Пустой набор

Математическое множество, не содержащее ни одного элемента

Пустое множество — это множество, не содержащее ни одного элемента.

В математике пустое множество или недействительное множество — это уникальное множество , не имеющее элементов ; его размер или мощность (количество элементов в множестве) равны нулю . ^[1] Некоторые аксиоматические теории множеств гарантируют, что пустое множество существует, включая аксиому пустого множества , в то время как в других теориях его существование может быть выведено. Многие возможные свойства множеств являются бессмысленно истинными для пустого множества.

Любое множество, отличное от пустого, называется непустым.

В некоторых учебниках и популяризациях пустое множество именуется «нулевым множеством». ^[1] Однако нулевое множество — это отдельное понятие в контексте теории меры , в которой оно описывает множество меры нуль (которое не обязательно пусто).

Обозначение

Символ пустого множества

Обычные обозначения пустого множества включают "{ }", " " и "∅". Последние два символа были введены группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем ) в 1939 году, вдохновленной буквой Ø ( U+00D8 Ø ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА O С ШТРИХОМ ) в датском и норвежском алфавитах. ^[2] В прошлом "0" (цифра ноль ) иногда использовалась в качестве символа пустого множества, но теперь это считается неправильным использованием обозначения. ^[3] ${\displaystyle \emptyset }$

Символ ∅ доступен в точке Unicode U+2205 ∅ EMPTY SET . ^[4] Он может быть закодирован в HTML как и как или как . Он может быть закодирован в LaTeX как . Символ кодируется в LaTeX как . ∅∅∅\varnothing ${\displaystyle \emptyset }$\emptyset

При написании на таких языках, как датский и норвежский, где символ пустого набора можно спутать с буквой алфавита Ø (как при использовании символа в лингвистике), вместо него можно использовать символ Unicode U+29B0 REVERSED EMPTY SET ⦰. ^[5]

Характеристики

В стандартной аксиоматической теории множеств , по принципу экстенсиональности , два множества равны, если они имеют одни и те же элементы (то есть ни одно из них не имеет элемента, которого нет в другом). В результате может быть только одно множество без элементов, отсюда и использование термина «пустое множество» вместо «пустое множество».

Единственное подмножество пустого множества — это само пустое множество; эквивалентно, множество мощности пустого множества — это множество, содержащее только пустое множество. Количество элементов пустого множества (т. е. его мощность ) равно нулю. Пустое множество — это единственное множество с любым из этих свойств.

Для любого множества А :

• Пустое множество является подмножеством A
• Объединение A с пустым множеством есть A
• Пересечение A с пустым множеством есть пустое множество .
• Декартово произведение A и пустого множества равно пустому множеству .

Для любого свойства P :

• Для каждого элемента выполняется свойство P ( пустая истина ). ${\displaystyle \varnothing }$
• Не существует элемента, для которого выполняется свойство P. ${\displaystyle \varnothing }$

Наоборот, если для некоторого свойства P и некоторого множества V справедливы следующие два утверждения:

• Для каждого элемента V выполняется свойство P.
• Не существует элемента V, для которого выполняется свойство P.

затем ${\displaystyle V=\varnothing .}$

По определению подмножества , пустое множество является подмножеством любого множества A . То есть, каждый элемент x из принадлежит A . Действительно, если бы было неверно, что каждый элемент из содержится в A , то был бы по крайней мере один элемент из , которого нет в A . Поскольку элементов из нет вообще, нет и элемента из , которого нет в A . Любое утверждение, которое начинается с «для каждого элемента из », не содержит никаких существенных утверждений; это пустая истина . Это часто перефразируют как «все верно относительно элементов пустого множества». ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$

В обычном теоретико-множественном определении натуральных чисел ноль моделируется пустым множеством.

Операции над пустым множеством

Когда говорят о сумме элементов конечного множества, неизбежно приходим к соглашению, что сумма элементов пустого множества ( пустая сумма ) равна нулю. Причина этого в том, что ноль является тождественным элементом для сложения. Аналогично, произведение элементов пустого множества ( пустое произведение ) следует считать равным единице , поскольку единица является тождественным элементом для умножения. ^[6]

Расстройство — это перестановка множества без неподвижных точек . Пустое множество можно считать расстройством самого себя, поскольку оно имеет только одну перестановку ( ), и совершенно верно, что ни один элемент (пустого множества) не может быть найден, сохраняя свое первоначальное положение. ${\displaystyle 0!=1}$

В других областях математики

Расширенные действительные числа

Так как пустое множество не имеет члена, когда оно рассматривается как подмножество любого упорядоченного множества , каждый член этого множества будет верхней границей и нижней границей для пустого множества. Например, когда рассматривается как подмножество действительных чисел, с его обычным порядком, представленным линией действительных чисел , каждое действительное число является как верхней, так и нижней границей для пустого множества. ^[7] Когда рассматривается как подмножество расширенных действительных чисел, образованных путем добавления двух «чисел» или «точек» к действительным числам (а именно отрицательной бесконечности , обозначаемой , которая определяется как меньше, чем любое другое расширенное действительное число, и положительной бесконечности , обозначаемой , которая определяется как больше, чем любое другое расширенное действительное число), мы имеем, что: и ${\displaystyle -\infty \!\,,}$ ${\displaystyle +\infty \!\,,}$ $${\displaystyle \sup \varnothing =\min(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=-\infty ,}$$ $${\displaystyle \inf \varnothing =\max(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=+\infty .}$$

То есть наименьшая верхняя граница (sup или supremum ) пустого множества — отрицательная бесконечность, а наибольшая нижняя граница (inf или infimum ) — положительная бесконечность. По аналогии с вышеизложенным, в области расширенных вещественных чисел отрицательная бесконечность является единичным элементом для операторов максимума и супремума, а положительная бесконечность — единичным элементом для операторов минимума и инфимума.

Топология

В любом топологическом пространстве X пустое множество открыто по определению, как и X. Поскольку дополнение открытого множества замкнуто , а пустое множество и X являются дополнениями друг друга, пустое множество также замкнуто, что делает его открыто-замкнутым множеством . Более того, пустое множество компактно в силу того, что каждое конечное множество компактно.

Замыкание пустого множества пусто. Это известно как «сохранение нуль - объединений ».

Теория категорий

Если — множество, то существует ровно одна функция из в пустую функцию . В результате пустое множество является единственным исходным объектом категории множеств и функций. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle A,}$

Пустое множество можно превратить в топологическое пространство , называемое пустым пространством, только одним способом: определив пустое множество как открытое . Это пустое топологическое пространство является единственным исходным объектом в категории топологических пространств с непрерывными отображениями . Фактически, это строгий исходный объект : только пустое множество имеет функцию для пустого множества.

Теория множеств

В конструкции фон Неймана ординалов 0 определяется как пустое множество, а преемник ординала определяется как . Таким образом, мы имеем , , , и так далее. Конструкция фон Неймана вместе с аксиомой бесконечности , которая гарантирует существование по крайней мере одного бесконечного множества, может быть использована для построения множества натуральных чисел , такого, что аксиомы арифметики Пеано будут выполнены. ${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}}$ ${\displaystyle 0=\varnothing }$ ${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}}$ ${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$

Под вопросом существование

Исторические вопросы

В контексте множеств действительных чисел Кантор использовал обозначение « не содержит ни одной точки». Эта нотация использовалась в определениях; например, Кантор определил два множества как непересекающиеся, если их пересечение не имеет точек; однако, спорно, рассматривал ли Кантор множество как существующее множество само по себе, или же Кантор просто использовал его как предикат пустоты. Цермело принимал себя как множество, но считал его «несобственным множеством». ^[8] ${\displaystyle P\equiv O}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \equiv O}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \equiv O}$ ${\displaystyle O}$

Аксиоматическая теория множеств

В теории множеств Цермело существование пустого множества гарантируется аксиомой пустого множества , а его единственность следует из аксиомы экстенсиональности . Однако аксиому пустого множества можно показать избыточной по крайней мере двумя способами:

• Стандартная логика первого порядка подразумевает, просто из логических аксиом , что нечто существует, и на языке теории множеств эта вещь должна быть множеством. Теперь существование пустого множества легко следует из аксиомы разделения .
• Даже используя свободную логику (которая логически не подразумевает, что что-то существует), уже существует аксиома, подразумевающая существование по крайней мере одного множества, а именно аксиома бесконечности .

Философские вопросы

Хотя пустое множество является стандартным и широко принятым математическим понятием, оно остается онтологической диковинкой, значение и полезность которой обсуждаются философами и логиками.

Пустое множество — это не то же самое, что и ничто ; скорее, это множество, в котором нет ничего, а множество — это всегда что-то . Эту проблему можно преодолеть, рассматривая множество как мешок — пустой мешок, несомненно, все еще существует. Дарлинг (2004) объясняет, что пустое множество — это не ничто, а скорее «множество всех треугольников с четырьмя сторонами, множество всех чисел, которые больше девяти, но меньше восьми, и множество всех начальных ходов в шахматах , в которых участвует король ». ^[9]

Популярный силлогизм

Нет ничего лучше вечного счастья; бутерброд с ветчиной лучше, чем ничего; поэтому бутерброд с ветчиной лучше, чем вечное счастье.

часто используется для демонстрации философской связи между концепцией ничто и пустым множеством. Дарлинг пишет, что контраст можно увидеть, переписав утверждения «Ничто не лучше вечного счастья» и «[Сэндвич] с ветчиной лучше, чем ничего» в математическом тоне. По мнению Дарлинга, первое эквивалентно «Множество всех вещей, которые лучше вечного счастья, есть », а второе — «Множество {сэндвич с ветчиной} лучше множества ». Первое сравнивает элементы множеств, тогда как второе сравнивает сами множества. ^[9] ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$

Джонатан Лоу утверждает, что в то время как пустое множество

несомненно, была важной вехой в истории математики, … мы не должны предполагать, что ее полезность в вычислениях зависит от того, что она фактически обозначает какой-то объект.

также имеет место следующее:

«Все, что нам когда-либо сообщалось о пустом множестве, это то, что оно (1) является множеством, (2) не имеет членов и (3) является уникальным среди множеств, поскольку не имеет членов. Однако существует очень много вещей, которые «не имеют членов» в теоретико-множественном смысле, а именно, все не-множества. Совершенно ясно, почему эти вещи не имеют членов, поскольку они не являются множествами. Неясно, как может существовать, уникальное среди множеств, множество , не имеющее членов. Мы не можем вызвать такую ​​сущность к существованию простым условием». ^[10]

Джордж Булос утверждал, что многое из того, что было получено до сих пор теорией множеств, может быть так же легко получено посредством множественной квантификации по индивидам, без овеществления множеств как единичных сущностей, имеющих другие сущности в качестве членов. ^[11]

Смотрите также

•  – ЧислоСтраницы с краткими описаниями без пробелов
• Обитаемое множество  – свойство множеств, используемое в конструктивной математике.
• Ничего  – Полное отсутствие чего-либо; противоположность всему
• Power set  – Математическое множество всех подмножеств множества.

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Empty Set". mathworld.wolfram.com . Получено 11 августа 2020 г.
2. «Ранние примеры использования символов теории множеств и логики».
3. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). McGraw-Hill. стр. 300. ISBN 007054235X.
4. «Стандарт Unicode 5.2» (PDF) .
5. например, Нина Грённум (2005, 2013) Фонетика и фонология: Almen og dansk. Академик форлаг, Копенгаген.
6. Дэвид М. Блум (1979). Линейная алгебра и геометрия . стр. 45. ISBN 0521293243.
7. Брукнер, AN, Брукнер, JB и Томсон, BS (2008). Элементарный вещественный анализ , 2-е издание, стр. 9.
8. А. Канамори, «Пустое множество, синглтон и упорядоченная пара», стр. 275. Бюллетень символической логики, т. 9, № 3 (2003). Доступ 21 августа 2023 г.
9. DJ Darling (2004). Универсальная книга математики . John Wiley and Sons . стр. 106. ISBN 0-471-27047-4.
10. EJ Lowe (2005). Локк . Раутледж . стр. 87.
11. Джордж Булос (1984), «Быть ​​— значит быть значением переменной», The Journal of Philosophy 91: 430–49. Переиздано в 1998 году, Logic, Logic and Logic ( редакторы Ричард Джеффри и Берджесс, Дж.) Harvard University Press , 54–72.

Дальнейшее чтение

• Halmos, Paul , Naive Set Theory . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке).  
• Jech, Thomas (2002). Теория множеств . Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Грэм, Малкольм (1975). Современная элементарная математика (2-е изд.). Харкорт Брейс Йованович . ISBN 0155610392.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Пустое множество». MathWorld .