Неопределенность измерения

Фактор меньшей вероятности при измерении

В метрологии неопределенность измерения — это выражение статистического разброса значений, приписываемых величине, измеренной по интервальной или относительной шкале .

Все измерения подвержены неопределенности, и результат измерения является полным только тогда, когда он сопровождается заявлением о связанной неопределенности, такой как стандартное отклонение . По международному соглашению эта неопределенность имеет вероятностную основу и отражает неполное знание значения величины. Это неотрицательный параметр. ^[1]

Неопределенность измерения часто принимается как стандартное отклонение распределения вероятности состояния знаний по возможным значениям, которые могут быть приписаны измеряемой величине. Относительная неопределенность — это неопределенность измерения относительно величины конкретного единичного выбора для значения измеряемой величины, когда этот выбор не равен нулю. Этот конкретный единичный выбор обычно называется измеренным значением, которое может быть оптимальным в некотором четко определенном смысле (например, среднее значение , медиана или мода ) . Таким образом, относительная неопределенность измерения — это неопределенность измерения, деленная на абсолютное значение измеренного значения, когда измеренное значение не равно нулю.

Фон

Целью измерения является предоставление информации об интересующей величине – измеряемой величине. Измеряемые величины на шкале отношений или интервалов включают размер цилиндрического элемента, объем сосуда, разность потенциалов между клеммами батареи или массовую концентрацию свинца в колбе с водой.

Ни одно измерение не является точным. Когда измеряется величина, результат зависит от измерительной системы, процедуры измерения, мастерства оператора, окружающей среды и других эффектов. ^[2] Даже если бы величина измерялась несколько раз, одним и тем же способом и в одних и тех же обстоятельствах, в общем случае каждый раз получалось бы разное измеренное значение, при условии, что измерительная система имеет достаточное разрешение, чтобы различать значения.

Дисперсия измеренных значений будет связана с тем, насколько хорошо выполнено измерение. Если измерять по шкале отношений или интервалов , их среднее значение даст оценку истинного значения величины, которая, как правило, будет более надежной, чем отдельное измеренное значение. Дисперсия и количество измеренных значений дадут информацию, касающуюся среднего значения как оценки истинного значения. Однако эта информация, как правило, не будет адекватной.

Измерительная система может предоставлять измеренные значения, которые не разбросаны относительно истинного значения, а относительно некоторого значения, смещенного от него. Возьмем бытовые напольные весы. Предположим, что они не настроены на показ нуля, когда на весах никого нет, а на показ некоторого значения, смещенного от нуля. Тогда, независимо от того, сколько раз была переизмерена масса человека, эффект этого смещения будет неотъемлемо присутствовать в среднем значении.

"Руководство по выражению неопределенности измерений" (широко известное как GUM) является окончательным документом по этому вопросу. GUM был принят всеми основными национальными институтами измерений (НМИ) и международными стандартами аккредитации лабораторий, такими как ISO/IEC 17025 Общие требования к компетентности испытательных и калибровочных лабораторий , который требуется для международной аккредитации лабораторий и используется в большинстве современных национальных и международных документированных стандартов по методам и технологиям измерений. См. Joint Committee for Guides in Metrology .

Неопределенность измерений имеет важные экономические последствия для калибровки и измерительной деятельности. В отчетах о калибровке величина неопределенности часто рассматривается как показатель качества лаборатории, а меньшие значения неопределенности, как правило, имеют большую ценность и более высокую стоимость. Американское общество инженеров-механиков (ASME) разработало набор стандартов, касающихся различных аспектов неопределенности измерений. Например, стандарты ASME используются для рассмотрения роли неопределенности измерений при приемке или отклонении продуктов на основе результата измерения и спецификации продукта, ^[3] чтобы обеспечить упрощенный подход (по сравнению с GUM) к оценке размерной неопределенности измерений, ^[4] чтобы разрешить разногласия по поводу величины заявления о неопределенности измерений, ^[5] и предоставить руководство по рискам, связанным с любым решением о приемке/отклонении продукта. ^[6]

Косвенное измерение

Вышеизложенное обсуждение касается прямого измерения величины, что, кстати, случается редко. Например, напольные весы могут преобразовывать измеренное удлинение пружины в оценку измеряемой величины, массы человека на весах. Конкретное соотношение между удлинением и массой определяется калибровкой весов . Модель измерения преобразует значение величины в соответствующее значение измеряемой величины.

На практике существует множество типов измерений и, следовательно, множество моделей. Простая модель измерения (например, для весов, где масса пропорциональна удлинению пружины) может быть достаточной для повседневного домашнего использования. В качестве альтернативы, более сложная модель взвешивания, включающая дополнительные эффекты, такие как подъемная сила воздуха , способна обеспечить лучшие результаты для промышленных или научных целей. В общем, часто существует несколько различных величин, например, температура , влажность и смещение , которые способствуют определению измеряемой величины и которые необходимо измерить.

Поправочные члены должны быть включены в модель измерения, когда условия измерения не совсем такие, как предусмотрено. Эти члены соответствуют систематическим ошибкам . При наличии оценки поправочного члена соответствующая величина должна быть скорректирована этой оценкой. Будет неопределенность, связанная с оценкой, даже если оценка равна нулю, как это часто бывает. Случаи систематических ошибок возникают при измерении высоты, когда выравнивание измерительного прибора не идеально вертикально, а температура окружающей среды отличается от предписанной. Ни выравнивание прибора, ни температура окружающей среды не указаны точно, но информация об этих эффектах доступна, например, отсутствие выравнивания составляет не более 0,001°, а температура окружающей среды во время измерения отличается от предусмотренной не более чем на 2 °C.

Помимо необработанных данных, представляющих измеренные значения, существует еще одна форма данных, которая часто требуется в модели измерения. Некоторые из таких данных относятся к величинам, представляющим физические константы , каждая из которых известна несовершенно. Примерами являются материальные константы, такие как модуль упругости и удельная теплоемкость . Часто в справочниках, сертификатах калибровки и т. д. приводятся другие соответствующие данные, которые рассматриваются как оценки дополнительных величин.

Элементы, требуемые моделью измерения для определения измеряемой величины, называются входными величинами в модели измерения. Модель часто называют функциональной зависимостью. Выходной величиной в модели измерения является измеряемая величина.

Формально выходная величина, обозначаемая , о которой требуется информация, часто соотносится с входными величинами, обозначаемыми , о которых имеется информация, с помощью модели измерения в виде ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$

${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N}),}$

где известно как функция измерения. Общее выражение для модели измерения: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle h(Y,}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N})=0.}$

Предполагается, что существует процедура для вычисления данного , которая однозначно определяется этим уравнением. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle Y}$

Распространение распределений

Истинные значения входных величин неизвестны. В подходе GUM характеризуются распределениями вероятностей и математически рассматриваются как случайные величины . Эти распределения описывают соответствующие вероятности их истинных значений, лежащих в разных интервалах, и назначаются на основе имеющихся знаний относительно . Иногда некоторые или все из взаимосвязаны, и соответствующие распределения, которые известны как совместные , применяются к этим величинам, взятым вместе. ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$

Рассмотрим оценки , соответственно, входных величин , полученные из сертификатов и отчетов, спецификаций производителей, анализа данных измерений и т. д. Распределения вероятностей, характеризующие , выбираются таким образом, что оценки , соответственно, являются ожиданиями ^[7] . Более того, для th входной величины рассмотрим так называемую стандартную неопределенность , заданную символом , определяемую как стандартное отклонение ^[7] входной величины . Говорят, что эта стандартная неопределенность связана с (соответствующей) оценкой . ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u(x_{i})}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Использование имеющихся знаний для установления распределения вероятностей для характеристики каждой интересующей величины применяется к и также к . В последнем случае характеризующее распределение вероятностей для определяется моделью измерения вместе с распределениями вероятностей для . Определение распределения вероятностей для из этой информации известно как распространение распределений . ^[7] ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y}$

На рисунке ниже изображена модель измерения в случае, когда и характеризуются (различным) прямоугольным или равномерным распределением вероятностей. в этом случае имеет симметричное трапециевидное распределение вероятностей. ${\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle Y}$

Аддитивная функция измерения с двумя входными величинами , характеризующаяся прямоугольными распределениями вероятностей ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$

После того, как входные величины были охарактеризованы соответствующими распределениями вероятностей и была разработана модель измерения, распределение вероятностей для измеряемой величины полностью определено в терминах этой информации. В частности, ожидание используется как оценка , а стандартное отклонение как стандартная неопределенность, связанная с этой оценкой. ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Часто требуется интервал, содержащий с указанной вероятностью. Такой интервал, интервал покрытия, может быть выведен из распределения вероятностей для . Указанная вероятность известна как вероятность покрытия. Для заданной вероятности покрытия существует более одного интервала покрытия. Вероятностно симметричный интервал покрытия — это интервал, для которого вероятности (сумма которых равна единице минус вероятность покрытия) значения слева и справа от интервала равны. Самый короткий интервал покрытия — это интервал, для которого длина наименьшая среди всех интервалов покрытия, имеющих одинаковую вероятность покрытия. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Также можно учитывать априорные знания об истинном значении выходной величины . Для домашних напольных весов тот факт, что масса человека положительна, и что измеряется масса человека, а не автомобиля, оба представляют собой априорные знания о возможных значениях измеряемой величины в этом примере. Такая дополнительная информация может быть использована для предоставления распределения вероятностей для , которое может дать меньшее стандартное отклонение для и, следовательно, меньшую стандартную неопределенность, связанную с оценкой . ^{[8] [9] [10]} ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Оценка неопределенности типа А и типа В

Знание о входной величине выводится из повторяющихся измеренных значений («оценка неопределенности типа А») или научного суждения или другой информации относительно возможных значений величины («оценка неопределенности типа В»). ${\displaystyle X_{i}}$

В оценках типа А неопределенности измерений часто делается предположение, что распределение, наилучшим образом описывающее входную величину при ее повторных измеренных значениях (полученных независимо), является гауссовым распределением . тогда имеет ожидание, равное среднему измеренному значению, и стандартное отклонение, равное стандартному отклонению среднего. Когда неопределенность оценивается по небольшому числу измеренных значений (рассматриваемых как примеры величины, характеризующейся гауссовым распределением), соответствующее распределение можно принять за t -распределение . ^[11] Другие соображения применяются, когда измеренные значения не получены независимо. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Для оценки неопределенности типа B часто единственной доступной информацией является та, которая находится в указанном интервале [ ]. В таком случае знание величины может быть охарактеризовано прямоугольным распределением вероятностей ^[11] с пределами и . Если бы была доступна другая информация, использовалось бы распределение вероятностей, согласующееся с этой информацией. ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Коэффициенты чувствительности

Коэффициенты чувствительности описывают , как оценка будет зависеть от небольших изменений в оценках входных величин . Для модели измерения коэффициент чувствительности равен частной производной первого порядка по отношению к оцененной при , и т.д. Для линейной модели измерения ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{N}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N})}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{1}=x_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}=x_{2}}$

${\displaystyle Y=c_{1}X_{1}+\cdots +c_{N}X_{N},}$

с независимыми, изменение в равное даст изменение в Это утверждение, как правило, является приближенным для моделей измерений . Относительные величины членов полезны при оценке соответствующих вкладов входных величин в стандартную неопределенность, связанную с . Стандартная неопределенность, связанная с оценкой выходной величины, не задается суммой , но этими членами, объединенными в квадратуре, ^[1] а именно выражением, которое, как правило, является приближенным для моделей измерений : ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle u(x_{i})}$ ${\displaystyle c_{i}u(x_{i})}$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N})}$ ${\displaystyle |c_{i}|u(x_{i})}$ ${\displaystyle u(y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u(y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle |c_{i}|u(x_{i})}$ ${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N})}$

${\displaystyle u^{2}(y)=c_{1}^{2}u^{2}(x_{1})+\cdots +c_{N}^{2}u^{2}(x_{N}),}$

который известен как закон распространения неопределенности.

Когда входные величины содержат зависимости, приведенная выше формула дополняется членами, содержащими ковариации , ^[1] которые могут увеличиваться или уменьшаться . ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle u(y)}$

Оценка неопределенности

Основные этапы оценки неопределенности составляют формулирование и расчет, причем последний состоит из распространения и обобщения. Этап формулирования представляет собой

1. определение выходной величины (измеряемой величины), ${\displaystyle Y}$
2. определение входных величин, от которых зависит, ${\displaystyle Y}$
3. разработка модели измерения, относящейся к входным величинам, и ${\displaystyle Y}$
4. на основе имеющихся знаний, назначение распределений вероятностей — гауссовских, прямоугольных и т. д. — входным величинам (или совместного распределения вероятностей тем входным величинам, которые не являются независимыми).

Этап расчета состоит из распространения распределений вероятностей для входных величин через модель измерений для получения распределения вероятностей для выходной величины и суммирования с использованием этого распределения для получения ${\displaystyle Y}$

1. ожидание , взятое как оценка , ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$
2. стандартное отклонение , взятое как стандартная неопределенность, связанная с , и ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u(y)}$ ${\displaystyle y}$
3. интервал покрытия, содержащий с заданной вероятностью покрытия. ${\displaystyle Y}$

Этап распространения оценки неопределенности известен как распространение распределений, для которого доступны различные подходы, включая

1. структура неопределенности GUM, представляющая собой применение закона распространения неопределенности и характеристику выходной величины с помощью гауссовского или -распределения, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle t}$
2. аналитические методы, в которых математический анализ используется для вывода алгебраической формы распределения вероятностей для , и ${\displaystyle Y}$
3. метод Монте-Карло ^[7] , в котором приближение к функции распределения для устанавливается численно путем случайных выборок из распределений вероятностей для входных величин и оценки модели по полученным значениям. ${\displaystyle Y}$

Для любой конкретной проблемы оценки неопределенности используется подход 1), 2) или 3) (или какой-либо другой подход), 1) являющийся в целом приближенным, 2) точным и 3) предоставляющий решение с числовой точностью, которую можно контролировать.

Модели с любым количеством выходных величин

Когда модель измерения является многомерной, то есть имеет любое количество выходных величин, вышеуказанные концепции могут быть расширены. ^[13] Выходные величины теперь описываются совместным распределением вероятностей, интервал покрытия становится областью покрытия, закон распространения неопределенности имеет естественное обобщение, и доступна процедура расчета, реализующая многомерный метод Монте-Карло.

Неопределенность как интервал

Наиболее распространенный взгляд на неопределенность измерений использует случайные величины в качестве математических моделей для неопределенных величин и простые распределения вероятностей как достаточные для представления неопределенностей измерений. Однако в некоторых ситуациях математический интервал может быть лучшей моделью неопределенности, чем распределение вероятностей. Это может включать ситуации, включающие периодические измерения, значения данных, сгруппированные в ячейки , цензурирование , пределы обнаружения или плюс-минус диапазоны измерений, где не кажется оправданным конкретное распределение вероятностей или где нельзя предположить, что ошибки среди отдельных измерений полностью независимы. ^{[ необходима цитата ]}

Более надежное представление неопределенности измерения в таких случаях может быть сформировано из интервалов. ^{[14] [15]} Интервал [ a ,  b ] отличается от прямоугольного или равномерного распределения вероятностей в том же диапазоне тем, что последний предполагает, что истинное значение лежит внутри правой половины диапазона [( a  +  b )/2,  b ] с вероятностью одна половина, и внутри любого подинтервала [ a ,  b ] с вероятностью, равной ширине подинтервала, деленной на b  −  a . Интервал не делает таких заявлений, за исключением того, что измерение лежит где-то внутри интервала. Распределения таких интервалов измерений можно суммировать как вероятностные ящики и структуры Демпстера–Шейфера по действительным числам, которые включают как алеаторические, так и эпистемические неопределенности .

Смотрите также

• Точность и аккуратность
• Доверительный интервал
• Экспериментальный анализ неопределенности
• История измерений
• Распространение неопределенности
• Случайно-нечеткая переменная
• Повторяемость
• Установить идентификацию
• Метод испытания
• Неопределенность
• Количественная оценка неопределенности

Ссылки

1. JCGM 100:2008. Оценка данных измерений — Руководство по выражению неопределенности измерений, Объединенный комитет по руководствам по метрологии.
2. Белл, С. Руководство по надлежащей практике измерений № 11. Руководство для начинающих по неопределенности измерений. Технический отчет, Национальная физическая лаборатория, 1999.
3. ASME B89.7.3.1, Руководство по правилам принятия решений при определении соответствия спецификациям
4. ASME B89.7.3.2, Руководство по оценке неопределенности измерений размеров
5. ASME B89.7.3.3, Руководство по оценке надежности заявлений о неопределенности размерных измерений
6. ASME B89.7.4, Неопределенность измерений и проверка соответствия: анализ рисков
7. JCGM 101:2008. Оценка данных измерений – Приложение 1 к «Руководству по выражению неопределенности измерений» – Распространение распределений с использованием метода Монте-Карло. Объединенный комитет по руководствам по метрологии.
8. Бернардо, Дж. и Смит, А. «Байесовская теория». John Wiley & Sons, Нью-Йорк, США, 2000. 3.20
9. Элстер, Клеменс (2007). «Вычисление неопределенности при наличии априорных знаний». Metrologia . 44 (2): 111–116. Bibcode : 2007Metro..44..111E. doi : 10.1088/0026-1394/44/2/002. S2CID  123445853.
10. EURACHEM/CITAC. "Количественная оценка неопределенности в аналитических измерениях". Технический отчет CG4, EU-RACHEM/CITEC, EURACHEM/CITAC Guide], 2000. Второе издание.
11. JCGM 104:2009. Оценка данных измерений – Введение в «Руководство по выражению неопределенности измерений» и связанные с ним документы. Объединенный комитет по руководствам по метрологии.
12. Weise, K.; Woger, W. (1993). «Байесовская теория неопределенности измерений». Measurement Science and Technology . 4 (1): 1–11. Bibcode :1993MeScT...4....1W. doi :10.1088/0957-0233/4/1/001. S2CID  250751314.
13. Объединенный комитет по руководствам по метрологии (2011). JCGM 102: Оценка данных измерений – Дополнение 2 к «Руководству по выражению неопределенности измерений» – Расширение на любое количество выходных величин (PDF) (Технический отчет). JCGM . Получено 13 февраля 2013 г.
14. Manski, CF (2003); Частичная идентификация распределений вероятностей , Springer Series in Statistics, Springer, Нью-Йорк
15. Ферсон, С., В. Крейнович, Дж. Хаджагос, В. Оберкампф и Л. Гинзбург (2007); Экспериментальная оценка неопределенности и статистика для данных, имеющих интервальную неопределенность, Национальные лаборатории Сандия SAND 2007-0939

Дальнейшее чтение

• Бич, В., Кокс, М. Г. и Харрис, П. М. Эволюция «Руководства по выражению неопределенности в измерениях». Metrologia, 43(4):S161–S166, 2006.
• Кокс, МГ и Харрис, ПМ Руководство по передовой практике SSfM № 6, Оценка неопределенности. Технический отчет DEM-ES-011, Национальная физическая лаборатория, 2006.
• Эллисон СЛР, Уильямс А. (редакторы). Руководство Eurachem/CITAC: Количественная оценка неопределенности в аналитических измерениях, третье издание, (2012) ISBN 978-0-948926-30-3. Доступно на www.eurachem.org.
• Грейб, М. Обобщенное исчисление гауссовых ошибок, Springer 2010.
• EA. Выражение неопределенности измерения при калибровке. Технический отчет EA-4/02, Европейское сотрудничество по аккредитации, 1999.
• Ферсон, С.; Крейнович, В.; Хаджагос, Дж.; Оберкампф, В.; Гинзбург, Л. (2007). «Экспериментальная оценка неопределенности и статистика для данных, имеющих интервальную неопределенность» (PDF) .
• Лира., И. Оценка неопределенности измерения. Основы и практическое руководство. Институт физики, Бристоль, Великобритания, 2002.
• Majcen N., Taylor P. (редакторы), Практические примеры по прослеживаемости, неопределенности измерений и валидации в химии, том 1, 2010; ISBN 978-92-79-12021-3 . 
• Поссоло А. и Айер Х.К. 2017 Концепции и инструменты для оценки неопределенности измерений Rev. Sci. Instrum., 88 011301 (2017).
• UKAS M3003 Выражение неопределенности и уверенности в измерениях (издание 3, ноябрь 2012 г.) UKAS
• Руо, М. (2013), Распространение неопределенностей в экспериментальных измерениях (PDF) (краткое изд.)
• Да Силва, РБ; Бульска, Э.; Годлевска-Зилкевич, Б.; Хедрич, М.; Майсен, Н.; Магнуссон, Б.; Маринчич, С.; Пападакис, И.; Патриарка, М.; Васильева Е.; Тейлор, П. (2012). Аналитические измерения: неопределенность измерений и статистика . ISBN 978-92-79-23070-7.

Внешние ссылки

• NPLUnc
• Оценка температуры и ее неопределенности в малых системах, 2011 г.
• Введение в оценку неопределенности измерений
• JCGM 200:2008. Международный словарь по метрологии – Основные и общие понятия и связанные с ними термины, 3-е издание. Объединенный комитет по руководствам по метрологии.
• ISO 3534-1:2006. Статистика – Словарь и символы – Часть 1: Общие статистические термины и термины, используемые в теории вероятностей. ISO
• JCGM 106:2012. Оценка данных измерений – Роль неопределенности измерений в оценке соответствия. Объединенный комитет по руководствам по метрологии.
• NIST. Неопределенность результатов измерений.