Несчетное множество

Бесконечное множество, которое не поддается счету

В математике несчетное множество , неформально, это бесконечное множество , которое содержит слишком много элементов , чтобы быть счетным . Несчетность множества тесно связана с его кардинальным числом : множество несчетно, если его кардинальное число больше, чем алеф-ноль , мощность натуральных чисел .

Характеристика

Существует много эквивалентных характеристик несчетности. Множество X несчетно тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих условий:

• Не существует инъективной функции (следовательно, нет и биекции ) из X во множество натуральных чисел.
• X непусто и для любой ω- последовательности элементов X существует по крайней мере один элемент X, не входящий в нее. То есть X непусто и не существует сюръективной функции от натуральных чисел к X.
• Мощность X не является конечной и не равна ( алеф-нуль ) . ${\displaystyle \aleph _{0}}$
• Множество X имеет мощность строго больше . ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Эквивалентность первых трех из этих характеристик может быть доказана в теории множеств Цермело–Френкеля без аксиомы выбора , но эквивалентность третьей и четвертой характеристик не может быть доказана без дополнительных принципов выбора.

Характеристики

• Если несчетное множество X является подмножеством множества Y , то Y несчетно.

Примеры

Самым известным примером несчетного множества является множество R всех действительных чисел ; диагональный аргумент Кантора показывает, что это множество несчетно. Метод доказательства диагонализации также может быть использован для того, чтобы показать, что несколько других множеств несчетны, например, множество всех бесконечных последовательностей натуральных чисел и множество всех подмножеств множества натуральных чисел. Мощность R часто называют мощностью континуума и обозначают как , или , или ( beth-one ). ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \beth _{1}}$

Множество Кантора является несчетным подмножеством R. Множество Кантора является фракталом и имеет размерность Хаусдорфа больше нуля, но меньше единицы ( R имеет размерность один). Это пример следующего факта: любое подмножество R размерности Хаусдорфа строго больше нуля должно быть несчетным.

Другим примером несчетного множества является множество всех функций от R до R. Это множество даже «более несчетно», чем R, в том смысле, что мощность этого множества равна ( beth-two ), что больше, чем . ${\displaystyle \beth _{2}}$ ${\displaystyle \beth _{1}}$

Более абстрактным примером несчетного множества является множество всех счетных порядковых чисел , обозначаемое Ω или ω ₁ . ^[1] Мощность Ω обозначается ( алеф-один ). Можно показать, используя аксиому выбора , что является наименьшим несчетным кардинальным числом. Таким образом, либо , мощность действительных чисел, равна , либо она строго больше. Георг Кантор был первым, кто предложил вопрос о том, равно ли . В 1900 году Давид Гильберт сформулировал этот вопрос как первую из своих 23 проблем . Утверждение, которое сейчас называется гипотезой континуума , и как известно, не зависит от аксиом Цермело–Френкеля для теории множеств (включая аксиому выбора ). ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \beth _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \beth _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}=\beth _{1}}$

Без аксиомы выбора

Без аксиомы выбора могли бы существовать мощности, несравнимые с (а именно, мощности конечных по Дедекинду бесконечных множеств). Множества с этими мощностями удовлетворяют первым трем характеристикам выше, но не четвертой характеристике. Поскольку эти множества не больше натуральных чисел в смысле мощности, некоторые могут не захотеть называть их несчетными. ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Если аксиома выбора верна, то следующие условия на кардинал эквивалентны: ${\displaystyle \kappa }$

• ${\displaystyle \kappa \nleq \aleph _{0};}$
• ${\displaystyle \kappa >\aleph _{0};}$и
• ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _{1}}$, где и — наименьший начальный порядковый номер, больший ${\displaystyle \aleph _{1}=|\omega _{1}|}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega .}$

Однако все они могут быть разными, если аксиома выбора не выполняется. Поэтому не очевидно, какой из них является подходящим обобщением «несчетности», когда аксиома не выполняется. Возможно, лучше избегать использования этого слова в этом случае и указать, какой из них имеется в виду.

Смотрите также

• Число алеф
• Число Бет
• Первое неисчисляемое порядковое число
• Инъективная функция

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Uncountably Infinite". mathworld.wolfram.com . Получено 05.09.2020 .

Библиография

• Halmos, Paul , Naive Set Theory . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке).  
• Jech, Thomas (2002), Теория множеств , Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.), Springer, ISBN 3-540-44085-2

Внешние ссылки

• Доказательство того, что R несчетно