В логике и математике необходимость и достаточность — это термины, используемые для описания условной или подразумеваемой связи между двумя утверждениями . Например, в условном утверждении : «Если P , то Q » , Q необходимо для P , поскольку истинность Q гарантируется истинностью P. (Точно, невозможно иметь P без Q , или ложность Q гарантирует ложность P. ) [1] Аналогично, P достаточно для Q , потому что истинность P всегда подразумевает, что Q истинно, но P не является true не всегда означает, что Q неправда. [2]
В общем, необходимое условие — это одно (возможно, одно из нескольких условий), которое должно присутствовать для того, чтобы возникло другое условие, тогда как достаточное условие — это то, которое создает указанное условие. [3] Утверждение о том, что одно утверждение является «необходимым и достаточным» условием другого, означает, что первое утверждение истинно тогда и только тогда, когда истинно второе. То есть два утверждения должны быть либо одновременно истинными, либо одновременно ложными. [4] [5] [6]
В обычном английском (также естественном ) слова «необходимый» и «достаточный» указывают на отношения между условиями или положениями дел, а не на утверждения. Например, быть мужчиной — необходимое условие, чтобы быть братом, но этого недостаточно, тогда как быть братом мужского пола — необходимое и достаточное условие, чтобы быть братом. Любое условное утверждение состоит хотя бы из одного достаточного условия и хотя бы из одного необходимого условия.
В анализе данных необходимость и достаточность могут относиться к разным причинно-следственным логикам, [7] где анализ необходимых условий и качественный сравнительный анализ могут использоваться в качестве аналитических методов для изучения необходимости и достаточности условий для конкретного интересующего результата.
В условном операторе «если S , то N » выражение, представленное S , называется антецедентом , а выражение, представленное N, называется консеквентом . Это условное утверждение можно записать несколькими эквивалентными способами, например: « N , если S », « S , только если N », « S подразумевает N », « N подразумевается из S », S → N , S ⇒ N и « N». всякий раз, когда S ". [8]
В приведенной выше ситуации «N всякий раз, когда S», N считается необходимым условием для S. На обычном языке это эквивалентно утверждению, что если условное утверждение является истинным утверждением, то консеквент N должен быть истинным — если S должно быть истинным (см. третий столбец « таблицы истинности » непосредственно ниже). Другими словами, антецедент S не может быть истинным без истинного N. В обратной ситуации «Если N, то S», например, для того, чтобы кого-то можно было назвать Сократом , необходимо, чтобы этот кто-то был N- амедом. Точно так же, чтобы люди могли жить, им необходим воздух. [9]
Можно также сказать, что S является достаточным условием для N (снова обратитесь к третьему столбцу таблицы истинности непосредственно ниже). Если условное утверждение истинно, то если S истинно, то N должно быть истинным; тогда как если условное утверждение истинно и N истинно, то S может быть истинным или ложным. Проще говоря, «истина S гарантирует истинность N ». [9] Например, продолжая предыдущий пример, можно сказать, что знания того, что кого-то зовут Сократом , достаточно, чтобы знать, что у кого-то есть имя .
Необходимое и достаточное условие требует, чтобы выполнялись обе импликации и (последнее из которых также можно записать как ). Первая импликация предполагает, что S является достаточным условием для N , а вторая импликация предполагает, что S является необходимым условием для N. Это выражается как « S необходимо и достаточно для N », « S тогда и только тогда, когда N » или .
Утверждение о том, что Q необходимо для P, в просторечии эквивалентно утверждению: « P не может быть истинным, если Q не истинно» или «если Q ложно, то P ложно». [9] [1] В противоположность этому, это то же самое, что «всякий раз, когда P истинно, истинно и Q ».
Логическое отношение между P и Q выражается как «если P , то Q » и обозначается « P ⇒ Q » ( P подразумевает Q ). Это также может быть выражено как любое из « P только если Q », « Q , если P », « Q всякий раз, когда P » и « Q , когда P ». Часто, например, в математической прозе встречаются несколько необходимых условий, которые в совокупности составляют достаточное условие (т. е. индивидуально необходимое и совместно достаточное [9] ), как показано в примере 5.
Если P достаточно для Q , то знание того, что P истинно, является адекватным основанием для заключения, что Q истинно; однако знание того, что P ложно, не отвечает минимальной необходимости заключить, что Q ложно.
Логическое отношение, как и прежде, выражается как «если P , то Q » или « P ⇒ Q ». Это также можно выразить как « P только если Q », « P подразумевает Q » или несколько других вариантов. Может случиться так, что несколько достаточных условий, взятые вместе, составляют одно необходимое условие (т. е. индивидуально достаточное и совместно необходимое), как показано в примере 5.
Условие может быть необходимым или достаточным, не будучи при этом другим. Например, быть млекопитающим ( N ) необходимо, но недостаточно, чтобы быть человеком ( S ), а то, что число является рациональным ( S ), достаточно, но не обязательно, чтобы быть действительным числом ( N ) (поскольку существуют действительные числа, которые не рациональны).
Условие может быть как необходимым, так и достаточным. Например, в настоящее время фраза «сегодня Четвертое июля » является необходимым и достаточным условием для того, чтобы «сегодня День независимости в Соединенных Штатах ». Аналогично , необходимым и достаточным условием обратимости матрицы M является наличие у M ненулевого определителя .
С математической точки зрения необходимость и достаточность двойственны друг другу. Для любых утверждений S и N утверждение, что « N необходимо для S », эквивалентно утверждению, что « S достаточно для N ». Другой аспект этой двойственности заключается в том, что, как показано выше, соединения (с использованием «и») необходимых условий могут достигать достаточности, тогда как дизъюнкции (с использованием «или») достаточных условий могут достигать необходимости. В качестве третьего аспекта идентифицируйте каждый математический предикат N с набором T ( N ) объектов, событий или утверждений, для которых N истинно; тогда утверждение необходимости N для S эквивалентно утверждению, что T (N) является надмножеством T ( S ) , а утверждение достаточности S для N эквивалентно утверждению , что T ( S ) является подмножеством T ( N ).
С психологической точки зрения необходимость и достаточность являются ключевыми аспектами классического взгляда на понятия. Согласно классической теории понятий, то, как человеческое сознание представляет категорию X, порождает набор индивидуально необходимых условий, которые определяют X. Вместе этих индивидуально необходимых условий достаточно, чтобы быть X. [ 10] Это контрастирует с вероятностной теорией понятий. концепции, в которых говорится, что никакая определяющая черта не является необходимой или достаточной, а скорее что категории напоминают структуру генеалогического древа.
Сказать, что P необходимо и достаточно для Q , значит сказать две вещи:
Любой, а значит, и все эти случаи можно суммировать с помощью утверждения « P тогда и только тогда, когда Q », которое обозначается , тогда как случаи говорят нам, что это идентично .
Например, в теории графов граф G называется двудольным , если каждой его вершине можно присвоить черный или белый цвет таким образом, что каждое ребро G имеет по одной конечной точке каждого цвета. А для того, чтобы любой граф был двудольным, необходимым и достаточным условием является отсутствие в нем циклов нечетной длины . Таким образом, обнаружение того, есть ли в графе нечетные циклы, позволяет узнать, является ли он двудольным, и наоборот. Философ [11] мог бы охарактеризовать это положение дел так: «Хотя понятия двудольности и отсутствия нечетных циклов различаются по интенсионалу , они имеют одинаковое расширение» . [12]
В математике теоремы часто формулируются в форме « P истинно тогда и только тогда, когда Q истинно».
Поскольку, как объяснялось в предыдущем разделе, необходимость одного для другого эквивалентна достаточности другого для первого, например, эквивалентна , если P необходимо и достаточно для Q , то Q необходимо и достаточно для P . Мы можем написать и сказать, что утверждения « P истинно тогда и только тогда, когда Q истинно» и « Q истинно тогда и только тогда, когда P истинно» эквивалентны.