « таблицы истинности » непосредственно ниже). Другими словами, антецедент S не может быть истинным, если N не является истинным. В обратной ситуации «Если N, то S», например, для того, чтобы кого-то можно было назвать Сократом , необходимо, чтобы этот кто-то был N- амедом. Точно так же, чтобы люди могли жить, им необходим воздух. ^[9]

Можно также сказать, что S является достаточным условием для N (снова обратитесь к третьему столбцу таблицы истинности непосредственно ниже). Если условное утверждение истинно, то если S истинно, то N должно быть истинным; тогда как если условное утверждение истинно и N истинно, то S может быть истинным или ложным. Проще говоря, «истина S гарантирует истинность N ». ^[9] Например, продолжая предыдущий пример, можно сказать, что знания того, что кого-то зовут Сократом , достаточно, чтобы знать, что у кого-то есть имя .

Необходимое и достаточное условие требует, чтобы выполнялись обе импликации и (последнее из которых также можно записать как ). Первая импликация предполагает, что S является достаточным условием для N , а вторая импликация предполагает, что S является необходимым условием для N. Это выражается как « S необходимо и достаточно для N », « S тогда и только тогда, когда N » или . ${\displaystyle S\Rightarrow N}$ ${\displaystyle N\Rightarrow S}$ ${\displaystyle S\Leftarrow N}$ ${\displaystyle S\Leftrightarrow N}$

Необходимость

Нахождение солнца над горизонтом является необходимым условием для попадания прямых солнечных лучей; но это не достаточное условие, так как тень может отбрасывать что-то еще, например, Луна в случае затмения .

Утверждение о том, что Q необходимо для P, в просторечии эквивалентно утверждению: « P не может быть истинным, если Q не истинно» или «если Q ложно, то P ложно». ^{[9] [1]} В противоположность этому, это то же самое, что «всякий раз, когда P истинно, истинно и Q ».

Логическое отношение между P и Q выражается как «если P , то Q » и обозначается « P ⇒ Q » ( P подразумевает Q ). Это также может быть выражено как любое из « P только если Q », « Q , если P », « Q всякий раз, когда P » и « Q , когда P ». Часто, например, в математической прозе встречаются несколько необходимых условий, которые в совокупности составляют достаточное условие (т. е. индивидуально необходимое и совместно достаточное ^[9] ), как показано в примере 5.

Пример 1

Чтобы было правдой, что «Джон — холостяк», необходимо, чтобы было также верно, что он

1. Незамужняя,
2. мужской,
3. взрослый,

поскольку утверждение «Джон — холостяк» подразумевает, что у Джона есть каждый из этих трех дополнительных предикатов .

Пример 2

Для целых чисел больше двух необходимо, чтобы они были нечетными, чтобы быть простыми, поскольку два — единственное целое число, которое одновременно является четным и простым.

Пример 3

Рассмотрим гром, звук, вызванный молнией. Говорят, что гром необходим для молнии, так как молния никогда не бывает без грома. Всякий раз, когда есть молния, есть гром. Гром не вызывает молнию (поскольку молния вызывает гром), но поскольку молния всегда сопровождается громом, мы говорим, что гром необходим для молнии. (То есть в формальном смысле необходимость не предполагает причинности.)

Пример 4

Для работы в Сенате США необходимо быть не моложе 30 лет. Если вам меньше 30 лет, то вы не сможете быть сенатором. То есть, если вы сенатор, то, следовательно, вам должно быть не менее 30 лет.

Пример 5

В алгебре для того, чтобы некоторое множество S вместе с операцией образовало группу , необходимо, чтобы оно было ассоциативным . Также необходимо, чтобы S включал специальный элемент e, такой, чтобы для каждого x в S был случай, когда e x и x e равны x . Также необходимо, чтобы для каждого x в S существовал соответствующий элемент x″ , такой, что и x x″, и x″ x равны специальному элементу e . Ни одно из этих трех необходимых условий само по себе не является достаточным, но достаточно их соединения . ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star }$

Достаточность

Достаточным условием прибытия вовремя может быть то, что поезд ходит по расписанию (если кто-то сядет в поезд и он отправится вовремя, то он прибудет вовремя); но это не всегда необходимое условие, поскольку есть и другие способы передвижения (если поезд не ходит вовремя, все равно можно приехать вовремя на другом виде транспорта).

Если P достаточно для Q , то знание того, что P истинно, является адекватным основанием для заключения, что Q истинно; однако знание того, что P ложно, не отвечает минимальной необходимости заключить, что Q ложно.

Логическое отношение, как и прежде, выражается как «если P , то Q » или « P ⇒ Q ». Это также можно выразить как « P только если Q », « P подразумевает Q » или несколько других вариантов. Может случиться так, что несколько достаточных условий, взятые вместе, составляют одно необходимое условие (т. е. индивидуально достаточное и совместно необходимое), как показано в примере 5.

Пример 1

«Джон — король» подразумевает, что Джон — мужчина. Таким образом, знания о том, что Джон — король, достаточно, чтобы знать, что он мужчина.

Пример 2

Делимости числа на 4 достаточно (но не обязательно), чтобы оно было четным, но делимости на 2 достаточно и необходимо, чтобы оно было четным.

Пример 3

Появление грома является достаточным условием появления молнии в том смысле, что слух о громе и однозначное признание его таковым дает основание сделать вывод о том, что произошла молния.

Пример 4

Если Конгресс США примет законопроект, подписания закона президентом будет достаточно, чтобы он стал законом. Обратите внимание, что случай, когда президент не подписал законопроект, например, применив президентское вето , не означает, что законопроект не стал законом (например, он все равно мог стать законом в результате отмены решения Конгресса ).

Пример 5

Чтобы центр игральной карты был отмечен одной большой пикой (♠), достаточно, чтобы карта была тузом. Три других достаточных условия заключаются в том, что центр карты должен быть отмечен одним ромбом (♦), червью (♥) или трефой (♣). Ни одно из этих условий не является необходимым для того, чтобы карта была тузом, но их дизъюнкция необходима, поскольку ни одна карта не может быть тузом без выполнения хотя бы (фактически точно) одного из этих условий.

Связь между необходимостью и достаточностью

Нахождения в фиолетовом регионе достаточно для пребывания в А, но это не обязательно. Нахождение в А необходимо для пребывания в фиолетовой области, но недостаточно. Нахождение в А и пребывание в Б необходимо и достаточно для пребывания в фиолетовой области.

Условие может быть необходимым или достаточным, не будучи при этом другим. Например, быть млекопитающим ( N ) необходимо, но недостаточно, чтобы быть человеком ( S ), а то, что число является рациональным ( S ), достаточно, но не обязательно, чтобы быть действительным числом ( N ) (поскольку существуют действительные числа, которые не рациональны). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Условие может быть как необходимым, так и достаточным. Например, в настоящее время фраза «сегодня Четвертое июля » является необходимым и достаточным условием для того, чтобы «сегодня День независимости в Соединенных Штатах ». Аналогично , необходимым и достаточным условием обратимости матрицы M является наличие у M ненулевого определителя .

С математической точки зрения необходимость и достаточность двойственны друг другу. Для любых утверждений S и N утверждение, что « N необходимо для S », эквивалентно утверждению, что « S достаточно для N ». Другой аспект этой двойственности заключается в том, что, как показано выше, соединения (с использованием «и») необходимых условий могут достигать достаточности, тогда как дизъюнкции (с использованием «или») достаточных условий могут достигать необходимости. В качестве третьего аспекта идентифицируйте каждый математический предикат N с набором T ( N ) объектов, событий или утверждений, для которых N истинно; тогда утверждение необходимости N для S эквивалентно утверждению, что T (N) является надмножеством T ( S ) , а утверждение достаточности S для N эквивалентно утверждению , что T ( S ) является подмножеством T ( N ).

С психологической точки зрения необходимость и достаточность являются ключевыми аспектами классического взгляда на понятия. Согласно классической теории понятий, то, как человеческий разум представляет категорию X, порождает набор индивидуально необходимых условий, которые определяют X. Вместе этих индивидуально необходимых условий достаточно, чтобы быть X. [ ^10] Это контрастирует с вероятностной теорией понятий. концепции, в которых говорится, что никакая определяющая черта не является необходимой или достаточной, а скорее что категории напоминают структуру генеалогического древа.

Одновременная необходимость и достаточность

Сказать, что P необходимо и достаточно для Q , значит сказать две вещи:

1. что P необходимо для Q , , и что P достаточно для Q , . ${\displaystyle P\Leftarrow Q}$ ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$
2. эквивалентно, это можно понимать как утверждение, что P и Q необходимы для другого, что также можно утверждать, поскольку каждое достаточно для другого или подразумевает другое. ${\displaystyle P\Rightarrow Q\land Q\Rightarrow P}$

Любой, а значит, и все эти случаи можно суммировать с помощью утверждения « P тогда и только тогда, когда Q », которое обозначается , тогда как случаи говорят нам, что это идентично . ${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$ ${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$ ${\displaystyle P\Rightarrow Q\land Q\Rightarrow P}$

Например, в теории графов граф G называется двудольным , если каждой его вершине можно присвоить черный или белый цвет таким образом, что каждое ребро G имеет по одной конечной точке каждого цвета. А для того, чтобы любой граф был двудольным, необходимым и достаточным условием является отсутствие в нем циклов нечетной длины . Таким образом, обнаружение того, есть ли в графе нечетные циклы, позволяет узнать, является ли он двудольным, и наоборот. Философ ^[11] мог бы охарактеризовать это положение дел так: «Хотя понятия двудольности и отсутствия нечетных циклов различаются по интенсионалу , они имеют одинаковое расширение» . ^[12]

В математике теоремы часто формулируются в форме « P истинно тогда и только тогда, когда Q истинно».

Поскольку, как объяснялось в предыдущем разделе, необходимость одного для другого эквивалентна достаточности другого для первого, например, эквивалентна , если P необходимо и достаточно для Q , то Q необходимо и достаточно для P . Мы можем написать и сказать, что утверждения « P истинно тогда и только тогда, когда Q истинно» и « Q истинно тогда и только тогда, когда P истинно» эквивалентны. ${\displaystyle P\Leftarrow Q}$ ${\displaystyle Q\Rightarrow P}$ ${\displaystyle P\Leftrightarrow Q\equiv Q\Leftrightarrow P}$

Смотрите также

• Подтверждая следствие
• Биологические тесты необходимости и достаточности
• Причинность
• Закрытая концепция
• Отрицание антецедента
• Если и только если
• Материальный смысл (значения)
• Принцип достаточного основания
• Задача выбора Васона
• Модус поненс
• Модус толленс

Рекомендации

1. «[M06] Необходимость и достаточность». философия.hku.hk . Проверено 2 декабря 2019 г.
2. Блох, Итан Д. (2011). Доказательства и основы: первый курс абстрактной математики . Спрингер. стр. 8–9. ISBN 978-1-4419-7126-5.
3. Необходимое замешательство (15 мая 2019 г.). «Смешение необходимого с достаточным условием». www.txstate.edu . Проверено 2 декабря 2019 г.
4. Бетц, Фредерик (2011). Управляющая наука: методология и организация исследований . Нью-Йорк: Спрингер. п. 247. ИСБН 978-1-4419-7487-7.
5. Манктелов, К.И. (1999). Рассуждение и мышление . Восточный Суссекс, Великобритания: Psychology Press. ISBN 0-86377-708-2.
6. Аснина, Эрика; Осис, Янис и Янсоне, Аснатэ (2013). «Формальная спецификация топологических отношений». Базы данных и информационные системы VII . 249 (Базы данных и информационные системы VII): 175. doi :10.3233/978-1-61499-161-8-175.
7. Рихтер, Николь Франциска; Хауф, Свен (01 августа 2022 г.). «Необходимые условия в международных бизнес-исследованиях – развитие этой области с новым взглядом на причинно-следственную связь и анализ данных» (PDF) . Журнал мирового бизнеса . 57 (5): 101310. doi : 10.1016/j.jwb.2022.101310 . ISSN  1090-9516.
8. Девлин, Кейт (2004), Множества, функции и логика / Введение в абстрактную математику (3-е изд.), Chapman & Hall, стр. 22–23, ISBN 978-1-58488-449-1
9. «Понятие необходимых и достаточных условий». www.sfu.ca. _ Проверено 2 декабря 2019 г.
10. "Классическая теория понятий, | Интернет-энциклопедия философии".
11. Букварь Стэнфордского университета, 2006 г.
12. «Значения в этом смысле часто называются интенсионалами , а обозначаемые вещи — расширениями . Контексты, в которых расширение — это все, что имеет значение, естественно, называются экстенсиональными , тогда как контексты, в которых расширения недостаточно, являются интенсиональными . Математика обычно экстенсиональна во всем ." Букварь Стэнфордского университета, 2006 г.

Внешние ссылки

• Веб-руководство по критическому мышлению: необходимые и достаточные условия
• Университет Саймона Фрейзера: концепции с примерами