Дифференцируемая функция

Математическая функция, производная которой существует

Дифференцируемая функция

В математике дифференцируемая функция одной действительной переменной — это функция , производная которой существует в каждой точке ее области определения . Другими словами, график дифференцируемой функции имеет невертикальную касательную в каждой внутренней точке ее области определения. Дифференцируемая функция является гладкой (функция локально хорошо аппроксимируется линейной функцией в каждой внутренней точке) и не содержит излома, угла или точки возврата .

Если x0 является внутренней точкой области определения функции f , то f называется дифференцируемой в точке _x0 , _если производная существует. Другими словами, график f имеет невертикальную касательную в точке ( x ₀ , f ( x ₀ ) ) . Говорят, что f дифференцируема на U , если она дифференцируема в каждой точке U. f называется непрерывно дифференцируемой , если ее производная также является непрерывной функцией в области определения функции . Вообще говоря, f называется классом , если ее первые производные существуют и непрерывны в области определения функции . ${\displaystyle f'(x_{0})}$ ${\textstyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ ${\textstyle f}$

Для функции многих переменных, как показано здесь, ее дифференцируемость — это нечто большее, чем существование ее частных производных.

Дифференцируемость вещественных функций одной переменной

Функция , определенная на открытом множестве , называется дифференцируемой, если ее производная ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle U\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a\in U}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

существует. Это означает, что функция непрерывна в точке a .

Эту функцию f называют дифференцируемой на U , если она дифференцируема в каждой точке U. Таким образом , в этом случае производная f является функцией из U в ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Непрерывная функция не обязательно дифференцируема, но дифференцируемая функция обязательно непрерывна (в каждой точке, где она дифференцируема), как показано ниже (в разделе «Дифференцируемость и непрерывность»). Функция называется непрерывно дифференцируемой, если ее производная также является непрерывной функцией; существуют функции, которые дифференцируемы, но не непрерывно дифференцируемы (пример приведен в разделе Классы дифференцируемости).

Дифференцируемость и непрерывность

Функция абсолютного значения непрерывна (т.е. не имеет пробелов). Он дифференцируем всюду , кроме точки x = 0, где он делает резкий поворот при пересечении оси y .

Касп на графике непрерывной функции. В нуле функция непрерывна, но не дифференцируема.

Если f дифференцируема в точке x0 , то f _также должна быть непрерывной в _точке x0 . В частности, любая дифференцируемая функция должна быть непрерывной в каждой точке своей области определения. Обратное неверно : непрерывная функция не обязательно должна быть дифференцируемой. Например, функция с изгибом, точкой возврата или вертикальной касательной может быть непрерывной, но не может быть дифференцируемой в месте аномалии.

Большинство функций, встречающихся на практике, имеют производные во всех или почти в каждой точках. Однако результат Стефана Банаха гласит, что набор функций, имеющих производную в некоторой точке, является скудным набором в пространстве всех непрерывных функций. ^[1] Неформально это означает, что дифференцируемые функции очень нетипичны среди непрерывных функций. Первым известным примером функции, непрерывной всюду, но нигде не дифференцируемой, является функция Вейерштрасса .

Классы дифференцируемости

Дифференцируемые функции могут быть локально аппроксимированы линейными функциями.

Функция с for и дифференцируема. Однако эта функция не является непрерывно дифференцируемой. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle f(0)=0}$

Говорят, что функция ${\textstyle f}$непрерывно дифференцируема, если производнаясуществует и сама является непрерывной функцией. Хотя производная дифференцируемой функции никогда не имеетскачкообразного разрыва, она может иметьсущественный разрыв. Например, функция ${\textstyle f^{\prime }(x)}$

$${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}}$$

$${\displaystyle f'(0)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left({\frac {\varepsilon ^{2}\sin(1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}\right)=0}$$

правила дифференциации ${\displaystyle x\neq 0,}$

$${\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\;,}$$

из теоремы Дарбутеоремы о промежуточном значении ${\displaystyle x\to 0.}$

Подобно тому, как непрерывные функции называют принадлежащими к классу ${\displaystyle C^{0},}$ , непрерывно дифференцируемые функции иногда называют принадлежащими к классу ${\displaystyle C^{1}}$ . Функция относится к классу ${\displaystyle C^{2}}$ , если первая и вторая производные функции существуют и непрерывны. В более общем смысле говорят, что функция относится к классу ${\displaystyle C^{k}}$ , если все первые производные существуют и непрерывны. Если производные существуют для всех положительных целых чисел, функция является гладкой или, что то же самое, класса ${\displaystyle k}$ ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\textstyle n,}$ ${\displaystyle C^{\infty }.}$

Дифференцируемость в более высоких размерностях

Функция нескольких вещественных переменных f : Rm → Rn называется дифференцируемой в точке ^x ₀ , если существует линейное отображение J ^: Rm → Rn такое ^{, что}

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.}$

Если функция дифференцируема в точке _x0 , то все частные производные существуют в точке _x0 , а линейное отображение J задается матрицей Якобиана , в данном случае матрицей размера n × m . Похожая формулировка многомерной производной обеспечивается фундаментальной леммой о приращении , найденной в исчислении с одной переменной.

Если все частные производные функции существуют в _{окрестности} точки x0 и непрерывны в точке x0 , то функция дифференцируема в этой _точке x0 _.

Однако существование частных производных (или даже всех производных по направлению ) не гарантирует, что функция дифференцируема в точке. Например, функция f : R ² → R, определенная формулой

$${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}}$$

не дифференцируема в точке (0, 0) , но все частные производные и производные по направлению существуют в этой точке. Для непрерывного примера функция

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

не дифференцируема в точке (0, 0) , но опять же существуют все частные производные и производные по направлению.

Дифференцируемость в комплексном анализе

В комплексном анализе комплексная дифференцируемость определяется с использованием того же определения, что и действительные функции с одной переменной. Это допускается благодаря возможности деления комплексных чисел . Итак, функция называется дифференцируемой, если ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\textstyle x=a}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Хотя это определение похоже на дифференцируемость действительных функций с одной переменной, однако оно является более ограничительным условием. Функция , которая является комплексно-дифференцируемой в некоторой точке, автоматически дифференцируема в этой точке, если рассматривать ее как функцию . Это потому, что комплексная дифференцируемость подразумевает, что ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\textstyle x=a}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0.}$

Однако функция может быть дифференцируемой как функция многих переменных, но не быть комплексно-дифференцируемой. Например, дифференцируема в каждой точке, рассматриваемая как действительная функция с двумя переменными , но не является комплексно-дифференцируемой в любой точке, поскольку предел не существует (например, он зависит от угла подхода). ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}}$ ${\displaystyle f(x,y)=x}$ ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {h+{\bar {h}}}{2h}}}$

Любая функция, комплексно-дифференцируемая в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке. Такая функция обязательно бесконечно дифференцируема и фактически аналитична .

Дифференцируемые функции на многообразиях

Если M — дифференцируемое многообразие , действительная или комплекснозначная функция f на M называется дифференцируемой в точке p , если она дифференцируема относительно некоторой (или любой) координатной карты, определенной вокруг p . Если M и N — дифференцируемые многообразия, функция f :  M  →  N называется дифференцируемой в точке p , если она дифференцируема относительно некоторых (или любых) координатных карт, определенных вокруг p и f ( p ).

Смотрите также

• Обобщения производной
• Полудифференцируемость
• Дифференцируемое программирование

Рекомендации

1. Банах, С. (1931). «Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen». Студия Матем. 3 (1): 174–179. дои : 10.4064/см-3-1-174-179 .. Цитируется Хьюиттом, Э.; Стромберг, К. (1963). Реальный и абстрактный анализ . Спрингер-Верлаг. Теорема 17.8.